2024年10月28日发(作者：在螺)
2023
年浙江省金丽衢十二校、七彩阳光高考数学联考试卷（
3
月份）
1.
若集合
A.
2.
若
A.
3.
A.
280
B.
B.
，则
( )
，则
( )
C. D.
B. C.
的展开式中常数项为
( )
D.
C.
160
D.
现有一
4.
“省刻度尺”问题由英国数学游戏大师杜登尼提出：一根
23cm
长的尺子，要能够量出
长度为
1cm
到
23cm
且边长为整数的物体，至少需要
6
个刻度尺子头尾不用刻
根
8cm
的尺子，要能够量出长度为
1cm
到
8cm
且边长为整数的物体，尺子上至少需要有
个刻度
.( )
A.
3
甲有
B.
4
的可能答对问题
A
，
C.
5
的可能答对问题
B
，
D.
6
的可能答对问题记答题者连
5.
班级举行知识竞猜闯关活动，设置了
A
，
B
，
C
三个问题
.
答题者可自行决定答三题顺序
.
续答对两题的概率为
p
，要使得
p
最大，他应该先回答
( )
A.
问题
A
C.
问题
A
，
B
和
C
都可以
6.
在平面直角坐标系上，圆
C
：
两点，，则当
B.
问题
B
D.
问题
C
，直线
( )
与圆
C
交于
A
，
B
的面积最大时，
A.
7.
设
A.
8.
在正方体
A.
，
B.
，
C.
，则
( )
D.
B. C.
中，平面
D.
经过点
B
、
D
，平面经过点
A
、
、所成的锐二面角大小为
( )
，当平面
、分别截正方体所得截面面积最大时，平面
B. C. D.
，则
( )
9.
在平面直角坐标系中，已知点
第1页，共25页
A.
B.
C.
D.
与
在
是直角三角形
方向上的投影向量的坐标为
垂直的单位向量的坐标为或
，则
( )
10.
已知函数
A.
B.
C.
D.
若
11.
设椭圆
有一个零点
在上单调递减
有两个极值点
，则
，，为椭圆
E
上一点，，点
B
，
A
关于
x
轴对称，直线
EA
，
EB
分别与
x
轴交于
M
，
N
两点，则
( )
A.
的最大值为
B.
直线
EA
，
EB
的斜率乘积为定值
C.
若
y
轴上存在点
P
，使得
D.
直线
AN
过定点
12.
已知
A.
C.
13.
已知随机变量
X
服从正态分布
14.
写出一个满足下列条件的正弦型函数，
①最小正周期为；
②
③
在
，
上单调递增；
成立
.
，，且，则
( )
，则
P
的坐标为或
B.
D.
，若
______ .
，则
______ .
15.
将两个形状完全相同的正三棱锥底面重合得到一个六面体，若六面体存在外接球，且
正三棱锥的体积为
1
，则六面体外接球的体积为
______ .
16.
已知椭圆
且，
，椭圆的左右焦点分别为
，过
A
作椭圆
E
的切线
l
，并分别交
，
、
，点为椭圆上一点
于
C
、
D
点
.
连接
第2页，共25页
、
为
______ .
，与交于点
E
，并连接若直线
l
，
AE
的斜率之和为，则点
A
坐标
17.
已知数列
若
若
求数列
，
是以
d
为公差的等差数列，
，求数列
，为的前
n
项和
.
的通项公式；
是以为首项，
4
为公比的等比数列，且，中的部分项组成的数列
的前
n
项和
18.
已知中角
A
，
B
，
C
对应的边分别是
a
，
b
，
c
，已知
，
证明：
求的面积
.
；
19.
如图，四面体
ABCD
中，
BCD
的所成角为
若四面体
ABCD
的体积为
设点
M
在面
BCD
中，
，求
AC
的长；
，
，，
AB
与面
，过
M
作
CD
的平行线，分别交
BC
、
BD
于点
H
、
F
，求面
AFH
与面
ACD
所成夹角的余弦值
.
20.
大坝是一座具有灌溉、防洪、发电、航运、养殖和游览等综合效益的大型水利枢纽工
程
.
为预测渗压值和控制库水位，工程师在水库选取一支编号为
BS3
的渗压计，随机收集
10
个该渗压计管内水位和水库水位监测数据：
样本号
i
水库水位
BS3
渗压计管内水位
总和
并计算得，，
估计该水库中
BS3
号渗压计管内平均水位与水库的平均水位；
第3页，共25页
求该水库
BS3
号渗压计管内水位与水库水位的样本相关系数精确到
某天雨后工程师测量了水库水位，并得到水库的水位为
号渗压计管内水位的估计值
.
；
利用以上数据给出此时
BS3
附：相关系数，，，
21.
设双曲线
的距离为
求双曲线
C
的方程；
若，
的右焦点为，右焦点到双曲线的渐近线
，点
C
在线段
AB
上不含端点，过点
C
分别作双曲线两支的切
连接
PQ
，并过
PQ
的中点
F
分别作双曲线两支的切线，切点分别为线，切点分别为
P
，
D
，
E
，求面积的最小值
.
22.
已知
当
当
设
时，求
时，
，
m
，
单调区间；
恒成立，求
a
的取值范围；
，证明：
第4页，共25页
答案和解析
1.
【答案】
A
【解析】解：因为
因为
所以
故选：
解不等式化简集合
A
，
B
，再利用交集的定义求解作答．
本题主要考查了集合交集运算，属于基础题．
，则
，则，
，
，
2.
【答案】
B
【解析】解：，
，
，
故选：
根据复数运算法则、共轭复数定义即可求得结果．
本题主要考查复数的四则运算，以及共轭复数的定义，属于基础题．
3.
