2024年6月10日发(作者：妫冰蓝)
第３３卷第５期
国防科技大学学报
Ｖｏ１．３３ Ｎｏ．５
Ｏｃｔ． ２０１１
２０１１年１０月
ＪＯＵＲＮＡＬ ＯＦ ＮＡＴ１０ＮＡＬ ＵＮＩＶＥＲＳｒＩＹ ０Ｆ ＤＥＦＥＮＳＥ ＴＥＣＨＮＯＬＯＧＹ
文章编号：１００１—２４８６（２０１１）０５—１４５—０５
高斯信号的量化分析
刘小汇 ，黄 龙 ，谢金石
（１．国防科技大学电子科学与工程学院，湖南长沙４１００７３；２．北京环球信息应用开发中心，北京１０００９４）
摘要：由于器件的约束条件不同，在数字信号处理中通常要对ＡＤ采样后的信号进行量化处理，如何提
高量化的性能是量化的关键。针对Ｎ（／ｚ，０．２）高斯分布的量化信号，使用理论推导的方式，得到量化损耗与限
幅门限的关系式，并推导出对应量化损耗最小的最优限幅门限公式，其推导方法同样适用于其他随机信号。
仿真试验证明了该公式的正确性，结论可应用于工程实现。
关键词：高斯信号；量化；限幅门限；量化损耗
中图分类号：ＴＮ９６７．１ 文献标识码：Ａ
Ａｎａｌｙｓｉｓ ｏｆ Ｑｕａｎｔｉｚａｔｉｏｎ ｏｆ Ｇａｕｓｓｉａｎ Ｓｉｇｎａｌｓ
ＬＩＵＸｉａｏ—ｈｕｉ ，ＨＵＡＮＧ ｎｇ。，ＸＩＥＪｉｎ—ｓｈｉ
（１．Ｃｏｌｌｅｇｅ ｏｆ Ｅｌｅｃｔｒｏｎｉｃ Ｓｃｉｅｎｃｅ ａｎｄ Ｅｎｓｉｎｅｅｒｉｎｇ，Ｎａｔｉｏｎａｌ Ｕｎｉｖ．ｏｆ Ｄｅｆｅｎｓｅ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｃｈａｎｇｓｈａ ４１００７３，Ｃｈｉｎａ；
２．Ｂｅｉｊｉｎｇ Ｇｌｏｂａｌ Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ ａｎｄ Ｄｅｖｅｌｏｐｍｅｎｔ Ｃｅｎｔｅｒ，Ｂｅｉｊｉｎｇ１０００９４，Ｃｈｉｎａ）
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｑｕａｎｔｉｚａｔｉｏｎ ｗｉｌｌ ｂｅ ｎｅｃｅｓｓａｒｙ ｉｎ ｔｈｅ ｄｉ６ｔＭ ｓｉｇｎａｌ ｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ ｂｅｃａｕｓｅ ｏｆ ｔｈｅ ｈａｒｄｗａｒｅ’ｓ ｒｅｓｏｕｒｃｅ．Ｉｔ ｉｓ ｉｍｐｏｒｔａｎｔ
ｔｏ ｉｍｐｒｏｖｅ ｔｈｅ ｐｅｒｆｏｒｍａｎｃｅ ｏｆ ｔｈｅ ｑｕａｎｔｉｚｅｒ．Ａｎ ｅｘｐｒｅｓｓｉｏｎ ｏｆ ｑｕａｎｔｉｚａｔｉｏｎ ｄｉｓｔｏｔｒｉｏｎ ｔｏ ｃｌｉｐ ｌｅｖｅｌ ｗａｓ ｄｅｒｉｖｅｄ ｔｈｅｏｒｅｔｉｃａｌ ｆｏｒ Ｊ７、ｒ（ ， ）
Ｇａｕｓｓｉｎａ ｐｄｆ ｓｉｎｇａ１．Ａｌｓｏ ｔｈｅ ｅｘｐｒｅｓｓｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｍｉｎｉｍａｌ ｑｕａｎｔｉｚａｔｉｏｎ ｄｉｓｔｏｒｔｉｏｎ ａｎｄ ｏｐｔｉｍｕｍ ｃｌｉｐ ｌｅｖｅｌ ＷａＳ ｄｅｄｕｃｔｅｄ．Ｔｈｅ ｒｅｓｕｌｔ
ｏｆ ｃｏｍｐｕｔｅｒ ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ ｉｓ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｅｘｐｒｅｓｓｉｏｎ ｃａｎ ｂｅ ｕｓｅｄ ｔｏ ｅｓｔｉｍａｔｅ ｔｈｅ ｏｐｔｉｍｕｍ ｃｌｉｐ ｌｅｖｅｌ ｅｆｆｅｃｔｉｖｅｌｙ ａｎｄ ｅｘａｃｔｌｙ ｉｎ ｔｈｅ ｒｅｌａｔｅｄ
ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ．
Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：Ｇａｕｓｓｉｎａ ｓｉｎｇａｌ；ｑｕａｎｔｉｚａｔｉｏｎ；ｃｌｉｐ ｌｅｖｅｌ；ｑｕａｎｔｉｚａｔｉｏｎ ｄｉｓｔｏｒｔｉｏｎｓ
