2024年10月21日发(作者:惠琴轩)
1 两个计数原理的灵活应用
计数问题是数学中的重要研究对象,除了分类加法计数原理和分步乘法计数原理的理论支持,
对于较复杂的计数问题要针对其问题特点,灵活的运用列举法、列表法、树形图法等方法来
帮助解决,使问题的解决更加实用、直观.下面通过典例来说明.1.列举法
例1 某公司电脑采购员计划用不超过300元的资金购买单价分别为20元、40元的鼠标和键
盘,根据需要,鼠标至少买5个,键盘至少买3个,则不同的选购方式共有( )
A.7种 B.8种 C.9种 D.10种
解析 依据选购鼠标和键盘的不同个数分类列举求解.
若买5个鼠标,则可买键盘3、4、5个;
若买6个鼠标,则可买键盘3、4个;
若买7个鼠标,则可买键盘3、4个;
若买8个鼠标,则可买键盘3个;
若买9个鼠标,则可买键盘3个.
根据分类加法计数原理,不同的选购方式共有3+2+2+1+1=9种.故选C.
答案 C
点评 本题背景中的数量不少,要找出关键数字,通过恰当分类和列举可得.列举看似简单,
但在解决问题中显示出其实用性,并且我们还可以通过列举的方法去寻求问题中的规律.
2.树形图法
例2 甲、乙、丙三人传球,从甲开始传出,并记为第一次,经过5次传球,球恰好回到甲
手中,则不同的传球方法的种数是( )
A.6 B.8 C.10 D.15
解析 本题数字不大,可用树形图法,结果一目了然.
如图,易知选C.
1
答案 C
点评 应用两个计数原理时,如果涉及的问题较抽象,且数量不太多时,可以用树状结构直
观体现.
3.列表法
例3 四个人各写一张贺年卡,放在一起,然后每个人取一张不是自己写的贺年卡,共有多
少种不同的取法?
解 把四个人分别编号①、②、③、④,他们写的4张贺年卡的各种方法全部列举出来,如
下表:
四个人
①
②
③
④
方法编号
由表格可知,共有9种不同的方法.
点评 本题是一个错排问题,难以直接运用两个计数原理计算.借助表格,把各种情况一一列
出,使问题直观解决.
4.直接法
例4 已知某容器中,H有3种同位素,Cl有2种同位素,Na有3种同位素,O有4种同位
素,请问共可组成多少种HCl和NaOH?
解 因为HCl分子由两种元素构成,所以分两步完成:
第1步,选择氢元素,共有3种;
第2步,选择氯元素,共有2种.
由分步乘法计数原理得出有6种HCl.
同理,对于NaOH而言,分三步完成:
第1步,选择钠元素,有3种选法;
第2步,选择氧元素,有4种选法;
第3步,选择氢元素,有3种选法.
2
取贺年卡的方法
2
1
4
3
1
2
3
4
1
2
2
4
1
3
3
3
1
4
2
4
3
4
1
2
5
3
4
2
1
6
4
1
2
3
7
4
3
1
2
8
4
3
2
1
9
由分步乘法计数原理知,
共有NaOH种数为3×4×3=36.
点评 当问题情景中的规律明显,已符合分类加法计数原理或分步乘法计数原理中的某一类
型时,可直接应用公式计算结果,但此法的关键是分清是“分类”还是“分步”问题.
2 排列、组合的破解之术
排列、组合,说它难吧,其实挺简单的,就是分析事件的逻辑步骤,然后用乘法原理、加法
原理计算就可.说简单吧,排列、组合却是同学们(包括很多学习很好的同学)最没把握的事情,
同样难度的几道题,做顺了,三下五除二,几分钟内解决问题;做不顺,则如一团乱麻,很
长时间也理不顺思路.下面谈谈破解常见排列、组合模型的常用方法!
一、特殊元素——优先法
对于有特殊要求的元素的排列、组合问题,一般应对有特殊要求的元素优先考虑.
