2024年5月28日发(作者：孟仕)
基于2D圆点阵列的摄像机精确标定
摘 要:针对电脑键盘自动组装生产线研制过程中的摄像机标定
问题,提出一种新的摄像机精确标定方法。该方法选用2d圆点阵列
作为靶标,首先在不考虑摄像机镜头畸变的情况下,利用改进的
matlab标定工具箱估计出摄像机参数的初始值;然后考虑摄像机的
镜头畸变,利用改进遗传算法实现对摄像机参数的精确求解。实验
结果表明,该方法是有效可行的。
关键词:计算机视觉摄像机标定圆点阵列靶标遗传优化
abstract:aiming at improving performance of the vision
system for keyboard assembly,a new accurate camera
calibration method is proposed.2d circle array is used to
extract feature points for distortion is
neglected,and modified camera calibration toolbox for matlab
is adopted to compute camera parameters are
taken as initials,and camera model with lens distortion is
resolved by improved genetic
algorithm(ga).consequently,camera parameters with higher
accuracy are ment results indicate the
proposed method is feasible.
key words:computer vision;camera calibration;circle array
target;genetic optimization
随着计算机技术和工业自动化程度的不断提高,采用图像传感器的
视觉技术已被广泛地应用到工业生产过程中。为从图像传感器获取
的二维信息得到与其相对应的三维空间信息,则须确定图像传感器
成像的几何模型。而确定图像传感器的几何模型的过程即是所谓的
摄像机标定[1-3]。目前,摄像机标定大致可分为传统标定法、自标
定法和基于主动视觉的标定法等三大类[2]。这些标定方法采用的
数据处理技术可归结为线性变换、非线性优化和混合优化等三种。
其中,混合优化方案兼顾了线性变换的快速性和非线性优化的准确
性等优点,是近年来较为成功的摄像机标定技术。本文基于混合优
化思想,选用二维圆阵列作为靶标,提出一种基于改进ga的快速而
准确的摄像机标定方法。该方法既能保证标定的精确性,又具有特
征点提取快速、非线性优化过程简便等优点。
1 摄像机模型
1.1 理想摄像机模型
在不考虑镜头畸变的情况下,摄像机的成像可看作小孔成像。由于
小孔成像满足空间点、光心和像点在一条直线上,因此此时的摄像
机成像原理如图1所示。图中,为摄像机焦距;为空间点在图像物理
坐标系下的图像坐标;为空间点在世界坐标系中的坐标;为摄像机
坐标系。
由图1可得,理想针孔摄像机模型可以表述为:
(1)
式中,为任意非零尺度因子;,为对应于的图像像素坐标系下的齐次
坐标;为标准正交矩阵,为向量,分别为表征世界坐标系和摄像机坐
标系之间相对位置关系的旋转矩阵和平移向量,分别用式(2)和(3)
表示;为空间点的齐次坐标;为摄像机内部参数矩阵,可用式(4)表
述,其中和分别为一个像素在图像物理坐标系中沿、方向的物理尺
寸;为主点坐标。
(2)
(3)
(4)
1.2 考虑非线性畸变的摄像机模型
由于光学系统的加工误差和装配误差等因素,因此摄像机成像精度
不可能达到理想针孔摄像机模型的成像精度,即空间点在像平面上
实际位置与理想成像位置间存在一定的畸变误差。畸变误差可分为
三种:偏心畸变、薄棱镜畸变和径向畸变。其中,前两种畸变的存在
将导致成像时的径向偏差和切向偏差;径向畸变的存在仅导致成像
时的径向偏差,且偏差关于光轴对称。
因此,考虑非线性畸变的摄像机模型可表述为:
(5)
式中,是由理想针孔摄像机模型计算出的理想成像点的坐标;为考
虑畸变后的实际成像点的坐标;和为径向畸变;和为偏心畸变;和为
薄棱镜畸变。在工业视觉应用中,径向畸变是影响视觉系统精度的
最主要因素。因此,本文在进行摄像机标定时,仅考虑径向畸变对成
像精度的影响,其标定模型为:
(6)
又,图像像素坐标系和图像物理坐标系之间存在如下关系:
(7)
联立式(2)～(4)、(6)和(7),可得考虑径向畸变的摄像机标定模型
为:
(8)
2 参数求解方法
本文利用2d圆点阵列作为靶标,首先利用matlab标定工具箱估计
出针孔摄像机模型中的摄像机参数,然后以此为初始值,利用改进
ga实现对考虑径向畸变的摄像机参数的优化。
2.1 标定板制作和特征点提取
由于摄像机标定需要借助靶标提供的标定特征点来确定摄像机的
