2024年5月17日发(作者：孛冬雪)
高数求一个用偏导数计算二重积分的例子
计算二重积分虽然可以通过直接积分解决，但是当数据较多，用偏导数会更加高效。
本文旨在介绍使用偏导数计算二重积分的例子。
所谓二重积分，即指在一个积分内，又进行一个积分，在这个积分内又进行另一次积
分。它的形式为：Γ =∫f (x, y) dx dy，f (x, y) 为可积函数。
使用偏导数计算二重积分的方式是：首先将双重积分分解为两个一重积分，即：Γ =g(x,
y)dx +∫h(x, y)dy，其中，g(x, y) =f (x, y)dx，h(x, y) =f (x, y)dy。
接下来我们用偏导数来计算二重积分。我们可以将g(x, y)，h(x, y)中的f (x, y)先链式
求偏导数，得到：
g(x, y)/x = f (x, y)，
g(x, y)/y =f (x, y)/y
h(x, y)/x =f (x, y)/x，
h(x, y)/y = f (x, y)
总结起来，我们可以得到：
Γ =g(x, y)dx +∫h(x, y)dy
- 1 -
=f (x, y)dx +∫f (x, y)dy +∫(f (x, y)/x)dx +∫(f (x, y)/y)dy
=f (x, y)dx +∫f (x, y)dy +∫dx(f (x, y)/x) +∫dy(f (x, y)/y)
这样我们就得到了使用偏导数计算二重积分的方程。接下来，我们就来看看如何使用
它来计算一个例子。
假设我们要计算如下二重积分：Γ =∫[2x 3y2 + 3xy]dxdy，其中x, y [0, 1]，即：
Γ =0dx1[2x 3y2 + 3xy]dy +1dx∫0[2x 3y2 + 3xy]dy
=0dx∫1[2x 3y2 + 3xy]dy +1dx∫0[2x 3y2 + 3xy]dy
=0dx[2x + x 3y2 + 3xy]dy +1dx[2x x 3y2 + 3xy]dy
由于问题中的积分函数f (x, y) = 2x 3y2 + 3xy，根据刚才介绍的偏导数计算方法，于
是我们可以继续计算：
Γ =0dx[2x + x 3y2 + 3xy]dy +1dx[2x x 3y2 + 3xy]dy
=0dx[2x +y(2x + 3xy)]dy +1dx[2xy(2x + 3xy)]dy
=0dx[2x + [3x + 3y (f (x, y)/x)]dy] +1dx[2x [3x + 3y (f (x, y)/x)]dy]
可以看到，最终计算得到的结果依然需要使用原积分函数f (x, y)和其偏导数结果进行
计算，因此我们最终得到了：
- 2 -
Γ =0dx[2x + 3x + 3y (f (x, y)/x)]dy +1dx[2x 3x 3y (f (x, y)/x)]dy
根据偏导数结果，我们可以得到：f (x, y)/x = 3y，f (x, y)/y = 3x，因此Γ =0dx[2x +
9y]dy +1dx[2x 9y]dy。
最后，我们将计算结果进行求和，得到结果：Γ =0dx[2x + 9y]dy +1dx[2x 9y]dy = 3
+ 0 = 3。
从上面的例子中可以看出，使用偏导数计算二重积分虽然比较麻烦，但是可以比较快
速地得到计算结果，特别是当数据很多的情况下，使用偏导数会比直接积分快得多。
总之，本文主要介绍了如何使用偏导数计算二重积分，通过一个例子给出了具体的计
算过程，希望对读者有所帮助。
- 3 -
2024年5月17日发(作者：孛冬雪)
高数求一个用偏导数计算二重积分的例子
计算二重积分虽然可以通过直接积分解决，但是当数据较多，用偏导数会更加高效。
本文旨在介绍使用偏导数计算二重积分的例子。
所谓二重积分，即指在一个积分内，又进行一个积分，在这个积分内又进行另一次积
分。它的形式为：Γ =∫f (x, y) dx dy，f (x, y) 为可积函数。
使用偏导数计算二重积分的方式是：首先将双重积分分解为两个一重积分，即：Γ =g(x,
y)dx +∫h(x, y)dy，其中，g(x, y) =f (x, y)dx，h(x, y) =f (x, y)dy。
接下来我们用偏导数来计算二重积分。我们可以将g(x, y)，h(x, y)中的f (x, y)先链式
求偏导数，得到：
g(x, y)/x = f (x, y)，
g(x, y)/y =f (x, y)/y
h(x, y)/x =f (x, y)/x，
h(x, y)/y = f (x, y)
总结起来，我们可以得到：
Γ =g(x, y)dx +∫h(x, y)dy
- 1 -
=f (x, y)dx +∫f (x, y)dy +∫(f (x, y)/x)dx +∫(f (x, y)/y)dy
=f (x, y)dx +∫f (x, y)dy +∫dx(f (x, y)/x) +∫dy(f (x, y)/y)
这样我们就得到了使用偏导数计算二重积分的方程。接下来，我们就来看看如何使用
它来计算一个例子。
假设我们要计算如下二重积分：Γ =∫[2x 3y2 + 3xy]dxdy，其中x, y [0, 1]，即：
Γ =0dx1[2x 3y2 + 3xy]dy +1dx∫0[2x 3y2 + 3xy]dy
=0dx∫1[2x 3y2 + 3xy]dy +1dx∫0[2x 3y2 + 3xy]dy
=0dx[2x + x 3y2 + 3xy]dy +1dx[2x x 3y2 + 3xy]dy
由于问题中的积分函数f (x, y) = 2x 3y2 + 3xy，根据刚才介绍的偏导数计算方法，于
是我们可以继续计算：
Γ =0dx[2x + x 3y2 + 3xy]dy +1dx[2x x 3y2 + 3xy]dy
=0dx[2x +y(2x + 3xy)]dy +1dx[2xy(2x + 3xy)]dy
=0dx[2x + [3x + 3y (f (x, y)/x)]dy] +1dx[2x [3x + 3y (f (x, y)/x)]dy]
可以看到，最终计算得到的结果依然需要使用原积分函数f (x, y)和其偏导数结果进行
计算，因此我们最终得到了：
- 2 -
Γ =0dx[2x + 3x + 3y (f (x, y)/x)]dy +1dx[2x 3x 3y (f (x, y)/x)]dy
根据偏导数结果，我们可以得到：f (x, y)/x = 3y，f (x, y)/y = 3x，因此Γ =0dx[2x +
9y]dy +1dx[2x 9y]dy。
最后，我们将计算结果进行求和，得到结果：Γ =0dx[2x + 9y]dy +1dx[2x 9y]dy = 3
+ 0 = 3。
从上面的例子中可以看出，使用偏导数计算二重积分虽然比较麻烦，但是可以比较快
速地得到计算结果，特别是当数据很多的情况下，使用偏导数会比直接积分快得多。
总之，本文主要介绍了如何使用偏导数计算二重积分，通过一个例子给出了具体的计
算过程，希望对读者有所帮助。
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