例1 将数字1,2,3,4,5,6排成一列,记第i个数为a
i
(i=1,2,…,6),若a
1
≠1,a
3
≠3,a
5
≠5,
a
1
3 5 ,则不同的排列方法有________种(用数字作答). 解析 由题意,a 1 ≠1,a 3 ≠3,a 5 ≠5,a 1 3 5 . 第一步,可以先排a 1 ,a 3 ,a 5 ,只有5种方法; 第二步,再排a 2 ,a 4 ,a 6 ,有A 3 3 种方法. 由乘法原理得,不同的排列方法有5A 3 3 =30(种). 答案 30 二、相邻问题——捆绑法 把相邻的若干个特殊元素“捆绑”为一个大元素,然后再与其余“普通元素”全排列,最后 再“松绑”,将特殊元素在这些位置上全排列. 例2 记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照,要求排成一排,2位老人相邻但不排 在两端,不同的排法共有( ) A.1 440种 C.720种 B.960种 D.480种 5 解析 先将两位老人排在一起有A 2 2 种排法,再将5名志愿者排在一起有A 5 种排法,最后将 两位老人插入5名志愿者间的4个空位中有C 1 不同 4 种插入方法,由分步乘法计数原理可得, 的排法有A 2 A 5 C 1 2 · 5 · 4 =960(种). 答案 B 三、不相邻问题——插空法 某些元素不能相邻或某些元素要在某个特殊位置时可采用插空法,即先安排好没有限制条件 的元素,然后再把有限制条件的元素按要求插入排好的元素之间. 3 例3 高三(一)班需要安排毕业晚会的4个音乐节目,2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺 序,要求两个舞蹈节目不连排,则不同排法的种数是( ) A.1 800 C.4 320 B.3 600 D.5 040 解析 先排4个音乐节目和1个曲艺节目有A 5 这5个节目之间以及两端共有6个空 5 种方法, 5 位,从中选两个放入舞蹈节目,共有A 2 A 2 6 种放法.所以两个舞蹈节目不相邻的排法共有A 5 · 6 = 3 600(种). 答案 B 四、至多至少问题——间接法 对于某些排列、组合问题的正面情况较复杂而其反面情况较简单,可先考虑无限制条件的排 列,再减去其反面情况的种数. 例4 从班委会5名成员中选出3名,分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员,其中 甲、乙二人不能担任文娱委员,则不同的选法共有________种.(用数字作答) 解析 从班委会5名成员中选出3名,分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员共有A 3 5 212 种选法,其中甲、乙中有一人担任文娱委员的选法有C 1 故共有A 3 2 A 4 种, 5 -C 2 A 4 =36(种)选法. 答案 36 五、多类元素组合——分类取出 当题目中元素较多,取出的情况也有多种时,可按结果要求,分成不相容的几类情况分别计 算,最后总计. 例5 如图,用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色,每个格子涂一种颜色,要求最多使 用3种颜色且相邻的两个格子颜色不同,则不同的涂色方法共有________种.(用数字作答) 3 解析 如果用两种颜色,则有C 2 6 种颜色可以选择,涂法有2种.如果用3种颜色涂色有C 6 种 1 颜色可以选择,涂法有C 1 C 1 3 · 2 (C 2 +1)=18(种). 所以,不同涂色种数为C 2 2+C 3 18=390(种). 6 · 6 · 答案 390 六、排列、组合混合——先选后排 对于排列与组合的混合问题,宜先用组合选取元素,再进行排列. 例6 某校安排5个班到4个工厂进行社会实践,每个班去一个工厂,每个工厂至少安排一 个班,不同的安排方法共有________种.