【答案】
A
【解析】解：的展开式中通项为
，
所以要使
当时，
展开式中出现常数项，需
，当时，舍去，
或，
所以常数项为
故选：
第5页，共25页
根据二项式展开式的通项公式，结合两个二项式相乘的特点，
求出
k
，即可求得答案．
本题主要考查二项式定理，属于基础题．
4.
【答案】
B
【解析】解：若有一根
8cm
的尺子，量出长度为
1cm
到
8cm
且为整数的物体，
则当尺子有
4
个刻度时满足条件，
设
x
为长度，
a
为刻度，
b
为刻度对应的数量，则有
，其中
当，，，
，
，
时，
，，
，
，
且
，
，，，，
，
下证，当尺子有
3
个刻度时不能量出
设
所以当
当
当
，
，
，
，
，
且
，
，
的物体长度，
，其中，，，
中有
1
个
0
，
x
的取值至多有
3
个，
或，
x
的取值至多有
2
个，中有
2
个
0
时，
中没有
0
时，
x
的取值有
1
个，
的物体长度．所以
x
取值至多有
6
个，即当尺子有
3
个刻度时不能量出
故选：
将问题转化为组合抽样思维，设
x
为长度，
a
为刻度，
b
为刻度对应的数量，则当尺子有
4
个刻
度时满足条件，
明验证求解．
本题主要考查实际问题中的计数问题，考查运算求解能力，属于中档题．
，其中，，，证
5.
【答案】
D
【解析】解：①若先回答问题
A
，则答题顺序可能为
A
，
B
，
C
和
A
，
C
，
B
，
当答题顺序为
A
，
B
，
C
且连对两题时，
当答题顺序为
A
，
C
，
B
且连对两题时，
所以先回答问题
A
，连对两题的概率为；
；
；
②若先回答问题
B
，则答题顺序可能为
B
，
A
，
C
和
B
，
C
，
A
，
当答题顺序为
B
，
A
，
C
且连对两题时，
当答题顺序为
B
，
C
，
A
且连对两题时，
所以先回答问题
B
，连对两题的概率为；
；
；
第6页，共25页
③若先回答问题
C
，则答题顺序可能为
C
，
A
，
B
和
C
，
B
，
A
，
当答题顺序为
C
，
A
，
B
且连对两题时，
当答题顺序为
C
，
B
，
A
且连对两题时，
所以先回答问题
C
，连对两题的概率为
因为
故选：
根据独立事件概率乘法公式，分别计算先回答问题
A
，
B
，
C
且连对两题的概率，对比概率值的大
小即可得到结果．
本题主要考查了独立事件的概率乘法公式，属于中档题．
；
；
；
，所以要使
p
最大，应先回答问题
6.
【答案】
C
【解析】解：由圆的方程知：圆心
则圆心
C
到直线
，半径，
的距离，
，，
，
，
当且仅当
等号，
则当
又
故选：
的面积最大时，
，解得：
，
时取
利用点到直线距离公式表示出圆心到直线距离
d
，并由
a
的范围确定
d
的范围；利用垂径定理表
示出
果．
本题主要考查了直线与圆的位置关系，考查了基本不等式的应用，属于中档题．
，由，根据基本不等式取等条件可构造方程求得结
7.
【答案】
D
【解析】解：
，
设，则，
，
第7页，共25页
在上单调递增，
，
即
；
，
，
，
设
在上单调递减，
，
即
，即
综上所述：
故选：
将
a
，
c
变形，可得
和
性，进而确定，，由此可得大小关系．
，，由此可构造函数
，利用导数可求得，单调
，
；
，则，
本题主要考查了导数与单调性关系在函数值大小比较中的应用，属于中档题．
8.
【答案】
C
【解析】解：平面
证明：设平面
当
经过点
B
、
D
且截正方体所得截面面积最大时，平面
为，
与面重合，
与面
BCD
所成的二面角为，二面角
截正方体所得截面为面
BDEF
，时，记平面
则
令，
，
第8页，共25页
因为
当
截面为面
当时，平面
时，显然平面
，所以
截正方体所得截面面积最大时，
，
截正方体所得截面为
ABCD
，，
，
，
，
，
所以平面截正方体所得截面面积最大时截面为面
同理平面过
A
、
连接，
AC
，
时，截正方体所得截面面积最大时截面为面
，面与面所成锐二面角为
因为
所以
AC
，
因为
故选：
设平面
面，面，
大小，的所成角大小为二面角
，所以面与面所成锐二面角大小为
与面
BCD
所成的二面角为，二面角为，分和两种
重合，情况讨论，证明平面
从而可得出答案．
D
且截正方体所得截面面积最大时，经过点
B
、平面与面
本题考查面面角的求解，正方体的截面问题，函数思想，分类讨论思想和极限思想，属难题．
9.
【答案】
ABD
【解析】解：对
A
选项，
确；
对
B
选项，
，
对
C
选项，设与
在
，
，
同向的单位向量为
，
为直角三角形，
，
正确；
，
，
，，正
方向上的投影向量为：
，错误；
第9页，共25页
对
D
选项，，设与垂直的单位向量为，
则，解得或，
所求向量的坐标为
故选：
根据向量模的坐标表示求出
或，正确，
可判断
A
；求出向量
在
、以及的模，根据勾股定理逆
定理可判断
B
；根据投影向量的定义求出
的坐标表示求出与
方向上的投影向量可判断
C
；根据向量垂直
垂直的单位向量，判断
本题考查向量的坐标运算，投影向量的概念，方程思想，化归转化思想，属中档题．
10.
