2024年5月24日发(作者：普吹)

凹函数的练习题

题目：凹函数的练习题

本题分为四个部分，主要讨论凹函数的基本概念和其在实际问

题中的应用。

第一部分：凹函数的定义

有学者曾将凹函数定义为一种在任意两点之间连线的下方所围

成的几何图形，其表达式具体为：

f(x)≤(f(x_0)+(x-x_0)f’(x_0))

其中， f(x) 是关于定义域的一个实函数，f(x_0) 和 f’(x_0) 分别

为在x_0处函数值和导数，x 为任意实数。

第二部分：凹函数的性质

凹函数不仅具有单调性，还具有以下性质：

1.割线定理

对于凹函数 f(x)，其割线必定在函数图像的下方，并在割线的

另一侧，具有一个以上的切点。

2.二阶导数定理

对凹函数 f(x)，其二阶导数 f’’(x) 必大于等于零，这是因为凹

函数的导数是单调不降的。

3.凸函数的对偶性

凹函数可以与凸函数一样存在一种对偶性，即在取相反数的情

况下，凹函数可以成为凸函数。

第三部分：凹函数的实际应用

凹函数在实际问题中有许多的应用，如下所述：

1.市场需求

市场需求曲线可以被视为一个典型的凹函数，因为随着价格的

下降，需要量将会相应上升，但是上升的速度逐渐变缓。

2.最大化利润

对于一家公司来说，最大化利润是其继续生存的主要内在动力，

而凹函数的知识则可以帮助公司更好地实现自己的目标。尤其是

在物资短缺和竞争加剧的情况下，需要利用凹函数的优势来更有

效地掌握市场经济机会。

3.可扩展性分析

在可扩展性分析中，凹函数的应用也十分广泛，尤其是在研究

可扩展性的目标函数时。例如，通过将函数折线化，我们可以更

加直观地看出函数的变化规律和凹函数的性质。

第四部分：凹函数的应用实例

2024年5月24日发(作者：普吹)

凹函数的练习题

题目：凹函数的练习题

本题分为四个部分，主要讨论凹函数的基本概念和其在实际问

题中的应用。

第一部分：凹函数的定义

有学者曾将凹函数定义为一种在任意两点之间连线的下方所围

成的几何图形，其表达式具体为：

f(x)≤(f(x_0)+(x-x_0)f’(x_0))

其中， f(x) 是关于定义域的一个实函数，f(x_0) 和 f’(x_0) 分别

为在x_0处函数值和导数，x 为任意实数。

第二部分：凹函数的性质

凹函数不仅具有单调性，还具有以下性质：

1.割线定理

对于凹函数 f(x)，其割线必定在函数图像的下方，并在割线的

另一侧，具有一个以上的切点。

2.二阶导数定理

对凹函数 f(x)，其二阶导数 f’’(x) 必大于等于零，这是因为凹

函数的导数是单调不降的。

3.凸函数的对偶性

凹函数可以与凸函数一样存在一种对偶性，即在取相反数的情

况下，凹函数可以成为凸函数。

第三部分：凹函数的实际应用

凹函数在实际问题中有许多的应用，如下所述：

1.市场需求

市场需求曲线可以被视为一个典型的凹函数，因为随着价格的

下降，需要量将会相应上升，但是上升的速度逐渐变缓。

2.最大化利润

对于一家公司来说，最大化利润是其继续生存的主要内在动力，

而凹函数的知识则可以帮助公司更好地实现自己的目标。尤其是

在物资短缺和竞争加剧的情况下，需要利用凹函数的优势来更有

效地掌握市场经济机会。

3.可扩展性分析

在可扩展性分析中，凹函数的应用也十分广泛，尤其是在研究

可扩展性的目标函数时。例如，通过将函数折线化，我们可以更

加直观地看出函数的变化规律和凹函数的性质。

第四部分：凹函数的应用实例