数字信号处理中，ＡＤ是信号处理的前提，而 得到不同信噪比系数下最小量化损耗与对应限幅
量化又是ＡＤ转换的关键环节，如何获取尽可能
门限的关系表，最后通过实际信号仿真表明公式
高的性能是对量化研究的关键。对于均匀量化，
的正确性。
目前的研究多集中在不同的数字信号处理过程
中，量化位数对系统性能的影响上－１－３］；在量化门
１量化信号的损耗分析
限对量化性能的影响方面，许多研究指出，通过合
对ＡＤ采样后的离散信号 （凡）进行 ＋１
理选择量化的门限可以得到最优的量化损
（最高位为符号位）比特均匀量化，量化间隔为
耗ｌ４ 】，然而以上文献只通过数值仿真的方法给
△，量化结果 （ｎ）：
出了结论性的说明；文献［７］分析了量化间隔与
ｒ
量化信噪比损耗的关系，但是没有考虑限幅效应
（２ 一１）△ｘ（ｎ）≥（２ 一３／２）Ａ
对损耗的影响；Ｍａｘ在１９６０年计算出了Ｎ（０，１）
（ ）＝？ｉａ （ｉ一１／２）Ａ＜￣ｘ（ｎ）＜（ ＋１／２），４
标准高斯分布的量化信号的最优量化步长与最小
【一２ ｘ（ｎ）＜一（２ 一１／２）Ａ
均方误差的对应关系表 Ｊ，但所给出的公式无法
（１）
得到解析的解。本文以更普遍的Ｎ（／．ｔ， ）高斯
其中，ｉ＝一（２ 一１），…一１，Ｏ，１，…（２ 一２），总的
分布的信号为对象，首先分析了量化损耗的组成，
量化级数为 ＝２ｎ ，设量化满量程值 ，则量化
得出限幅门限对量化性能的影响公式，然后推导
间隔△＝ ／２ 引。
出最小量化损耗与限幅门限的关系式，说明量化
量化会引入量化噪声，量化噪声会带来一定
信号的信噪比系数（ ）对量化损耗有影响，并
的信噪比损耗，称量化损耗。若量化信号的噪声
・收稿日期：２０１１—０３—０２
作者简介：刘小汇（１９７６一），女，副研究员，博士生。
国防科技大学学报
方差为 ，由量化引起的量化噪声方差为 ，假
设量化信号与量化噪声不相关，则量化后总的噪
声方差： ＝ ＋ｏｒ：，定义量化损耗口
Ｌｏ ｓ：
‘
：１＋
‘
（２）
量化信号的概率分布不同，其量化损耗会有
不同。不失一般性，本文分析高斯分布的量化信
号，其他信号的分析方法类似。假设 （／７，）为
Ｎ（／ｚ， ）分布的高斯信号，概率密度函数为，（ ）
＝ｅ一 ／（ ）。当量化级数为Ｌ时，量化
区间为Ｑ ＝（一∞，Ｘ ），Ｑ：＝（ ， ），…，Ｑ ＝
（ 一 ，＋∞），则量化误差 （ｉ）＝ （ｉ）一 （ ），其
中ｉ＝一２ ，…，０，…，（２ 一１）。
易得Ｅ［ ］＝０，量化噪声方差 ：定义为
￡
ｇｒ；＝∑Ｉ ）ｄ
Ｊ： ｓ ）如＋ 』‘ ｓ ｓ）如＋Ｊ ８＋∞ ）
（３）
其中， 和 一 分别为负、正界的量化满量程值，
对于Ｂ＋１比特（最高位为符号位）量化的噪声方
差，由式（３）可知 ：＝ ：＋盯：，其中 ＝
￡一Ｉ
．
∑ｆ ｅ）ｄｅ称为量化间隔误差， ＝
ｆ‘ ）ｄｅ＋Ｊ ｓ）ｄｅ称为限幅误差。
文献［９］给出Ｎ（Ｏ， ）的高斯分布信号量化
间隔误差的公式，将公式进行扩展，可以推导得到
服从Ⅳ（ ， ）高斯分布的量化信号，其量化间隔
误差的公式：
Ａ２
２
＝
［－＋ ｃ。ｓ（２￣
ｎ３ｚ
）
△
，
ｅｘｐ（一 ）］ （４）
当 ／△≥１时，误差可以近似为
・２
：。 （５））
为了简化计算，对于多比特量化，假设限幅值
ｌ １ Ｉ＝ｌ
一
ｌ＝ ，量化ｆ＿丁限（２ 一１）△ ２ △＝
Ａ，限幅的误差定义为
ｒ
（ｉ）－Ａ （ｉ）＞Ｘｍ
（ｉ）＝ （ ）一露（ｉ）＝Ｊ０ Ｉ （ｉ）Ｉ≤
【 （ ）＋Ａ （ ）＜一
（６）
其中
＝
知＝２ △ （７）
将 正限幅时的概率分布函数记做Ｐ ＋，负
限幅时的概率分布函数记做Ｐ。一，它们分别可以
表示为
Ｐ ＋＝ｐ（ｘ＞Ｘ ）
：—
口０ ３
ｆ
Ｘｍ
ｅ一 ｄｘ
ｌ
＝
ｅｒｆｃ（ ） （８）
Ｐ
＝
一
Ｐ（ ＜一 ）
：
ｆ－ｘ＂ｅ＿
ｏｒ√２．ｒｒｊ一
ｌ
＝
ｅｒｆｃ（ ） （９）
其中，Ｑ（ｘ）＝扣（。 Ｌ４ ＝ ‘ 去 。
可以计算
，一 Ⅱ ，＋∞
Ｅ［ｓ］＝Ｊ最厂Ｊ
一
∞
（ ）ｄｅ＋Ｊ苣厂
ＪＸ