【答案】
BD
【解析】解：对
A
，
B
，
C
选项，
令
，
，
所以
所以
所以当
所以
所以
同时表明
对
D
，若
要证
因为
因为
令
其中
在
在
，，因为，
上单调递减，
，即
时，
，
，且为唯一解，
单调递减；
，即在上无零点，
单调递增，
上有唯一极值点，故
A
，
C
错误，
B
正确；
，设
，即证
在
，
上单调递增，所以即证
，
，
在上单调递增，
，
，
，则，
，所以即证
第10页，共25页
所以
所以
所以
所以
故选：
先对函数求导，
成立，即
，在
，
上单调递减，
，即
成立，故
D
正确．
，
，求出时，，并证明此解为
的唯一解，则可判断
A
，
B
，
C
，对
D
选项，通过构造函数
，利用导数证明其大于
0
，即可证明
D
选项正确．
本题主要考查了导数与单调性及极值关系的应用，考查了综合分析问题的能力，属于中档题．
11.
【答案】
BCD
【解析】解：对于
A
选项，
，，
在椭圆
C
上，
，
由题意知：，又的对称轴为，
若，即时，
，；
当，即时，
，，综合可得
A
选
项错误；
对于
B
选项，
，
，
A
关于
x
轴对称，又
，
，，
，选项正确；
第11页，共25页
对于
C
选项，假设存在点
P
，使得
，
直线，直线
，则∽，
，
，
即或，
，
选项正确；
，，
，即
，选项正确．
，
对于
D
选项，
，
直线
AN
过定点
故选：
直线，
利用两点间距离公式表示出，结合可得关于
n
的二次函数的形式，通过讨
的最大值，知
A
错误；利用斜率公式表示出
，求得
M
，
N
横坐
论
b
与二次函数对称轴的位置关系，可求得
，化简可得定值，知
B
正确；假设存在，可得
标后，代入化简知
C
正确；表示出直线
AN
后，根据直线过定点的求法可知
D
正确．
本题考查椭圆的几何性质，直线与椭圆综合应用的问题，化归转化思想，方程思想，属中档题．
12.
【答案】
BC
【解析】解：，
，
，
令
即
当
当
则
，因为
，则
时，
且时，令
，
，
x
，，所以，
，
，，
，
第12页，共25页
综上
又因为
令
显然在
，所以
，
上单调递增，
，解得
所以要证
因为
而
所以
因为
故选：
成立，即
，所以当时，
在
，即证
，
，
即
B
正确；
，
的零点
y
满足，
，
，
，
成立，
C
正确；
，，
AD
错误．
上单调递增，所以即证
对于
A
、
B
选项，利用条件构造，比值换元将问题转化为
单变量函数求值域问题；对于
C
、
D
选项，构造函数
析单调性判断即可．
，，通过分
本题综合考查了不等式性质，函数单调性及函数性质的综合应用，属于中档题．
13.
【答案】
1
【解析】解：
，
，
，
故答案为：
根据正态分布曲线的对称性可直接求得结果．
本题主要考查正态分布的对称性，属于基础题．
14.
【答案】
【解析】解：设
所以
所以
，
，不妨设
答案不唯一
，
，
，
，因为，，
第13页，共25页
因为最小正周期为，所以
，
因为
所以
当
在上单调递增，所以
，
，
时，，不妨设，
所以满足条件之一的
故答案为：
设
，可得
答案不唯一
，，根据，
，取
，则可设
即可．
，根据最小正周期为
，通过整体换元法则可得到
本题主要考查三角函数的图象与性质，考查运算求解能力，属于中档题．
15.
【答案】
【解析】解：如图所示，
记两个形状完全相同的正三棱锥为三棱锥
设点
A
在面
BCD
上的投影为点
O
，则
在三棱锥和
和三棱锥
、
O
、
A
三点共线．
，
中，到几何体各顶点距离相等的点分别在
AO
和上若组合
后的六面体存在外接球，则
O
为外接球的球心，
设
因为
O
为
，则，
的中心，所以即，
第14页，共25页
所以
所以球的体积为
故答案为：
，解得，
根据正三棱锥的几何性质，确定其形成六面体的外接球球心的位置及半径的长，从而列式求得半
径，即可得六面体外接球的体积．
本题主要考查球的体积的求法，考查运算求解能力，属于中档题．
16.
【答案】
【解析】解：由椭圆
，可得
，
点为椭圆上一点，且，，
切线
l
的斜率一定存在，
设直线
l
的方程，
联立，可得
，
直线
l
与椭圆
E
相切，
，解得
，
，即
直线
l
的方程为
分别令和，可得
，
，即
，
，
，，
直线方程为，直线方程为，
联立可得与交点，
第15页，共25页
，，
由
，
故答案为：
设直线
l
的方程
得到切线方程为
坐标，最后得到
，可得
，即，
，，
，利用直线与椭圆相切，联立方程，则
，再求出
C
，
D
坐标，写出直线
，再联立，解出即可．
，
，即，最后
的方程，联立解出
E
点
本题考查椭圆的几何性质，直线与椭圆的位置关系，设而不求法与韦达定理的应用，化归转化思
想，属中档题．
17.
【答案】解：
所以
所以
则数列
因为，所以
，
，
，
的通项公式为
是以首项为，公比为
4
等比数列，因为数列
所以
因为数列
化简得
因为
所以
因为
所以
所以
则数列
是等差数列，所以，
，所以，即，
，所以数列是以为首项，
4
为公比的等比数列，
，
，
的前
n
项和为：
第16页，共25页
【解析】由，可得
，
，后由等差数列性质可得公差，即可得通项公式；
后由是以
d
为公差的等差数列，可得数列由题可得
是以为首项．
4
为公比的等比数列，可求得数列
可得的前
n
项和
的通项公式，后由分组求和法
本题主要考查等差数列的通项公式及前
n
项和公式，等比数列的求和公式，考查运算求解能力，
属于中档题．
18.