模型参数,所以特征点提取的精度将直接影响摄像机的标定精度。
因此,选用合适的标定板,并设计合理的特征点提取方法是保证视
觉系统正确运行的基础。目前,摄像机标定多采用2d平面靶标,包
括棋盘靶标、网格靶标和圆点阵列靶标等[3]。圆形特征[4-6]因具
有易于检测、中心定位精度高且计算量小等优点,而被广泛应用于
工业机器视觉系统中。本文选用如图2所示的二维圆形点阵列作为
靶标,以圆形特征的中心为标定特征点。将标定板平面看作世界坐
标系的平面,因此标定过程中,所有特征点的坐标可记为0。
标定板上的圆形特征经过成像后通常呈椭圆形。对椭圆中心的定位,
本文采用文献[7]提出的方法,以实现复杂背景下的标定特征点自
动提取,并在matlab环境下开发了圆形特征点坐标自动提取应用程
序extract_circle.m。然后,用该程序替换matlab标定工具箱
toolbox_calib中的矩形角点提取文件extract_grid.m。图3显示
了特征点提取的效果。
2.2 理想摄像机模型求解
对式(1)描述的针孔摄像机模型,运用修改过的matlab标定工具箱
toolbox_calib进行摄像机内、外参数的求解。
本文选用20张从不同角度拍摄的照片作为标定图片。首先将20张
图片读入内存,并提取其特征点,然后运行标定程序,即可得到摄像
机的内、外参数。
2.3 基于改进ga的非线性摄像机模型求解
由于遗传算法的求解过程具有在染色体和目标函数确定后与问题
本身无关的优点,因此容易满足旋转矩阵正交这一约束条件。本文
运用改进的ga,通过以下几个步骤实现对摄像机参数的精确化求
解。
a．参数编码
设、和分别是摄像机坐标系的、和轴绕世界坐标系的、和轴旋转的
角度,由于是标准正交矩阵,故有:
(1-9)
由式(1-9)可得:
(10)
即,可将、和作为遗传基因实现旋转矩阵的精确求解。
因此,针对摄像机参数标定的遗传算法的染色体可构造为:
由于与二进制编码相比,实数编码具有占用存储空间小,且计算精
度高、速度快等优点[8][9],因此本文采用实数编码技术对上述参
数进行编码。
b.种群初始化
各参数的初始值由2.2节计算得出;种群大小设为,的选取要兼顾
算法精度和运行速度。
c.适应度函数设计
适应度函数是影响遗传算法性能的关键因素之一[10]。本文选用空
间点的实际坐标和期望坐标的残差作为适应度函数,如式(11),通
过求取其最小值来获得摄像机参数的优化组合。
(11)
d.选择
传统遗传算法的选择算子运用“适者生存”的思想不能保证遗传算
法收敛于全局最优。为克服这一不足,文献[11]和文献[12]提出了
改进方法,但这些方法都因计算量大而导致运算效率下降。为此,本
文采用一种只需计算子代个体适应值的选择算子,其基本思路是先
对父代种群进行交叉和变异操作,将父代种群的最优个体直接复制
到下一代,然后计算每个子代个体的适应值,并将其从大到小进行
排序,最后按(12)式对每个子代个体进行复制概率的赋值,这样好
的子代个体和差的子代个体均以较大的概率进入下一代,而序号居
中的子代个体则以较大的概率被淘汰。
(12)
式中,为种群大小;
e．交叉和变异
遗传算法在优化多峰函数时应具备两个特征:①在搜索到含最优个
体的区域后能向最优个体收敛;②在进行全局搜索时,具备搜索新
的解空间的能力。以上两个特征之间的平衡关系体现在交叉概率和
变异概率的取值范围上。本文采用自适应交叉和自适应变异的方法
来平衡上述两个特征之间的关系,其交叉概率和变异概率的定义如
下:
(13)
(14)
其中,为当前种群的最大适应值;为当前种群的平均适应值;为两交
叉个体中较大的应值;为进行变异操作的个体的适应值;、和均为交
叉系数,其取值范围为,且满足;、和均变异系数,其取值范围为,且
满足;; 。
由式(13)和(14)可知,这种自适应遗传算法将群体多样性作为控制
变量,且运用个体本身的适应值对个体的交叉率和变异率进行实时
调整。
3 标定实验与结果分析
采用索尼hdr-xr150e,其图像分辨率为640×480,焦距为2.5～
62.5mm,数码变焦300倍,光学变焦25倍。标定环境完全模拟键盘
自动组装线上的视觉系统的工作环境,即主要考虑光照变化对摄像
机标定的影响。因此,在采集标定图像时,首先将标定板放置在光照
强度不同的环境下拍摄10幅图像;然后将标定板放置光照条件良好
但具有不同程度遮挡的环境下拍摄10幅图像。
实验时,将所拍摄的20副图像存入改进的matlab标定工具箱
toolbox_calib中,然后利用toolbox_calib求得摄像机的内参数如
下:
focal length:fc=[965.89531 965.89531]
principal point:cc=[319.50000 239.50000]
skew:alpha_c=[0.00000]=> angle of pixel=90.00000 degrees
distortion:kc=[0.000000.000000.000000.000000.00000]