(用数字作答) 111 C 2 5 C 3 C 2 C 1 解析 首先把5个班分成4组,即2,1,1,1,有种方法.然后把4组分配到4个工厂, A 3 3 每个工厂安排一组有 111 C 2 5 C 3 C 2 C 1 4 A 4 种方法.由分步乘法计数原理可得不同的安排方法有·A 4 3 4 = A 3 4 240(种). 答案 240 3 正方体中的计数问题 在解决关于正方体的排列、组合问题时,要善于利用几何性质,借助图形帮助思考,这对解 决问题将起到事半功倍的效果.下面举例说明: 例1 从正方体的6个面中选取3个面,其中有2个面不相邻的选法共有( ) A.8种 B.12种 C.16种 D.20种 解析 从正方体的6个面中任取3个面共有C 3 6 种不同选法,其中3个面均相邻的选法共有8 种(此时三个面共于一个顶点),故符合题意的选法共有C 3 6 -8=12(种). 答案 B 变式训练1 正方体的一条对角线与它的12条棱组成的异面直线共有________对. 答案 6 例2 以正方体的顶点为顶点的四面体共有( ) A.70个 B.64个 C.58个 D.52个 解析 正方体8个点中任取4个点共有C 4 8 种,除去4个点共面的情况即可.因为正方体有6 个面,对角面也有6个,所以4个顶点共面有12种情况,故共可构成四面体有C 4 8 -12=58(个). 答案 C 变式训练2 以正方体的顶点为顶点的四棱锥有____个. 答案 48 例3 连接正方体任意两个顶点的直线中异面直线有____________对. 解析 确定一对异面直线需要四个不共面的点,而四个不共面的点可以构成一个四面体,而 一个四面体有三对异面直线,因此“异面直线的对数=3×四面体数”,由于以正方体的顶点 为顶点的四面体共有58个,所以共有异面直线3×58=174(对). 答案 174 变式训练3 过三棱柱任意两个顶点的直线共有15条,其中异面直线有( ) A.18对 B.24对 C.30对 D.36对 答案 D 例4 从正方体的八个顶点中任取三个点为顶点作三角形,其中直角三角形的个数为( ) A.56 B.52 C.48 D.40 解析 由于正方体的各个面都是矩形,而1个矩形有4个直角三角形,因此有对应关系“直 角三角形数=4×矩形数”,正方体共有12个矩形的面,所以直角三角形共有4×12=48(个). 答案 C 5 变式训练4 从正方体的八个顶点中任取三个点为顶点作三角形,其中正三角形的个数为 ________. 答案 8 4 “隔板法”在计数问题中的妙用 “隔板法”在计数问题中有其特殊的适用背景,并且“隔板法”往往会使很复杂的问题得到 巧妙的解决.下面剖析一下隔板法的适用条件,并选择几个实例来加以说明. 一、隔板法的适用条件 排列组合中的相同小球放进不同的盒子、名额分配或相同物品的分配等问题,是排列组合中 的难点问题,这类问题的基本模型是:将n个相同元素分组到m个不同对象中(n≥m),每个 对象至少有一个元素.这类问题必须满足三个条件:①小球必须相同;②盒子必须不同;③每 个盒子至少有一个小球.当满足这三个条件时,我们可以采用隔板法. 二、隔板法的实际应用 应用1 20个相同的小球放入编号为1号、2号、3号的三个盒子里,要求每个盒子都不空, 问有多少种放法? 解 如下图,用“0”表示小球,0000|00000000|00000000 在上图中,在0与0之间的19个空档中插入2块隔板即可将小球分成3组,同时能够保证每 组中至少有一个小球,所以一共有C 2 19 =171种放法. 点评 解决此类问题的关键是,看题目情景是否满足隔板法的条件,若满足,则直接套用公 式即可. 应用2 求方程x 1 +x 2 +x 3 +x 4 =20的正整数解有多少个? 解 该问题转化为:将方程左边的x 1 、x 2 、x 3 、x 4 看成是4个盒子得到的小球数,右边的20 看成是20个相同的小球.