【答案】解：
因为
，
所以
因为
因为，所以
，
，
，
，
，即，则，
，
，所以，即，
因为，所以
令
因为
所以由
因为
所以
由正弦定理得
因为
，
所以由
化简得
得
，则
，所以
得
，所以
在
，即
，
上单调递减，
成立；
，
，
，且，所以
，
，
，
，
，
因为，所以，
第17页，共25页
所以由
，
所以
【解析】由题意得
，构造函数
；
由结论
理则有
得
，化简得
得或舍去，
，根据，则
根据导数得，则
，结合正弦定
，解出并检验，最
后再利用面积公式即可．
本题主要考查了正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用，考查了学生的运算求解能力，属于中
档题．
19.
【答案】
，
解：因为，所以，，
，所以
作
因为
因为
因为面
所以
面
ACD
，
面
ACD
，所以
面
ABE
，
面
BCD
，
，所以作，可得面
BCD
，
，，连接
BE
，因为
，所以
面
BCD
，所以面
面
为
AB
与面
BCD
的所成角，
AB
与面
BCD
的所成角为
，
所以设，，则，
第18页，共25页
所以由
四面体
ABCD
的体积为
所以
解：设，
，得
，
，
，解得
，由得，
，即
延长
CM
交
BD
于点
G
，连接
AG
，
因为
所以
因为
即
AG
为
BD
边上的高，因为
因为
由
面
ACG
，所以
得，若
，
，则点
M
在
BE
上，
，
，因为
，
，所以
，所以
，
，
，所以面
ACG
，
，所以面
BAD
，
，
所以
M
为
所以
分别做
所以
设面
的垂心．因为
，即
，，则
，所以
，
面
ACD
，面
ACD
，
，
在面
ACD
的投影为
与面
ACD
所成的二面角为，则
，
面
AFH
与面
ACD
所成夹角的余弦值为
【解析】说明面
ACD
，作
，连接
BE
，推出面面
BCD
，说明
AB
与面
BCD
的所成角为
通过四面体
ABCD
的体积为
设，
，求解即可．
，延长
CM
交
BD
于点
G
，连接
AG
，证明，，
第19页，共25页
推出，求解，分别做
与面
ACD
所成的二面角为
，
，则
，说明面
ACD
，
面
ACD
，设面求解即可．
本题考查几何体二面角的求法，直线与平面所成角的求法，考查空间想象能力，转化思想以及计
算能力，是中档题．
20.
【答案】解：水库的平均水位，
BS3
号渗压计管内平均水位
；
，
同理可得：，
，
，
，
号渗压计管内水位关于水库水位的经验回归方程为
当时，预测值，
，
即水库的水位为
76m
时，
BS3
号渗压计管内水位的估计值为
【解析】根据平均数的计算方法直接求解即可；
根据表格数据计算得到相关系数公式中的各个数据，代入公式即可；
由最小二乘法可求得经验回归方程，代入即可求得预估值．
第20页，共25页
本题主要考查了经验回归方程的计算，考查了学生的运算求解能力，属于中档题．
21.
【答案】解：双曲线
C
的右焦点为，，
，右焦点到双曲线的渐近线的距离为
1
，双曲线的渐近线方程为
，解得：
，
双曲线
C
的方程为：
设
；
，
，切线
PC
：，
由得：，
，解得：，
，
，
同理可得：直线
直线
PC
与直线
CQ
交于点
C
，
点，满足方程
，
，，，，即
，
，即直线
，即
，即点
，
，
，
在直线
DE
上，
，
同理可得：直线
点
F
在直线
PQ
上，
，，，
第21页，共25页
，即，直线，
由得：，
，
点
F
到直线
DE
的距离为，
，
令，
，则
当
在
时，；当
则
，
时，
上单调递增，
，
，
上单调递减，在
【解析】
设
PC
：
由焦点坐标、右焦点到渐近线的距离和双曲线
a
，
b
，
c
关系可直接求得双曲线方程；
，与双曲线方程联立，由
可整理得到
法可证得
将
可求得；由，
，同理可得
CQ
，进而确定
PQ
，
DE
方程，利用点差
，设，可，结合弦长公式和点到直线距离公式可表示出
表示为关于
t
的函数，利用导数可求得最小值．
本题主要考查了双曲线的标准方程，考查了直线与双曲线的位置关系，同时考查了利用导数研究
函数的最值，属于难题．
22.
【答案】解：当
，
时，，
，，
当且仅当
恒成立，
时取等号，
的单调递增区间为
当时，
，无单调递减区间；
恒成立，即，恒成立，
第22页，共25页
方法一：
，使得
当时，
，
在上单调递增，
，
，解得：，
，
，
，
当时，
设
在
，则
上单调递增，
，
，即满足题意，
，
综上所述：
a
的取值范围为
方法二：
，
，
则由，
，
，
令
①当
设
，则
，即
，
的对称轴为
，其中
则当
，
在
，
当
舍去；
②当
递增，
，即时，
时，
上单调递减，在
，即
，令
时，方程
，
；
，
恒成立得，
，则
的解为，
，
，
，当
，
时，
时，，
；当时，即时，
上单调递增，
，与，恒成立相矛盾，故
，即，在上单调
第23页，共25页
，
即，恒成立，
；
，
，即
，
，，
综上所述：实数
a
的取值范围为
证明：由
令，
得：
当时，，
化简得
，，
，，
，
累加得：，
，
成立．
求导后，根据
可知
代回验证，知
，知
方法二：易说明
和
令
，求得
满足题意；
后，令，则，令，分别在
恒成立的
a
的范围；
，采用累加法可求得，进
恒成立可得结论；
，使得在上单调递增，根据
，利用导数可证得
可知
即
【解析】
方法一：由
；将
的情况下，得到
，由得
的单调性，进而确定使得
，令
而放缩得到，整理即可得到结
第24页，共25页
论．
本题考查利用导数求解函数单调区间、恒成立问题的求解、不等式的证明等；本题证明不等式的
关键是能够利用
行放缩．
中的结论，将指数不等式转化为对数不等式，进而采用赋值的方式对不等式进
第25页，共25页
2024年10月28日发(作者：在螺)
2023
年浙江省金丽衢十二校、七彩阳光高考数学联考试卷（
3
月份）
1.