选取20副图像中的任意1副,可求得摄像机的外参数如下:
translation vector:tc_ext
=[-279.064621 -291.828667 1453.950915]
rotation vector:
omc_ext=[2.171701 2.138509 -0.122121]
rotation matrix:
rc_ext=[0.015826 0.999850 0.007016
0.992552 -0.014862 -0.120915
-0.120793 0.008877 -0.992638]
pixel error:err=[0.53018 0.86471]
以上述摄像机的内参数为初值,外参数的范围依据实际情况进行认
为设定,、和的范围设为-10°～10°,和的范围设为-300～300mm,
的范围设为0～1800mm,运用改进的ga对摄像机参数进行优化,经过
32代优化后各参数基本不再发生变化。表1给出了采用文献[6]和
本文方法经过32代优化后的摄像机内参数。
根据得到的精确摄像机内参数,对拍摄20副图像进行处理,每个特
征点实际坐标和计算坐标之间的误差,其平均值为[0.19835
0.26331]。
上述实验结果表明,本文所提出的摄像机标定方法能满足键盘自动
组装对视觉系统精度的要求。
4 结语
采用2d平面圆点阵列作为靶标,并通过自动对多幅图像进行处理
来实现特征点的自动提取。利用该思想对标准matlab标定工具箱
toolbox_calib进行改进,然后用其实现了线性摄像机模型的求解。
以此为基础,运用基于多目标优化的自适应遗传算法实现了对非线
性摄像机模型的精确求解。实验表明,本文提出的摄像机标定方法
能实现摄像机参数的快速而准确的标定,为实现视觉系统的可靠工
作奠定了基础。
参考文献
[1] zhang calibration with one-dimensional
objects[j]. ieee trans on pattern analysis and machine
intelligence, 2004,26(7):892-899.
[2] qu x j,zhang l,meng b,et al.a new camera calibration
method based on two stages distortion model[j].internal
conference of information science and management
engineering,2010,12:125-129.
[3] 张广军.视觉测量[m].北京:科学出版社,2008.
[4] .a flexible new technique for camera
calibration[j].ieee pattern analysis and machine
intelligence,2000,22(11):1330-1334.
[5] alvarez l,salgado a,sanchez detection and
ordering of ellipse on a calibration pattern[j].pattern
recognition and image analysis,2007,17(4):508-522.
[6] 杨洁,闫清东,马越.基于matlab/simulink的二维圆标定方
法.计算机应用,2010,30(6):1610-1612.
[7] 夏瑞雪,卢荣胜,刘宁,等.基于圆点阵列靶标的特征点坐标
自动提取方法[j].中国机械工程,2010,21(16):1906-1910.
[8] tomioka s,nisiyama s and enoto ear least square
regression by adaptive domain method with multiple genetic
algorithms[j].ieee evolutionary computation,
2007,11:1-16.
[9] roy r,ghoshal s p and bhatt ionary computation
based four-area automatic generation control in restructured
environment[j]. third internal conference on power
systems(icps 09),2009:1-6.
[10] 王小平,曹立明.遗传算法—理论、应用与软件实现[m]. 西
安交通大学出版社,2002:28.
[11] kuo t,hwang s y.a genetic algorithm with disruptive
selection[j].ieee systems,man and
cybernetics,1996,26(2):299-307.