这样就相当于20个相同的小球放入4个盒子里,要求每个盒子至少 有一个小球,共有多少种不同的分配方法?这样,类似应用1可知,所以共有C 3 19 =969种. 点评 不定方程x 1 +x 2 +x 3 +…+x m =n(n,m∈N * ,n≥m)的正整数解个数问题可以转化为 “将n个相同元素分给m个不同对象(n≥m),每个对象至少有一个元素”的模型,进而采用 隔板法求解. 整体概括:通过对隔板法的应用,可得下列结论. 结论1:把n个相同的元素分成m组分配给m个人,每组不允许落空,则可将n个元素排成 一排,从n-1个间隔中,选出m-1个插上隔板,每一种隔板的插法对应一种分配方法,则 1 分配方法数N=C m n - 1 . - 结论2:把n个相同的元素分成m组分配给m个人,某些组允许落空,则可将m-1个隔板 1 和n个元素排成一排,每一种隔板的插法对应一种分配方法,则分配方法数N=C m m + n - 1 . - 6 试一试 1.将7个相同的小球放入4个不同的盒子中. (1)不出现空盒时的放入方式共有多少种? (2)可出现空盒时的放入方式共有多少种? 解 (1)将7个相同的小球排成一排,在中间形成的6个空格中插入无区别的3个“隔板”将 球分成4份,每一种插入隔板的方式对应一种球的放入方式,则不同的放入方式共有C 3 6 =20 种. (2)每种放入方式对应于将7个相同的小球与3个相同的“隔板”进行一次排列,即从10个 位置中选3个位置安排隔板,故共有C 3 10 =120种放入方式. 2.某市教委准备在当地的9所重点中学中选派12名优秀青年教师参加在职培训,每所学校至 少一个名额,求不同的分配方案的种数. 解 从结果入手,理解相同元素的分堆问题,设计“隔板法分堆”,将一种分配方法和一个 组合建立一一对应,实际问题化归为组合数求解.该事件的实质为将12个相同的元素分成9 堆,每一堆至少一个元素,“隔板法分堆”,即在12个相同元素构成的11个空中插入8个 隔板,其方法有C 8 11 =165种. 5 排列、组合中的数学思想 方法一 分类讨论思想 例1 如果一个三位正整数形如“a 1 a 2 a 3 ”,满足a 1 2024年10月21日发(作者:惠琴轩) 1 两个计数原理的灵活应用 计数问题是数学中的重要研究对象,除了分类加法计数原理和分步乘法计数原理的理论支持, 对于较复杂的计数问题要针对其问题特点,灵活的运用列举法、列表法、树形图法等方法来 帮助解决,使问题的解决更加实用、直观.下面通过典例来说明.1.列举法 例1 某公司电脑采购员计划用不超过300元的资金购买单价分别为20元、40元的鼠标和键 盘,根据需要,鼠标至少买5个,键盘至少买3个,则不同的选购方式共有( ) A.7种 B.8种 C.9种 D.10种 解析 依据选购鼠标和键盘的不同个数分类列举求解. 若买5个鼠标,则可买键盘3、4、5个; 若买6个鼠标,则可买键盘3、4个; 若买7个鼠标,则可买键盘3、4个; 若买8个鼠标,则可买键盘3个; 若买9个鼠标,则可买键盘3个. 根据分类加法计数原理,不同的选购方式共有3+2+2+1+1=9种.故选C. 答案 C 点评 本题背景中的数量不少,要找出关键数字,通过恰当分类和列举可得.列举看似简单, 但在解决问题中显示出其实用性,并且我们还可以通过列举的方法去寻求问题中的规律. 2.树形图法 例2 甲、乙、丙三人传球,从甲开始传出,并记为第一次,经过5次传球,球恰好回到甲 手中,则不同的传球方法的种数是( ) A.6 B.8 C.10 D.15 解析 本题数字不大,可用树形图法,结果一目了然. 如图,易知选C. 1 答案 C 点评 应用两个计数原理时,如果涉及的问题较抽象,且数量不太多时,可以用树状结构直 观体现. 3.列表法 例3 四个人各写一张贺年卡,放在一起,然后每个人取一张不是自己写的贺年卡,共有多 少种不同的取法? 