2024年6月6日发(作者：佛志业)

排列与组合

经典精讲

1.排列的定义:从n个不同元素中,任取m个元素,按照一定的顺序排成一列,叫做从n个不同

元素中取出m个元素的一个排列.

2.组合的定义:从n个不同元素中,任取m个元素,并成一组,叫做从n个不同元素中取出m个

元素的一个组合.

m

3.排列数公式:

A

n

n(n1)(n2)L(nm1)

n!



(nm)!

m

4.组合数公式:

C

m



A

n



n(n1)(n2)L(nm1)

n

m

m!

A

m

n!



m!(nm)!

5.组合数的两个性质

mnm0

C

n

C

n

规定：

C

n

1

mmm1

C

n

1

C

n

C

n

排列与组合的区别与联系:与顺序有关的为排列问题,与顺序无关的为组合问题.

例1. 从分别写有1、3、5、7、9的五张卡片中任取两张，作成一道两个一位数的乘法

题，问：

①有多少个不同的乘积？

②有多少个不同的乘法算式？

解： ①要考虑有多少个不同乘积.由于只要从5张卡片中取两张，就可以得到一个乘积，

因为乘法的交换率，有多少个乘积只与所取的卡片有关，而与卡片取出的顺序无关，所以这

是一个组合问题.

由组合数公式得到，共有 个不同的乘积.

②要考虑有多少个不同的乘法算式，它不仅与两张卡片上的数字有关，而且与取到两张

卡片的顺序有关，所以这是一个排列问题.

2

由排列数公式，共有P5＝ 5×4＝20种不同的乘法算式.

点评：看准是排列还是组合，剩下的就是简单计算了。

例2. 如下图，问：①下左图中，共有多少条线段？②下右图中，共有多少个角？

解：①在线段AB上共有7个点（包括端点A、B）.注意到，只要在这七个点中选出两个

点，就有一条以这两个点为端点的线段，而与选这两个端点的顺序无关，所以，这是一个组

合问题

由组合数公式知，共有

条不同的线段；

23

②从O点出发的射线一共有11条，它们是OA， OP1，OP，OP，…，OP9，OB.注意到每

两条射线可以形成一个角，所以，只要看从11条射线中取两条射线有多少种取法，就有多

22

少个角.显然，是组合问题，共有C11种不同的取法，所以，可组成C11个角.

由组合数公式知，共有

点评：在几何计数当中也用到了很多排列组合的方法。

此题可拓展常用的数线段，数三角形，数正方形、数长方形的公式和方法

例3. 国家举行足球赛，共15个队参加.比赛时，先分成两个组，第一组8个队，第二

组7个队.各组都进行单循环赛（即每个队要同本组的其他各队比赛一场）.然后再由

各组的前两名共4个队进行单循环赛，决出冠亚军.问：①共需比赛多少场？②如果实

行主客场制（即A、B两个队比赛时，既要在A队所在的城市比赛一场，也要在B队所

在的城市比赛一场），共需比赛多少场？

解：①实行单循环赛，比赛的所有场次包括三类：第一组中比赛的场次，第二组中比赛

的场次，决赛时比赛的场次.总 的场次计算要用加法原理。

第一组中8个队，每两队比赛一场，8个队里边选2两个队，是组合问题，所以共比赛

22

C8场；第二组中7个队，每两队比赛一场，所以共比赛C7场；决赛中4个队，每两队比

2

赛一场，所以共比赛C4场.

实行单循环赛共比赛

②由于是实行主客场制，每两个队之间要比赛两场，比赛场次是①中的2倍.

另外，还可以用排列的知识来解决.由于主客场制不仅与参赛的队有关，而且与比赛所

22

在的城市（即与顺序）有关.所以，第一组共比赛P8场，第二组共比赛P7场，决赛时共比

2

赛P4场.

222

实行主客场制，共需比赛2×（C8＋C7＋C4）＝110（场）.

222

或解为：P8＋P7＋P4＝8×7＋7×6＋4×3＝56＋42＋12＝110（场）.