[12] liu z m,zhou j l and lan adaptive genetic
algorithm based on ranking[c]// the second
international conference on machine learning and cybernetics,
xi’an,china,2003,3:1841-1844.
2024年5月28日发(作者：孟仕)
基于2D圆点阵列的摄像机精确标定
摘 要:针对电脑键盘自动组装生产线研制过程中的摄像机标定
问题,提出一种新的摄像机精确标定方法。该方法选用2d圆点阵列
作为靶标,首先在不考虑摄像机镜头畸变的情况下,利用改进的
matlab标定工具箱估计出摄像机参数的初始值;然后考虑摄像机的
镜头畸变,利用改进遗传算法实现对摄像机参数的精确求解。实验
结果表明,该方法是有效可行的。
关键词:计算机视觉摄像机标定圆点阵列靶标遗传优化
abstract:aiming at improving performance of the vision
system for keyboard assembly,a new accurate camera
calibration method is proposed.2d circle array is used to
extract feature points for distortion is
neglected,and modified camera calibration toolbox for matlab
is adopted to compute camera parameters are
taken as initials,and camera model with lens distortion is
resolved by improved genetic
algorithm(ga).consequently,camera parameters with higher
accuracy are ment results indicate the
proposed method is feasible.
key words:computer vision;camera calibration;circle array
target;genetic optimization
随着计算机技术和工业自动化程度的不断提高,采用图像传感器的
视觉技术已被广泛地应用到工业生产过程中。为从图像传感器获取
的二维信息得到与其相对应的三维空间信息,则须确定图像传感器
成像的几何模型。而确定图像传感器的几何模型的过程即是所谓的
摄像机标定[1-3]。目前,摄像机标定大致可分为传统标定法、自标
定法和基于主动视觉的标定法等三大类[2]。这些标定方法采用的
数据处理技术可归结为线性变换、非线性优化和混合优化等三种。
其中,混合优化方案兼顾了线性变换的快速性和非线性优化的准确
性等优点,是近年来较为成功的摄像机标定技术。本文基于混合优
化思想,选用二维圆阵列作为靶标,提出一种基于改进ga的快速而
准确的摄像机标定方法。该方法既能保证标定的精确性,又具有特
征点提取快速、非线性优化过程简便等优点。
1 摄像机模型
1.1 理想摄像机模型
在不考虑镜头畸变的情况下,摄像机的成像可看作小孔成像。由于
小孔成像满足空间点、光心和像点在一条直线上,因此此时的摄像
机成像原理如图1所示。图中,为摄像机焦距;为空间点在图像物理
坐标系下的图像坐标;为空间点在世界坐标系中的坐标;为摄像机
坐标系。
由图1可得,理想针孔摄像机模型可以表述为:
(1)
式中,为任意非零尺度因子;,为对应于的图像像素坐标系下的齐次
坐标;为标准正交矩阵,为向量,分别为表征世界坐标系和摄像机坐
标系之间相对位置关系的旋转矩阵和平移向量,分别用式(2)和(3)
表示;为空间点的齐次坐标;为摄像机内部参数矩阵,可用式(4)表
述,其中和分别为一个像素在图像物理坐标系中沿、方向的物理尺
寸;为主点坐标。
(2)
(3)
(4)
1.2 考虑非线性畸变的摄像机模型
由于光学系统的加工误差和装配误差等因素,因此摄像机成像精度
不可能达到理想针孔摄像机模型的成像精度,即空间点在像平面上
实际位置与理想成像位置间存在一定的畸变误差。畸变误差可分为
三种:偏心畸变、薄棱镜畸变和径向畸变。其中,前两种畸变的存在
将导致成像时的径向偏差和切向偏差;径向畸变的存在仅导致成像
时的径向偏差,且偏差关于光轴对称。
因此,考虑非线性畸变的摄像机模型可表述为:
(5)
式中,是由理想针孔摄像机模型计算出的理想成像点的坐标;为考
虑畸变后的实际成像点的坐标;和为径向畸变;和为偏心畸变;和为
薄棱镜畸变。在工业视觉应用中,径向畸变是影响视觉系统精度的
最主要因素。因此,本文在进行摄像机标定时,仅考虑径向畸变对成
像精度的影响,其标定模型为:
(6)
又,图像像素坐标系和图像物理坐标系之间存在如下关系:
(7)
联立式(2)～(4)、(6)和(7),可得考虑径向畸变的摄像机标定模型