解 把四个人分别编号①、②、③、④,他们写的4张贺年卡的各种方法全部列举出来,如 下表: 四个人 ① ② ③ ④ 方法编号 由表格可知,共有9种不同的方法. 点评 本题是一个错排问题,难以直接运用两个计数原理计算.借助表格,把各种情况一一列 出,使问题直观解决. 4.直接法 例4 已知某容器中,H有3种同位素,Cl有2种同位素,Na有3种同位素,O有4种同位 素,请问共可组成多少种HCl和NaOH? 解 因为HCl分子由两种元素构成,所以分两步完成: 第1步,选择氢元素,共有3种; 第2步,选择氯元素,共有2种. 由分步乘法计数原理得出有6种HCl. 同理,对于NaOH而言,分三步完成: 第1步,选择钠元素,有3种选法; 第2步,选择氧元素,有4种选法; 第3步,选择氢元素,有3种选法. 2 取贺年卡的方法 2 1 4 3 1 2 3 4 1 2 2 4 1 3 3 3 1 4 2 4 3 4 1 2 5 3 4 2 1 6 4 1 2 3 7 4 3 1 2 8 4 3 2 1 9 由分步乘法计数原理知, 共有NaOH种数为3×4×3=36. 点评 当问题情景中的规律明显,已符合分类加法计数原理或分步乘法计数原理中的某一类 型时,可直接应用公式计算结果,但此法的关键是分清是“分类”还是“分步”问题. 2 排列、组合的破解之术 排列、组合,说它难吧,其实挺简单的,就是分析事件的逻辑步骤,然后用乘法原理、加法 原理计算就可.说简单吧,排列、组合却是同学们(包括很多学习很好的同学)最没把握的事情, 同样难度的几道题,做顺了,三下五除二,几分钟内解决问题;做不顺,则如一团乱麻,很 长时间也理不顺思路.下面谈谈破解常见排列、组合模型的常用方法! 一、特殊元素——优先法 对于有特殊要求的元素的排列、组合问题,一般应对有特殊要求的元素优先考虑. 例1 将数字1,2,3,4,5,6排成一列,记第i个数为a i (i=1,2,…,6),若a 1 ≠1,a 3 ≠3,a 5 ≠5, a 1 3 5 ,则不同的排列方法有________种(用数字作答). 解析 由题意,a 1 ≠1,a 3 ≠3,a 5 ≠5,a 1 3 5 . 第一步,可以先排a 1 ,a 3 ,a 5 ,只有5种方法; 第二步,再排a 2 ,a 4 ,a 6 ,有A 3 3 种方法. 由乘法原理得,不同的排列方法有5A 3 3 =30(种). 答案 30 二、相邻问题——捆绑法 把相邻的若干个特殊元素“捆绑”为一个大元素,然后再与其余“普通元素”全排列,最后 再“松绑”,将特殊元素在这些位置上全排列. 例2 记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照,要求排成一排,2位老人相邻但不排 在两端,不同的排法共有( ) A.1 440种 C.720种 B.960种 D.480种 5 解析 先将两位老人排在一起有A 2 2 种排法,再将5名志愿者排在一起有A 5 种排法,最后将 两位老人插入5名志愿者间的4个空位中有C 1 不同 4 种插入方法,由分步乘法计数原理可得, 的排法有A 2 A 5 C 1 2 · 5 · 4 =960(种). 答案 B 三、不相邻问题——插空法 某些元素不能相邻或某些元素要在某个特殊位置时可采用插空法,即先安排好没有限制条件 的元素,然后再把有限制条件的元素按要求插入排好的元素之间. 3 例3 高三(一)班需要安排毕业晚会的4个音乐节目,2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺 序,要求两个舞蹈节目不连排,则不同排法的种数是( ) A.1 800 C.4 320 B.3 600 D.5 040 解析 先排4个音乐节目和1个曲艺节目有A 5 这5个节目之间以及两端共有6个空 5 种方法, 5 位,从中选两个放入舞蹈节目,共有A 2 A 2 6 种放法.所以两个舞蹈节目不相邻的排法共有A 5 · 6 = 3 600(种). 