2024年5月19日发(作者：酆丽容)
第一章部分习题及答案
1.证明线段的中点是
仿射不变性.
课后答案网
A'
A'
证明
取等腰三角形ABC(AB=AC)和不等边三角形
B'
D'
C'
B'
D'
C'
图2---3
A′B′C′,如图
2--3.由平面仿射几何的基本定理有一个仿射变换T,使
T(A)=A',T(B)=B',T(C)=C'.设D为线段BC中点,则AD⊥BC,且∠α=
∠
' '
BD
β,设T(D)=D
’
,由T保留简比不变,即（BCD）=（B′C′D′），于是
' '
=
CD
=
－1，因此，D′为线段B′D′中点，即线段中点是仿射不变性。
2．证明三角形的中线是仿射不变性。
精品课【高等几
何】
A'
A
A
F'
E'
F
E
B D
C
B'
C'
D'
图2 —— 4
证明 设仿射变换T将 ABC变为 A′B′C′，D、E、F分别是BC、CA、
AB边的中点，由于仿射变换保留简比不变，所以D′=T（D），E′=T（E），
F′=T（F）分别是B′C′、C′A′、A′B′的中点，因此，A′D′、B′E
′、C′F′是 A′B′C′R的三条中线，如图2
——
4，即三角形的中线是
仿射不变性。
3．证明三角形的重心是仿射不变性。
证明 如图2
——
4所示，设G是 ABC的重心，且G′=T（G）。因为G∈AD，V
由性质2、1.2得G′∈A′D′；又因为（AGD）=（A′G′D′），即
' '
=
AD
=
3
' '
GD
1
同理
B
' 'E
=
' '
=
3
' '
' '
1
∴G′是 A′B′C′的重心，即三角形的重心是仿射不变性。 V
1
精品课【高等几何】
4．角的平分线是不是仿射不变量？
答：不是。如图2
——
6所示。
A
课后答案网
A'
取等腰 ABC（AB=AC）由平面仿射几何的基本定理，存在仿射变换
B D
C
B'
D'
C'
图2
—— 6
T，
使T（A）=A′、T（B）=B′、T（C）=C′。设D为线段BC中点，则AD⊥BC，
且∠α=∠β，但在 A′B′C′中∠α′≠∠β′，否则，A′B′=A′C
′，这与 A′B′C′为不等腰三角形矛盾。因此，角平分线不是仿射不
变性。
5．两直线垂直是不是仿身不变量？
答：不是。在上题中，AD⊥BC但A′D′不垂直于B′C′，这说明两直线
垂直不是不变性。
6．证明梯形在仿射对应下仍为梯形。
证明 如图2
——
7所示，
A
B
A'
B'
D
C
D'
C'
如图2
—— 7
设在仿射对应下，梯形ABCD（AB∥CD，AD‖BC）功能四边形A′B′C′
D′相对应，由于仿射对应保持平性不变，所以A′B′∥C′D′,A′D′‖
B′C′,故A′B′C′D′为梯形，即梯形在仿射对应下仍为梯形。
7．给定点A、B，作出点C
（1）(ABC)=4 (2)(ABC)=-
3
(3)(ABC)=-1
使：
4
解 (1)∵(ABC)=
AC
=
4
即
AB
=3，故点C在AB延长线上，且
BC
1
AC
BC=
1
AB，如图2
——
8所示。
3
A
B C
1
0
2
图 2——8
（2）∵（ABC）=
AC
=-
3
,
BC
4
2
2024年5月19日发(作者：酆丽容)
第一章部分习题及答案
1.证明线段的中点是
仿射不变性.
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A'
A'
证明
取等腰三角形ABC(AB=AC)和不等边三角形
B'
D'
C'
B'
D'
C'
图2---3
A′B′C′,如图
2--3.由平面仿射几何的基本定理有一个仿射变换T,使
T(A)=A',T(B)=B',T(C)=C'.设D为线段BC中点,则AD⊥BC,且∠α=
∠
' '
BD
β,设T(D)=D
’
,由T保留简比不变,即（BCD）=（B′C′D′），于是
' '
=
CD
=
－1，因此，D′为线段B′D′中点，即线段中点是仿射不变性。
2．证明三角形的中线是仿射不变性。
精品课【高等几
何】
A'
A
A
F'
E'
F
E
B D
C
B'
C'
D'
图2 —— 4
证明 设仿射变换T将 ABC变为 A′B′C′，D、E、F分别是BC、CA、
AB边的中点，由于仿射变换保留简比不变，所以D′=T（D），E′=T（E），
F′=T（F）分别是B′C′、C′A′、A′B′的中点，因此，A′D′、B′E
′、C′F′是 A′B′C′R的三条中线，如图2
——
4，即三角形的中线是
仿射不变性。
3．证明三角形的重心是仿射不变性。
证明 如图2
——
4所示，设G是 ABC的重心，且G′=T（G）。因为G∈AD，V
由性质2、1.2得G′∈A′D′；又因为（AGD）=（A′G′D′），即
' '
=
AD
=
3
' '
GD
1
同理
B
' 'E
=
' '
=
3
' '
' '
1
∴G′是 A′B′C′的重心，即三角形的重心是仿射不变性。 V
1
精品课【高等几何】
4．角的平分线是不是仿射不变量？
答：不是。如图2
——
6所示。
A
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A'
取等腰 ABC（AB=AC）由平面仿射几何的基本定理，存在仿射变换
B D
C
B'
D'
C'
图2
—— 6
T，
使T（A）=A′、T（B）=B′、T（C）=C′。设D为线段BC中点，则AD⊥BC，
且∠α=∠β，但在 A′B′C′中∠α′≠∠β′，否则，A′B′=A′C
′，这与 A′B′C′为不等腰三角形矛盾。因此，角平分线不是仿射不
变性。
5．两直线垂直是不是仿身不变量？
答：不是。在上题中，AD⊥BC但A′D′不垂直于B′C′，这说明两直线
垂直不是不变性。
6．证明梯形在仿射对应下仍为梯形。
证明 如图2
——
7所示，
A
B
A'
B'
D
C
D'
C'
如图2
—— 7
设在仿射对应下，梯形ABCD（AB∥CD，AD‖BC）功能四边形A′B′C′
D′相对应，由于仿射对应保持平性不变，所以A′B′∥C′D′,A′D′‖
B′C′,故A′B′C′D′为梯形，即梯形在仿射对应下仍为梯形。
7．给定点A、B，作出点C
（1）(ABC)=4 (2)(ABC)=-
3
(3)(ABC)=-1
使：
4
解 (1)∵(ABC)=
AC
=
4
即
AB
=3，故点C在AB延长线上，且
BC
1
AC
BC=
1
AB，如图2
——
8所示。
3
A
B C
1
0
2
图 2——8
（2）∵（ABC）=
AC
=-
3
,
BC
4
2