为:
(8)
2 参数求解方法
本文利用2d圆点阵列作为靶标,首先利用matlab标定工具箱估计
出针孔摄像机模型中的摄像机参数,然后以此为初始值,利用改进
ga实现对考虑径向畸变的摄像机参数的优化。
2.1 标定板制作和特征点提取
由于摄像机标定需要借助靶标提供的标定特征点来确定摄像机的
模型参数,所以特征点提取的精度将直接影响摄像机的标定精度。
因此,选用合适的标定板,并设计合理的特征点提取方法是保证视
觉系统正确运行的基础。目前,摄像机标定多采用2d平面靶标,包
括棋盘靶标、网格靶标和圆点阵列靶标等[3]。圆形特征[4-6]因具
有易于检测、中心定位精度高且计算量小等优点,而被广泛应用于
工业机器视觉系统中。本文选用如图2所示的二维圆形点阵列作为
靶标,以圆形特征的中心为标定特征点。将标定板平面看作世界坐
标系的平面,因此标定过程中,所有特征点的坐标可记为0。
标定板上的圆形特征经过成像后通常呈椭圆形。对椭圆中心的定位,
本文采用文献[7]提出的方法,以实现复杂背景下的标定特征点自
动提取,并在matlab环境下开发了圆形特征点坐标自动提取应用程
序extract_circle.m。然后,用该程序替换matlab标定工具箱
toolbox_calib中的矩形角点提取文件extract_grid.m。图3显示
了特征点提取的效果。
2.2 理想摄像机模型求解
对式(1)描述的针孔摄像机模型,运用修改过的matlab标定工具箱
toolbox_calib进行摄像机内、外参数的求解。
本文选用20张从不同角度拍摄的照片作为标定图片。首先将20张
图片读入内存,并提取其特征点,然后运行标定程序,即可得到摄像
机的内、外参数。
2.3 基于改进ga的非线性摄像机模型求解
由于遗传算法的求解过程具有在染色体和目标函数确定后与问题
本身无关的优点,因此容易满足旋转矩阵正交这一约束条件。本文
运用改进的ga,通过以下几个步骤实现对摄像机参数的精确化求
解。
a．参数编码
设、和分别是摄像机坐标系的、和轴绕世界坐标系的、和轴旋转的
角度,由于是标准正交矩阵,故有:
(1-9)
由式(1-9)可得:
(10)
即,可将、和作为遗传基因实现旋转矩阵的精确求解。
因此,针对摄像机参数标定的遗传算法的染色体可构造为:
由于与二进制编码相比,实数编码具有占用存储空间小,且计算精
度高、速度快等优点[8][9],因此本文采用实数编码技术对上述参
数进行编码。
b.种群初始化
各参数的初始值由2.2节计算得出;种群大小设为,的选取要兼顾
算法精度和运行速度。
c.适应度函数设计
适应度函数是影响遗传算法性能的关键因素之一[10]。本文选用空
间点的实际坐标和期望坐标的残差作为适应度函数,如式(11),通
过求取其最小值来获得摄像机参数的优化组合。
(11)
d.选择
传统遗传算法的选择算子运用“适者生存”的思想不能保证遗传算
法收敛于全局最优。为克服这一不足,文献[11]和文献[12]提出了
改进方法,但这些方法都因计算量大而导致运算效率下降。为此,本
文采用一种只需计算子代个体适应值的选择算子,其基本思路是先
对父代种群进行交叉和变异操作,将父代种群的最优个体直接复制
到下一代,然后计算每个子代个体的适应值,并将其从大到小进行
排序,最后按(12)式对每个子代个体进行复制概率的赋值,这样好
的子代个体和差的子代个体均以较大的概率进入下一代,而序号居
中的子代个体则以较大的概率被淘汰。
(12)
式中,为种群大小;
e．交叉和变异
遗传算法在优化多峰函数时应具备两个特征:①在搜索到含最优个
体的区域后能向最优个体收敛;②在进行全局搜索时,具备搜索新
的解空间的能力。以上两个特征之间的平衡关系体现在交叉概率和
变异概率的取值范围上。本文采用自适应交叉和自适应变异的方法
来平衡上述两个特征之间的关系,其交叉概率和变异概率的定义如
下:
(13)
(14)
其中,为当前种群的最大适应值;为当前种群的平均适应值;为两交
叉个体中较大的应值;为进行变异操作的个体的适应值;、和均为交
叉系数,其取值范围为,且满足;、和均变异系数,其取值范围为,且
满足;; 。
由式(13)和(14)可知,这种自适应遗传算法将群体多样性作为控制
变量,且运用个体本身的适应值对个体的交叉率和变异率进行实时
调整。
3 标定实验与结果分析
采用索尼hdr-xr150e,其图像分辨率为640×480,焦距为2.5～
62.5mm,数码变焦300倍,光学变焦25倍。标定环境完全模拟键盘
自动组装线上的视觉系统的工作环境,即主要考虑光照变化对摄像
机标定的影响。因此,在采集标定图像时,首先将标定板放置在光照
强度不同的环境下拍摄10幅图像;然后将标定板放置光照条件良好
但具有不同程度遮挡的环境下拍摄10幅图像。
实验时,将所拍摄的20副图像存入改进的matlab标定工具箱
toolbox_calib中,然后利用toolbox_calib求得摄像机的内参数如
下:
focal length:fc=[965.89531 965.89531]