（８）ｄｅ＝０ （１０）
通过求正限幅时的条件概率函数 ＞Ａ）
和负限幅时的条件概率函数，（ Ｉ ＜一Ａ），可以
得到限幅误差 的条件二阶矩，进而得到限幅误
差的表达式：
２
：
Ｅ［占 ］：ｒｓＪ
一
∞
）如＋ｆ
Ｊ
＋ａｏ 占）如
ｍ
＝Ｐ ＋Ｅ［ Ｉ ＞ ］＋Ｐ。一Ｅ［ｓ ｌ ＜一Ｘ ］
＝ｅｒｆｃ（ Ⅲ ］
＋
±垒 。一
＋
丢ｅｒｆｃ（ ＋（Ａ＋／ｘ
＋ ｆ 二
（ ）２
一
２竹
（１１）
由式（５）和式（１１）司得到量化噪声方差的
表达式：
２ ２． ２
口 ｃ
＋ｏｒｃ
＝
号ｅ （ Ⅲ ］
＋一
ｏ－（／ｚ＋Ｘ，．－２Ａ）
ｅ一
￣／２订
＋
丢ｅ （ ］
＋ｏ－（Ｘ，，，－／ｘ－２Ａ）
・
ｅ一
￣／２耵
第５期 刘小汇，等：高斯信号的量化分析
．
。
：
１２（２ 一１、
，
小。值得一提的是，在以上的公式推导中，由于使
用了限幅值Ｉ Ｉ＝ｌ 一 Ｉ＝Ｘ 以及量化门限（２
１）△一２ △＝Ａ等近似处理，对于低比特（１．５或
２比特）量化的情形会带来较大误差，因此本文的
一
对于多比特量化，假设Ｘ 一 ，则
２
１
＝
ｅ （ａ－￣２）Ｅ ｏ＂２＋（Ａ－／ｘ） ］
。一
公式对于低比特量化不再适用。
＋
＋
丢ｅ （ ）［０－２＋（Ａ＋／ｘ
ｅ ＋
一
２
，ｆｆ
１２ ２
（ 一
１
厂
（１３）
于是量化损耗为
ｒｆｏ（Ｃ － Ｋ）Ｅ ｌ＋（Ｃ－Ｋ） ］
＋ 。一
￣／２订
＋
吉ｅ （ ）［１＋（ｃ ］ 图１ 多比特量化时限幅门限系数与量化损耗的关系Ｆ
ｉｇ．１ Ｑｕａｎｔｉｚａｔｉｏｎ ｄｉｓｔｏｒｔｉｏｎ ＶＳ．ｃｌｉｐ ｌｅｖｅｌ
岫幽¨眦ｈ Ｍ 岫ｍ 叫
一
＋ ＋ｌ（１４）
其中，Ａ／ ：ｃ 幅门限系 ， ，－ 为信噪 ２ 最佳限幅门限
比系数。由式（１４）得到的限幅门限系数与量化
损耗之间的关系如图１所示（Ｋ＝０），相同的信号
以下讨论最佳限幅门限的取值，通过对式
（１３）求导可得最佳限幅门限的表达式
嚣的关系表明： 盖 量化位数越高，损耗越小；罢 罘 存在一个
最优的限幅Ｉ＇－Ｊｌ￣，使得在量化位数一定时，量化损
ＯＡ＝。
已知误差函数求导数为
，
一
耗最小；对于多比特量化，当限幅门限小于最优门
限时，门限的减小会带来损耗的显著恶化，当限幅
门限大于最优门限，门限的变化对损耗的影响很
２
０－
一
．
旦ｅ （ ）
ｄｃ
：一
．
孚 （１６）
订
式（１５）可以计算得到
）＋（Ａ＋ＩＸ
（ ）＋
＼ 一 ） 己
２
订
［ｅ ２ｏ－２ ］＋（Ａ－／ｘ
＝Ｋ，整理后得
（
－０（１７）
。 厶
４
ａ 厶
令Ａ／０．＝Ｃ，
Ｂ
＝
ｌｏｇ２｛【
ｆ
（１８）
上式即为最小量化损耗下，Ｊ７、ｒ（ ， ）的高斯
分布信号 的量化位数曰与限幅门限系数ｃ之
间的关系式。若定义最小量化损耗对应的量化限
幅门限系数为最优系数ｃ ，由公式可见，最佳限
数 均有关系。图２是在相同的量化位数（４比
大，相应限幅门限也越大。图３给出了在３、４、５、
６比特量化时，不同 值对应的最小量化损耗，随
着量化位数的增大， 值对量化损耗的影响将越
来越小，表１列出了Ｂ＝５（６比特量化）的量化位
对不同Ｋ值信号进行量化，最佳限幅门限
幅门限系数Ｃ 的取值与信噪比系数 和量化位
数下，
与最小量化损耗的结果，当Ｋ由０增大至１时，带
来的损耗只增加了０．００２ｄＢ左右，可以忽略。作
特量化）下，不同信噪比系数的信号，其限幅门限
系数Ｃ与量化损耗Ｌｏｓｓ的关系。由图２可见，
３组信号由于信噪比系数 值的影响，其最小量
为对比，同时也列出了数值仿真的结果。
化损耗会有不同， 值越大，其对应的损耗也越
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——
Ⅳ（１，２ｏ）
— 一
Ⅳ（５，２ｏ）
＋Ⅳ（ｉ５，２０
露 ∞ｏ
● ，， ０ ，捌 ｎ — ，， ｎ
Ｏ．４
——
ｏ－３５
３ｂｉｔ量化
—
争～４ｂｉ 量化
∞
—— ～
Ｏ－３
５ｂｉｔ量化
Ｑ
七
３
蛆
廿
０
苦
写