答案 B 四、至多至少问题——间接法 对于某些排列、组合问题的正面情况较复杂而其反面情况较简单,可先考虑无限制条件的排 列,再减去其反面情况的种数. 例4 从班委会5名成员中选出3名,分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员,其中 甲、乙二人不能担任文娱委员,则不同的选法共有________种.(用数字作答) 解析 从班委会5名成员中选出3名,分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员共有A 3 5 212 种选法,其中甲、乙中有一人担任文娱委员的选法有C 1 故共有A 3 2 A 4 种, 5 -C 2 A 4 =36(种)选法. 答案 36 五、多类元素组合——分类取出 当题目中元素较多,取出的情况也有多种时,可按结果要求,分成不相容的几类情况分别计 算,最后总计. 例5 如图,用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色,每个格子涂一种颜色,要求最多使 用3种颜色且相邻的两个格子颜色不同,则不同的涂色方法共有________种.(用数字作答) 3 解析 如果用两种颜色,则有C 2 6 种颜色可以选择,涂法有2种.如果用3种颜色涂色有C 6 种 1 颜色可以选择,涂法有C 1 C 1 3 · 2 (C 2 +1)=18(种). 所以,不同涂色种数为C 2 2+C 3 18=390(种). 6 · 6 · 答案 390 六、排列、组合混合——先选后排 对于排列与组合的混合问题,宜先用组合选取元素,再进行排列. 例6 某校安排5个班到4个工厂进行社会实践,每个班去一个工厂,每个工厂至少安排一 个班,不同的安排方法共有________种.(用数字作答) 111 C 2 5 C 3 C 2 C 1 解析 首先把5个班分成4组,即2,1,1,1,有种方法.然后把4组分配到4个工厂, A 3 3 每个工厂安排一组有 111 C 2 5 C 3 C 2 C 1 4 A 4 种方法.由分步乘法计数原理可得不同的安排方法有·A 4 3 4 = A 3 4 240(种). 答案 240 3 正方体中的计数问题 在解决关于正方体的排列、组合问题时,要善于利用几何性质,借助图形帮助思考,这对解 决问题将起到事半功倍的效果.下面举例说明: 例1 从正方体的6个面中选取3个面,其中有2个面不相邻的选法共有( ) A.8种 B.12种 C.16种 D.20种 解析 从正方体的6个面中任取3个面共有C 3 6 种不同选法,其中3个面均相邻的选法共有8 种(此时三个面共于一个顶点),故符合题意的选法共有C 3 6 -8=12(种). 答案 B 变式训练1 正方体的一条对角线与它的12条棱组成的异面直线共有________对. 答案 6 例2 以正方体的顶点为顶点的四面体共有( ) A.70个 B.64个 C.58个 D.52个 解析 正方体8个点中任取4个点共有C 4 8 种,除去4个点共面的情况即可.因为正方体有6 个面,对角面也有6个,所以4个顶点共面有12种情况,故共可构成四面体有C 4 8 -12=58(个). 答案 C 变式训练2 以正方体的顶点为顶点的四棱锥有____个. 答案 48 例3 连接正方体任意两个顶点的直线中异面直线有____________对. 解析 确定一对异面直线需要四个不共面的点,而四个不共面的点可以构成一个四面体,而 一个四面体有三对异面直线,因此“异面直线的对数=3×四面体数”,由于以正方体的顶点 为顶点的四面体共有58个,所以共有异面直线3×58=174(对). 答案 174 变式训练3 过三棱柱任意两个顶点的直线共有15条,其中异面直线有( ) A.18对 B.24对 C.30对 D.36对 答案 D 例4 从正方体的八个顶点中任取三个点为顶点作三角形,其中直角三角形的个数为( ) A.56 B.52 C.48 D.40 解析 由于正方体的各个面都是矩形,而1个矩形有4个直角三角形,因此有对应关系“直 角三角形数=4×矩形数”,正方体共有12个矩形的面,所以直角三角形共有4×12=48(个). 