若集合
A.
2.
若
A.
3.
A.
280
B.
B.
，则
( )
，则
( )
C. D.
B. C.
的展开式中常数项为
( )
D.
C.
160
D.
现有一
4.
“省刻度尺”问题由英国数学游戏大师杜登尼提出：一根
23cm
长的尺子，要能够量出
长度为
1cm
到
23cm
且边长为整数的物体，至少需要
6
个刻度尺子头尾不用刻
根
8cm
的尺子，要能够量出长度为
1cm
到
8cm
且边长为整数的物体，尺子上至少需要有
个刻度
.( )
A.
3
甲有
B.
4
的可能答对问题
A
，
C.
5
的可能答对问题
B
，
D.
6
的可能答对问题记答题者连
5.
班级举行知识竞猜闯关活动，设置了
A
，
B
，
C
三个问题
.
答题者可自行决定答三题顺序
.
续答对两题的概率为
p
，要使得
p
最大，他应该先回答
( )
A.
问题
A
C.
问题
A
，
B
和
C
都可以
6.
在平面直角坐标系上，圆
C
：
两点，，则当
B.
问题
B
D.
问题
C
，直线
( )
与圆
C
交于
A
，
B
的面积最大时，
A.
7.
设
A.
8.
在正方体
A.
，
B.
，
C.
，则
( )
D.
B. C.
中，平面
D.
经过点
B
、
D
，平面经过点
A
、
、所成的锐二面角大小为
( )
，当平面
、分别截正方体所得截面面积最大时，平面
B. C. D.
，则
( )
9.
在平面直角坐标系中，已知点
第1页，共25页
A.
B.
C.
D.
与
在
是直角三角形
方向上的投影向量的坐标为
垂直的单位向量的坐标为或
，则
( )
10.
已知函数
A.
B.
C.
D.
若
11.
设椭圆
有一个零点
在上单调递减
有两个极值点
，则
，，为椭圆
E
上一点，，点
B
，
A
关于
x
轴对称，直线
EA
，
EB
分别与
x
轴交于
M
，
N
两点，则
( )
A.
的最大值为
B.
直线
EA
，
EB
的斜率乘积为定值
C.
若
y
轴上存在点
P
，使得
D.
直线
AN
过定点
12.
已知
A.
C.
13.
已知随机变量
X
服从正态分布
14.
写出一个满足下列条件的正弦型函数，
①最小正周期为；
②
③
在
，
上单调递增；
成立
.
，，且，则
( )
，则
P
的坐标为或
B.
D.
，若
______ .
，则
______ .
15.
将两个形状完全相同的正三棱锥底面重合得到一个六面体，若六面体存在外接球，且
正三棱锥的体积为
1
，则六面体外接球的体积为
______ .
16.
已知椭圆
且，
，椭圆的左右焦点分别为
，过
A
作椭圆
E
的切线
l
，并分别交
，
、
，点为椭圆上一点
于
C
、
D
点
.
连接
第2页，共25页
、
为
______ .
，与交于点
E
，并连接若直线
l
，
AE
的斜率之和为，则点
A
坐标
17.
已知数列
若
若
求数列
，
是以
d
为公差的等差数列，
，求数列
，为的前
n
项和
.
的通项公式；
是以为首项，
4
为公比的等比数列，且，中的部分项组成的数列
的前
n
项和
18.
已知中角
A
，
B
，
C
对应的边分别是
a
，
b
，
c
，已知
，
证明：
求的面积
.
；
19.
如图，四面体
ABCD
中，
BCD
的所成角为
若四面体
ABCD
的体积为
设点
M
在面
BCD
中，
，求
AC
的长；
，
，，
AB
与面
，过
M
作
CD
的平行线，分别交
BC
、
BD
于点
H
、
F
，求面
AFH
与面
ACD
所成夹角的余弦值
.
20.
大坝是一座具有灌溉、防洪、发电、航运、养殖和游览等综合效益的大型水利枢纽工
程
.
为预测渗压值和控制库水位，工程师在水库选取一支编号为
BS3
的渗压计，随机收集
10
个该渗压计管内水位和水库水位监测数据：
样本号
i
水库水位
BS3
渗压计管内水位
总和
并计算得，，
估计该水库中
BS3
号渗压计管内平均水位与水库的平均水位；
第3页，共25页
求该水库
BS3
号渗压计管内水位与水库水位的样本相关系数精确到
某天雨后工程师测量了水库水位，并得到水库的水位为
号渗压计管内水位的估计值
.
；
利用以上数据给出此时
BS3
附：相关系数，，，
21.
设双曲线
的距离为
求双曲线
C
的方程；
若，
的右焦点为，右焦点到双曲线的渐近线
，点
C
在线段
AB
上不含端点，过点
C
分别作双曲线两支的切
连接
PQ
，并过
PQ
的中点
F
分别作双曲线两支的切线，切点分别为线，切点分别为
P
，
D
，
E
，求面积的最小值
.
22.
已知
当
当
设
时，求
时，
，
m
，
单调区间；
恒成立，求
a
的取值范围；
，证明：
第4页，共25页
答案和解析
1.
【答案】
A
【解析】解：因为
因为
所以
故选：
解不等式化简集合
A
，
B
，再利用交集的定义求解作答．
本题主要考查了集合交集运算，属于基础题．
，则
，则，
，
，
2.
【答案】
B
【解析】解：，
，
，
故选：
根据复数运算法则、共轭复数定义即可求得结果．
本题主要考查复数的四则运算，以及共轭复数的定义，属于基础题．
3.
