2024年5月17日发(作者：弭幻玉)

2021高考理科数学必考点解题方式秘籍：涂色问题

与涂色问题有关的试题新颖有趣,最近几年已经在高考题中显现，其中包括着丰硕的数学思想。解决涂色问题方

式技术性强且灵活多变，因此这种问题有利于培育学生的创新思维能力、分析问题与观看问题的能力，有利于开

发学生的智力。本文拟总结涂色问题的常见类型及求解方式

一.区域涂色问题

依照分步计数原理，对各个区域分步涂色，这是处置染色问题的大体方式。

用5种不同的颜色给图中标①、②、③、④的各部份涂色，每部份只涂一种颜色，相邻部份涂不同颜色，那么不

同的涂色方式有多少种？

①

③

分析：先给①号区域涂色有5种方式，再给②号涂色有4

种方式，接着给③号涂色方式有3种，由于④号与①、

④

②

②不相邻，因此④号有4种涂法，依照分步计数原理，不同的涂色方式有

5434240

依照共用了多少种颜色讨论，别离计算出各类出各类情形的种数，再用加法原理求出不同的涂色方式种数。

例二、四种不同的颜色涂在如下图的6个区域，且相邻两个区域不能同色。

分析：依题意只能选用4种颜色，要分四类：

4

A

4

（1）②与⑤同色、④与⑥同色，那么有；

4

A

4

（2）③与⑤同色、④与⑥同色，那么有；

4

A

4

（3）②与⑤同色、③与⑥同色，那么有；

44

AA

44

（4）③与⑤同色、② 与④同色，那么有；（5）②与④同色、③与⑥同色，那么有；

4

A

因此依照加法原理得涂色方式总数为5

4

=120

⑤

⑥

②

①

④

③

3

2

1

4

5

例3、如下图，一个地域分为5个行政区域，

现给地图着色，要求相邻区域不得利用同一颜色，

现有4种颜色可供选择，那么不同的着方式共有多少种？

分析：依题意至少要用3种颜色

当先用三种颜色时，区域2与4必需同色，

3

A

4

区域3与5必需同色，故有种；

当用四种颜色时，假设区域2与4同色，

44

AA

44

那么区域3与5不同色，有种；假设区域3与5同色，那么区域2与4不同色，有种，

4

A

故用四种颜色时共有2

4

种。由加法原理可知知足题意的着色方式共有

34

A

4

A

4

+2=24+2



24=72

依照某两个不相邻区域是不是同色分类讨论，从某两个不相邻区域同色与不同色入手，别离

计算出两种情形的种数，再用加法原理求出不同涂色方式总数。

例4用红、黄、蓝、白、黑五种颜色涂在如下图的四个区域内，每一个区域涂一种颜色，相

邻两个区域涂不同的颜色，若是颜色能够反复利用，共有多少种不同的涂色方式？

分析：可把问题分为三类：

4

A

5

四格涂不同的颜色，方式种数为；

有且仅两个区域相同的颜色，

即只

有一组对角小方格涂相

同的颜色，涂法种数为

12

2C

5

A

4

2

3

1

4

；

两组对角小方格别离涂相同的颜色，涂法种数为

A

5

2

，

2024年5月17日发(作者：弭幻玉)

2021高考理科数学必考点解题方式秘籍：涂色问题

与涂色问题有关的试题新颖有趣,最近几年已经在高考题中显现，其中包括着丰硕的数学思想。解决涂色问题方

式技术性强且灵活多变，因此这种问题有利于培育学生的创新思维能力、分析问题与观看问题的能力，有利于开

发学生的智力。本文拟总结涂色问题的常见类型及求解方式

一.区域涂色问题

依照分步计数原理，对各个区域分步涂色，这是处置染色问题的大体方式。

用5种不同的颜色给图中标①、②、③、④的各部份涂色，每部份只涂一种颜色，相邻部份涂不同颜色，那么不

同的涂色方式有多少种？

①

③

分析：先给①号区域涂色有5种方式，再给②号涂色有4

种方式，接着给③号涂色方式有3种，由于④号与①、

④

②

②不相邻，因此④号有4种涂法，依照分步计数原理，不同的涂色方式有

5434240

依照共用了多少种颜色讨论，别离计算出各类出各类情形的种数，再用加法原理求出不同的涂色方式种数。

例二、四种不同的颜色涂在如下图的6个区域，且相邻两个区域不能同色。

分析：依题意只能选用4种颜色，要分四类：

4

A

4

（1）②与⑤同色、④与⑥同色，那么有；

4

A

4

（2）③与⑤同色、④与⑥同色，那么有；

4

A

4

（3）②与⑤同色、③与⑥同色，那么有；

44

AA

44

（4）③与⑤同色、② 与④同色，那么有；（5）②与④同色、③与⑥同色，那么有；

4

A

因此依照加法原理得涂色方式总数为5

4

=120

⑤

⑥

②

①

④

③

3

2

1

4

5

例3、如下图，一个地域分为5个行政区域，

现给地图着色，要求相邻区域不得利用同一颜色，

现有4种颜色可供选择，那么不同的着方式共有多少种？

分析：依题意至少要用3种颜色

当先用三种颜色时，区域2与4必需同色，

3

A

4

区域3与5必需同色，故有种；

当用四种颜色时，假设区域2与4同色，

44

AA

44

那么区域3与5不同色，有种；假设区域3与5同色，那么区域2与4不同色，有种，

4

A

故用四种颜色时共有2

4

种。由加法原理可知知足题意的着色方式共有

34

A

4

A

4

+2=24+2



24=72

依照某两个不相邻区域是不是同色分类讨论，从某两个不相邻区域同色与不同色入手，别离

计算出两种情形的种数，再用加法原理求出不同涂色方式总数。

例4用红、黄、蓝、白、黑五种颜色涂在如下图的四个区域内，每一个区域涂一种颜色，相

邻两个区域涂不同的颜色，若是颜色能够反复利用，共有多少种不同的涂色方式？

分析：可把问题分为三类：

4

A

5

四格涂不同的颜色，方式种数为；

有且仅两个区域相同的颜色，

即只

有一组对角小方格涂相

同的颜色，涂法种数为

12

2C

5

A

4

2

3

1

4

；

两组对角小方格别离涂相同的颜色，涂法种数为

A

5

2

，