2024年6月6日发(作者：佛志业)

排列与组合

经典精讲

1.排列的定义:从n个不同元素中,任取m个元素,按照一定的顺序排成一列,叫做从n个不同

元素中取出m个元素的一个排列.

2.组合的定义:从n个不同元素中,任取m个元素,并成一组,叫做从n个不同元素中取出m个

元素的一个组合.

m

3.排列数公式:

A

n

n(n1)(n2)L(nm1)

n!



(nm)!

m

4.组合数公式:

C

m



A

n



n(n1)(n2)L(nm1)

n

m

m!

A

m

n!



m!(nm)!

5.组合数的两个性质

mnm0

C

n

C

n

规定：

C

n

1

mmm1

C

n

1

C

n

C

n

排列与组合的区别与联系:与顺序有关的为排列问题,与顺序无关的为组合问题.

例1. 从分别写有1、3、5、7、9的五张卡片中任取两张，作成一道两个一位数的乘法

题，问：

①有多少个不同的乘积？

②有多少个不同的乘法算式？

解： ①要考虑有多少个不同乘积.由于只要从5张卡片中取两张，就可以得到一个乘积，

因为乘法的交换率，有多少个乘积只与所取的卡片有关，而与卡片取出的顺序无关，所以这

是一个组合问题.

由组合数公式得到，共有 个不同的乘积.

②要考虑有多少个不同的乘法算式，它不仅与两张卡片上的数字有关，而且与取到两张

卡片的顺序有关，所以这是一个排列问题.

2

由排列数公式，共有P5＝ 5×4＝20种不同的乘法算式.

点评：看准是排列还是组合，剩下的就是简单计算了。

例2. 如下图，问：①下左图中，共有多少条线段？②下右图中，共有多少个角？

解：①在线段AB上共有7个点（包括端点A、B）.注意到，只要在这七个点中选出两个

点，就有一条以这两个点为端点的线段，而与选这两个端点的顺序无关，所以，这是一个组

合问题

由组合数公式知，共有

条不同的线段；

23

②从O点出发的射线一共有11条，它们是OA， OP1，OP，OP，…，OP9，OB.注意到每

两条射线可以形成一个角，所以，只要看从11条射线中取两条射线有多少种取法，就有多

22

少个角.显然，是组合问题，共有C11种不同的取法，所以，可组成C11个角.

由组合数公式知，共有

点评：在几何计数当中也用到了很多排列组合的方法。

此题可拓展常用的数线段，数三角形，数正方形、数长方形的公式和方法

例3. 国家举行足球赛，共15个队参加.比赛时，先分成两个组，第一组8个队，第二

组7个队.各组都进行单循环赛（即每个队要同本组的其他各队比赛一场）.然后再由

各组的前两名共4个队进行单循环赛，决出冠亚军.问：①共需比赛多少场？②如果实

行主客场制（即A、B两个队比赛时，既要在A队所在的城市比赛一场，也要在B队所

在的城市比赛一场），共需比赛多少场？

解：①实行单循环赛，比赛的所有场次包括三类：第一组中比赛的场次，第二组中比赛

的场次，决赛时比赛的场次.总 的场次计算要用加法原理。

第一组中8个队，每两队比赛一场，8个队里边选2两个队，是组合问题，所以共比赛

22

C8场；第二组中7个队，每两队比赛一场，所以共比赛C7场；决赛中4个队，每两队比

2

赛一场，所以共比赛C4场.

实行单循环赛共比赛

②由于是实行主客场制，每两个队之间要比赛两场，比赛场次是①中的2倍.

另外，还可以用排列的知识来解决.由于主客场制不仅与参赛的队有关，而且与比赛所

22

在的城市（即与顺序）有关.所以，第一组共比赛P8场，第二组共比赛P7场，决赛时共比

2

赛P4场.

222

实行主客场制，共需比赛2×（C8＋C7＋C4）＝110（场）.

222

或解为：P8＋P7＋P4＝8×7＋7×6＋4×3＝56＋42＋12＝110（场）.