【答案】
A
【解析】解：的展开式中通项为
，
所以要使
当时，
展开式中出现常数项，需
，当时，舍去，
或，
所以常数项为
故选：
第5页，共25页
根据二项式展开式的通项公式，结合两个二项式相乘的特点，
求出
k
，即可求得答案．
本题主要考查二项式定理，属于基础题．
4.
【答案】
B
【解析】解：若有一根
8cm
的尺子，量出长度为
1cm
到
8cm
且为整数的物体，
则当尺子有
4
个刻度时满足条件，
设
x
为长度，
a
为刻度，
b
为刻度对应的数量，则有
，其中
当，，，
，
，
时，
，，
，
，
且
，
，，，，
，
下证，当尺子有
3
个刻度时不能量出
设
所以当
当
当
，
，
，
，
，
且
，
，
的物体长度，
，其中，，，
中有
1
个
0
，
x
的取值至多有
3
个，
或，
x
的取值至多有
2
个，中有
2
个
0
时，
中没有
0
时，
x
的取值有
1
个，
的物体长度．所以
x
取值至多有
6
个，即当尺子有
3
个刻度时不能量出
故选：
将问题转化为组合抽样思维，设
x
为长度，
a
为刻度，
b
为刻度对应的数量，则当尺子有
4
个刻
度时满足条件，
明验证求解．
本题主要考查实际问题中的计数问题，考查运算求解能力，属于中档题．
，其中，，，证
5.
【答案】
D
【解析】解：①若先回答问题
A
，则答题顺序可能为
A
，
B
，
C
和
A
，
C
，
B
，
当答题顺序为
A
，
B
，
C
且连对两题时，
当答题顺序为
A
，
C
，
B
且连对两题时，
所以先回答问题
A
，连对两题的概率为；
；
；
②若先回答问题
B
，则答题顺序可能为
B
，
A
，
C
和
B
，
C
，
A
，
当答题顺序为
B
，
A
，
C
且连对两题时，
当答题顺序为
B
，
C
，
A
且连对两题时，
所以先回答问题
B
，连对两题的概率为；
；
；
第6页，共25页
③若先回答问题
C
，则答题顺序可能为
C
，
A
，
B
和
C
，
B
，
A
，
当答题顺序为
C
，
A
，
B
且连对两题时，
当答题顺序为
C
，
B
，
A
且连对两题时，
所以先回答问题
C
，连对两题的概率为
因为
故选：
根据独立事件概率乘法公式，分别计算先回答问题
A
，
B
，
C
且连对两题的概率，对比概率值的大
小即可得到结果．
本题主要考查了独立事件的概率乘法公式，属于中档题．
；
；
；
，所以要使
p
最大，应先回答问题
6.
【答案】
C
【解析】解：由圆的方程知：圆心
则圆心
C
到直线
，半径，
的距离，
，，
，
，
当且仅当
等号，
则当
又
故选：
的面积最大时，
，解得：
，
时取
利用点到直线距离公式表示出圆心到直线距离
d
，并由
a
的范围确定
d
的范围；利用垂径定理表
示出
果．
本题主要考查了直线与圆的位置关系，考查了基本不等式的应用，属于中档题．
，由，根据基本不等式取等条件可构造方程求得结
7.
【答案】
D
【解析】解：
，
设，则，
，
第7页，共25页
在上单调递增，
，
即
；
，
，
，
设
在上单调递减，
，
即
，即
综上所述：
故选：
将
a
，
c
变形，可得
和
性，进而确定，，由此可得大小关系．
，，由此可构造函数
，利用导数可求得，单调
，
；
，则，
本题主要考查了导数与单调性关系在函数值大小比较中的应用，属于中档题．
8.
【答案】
C
【解析】解：平面
证明：设平面
当
经过点
B
、
D
且截正方体所得截面面积最大时，平面
为，
与面重合，
与面
BCD
所成的二面角为，二面角
截正方体所得截面为面
BDEF
，时，记平面
则
令，
，
第8页，共25页
因为
当
截面为面
当时，平面
时，显然平面
，所以
截正方体所得截面面积最大时，
，
截正方体所得截面为
ABCD
，，
，
，
，
，
所以平面截正方体所得截面面积最大时截面为面
同理平面过
A
、
连接，
AC
，
时，截正方体所得截面面积最大时截面为面
，面与面所成锐二面角为
因为
所以
AC
，
因为
故选：
设平面
面，面，
大小，的所成角大小为二面角
，所以面与面所成锐二面角大小为
与面
BCD
所成的二面角为，二面角为，分和两种
重合，情况讨论，证明平面
从而可得出答案．
D
且截正方体所得截面面积最大时，经过点
B
、平面与面
本题考查面面角的求解，正方体的截面问题，函数思想，分类讨论思想和极限思想，属难题．
9.
【答案】
ABD
【解析】解：对
A
选项，
确；
对
B
选项，
，
对
C
选项，设与
在
，
，
同向的单位向量为
，
为直角三角形，
，
正确；
，
，
，，正
方向上的投影向量为：
，错误；
第9页，共25页
对
D
选项，，设与垂直的单位向量为，
则，解得或，
所求向量的坐标为
故选：
根据向量模的坐标表示求出
或，正确，
可判断
A
；求出向量
在
、以及的模，根据勾股定理逆
定理可判断
B
；根据投影向量的定义求出
的坐标表示求出与
方向上的投影向量可判断
C
；根据向量垂直
垂直的单位向量，判断
本题考查向量的坐标运算，投影向量的概念，方程思想，化归转化思想，属中档题．
10.