０．Ｉ５
ｇ
０． １
旨
瘩
羔
。．。
』
０．２ ０
４ ——
．
图３不同量化位数下，信噪比系数
对应的最小量化损耗
ｎｇ・３ ＳＮＲ ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔ ＶＳ
．
ｍｉｎｉｍｕｍ ｑｕａｍｉｚａ１；Ｊｏｎ
ｄｉｓｔｏｒｔｉｏｎ ｕｎｄｅｒ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ ｑｕａｎｔｉｚａｔｉｏ
ｎ
表１ 信噪比系数与最佳门限系数关系
Ｔａｂ・１ ＳＮＲ ｃｏｅ￣ｃｉｅｎｔ Ｖ８ ｏｐｔｉｍｕｍ
ｃＨｐ ｌｅｖｅｌ ｃｏｅｍｃｉｅｎｔ
３￣１３｝ｙｋ３比特量化变成４比特量化
，
其对应的最小
损耗会有Ｏ．１５ｄＢ左右的改善
，
当量化位数大于７
时，其对应的最小量化损耗差别已经不大
。
表２量化位数与最佳门限系数关系
Ｔａｂ
．
２ Ｑｕａｎｔｉｚａｔｉｏｎ ｂｉｔｓ ｖｓ。ｐｔｌｍｕｍ ｃｌｉｐ ｌｅｖｅｌ ｃ。ｅｍｃｉｅｎｔ
—
—
量化位数门限系数 最小量 仿真的最小
３仿真及实验结果分析
为了验证以上分析的正确性
，
本文采用蒙特
．
洛仿真，生成高斯分布的一组１０ ０００个随机信
？，对信号进行量化后比较实际数据的性能特性
与理论分析之间的差异。
图４是服从Ｎ（０，２０）、Ⅳ（１０
，
２０）、Ⅳ（１５．２０）
分布的信号经过４ｂｉｔ量化后
，
量化损耗与限幅门
限的关系，由图可知在低比特量化时信号的信噪
系数对最小量化损耗是有影响的
，
当均值由０
享化到１析是
０．０２１ｄＢ
５时，带来的最小损耗的变化值，理论分
，
仿真结果是０．０２７ｄＢ
，
仿真值与理
论分析值重合性很好。图５是相同的信号经过不
同量化位数的量化后
，
限幅门限与量化损耗
系，从图上可以看出，随着量化位数的增加
，
量化
耗会减小，其最优限幅门限的取值随着
～Ⅳ（Ｏ，２０）曩化理论值
— 一州Ｏ，２０）量化仿真结果
— 一
１０，２０）量化理论值
—
叶＿一 １０，２０）囊化仿真结果
—。 一
ｌ５，２０）量化理论值
—
Ⅳ（１５，２０）量化仿真结果
董
ｏ
．
Ｉ
ｌ
１．５ ２ ２３＂～
Ｃ
４不同信号量化损耗与限幅门限的关系
４
．
ｍｄｉｓｔｏｒｔｉｏｎ ｖｓ ｄｉｐ ’
础
第５期 刘小汇，等：高斯信号的量化分析
Ｅ墁化值
—
号一３ｂｉｔ量 ｔ仿真结果
—
一４ｂｉｔ盈 ￡理论值
—
十一４ｂｉｔ量一 Ｅ仿真结果
— 一５ｂｉｔ量 Ｅ理论值
—
Ｅ卜５ｂｉｔ量一 ｔ仿真结果
：，
：
：
Ａ
：
：
．．
、 ｊ｝
．
蔓 Ｉ目日口一
数麓 均方差 方差 量薰 化步长化步长
４结论
本文使用概率分布方法，从理论上推导出了
Ｎ（／ｚ， ）高斯随机信号量化门限的取值与量化损
耗的关系，以上推导方法同样适用于其他分布的
随机信号。通过分析，可以得出Ｎ（／ｚ， ）高斯分
布的随机信号在ＡＤ量化时量化损耗与限幅门限
的一些对实际工程具有指导意义的结论：
（１）限幅门限的取值对信号量化后的损耗有
影响，存在一个最优门限，使得量化后信号的损耗
最小。限幅门限通常在工程中的经验取值３ｏ＂，在
低比特量化时，实际会带来较大的偏差，如３ｂｉｔ量
化，经验门限值与最优门限值对应的损耗有
０．１５ｄＢ的差异，但在高比特量化时（大于５比
特），经验门限值与最优门限值对应损耗的差别
不大，通常小于０．００ｌｄＢ。
（２）信号的信噪比系数 （Ｋ＝ｇ／ ）对量化
的最小损耗有影响，信噪比系数 越大，其对应
的最小损耗也越大，在低比特量化时，如３比特量
化，当Ｋ由０增大至１时，带来的损耗增加了
０．１３ｄＢ；但随着量化位数的增加，其对损耗的影
响将会减小，在６比特量化时， 由０增大至１，带
来的损耗只增加了０．００２ｄＢ左右，可以忽略。
参考文献：
１Ｊ
１Ｊ １Ｊ １Ｊ
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１Ｊ １Ｊ
2024年6月10日发(作者：妫冰蓝)