答案 C 5 变式训练4 从正方体的八个顶点中任取三个点为顶点作三角形,其中正三角形的个数为 ________. 答案 8 4 “隔板法”在计数问题中的妙用 “隔板法”在计数问题中有其特殊的适用背景,并且“隔板法”往往会使很复杂的问题得到 巧妙的解决.下面剖析一下隔板法的适用条件,并选择几个实例来加以说明. 一、隔板法的适用条件 排列组合中的相同小球放进不同的盒子、名额分配或相同物品的分配等问题,是排列组合中 的难点问题,这类问题的基本模型是:将n个相同元素分组到m个不同对象中(n≥m),每个 对象至少有一个元素.这类问题必须满足三个条件:①小球必须相同;②盒子必须不同;③每 个盒子至少有一个小球.当满足这三个条件时,我们可以采用隔板法. 二、隔板法的实际应用 应用1 20个相同的小球放入编号为1号、2号、3号的三个盒子里,要求每个盒子都不空, 问有多少种放法? 解 如下图,用“0”表示小球,0000|00000000|00000000 在上图中,在0与0之间的19个空档中插入2块隔板即可将小球分成3组,同时能够保证每 组中至少有一个小球,所以一共有C 2 19 =171种放法. 点评 解决此类问题的关键是,看题目情景是否满足隔板法的条件,若满足,则直接套用公 式即可. 应用2 求方程x 1 +x 2 +x 3 +x 4 =20的正整数解有多少个? 解 该问题转化为:将方程左边的x 1 、x 2 、x 3 、x 4 看成是4个盒子得到的小球数,右边的20 看成是20个相同的小球.这样就相当于20个相同的小球放入4个盒子里,要求每个盒子至少 有一个小球,共有多少种不同的分配方法?这样,类似应用1可知,所以共有C 3 19 =969种. 点评 不定方程x 1 +x 2 +x 3 +…+x m =n(n,m∈N * ,n≥m)的正整数解个数问题可以转化为 “将n个相同元素分给m个不同对象(n≥m),每个对象至少有一个元素”的模型,进而采用 隔板法求解. 整体概括:通过对隔板法的应用,可得下列结论. 结论1:把n个相同的元素分成m组分配给m个人,每组不允许落空,则可将n个元素排成 一排,从n-1个间隔中,选出m-1个插上隔板,每一种隔板的插法对应一种分配方法,则 1 分配方法数N=C m n - 1 . - 结论2:把n个相同的元素分成m组分配给m个人,某些组允许落空,则可将m-1个隔板 1 和n个元素排成一排,每一种隔板的插法对应一种分配方法,则分配方法数N=C m m + n - 1 . - 6 试一试 1.将7个相同的小球放入4个不同的盒子中. (1)不出现空盒时的放入方式共有多少种? (2)可出现空盒时的放入方式共有多少种? 解 (1)将7个相同的小球排成一排,在中间形成的6个空格中插入无区别的3个“隔板”将 球分成4份,每一种插入隔板的方式对应一种球的放入方式,则不同的放入方式共有C 3 6 =20 种. (2)每种放入方式对应于将7个相同的小球与3个相同的“隔板”进行一次排列,即从10个 位置中选3个位置安排隔板,故共有C 3 10 =120种放入方式. 2.某市教委准备在当地的9所重点中学中选派12名优秀青年教师参加在职培训,每所学校至 少一个名额,求不同的分配方案的种数. 解 从结果入手,理解相同元素的分堆问题,设计“隔板法分堆”,将一种分配方法和一个 组合建立一一对应,实际问题化归为组合数求解.该事件的实质为将12个相同的元素分成9 堆,每一堆至少一个元素,“隔板法分堆”,即在12个相同元素构成的11个空中插入8个 隔板,其方法有C 8 11 =165种. 5 排列、组合中的数学思想 方法一 分类讨论思想 例1 如果一个三位正整数形如“a 1 a 2 a 3 ”,满足a 1