【答案】
BD
【解析】解：对
A
，
B
，
C
选项，
令
，
，
所以
所以
所以当
所以
所以
同时表明
对
D
，若
要证
因为
因为
令
其中
在
在
，，因为，
上单调递减，
，即
时，
，
，且为唯一解，
单调递减；
，即在上无零点，
单调递增，
上有唯一极值点，故
A
，
C
错误，
B
正确；
，设
，即证
在
，
上单调递增，所以即证
，
，
在上单调递增，
，
，
，则，
，所以即证
第10页，共25页
所以
所以
所以
所以
故选：
先对函数求导，
成立，即
，在
，
上单调递减，
，即
成立，故
D
正确．
，
，求出时，，并证明此解为
的唯一解，则可判断
A
，
B
，
C
，对
D
选项，通过构造函数
，利用导数证明其大于
0
，即可证明
D
选项正确．
本题主要考查了导数与单调性及极值关系的应用，考查了综合分析问题的能力，属于中档题．
11.
【答案】
BCD
【解析】解：对于
A
选项，
，，
在椭圆
C
上，
，
由题意知：，又的对称轴为，
若，即时，
，；
当，即时，
，，综合可得
A
选
项错误；
对于
B
选项，
，
，
A
关于
x
轴对称，又
，
，，
，选项正确；
第11页，共25页
对于
C
选项，假设存在点
P
，使得
，
直线，直线
，则∽，
，
，
即或，
，
选项正确；
，，
，即
，选项正确．
，
对于
D
选项，
，
直线
AN
过定点
故选：
直线，
利用两点间距离公式表示出，结合可得关于
n
的二次函数的形式，通过讨
的最大值，知
A
错误；利用斜率公式表示出
，求得
M
，
N
横坐
论
b
与二次函数对称轴的位置关系，可求得
，化简可得定值，知
B
正确；假设存在，可得
标后，代入化简知
C
正确；表示出直线
AN
后，根据直线过定点的求法可知
D
正确．
本题考查椭圆的几何性质，直线与椭圆综合应用的问题，化归转化思想，方程思想，属中档题．
12.
【答案】
BC
【解析】解：，
，
，
令
即
当
当
则
，因为
，则
时，
且时，令
，
，
x
，，所以，
，
，，
，
第12页，共25页
综上
又因为
令
显然在
，所以
，
上单调递增，
，解得
所以要证
因为
而
所以
因为
故选：
成立，即
，所以当时，
在
，即证
，
，
即
B
正确；
，
的零点
y
满足，
，
，
，
成立，
C
正确；
，，
AD
错误．
上单调递增，所以即证
对于
A
、
B
选项，利用条件构造，比值换元将问题转化为
单变量函数求值域问题；对于
C
、
D
选项，构造函数
析单调性判断即可．
，，通过分
本题综合考查了不等式性质，函数单调性及函数性质的综合应用，属于中档题．
13.
【答案】
1
【解析】解：
，
，
，
故答案为：
根据正态分布曲线的对称性可直接求得结果．
本题主要考查正态分布的对称性，属于基础题．
14.
【答案】
【解析】解：设
所以
所以
，
，不妨设
答案不唯一
，
，
，
，因为，，
第13页，共25页
因为最小正周期为，所以
，
因为
所以
当
在上单调递增，所以
，
，
时，，不妨设，
所以满足条件之一的
故答案为：
设
，可得
答案不唯一
，，根据，
，取
，则可设
即可．
，根据最小正周期为
，通过整体换元法则可得到
本题主要考查三角函数的图象与性质，考查运算求解能力，属于中档题．
15.
【答案】
【解析】解：如图所示，
记两个形状完全相同的正三棱锥为三棱锥
设点
A
在面
BCD
上的投影为点
O
，则
在三棱锥和
和三棱锥
、
O
、
A
三点共线．
，
中，到几何体各顶点距离相等的点分别在
AO
和上若组合
后的六面体存在外接球，则
O
为外接球的球心，
设
因为
O
为
，则，
的中心，所以即，
第14页，共25页
所以
所以球的体积为
故答案为：
，解得，
根据正三棱锥的几何性质，确定其形成六面体的外接球球心的位置及半径的长，从而列式求得半
径，即可得六面体外接球的体积．
本题主要考查球的体积的求法，考查运算求解能力，属于中档题．
16.
【答案】
【解析】解：由椭圆
，可得
，
点为椭圆上一点，且，，
切线
l
的斜率一定存在，
设直线
l
的方程，
联立，可得
，
直线
l
与椭圆
E
相切，
，解得
，
，即
直线
l
的方程为
分别令和，可得
，
，即
，
，
，，
直线方程为，直线方程为，
联立可得与交点，
第15页，共25页
，，
由
，
故答案为：
设直线
l
的方程
得到切线方程为
坐标，最后得到
，可得
，即，
，，
，利用直线与椭圆相切，联立方程，则
，再求出
C
，
D
坐标，写出直线
，再联立，解出即可．
，
，即，最后
的方程，联立解出
E
点
本题考查椭圆的几何性质，直线与椭圆的位置关系，设而不求法与韦达定理的应用，化归转化思
想，属中档题．
17.
【答案】解：
所以
所以
则数列
因为，所以
，
，
，
的通项公式为
是以首项为，公比为
4
等比数列，因为数列
所以
因为数列
化简得
因为
所以
因为
所以
所以
则数列
是等差数列，所以，
，所以，即，
，所以数列是以为首项，
4
为公比的等比数列，
，
，
的前
n
项和为：
第16页，共25页
【解析】由，可得
，
，后由等差数列性质可得公差，即可得通项公式；
后由是以
d
为公差的等差数列，可得数列由题可得
是以为首项．
4
为公比的等比数列，可求得数列
可得的前
n
项和
的通项公式，后由分组求和法
本题主要考查等差数列的通项公式及前
n
项和公式，等比数列的求和公式，考查运算求解能力，
属于中档题．
18.