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摘要：由于器件的约束条件不同，在数字信号处理中通常要对ＡＤ采样后的信号进行量化处理，如何提
高量化的性能是量化的关键。针对Ｎ（／ｚ，０．２）高斯分布的量化信号，使用理论推导的方式，得到量化损耗与限
幅门限的关系式，并推导出对应量化损耗最小的最优限幅门限公式，其推导方法同样适用于其他随机信号。
仿真试验证明了该公式的正确性，结论可应用于工程实现。
关键词：高斯信号；量化；限幅门限；量化损耗
中图分类号：ＴＮ９６７．１ 文献标识码：Ａ
Ａｎａｌｙｓｉｓ ｏｆ Ｑｕａｎｔｉｚａｔｉｏｎ ｏｆ Ｇａｕｓｓｉａｎ Ｓｉｇｎａｌｓ
ＬＩＵＸｉａｏ—ｈｕｉ ，ＨＵＡＮＧ ｎｇ。，ＸＩＥＪｉｎ—ｓｈｉ
（１．Ｃｏｌｌｅｇｅ ｏｆ Ｅｌｅｃｔｒｏｎｉｃ Ｓｃｉｅｎｃｅ ａｎｄ Ｅｎｓｉｎｅｅｒｉｎｇ，Ｎａｔｉｏｎａｌ Ｕｎｉｖ．ｏｆ Ｄｅｆｅｎｓｅ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｃｈａｎｇｓｈａ ４１００７３，Ｃｈｉｎａ；
２．Ｂｅｉｊｉｎｇ Ｇｌｏｂａｌ Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ ａｎｄ Ｄｅｖｅｌｏｐｍｅｎｔ Ｃｅｎｔｅｒ，Ｂｅｉｊｉｎｇ１０００９４，Ｃｈｉｎａ）
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｑｕａｎｔｉｚａｔｉｏｎ ｗｉｌｌ ｂｅ ｎｅｃｅｓｓａｒｙ ｉｎ ｔｈｅ ｄｉ６ｔＭ ｓｉｇｎａｌ ｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ ｂｅｃａｕｓｅ ｏｆ ｔｈｅ ｈａｒｄｗａｒｅ’ｓ ｒｅｓｏｕｒｃｅ．Ｉｔ ｉｓ ｉｍｐｏｒｔａｎｔ
ｔｏ ｉｍｐｒｏｖｅ ｔｈｅ ｐｅｒｆｏｒｍａｎｃｅ ｏｆ ｔｈｅ ｑｕａｎｔｉｚｅｒ．Ａｎ ｅｘｐｒｅｓｓｉｏｎ ｏｆ ｑｕａｎｔｉｚａｔｉｏｎ ｄｉｓｔｏｔｒｉｏｎ ｔｏ ｃｌｉｐ ｌｅｖｅｌ ｗａｓ ｄｅｒｉｖｅｄ ｔｈｅｏｒｅｔｉｃａｌ ｆｏｒ Ｊ７、ｒ（ ， ）
Ｇａｕｓｓｉｎａ ｐｄｆ ｓｉｎｇａ１．Ａｌｓｏ ｔｈｅ ｅｘｐｒｅｓｓｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｍｉｎｉｍａｌ ｑｕａｎｔｉｚａｔｉｏｎ ｄｉｓｔｏｒｔｉｏｎ ａｎｄ ｏｐｔｉｍｕｍ ｃｌｉｐ ｌｅｖｅｌ ＷａＳ ｄｅｄｕｃｔｅｄ．Ｔｈｅ ｒｅｓｕｌｔ
ｏｆ ｃｏｍｐｕｔｅｒ ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ ｉｓ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｅｘｐｒｅｓｓｉｏｎ ｃａｎ ｂｅ ｕｓｅｄ ｔｏ ｅｓｔｉｍａｔｅ ｔｈｅ ｏｐｔｉｍｕｍ ｃｌｉｐ ｌｅｖｅｌ ｅｆｆｅｃｔｉｖｅｌｙ ａｎｄ ｅｘａｃｔｌｙ ｉｎ ｔｈｅ ｒｅｌａｔｅｄ
ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ．
Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：Ｇａｕｓｓｉｎａ ｓｉｎｇａｌ；ｑｕａｎｔｉｚａｔｉｏｎ；ｃｌｉｐ ｌｅｖｅｌ；ｑｕａｎｔｉｚａｔｉｏｎ ｄｉｓｔｏｒｔｉｏｎｓ
数字信号处理中，ＡＤ是信号处理的前提，而 得到不同信噪比系数下最小量化损耗与对应限幅
量化又是ＡＤ转换的关键环节，如何获取尽可能
门限的关系表，最后通过实际信号仿真表明公式
高的性能是对量化研究的关键。对于均匀量化，
的正确性。
目前的研究多集中在不同的数字信号处理过程
中，量化位数对系统性能的影响上－１－３］；在量化门
１量化信号的损耗分析