principal point:cc=[319.50000 239.50000]
skew:alpha_c=[0.00000]=> angle of pixel=90.00000 degrees
distortion:kc=[0.000000.000000.000000.000000.00000]
选取20副图像中的任意1副,可求得摄像机的外参数如下:
translation vector:tc_ext
=[-279.064621 -291.828667 1453.950915]
rotation vector:
omc_ext=[2.171701 2.138509 -0.122121]
rotation matrix:
rc_ext=[0.015826 0.999850 0.007016
0.992552 -0.014862 -0.120915
-0.120793 0.008877 -0.992638]
pixel error:err=[0.53018 0.86471]
以上述摄像机的内参数为初值,外参数的范围依据实际情况进行认
为设定,、和的范围设为-10°～10°,和的范围设为-300～300mm,
的范围设为0～1800mm,运用改进的ga对摄像机参数进行优化,经过
32代优化后各参数基本不再发生变化。表1给出了采用文献[6]和
本文方法经过32代优化后的摄像机内参数。
根据得到的精确摄像机内参数,对拍摄20副图像进行处理,每个特
征点实际坐标和计算坐标之间的误差,其平均值为[0.19835
0.26331]。
上述实验结果表明,本文所提出的摄像机标定方法能满足键盘自动
组装对视觉系统精度的要求。
4 结语
采用2d平面圆点阵列作为靶标,并通过自动对多幅图像进行处理
来实现特征点的自动提取。利用该思想对标准matlab标定工具箱
toolbox_calib进行改进,然后用其实现了线性摄像机模型的求解。
以此为基础,运用基于多目标优化的自适应遗传算法实现了对非线
性摄像机模型的精确求解。实验表明,本文提出的摄像机标定方法
能实现摄像机参数的快速而准确的标定,为实现视觉系统的可靠工
作奠定了基础。
参考文献
[1] zhang calibration with one-dimensional
objects[j]. ieee trans on pattern analysis and machine
intelligence, 2004,26(7):892-899.
[2] qu x j,zhang l,meng b,et al.a new camera calibration
method based on two stages distortion model[j].internal
conference of information science and management
engineering,2010,12:125-129.
[3] 张广军.视觉测量[m].北京:科学出版社,2008.
[4] .a flexible new technique for camera
calibration[j].ieee pattern analysis and machine
intelligence,2000,22(11):1330-1334.
[5] alvarez l,salgado a,sanchez detection and
ordering of ellipse on a calibration pattern[j].pattern
recognition and image analysis,2007,17(4):508-522.
[6] 杨洁,闫清东,马越.基于matlab/simulink的二维圆标定方
法.计算机应用,2010,30(6):1610-1612.
[7] 夏瑞雪,卢荣胜,刘宁,等.基于圆点阵列靶标的特征点坐标
自动提取方法[j].中国机械工程,2010,21(16):1906-1910.
[8] tomioka s,nisiyama s and enoto ear least square
regression by adaptive domain method with multiple genetic
algorithms[j].ieee evolutionary computation,
2007,11:1-16.
[9] roy r,ghoshal s p and bhatt ionary computation
based four-area automatic generation control in restructured
environment[j]. third internal conference on power
systems(icps 09),2009:1-6.
[10] 王小平,曹立明.遗传算法—理论、应用与软件实现[m]. 西
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