【答案】解：
因为
，
所以
因为
因为，所以
，
，
，
，
，即，则，
，
，所以，即，
因为，所以
令
因为
所以由
因为
所以
由正弦定理得
因为
，
所以由
化简得
得
，则
，所以
得
，所以
在
，即
，
上单调递减，
成立；
，
，
，且，所以
，
，
，
，
，
因为，所以，
第17页，共25页
所以由
，
所以
【解析】由题意得
，构造函数
；
由结论
理则有
得
，化简得
得或舍去，
，根据，则
根据导数得，则
，结合正弦定
，解出并检验，最
后再利用面积公式即可．
本题主要考查了正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用，考查了学生的运算求解能力，属于中
档题．
19.
【答案】
，
解：因为，所以，，
，所以
作
因为
因为
因为面
所以
面
ACD
，
面
ACD
，所以
面
ABE
，
面
BCD
，
，所以作，可得面
BCD
，
，，连接
BE
，因为
，所以
面
BCD
，所以面
面
为
AB
与面
BCD
的所成角，
AB
与面
BCD
的所成角为
，
所以设，，则，
第18页，共25页
所以由
四面体
ABCD
的体积为
所以
解：设，
，得
，
，
，解得
，由得，
，即
延长
CM
交
BD
于点
G
，连接
AG
，
因为
所以
因为
即
AG
为
BD
边上的高，因为
因为
由
面
ACG
，所以
得，若
，
，则点
M
在
BE
上，
，
，因为
，
，所以
，所以
，
，
，所以面
ACG
，
，所以面
BAD
，
，
所以
M
为
所以
分别做
所以
设面
的垂心．因为
，即
，，则
，所以
，
面
ACD
，面
ACD
，
，
在面
ACD
的投影为
与面
ACD
所成的二面角为，则
，
面
AFH
与面
ACD
所成夹角的余弦值为
【解析】说明面
ACD
，作
，连接
BE
，推出面面
BCD
，说明
AB
与面
BCD
的所成角为
通过四面体
ABCD
的体积为
设，
，求解即可．
，延长
CM
交
BD
于点
G
，连接
AG
，证明，，
第19页，共25页
推出，求解，分别做
与面
ACD
所成的二面角为
，
，则
，说明面
ACD
，
面
ACD
，设面求解即可．
本题考查几何体二面角的求法，直线与平面所成角的求法，考查空间想象能力，转化思想以及计
算能力，是中档题．
20.
【答案】解：水库的平均水位，
BS3
号渗压计管内平均水位
；
，
同理可得：，
，
，
，
号渗压计管内水位关于水库水位的经验回归方程为
当时，预测值，
，
即水库的水位为
76m
时，
BS3
号渗压计管内水位的估计值为
【解析】根据平均数的计算方法直接求解即可；
根据表格数据计算得到相关系数公式中的各个数据，代入公式即可；
由最小二乘法可求得经验回归方程，代入即可求得预估值．
第20页，共25页
本题主要考查了经验回归方程的计算，考查了学生的运算求解能力，属于中档题．
21.
【答案】解：双曲线
C
的右焦点为，，
，右焦点到双曲线的渐近线的距离为
1
，双曲线的渐近线方程为
，解得：
，
双曲线
C
的方程为：
设
；
，
，切线
PC
：，
由得：，
，解得：，
，
，
同理可得：直线
直线
PC
与直线
CQ
交于点
C
，
点，满足方程
，
，，，，即
，
，即直线
，即
，即点
，
，
，
在直线
DE
上，
，
同理可得：直线
点
F
在直线
PQ
上，
，，，
第21页，共25页
，即，直线，
由得：，
，
点
F
到直线
DE
的距离为，
，
令，
，则
当
在
时，；当
则
，
时，
上单调递增，
，
，
上单调递减，在
【解析】
设
PC
：
由焦点坐标、右焦点到渐近线的距离和双曲线
a
，
b
，
c
关系可直接求得双曲线方程；
，与双曲线方程联立，由
可整理得到
法可证得
将
可求得；由，
，同理可得
CQ
，进而确定
PQ
，
DE
方程，利用点差
，设，可，结合弦长公式和点到直线距离公式可表示出
表示为关于
t
的函数，利用导数可求得最小值．
本题主要考查了双曲线的标准方程，考查了直线与双曲线的位置关系，同时考查了利用导数研究
函数的最值，属于难题．
22.
【答案】解：当
，
时，，
，，
当且仅当
恒成立，
时取等号，
的单调递增区间为
当时，
，无单调递减区间；
恒成立，即，恒成立，
第22页，共25页
方法一：
，使得
当时，
，
在上单调递增，
，
，解得：，
，
，
，
当时，
设
在
，则
上单调递增，
，
，即满足题意，
，
综上所述：
a
的取值范围为
方法二：
，
，
则由，
，
，
令
①当
设
，则
，即
，
的对称轴为
，其中
则当
，
在
，
当
舍去；
②当
递增，
，即时，
时，
上单调递减，在
，即
，令
时，方程
，
；
，
恒成立得，
，则
的解为，
，
，
，当
，
时，
时，，
；当时，即时，
上单调递增，
，与，恒成立相矛盾，故
，即，在上单调
第23页，共25页
，
即，恒成立，
；
，
，即
，
，，
综上所述：实数
a
的取值范围为
证明：由
令，
得：
当时，，
化简得
，，
，，
，
累加得：，
，
成立．
求导后，根据
可知
代回验证，知
，知
方法二：易说明
和
令
，求得
满足题意；
后，令，则，令，分别在
恒成立的
a
的范围；
，采用累加法可求得，进
恒成立可得结论；
，使得在上单调递增，根据
，利用导数可证得
可知
即
【解析】
方法一：由
；将
的情况下，得到
，由得
的单调性，进而确定使得
，令
而放缩得到，整理即可得到结
第24页，共25页
论．
本题考查利用导数求解函数单调区间、恒成立问题的求解、不等式的证明等；本题证明不等式的
关键是能够利用
行放缩．
中的结论，将指数不等式转化为对数不等式，进而采用赋值的方式对不等式进
第25页，共25页