限对量化性能的影响方面，许多研究指出，通过合
对ＡＤ采样后的离散信号 （凡）进行 ＋１
理选择量化的门限可以得到最优的量化损
（最高位为符号位）比特均匀量化，量化间隔为
耗ｌ４ 】，然而以上文献只通过数值仿真的方法给
△，量化结果 （ｎ）：
出了结论性的说明；文献［７］分析了量化间隔与
ｒ
量化信噪比损耗的关系，但是没有考虑限幅效应
（２ 一１）△ｘ（ｎ）≥（２ 一３／２）Ａ
对损耗的影响；Ｍａｘ在１９６０年计算出了Ｎ（０，１）
（ ）＝？ｉａ （ｉ一１／２）Ａ＜￣ｘ（ｎ）＜（ ＋１／２），４
标准高斯分布的量化信号的最优量化步长与最小
【一２ ｘ（ｎ）＜一（２ 一１／２）Ａ
均方误差的对应关系表 Ｊ，但所给出的公式无法
（１）
得到解析的解。本文以更普遍的Ｎ（／．ｔ， ）高斯
其中，ｉ＝一（２ 一１），…一１，Ｏ，１，…（２ 一２），总的
分布的信号为对象，首先分析了量化损耗的组成，
量化级数为 ＝２ｎ ，设量化满量程值 ，则量化
得出限幅门限对量化性能的影响公式，然后推导
间隔△＝ ／２ 引。
出最小量化损耗与限幅门限的关系式，说明量化
量化会引入量化噪声，量化噪声会带来一定
信号的信噪比系数（ ）对量化损耗有影响，并
的信噪比损耗，称量化损耗。若量化信号的噪声
・收稿日期：２０１１—０３—０２
作者简介：刘小汇（１９７６一），女，副研究员，博士生。
国防科技大学学报
方差为 ，由量化引起的量化噪声方差为 ，假
设量化信号与量化噪声不相关，则量化后总的噪
声方差： ＝ ＋ｏｒ：，定义量化损耗口
Ｌｏ ｓ：
‘
：１＋
‘
（２）
量化信号的概率分布不同，其量化损耗会有
不同。不失一般性，本文分析高斯分布的量化信
号，其他信号的分析方法类似。假设 （／７，）为
Ｎ（／ｚ， ）分布的高斯信号，概率密度函数为，（ ）
＝ｅ一 ／（ ）。当量化级数为Ｌ时，量化
区间为Ｑ ＝（一∞，Ｘ ），Ｑ：＝（ ， ），…，Ｑ ＝
（ 一 ，＋∞），则量化误差 （ｉ）＝ （ｉ）一 （ ），其
中ｉ＝一２ ，…，０，…，（２ 一１）。
易得Ｅ［ ］＝０，量化噪声方差 ：定义为
￡
ｇｒ；＝∑Ｉ ）ｄ
Ｊ： ｓ ）如＋ 』‘ ｓ ｓ）如＋Ｊ ８＋∞ ）
（３）
其中， 和 一 分别为负、正界的量化满量程值，
对于Ｂ＋１比特（最高位为符号位）量化的噪声方
差，由式（３）可知 ：＝ ：＋盯：，其中 ＝
￡一Ｉ
．
∑ｆ ｅ）ｄｅ称为量化间隔误差， ＝
ｆ‘ ）ｄｅ＋Ｊ ｓ）ｄｅ称为限幅误差。
文献［９］给出Ｎ（Ｏ， ）的高斯分布信号量化
间隔误差的公式，将公式进行扩展，可以推导得到
服从Ⅳ（ ， ）高斯分布的量化信号，其量化间隔
误差的公式：
Ａ２
２
＝
［－＋ ｃ。ｓ（２￣
ｎ３ｚ
）
△
，
ｅｘｐ（一 ）］ （４）
当 ／△≥１时，误差可以近似为
・２
：。 （５））
为了简化计算，对于多比特量化，假设限幅值
ｌ １ Ｉ＝ｌ
一
ｌ＝ ，量化ｆ＿丁限（２ 一１）△ ２ △＝
Ａ，限幅的误差定义为
ｒ
（ｉ）－Ａ （ｉ）＞Ｘｍ
（ｉ）＝ （ ）一露（ｉ）＝Ｊ０ Ｉ （ｉ）Ｉ≤
【 （ ）＋Ａ （ ）＜一
（６）
其中
＝
知＝２ △ （７）
将 正限幅时的概率分布函数记做Ｐ ＋，负
限幅时的概率分布函数记做Ｐ。一，它们分别可以
表示为
Ｐ ＋＝ｐ（ｘ＞Ｘ ）
：—
口０ ３
ｆ
Ｘｍ
ｅ一 ｄｘ
ｌ
＝
ｅｒｆｃ（ ） （８）
Ｐ
＝
一
Ｐ（ ＜一 ）
：
ｆ－ｘ＂ｅ＿
ｏｒ√２．ｒｒｊ一
ｌ
＝
ｅｒｆｃ（ ） （９）
其中，Ｑ（ｘ）＝扣（。 Ｌ４ ＝ ‘ 去 。
可以计算
，一 Ⅱ ，＋∞
Ｅ［ｓ］＝Ｊ最厂Ｊ
一
∞
（ ）ｄｅ＋Ｊ苣厂
ＪＸ
（８）ｄｅ＝０ （１０）
通过求正限幅时的条件概率函数 ＞Ａ）
和负限幅时的条件概率函数，（ Ｉ ＜一Ａ），可以
得到限幅误差 的条件二阶矩，进而得到限幅误
差的表达式：
２
：
Ｅ［占 ］：ｒｓＪ
一
∞
）如＋ｆ
Ｊ
＋ａｏ 占）如
ｍ
＝Ｐ ＋Ｅ［ Ｉ ＞ ］＋Ｐ。一Ｅ［ｓ ｌ ＜一Ｘ ］
＝ｅｒｆｃ（ Ⅲ ］
＋
±垒 。一
＋
丢ｅｒｆｃ（ ＋（Ａ＋／ｘ
＋ ｆ 二
（ ）２
一
２竹
（１１）
由式（５）和式（１１）司得到量化噪声方差的
表达式：
２ ２． ２
口 ｃ
＋ｏｒｃ
＝
号ｅ （ Ⅲ ］
＋一
ｏ－（／ｚ＋Ｘ，．－２Ａ）
ｅ一
￣／２订
＋
丢ｅ （ ］
＋ｏ－（Ｘ，，，－／ｘ－２Ａ）
・
ｅ一
￣／２耵
第５期 刘小汇，等：高斯信号的量化分析
．
。
：
１２（２ 一１、
，
小。值得一提的是，在以上的公式推导中，由于使
用了限幅值Ｉ Ｉ＝ｌ 一 Ｉ＝Ｘ 以及量化门限（２
１）△一２ △＝Ａ等近似处理，对于低比特（１．５或
２比特）量化的情形会带来较大误差，因此本文的
一
对于多比特量化，假设Ｘ 一 ，则
２
１
＝
ｅ （ａ－￣２）Ｅ ｏ＂２＋（Ａ－／ｘ） ］
。一
公式对于低比特量化不再适用。
＋
＋
丢ｅ （ ）［０－２＋（Ａ＋／ｘ
ｅ ＋
一
２
，ｆｆ
１２ ２
（ 一
１
厂
（１３）
于是量化损耗为
ｒｆｏ（Ｃ － Ｋ）Ｅ ｌ＋（Ｃ－Ｋ） ］
＋ 。一
￣／２订
＋
吉ｅ （ ）［１＋（ｃ ］ 图１ 多比特量化时限幅门限系数与量化损耗的关系Ｆ
ｉｇ．１ Ｑｕａｎｔｉｚａｔｉｏｎ ｄｉｓｔｏｒｔｉｏｎ ＶＳ．ｃｌｉｐ ｌｅｖｅｌ
岫幽¨眦ｈ Ｍ 岫ｍ 叫
一
＋ ＋ｌ（１４）
其中，Ａ／ ：ｃ 幅门限系 ， ，－ 为信噪 ２ 最佳限幅门限
比系数。由式（１４）得到的限幅门限系数与量化
损耗之间的关系如图１所示（Ｋ＝０），相同的信号
以下讨论最佳限幅门限的取值，通过对式
（１３）求导可得最佳限幅门限的表达式
嚣的关系表明： 盖 量化位数越高，损耗越小；罢 罘 存在一个
最优的限幅Ｉ＇－Ｊｌ￣，使得在量化位数一定时，量化损
ＯＡ＝。
已知误差函数求导数为
，
一
耗最小；对于多比特量化，当限幅门限小于最优门
限时，门限的减小会带来损耗的显著恶化，当限幅
门限大于最优门限，门限的变化对损耗的影响很
２
０－
一
．
旦ｅ （ ）
ｄｃ
：一
．
孚 （１６）
订
式（１５）可以计算得到
）＋（Ａ＋ＩＸ
（ ）＋
＼ 一 ） 己
２
订
［ｅ ２ｏ－２ ］＋（Ａ－／ｘ
＝Ｋ，整理后得
（
－０（１７）
。 厶
４
ａ 厶
令Ａ／０．＝Ｃ，
Ｂ
＝
ｌｏｇ２｛【
ｆ
（１８）
上式即为最小量化损耗下，Ｊ７、ｒ（ ， ）的高斯
分布信号 的量化位数曰与限幅门限系数ｃ之
间的关系式。若定义最小量化损耗对应的量化限
幅门限系数为最优系数ｃ ，由公式可见，最佳限
数 均有关系。图２是在相同的量化位数（４比
大，相应限幅门限也越大。图３给出了在３、４、５、
６比特量化时，不同 值对应的最小量化损耗，随
着量化位数的增大， 值对量化损耗的影响将越
来越小，表１列出了Ｂ＝５（６比特量化）的量化位
对不同Ｋ值信号进行量化，最佳限幅门限
幅门限系数Ｃ 的取值与信噪比系数 和量化位
数下，
与最小量化损耗的结果，当Ｋ由０增大至１时，带
来的损耗只增加了０．００２ｄＢ左右，可以忽略。作
特量化）下，不同信噪比系数的信号，其限幅门限
系数Ｃ与量化损耗Ｌｏｓｓ的关系。由图２可见，
３组信号由于信噪比系数 值的影响，其最小量
为对比，同时也列出了数值仿真的结果。
化损耗会有不同， 值越大，其对应的损耗也越
国防科技大学学报
——
Ⅳ（１，２ｏ）
— 一
Ⅳ（５，２ｏ）
＋Ⅳ（ｉ５，２０
露 ∞ｏ
● ，， ０ ，捌 ｎ — ，， ｎ
Ｏ．４
——
ｏ－３５
３ｂｉｔ量化
—
争～４ｂｉ 量化
∞
—— ～
Ｏ－３
５ｂｉｔ量化
Ｑ
七
３
蛆
廿
０
苦
写
０．Ｉ５
ｇ
０． １
旨
瘩
羔
。．。
』
０．２ ０
４ ——
．
图３不同量化位数下，信噪比系数
对应的最小量化损耗
ｎｇ・３ ＳＮＲ ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔ ＶＳ
．
ｍｉｎｉｍｕｍ ｑｕａｍｉｚａ１；Ｊｏｎ
ｄｉｓｔｏｒｔｉｏｎ ｕｎｄｅｒ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ ｑｕａｎｔｉｚａｔｉｏ
ｎ
表１ 信噪比系数与最佳门限系数关系
Ｔａｂ・１ ＳＮＲ ｃｏｅ￣ｃｉｅｎｔ Ｖ８ ｏｐｔｉｍｕｍ
ｃＨｐ ｌｅｖｅｌ ｃｏｅｍｃｉｅｎｔ
３￣１３｝ｙｋ３比特量化变成４比特量化
，
其对应的最小
损耗会有Ｏ．１５ｄＢ左右的改善
，
当量化位数大于７
时，其对应的最小量化损耗差别已经不大
。
表２量化位数与最佳门限系数关系
Ｔａｂ
．
２ Ｑｕａｎｔｉｚａｔｉｏｎ ｂｉｔｓ ｖｓ。ｐｔｌｍｕｍ ｃｌｉｐ ｌｅｖｅｌ ｃ。ｅｍｃｉｅｎｔ
—
—
量化位数门限系数 最小量 仿真的最小
３仿真及实验结果分析
为了验证以上分析的正确性
，
本文采用蒙特
．
洛仿真，生成高斯分布的一组１０ ０００个随机信
？，对信号进行量化后比较实际数据的性能特性
与理论分析之间的差异。
图４是服从Ｎ（０，２０）、Ⅳ（１０
，
２０）、Ⅳ（１５．２０）
分布的信号经过４ｂｉｔ量化后
，
量化损耗与限幅门
限的关系，由图可知在低比特量化时信号的信噪
系数对最小量化损耗是有影响的
，
当均值由０
享化到１析是
０．０２１ｄＢ
５时，带来的最小损耗的变化值，理论分
，
仿真结果是０．０２７ｄＢ
，
仿真值与理
论分析值重合性很好。图５是相同的信号经过不
同量化位数的量化后
，
限幅门限与量化损耗
系，从图上可以看出，随着量化位数的增加
，
量化
耗会减小，其最优限幅门限的取值随着
～Ⅳ（Ｏ，２０）曩化理论值
— 一州Ｏ，２０）量化仿真结果
— 一
１０，２０）量化理论值
—
叶＿一 １０，２０）囊化仿真结果
—。 一
ｌ５，２０）量化理论值
—
Ⅳ（１５，２０）量化仿真结果
董
ｏ
．
Ｉ
ｌ
１．５ ２ ２３＂～
Ｃ
４不同信号量化损耗与限幅门限的关系
４
．
ｍｄｉｓｔｏｒｔｉｏｎ ｖｓ ｄｉｐ ’
础
第５期 刘小汇，等：高斯信号的量化分析
Ｅ墁化值
—
号一３ｂｉｔ量 ｔ仿真结果
—
一４ｂｉｔ盈 ￡理论值
—
十一４ｂｉｔ量一 Ｅ仿真结果
— 一５ｂｉｔ量 Ｅ理论值
—
Ｅ卜５ｂｉｔ量一 ｔ仿真结果
：，
：
：
Ａ
：
：
．．
、 ｊ｝
．
蔓 Ｉ目日口一
数麓 均方差 方差 量薰 化步长化步长
４结论
本文使用概率分布方法，从理论上推导出了
Ｎ（／ｚ， ）高斯随机信号量化门限的取值与量化损
耗的关系，以上推导方法同样适用于其他分布的
随机信号。通过分析，可以得出Ｎ（／ｚ， ）高斯分
布的随机信号在ＡＤ量化时量化损耗与限幅门限
的一些对实际工程具有指导意义的结论：
（１）限幅门限的取值对信号量化后的损耗有
影响，存在一个最优门限，使得量化后信号的损耗
最小。限幅门限通常在工程中的经验取值３ｏ＂，在
低比特量化时，实际会带来较大的偏差，如３ｂｉｔ量
化，经验门限值与最优门限值对应的损耗有
０．１５ｄＢ的差异，但在高比特量化时（大于５比
特），经验门限值与最优门限值对应损耗的差别
不大，通常小于０．００ｌｄＢ。
（２）信号的信噪比系数 （Ｋ＝ｇ／ ）对量化
的最小损耗有影响，信噪比系数 越大，其对应
的最小损耗也越大，在低比特量化时，如３比特量
化，当Ｋ由０增大至１时，带来的损耗增加了
０．１３ｄＢ；但随着量化位数的增加，其对损耗的影
响将会减小，在６比特量化时， 由０增大至１，带
来的损耗只增加了０．００２ｄＢ左右，可以忽略。
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Ｓｆｉｐａｄ Ａ，Ｓ￣ｙｄｅｒ Ｄ．Ａ Ｎｅｃｅｓｓａｒｙ ａｎｄ Ｓｕｆｉｆｃｉｅｎｔ Ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ ｆｏｒ
Ｑｕａｎｔｉｚａｔｉｏｎ Ｅｒｒｏｒｓ ｔｏ ｂｅ Ｕｎｉｆｏｒｍ ａｎｄ Ｗｈｉｔｅ［Ｊ］．Ａｃｏｕｓｉｔｃｓ
Ｓｐｅｅｃｈ ａｎｄ Ｓｉｎｇａｌ Ｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ，１９７７，２５（５）：４４２—４４８．
１Ｊ １Ｊ