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black-scholes几种推导方法
2024年6月11日发(作者：严翊君)
第3章 期权定价理论
3.1 期权定价理论的发展
3.1.1 早期模型
早在公元前1200年的古希腊和古尼基国的贸易中就已经出现了期权交易的雏形，只不
过当时条件下不可能对其有深刻认识。
法国学者路易斯·巴舍利耶(Louis Bachelier)是迄今为止所知最早的用理论模型研究期权
定价问题的提出者。1900年，他在博士论文《投机理论》中，假设股票价格按无漂移和每
单位时间具有
2
的绝对布朗运动变化，得到不分红股票的欧式买入期权的定价公式为：
c(S,T)
SN(
S
TS
KK
S
)
KN()
Tn()
T
T
T
其中：
S
为股票价格,
K
为执行价格，
T
为期权到期的时间，
c
S,T
为欧式买入期权价
格,
收益的瞬时标准差，
N
为标准正态分布的分布函数，
n
为标准状态分布的概率密
度函数。该公式允许有负的证券价格和期权价格,而且没有考虑资金的时间价值
[50]
。
巴舍利耶的研究成果为后人指引了方向。但是他在建模时有3个缺陷:
(1)假设股票价格服从正态分布，使得股价出现负值的概率大于0;
(2)认为买权价值在离到期日足够远的时候价值可能大于标的股票的价值;
(3)假设股票的期望收益为零。
这都是与实际情况不符合的。
在巴舍利耶以后，期权定价理论的进展主要是在应用计量经济模型方面。其中经典的
成果是卡苏夫(Kassouf)的工作，他利用下面式子估计看涨期权价格:
S
C
X
X
1
1
1
，
1
其中
S,X
分别为期权执行价格和股票价格。这一公式限定了看涨期权的最高价格是股
票价格，最低价格至实值
max
0,SX
。卡苏夫通过到期时间，股票收益和其他变量估计
参数
，从而确定期权定价模型。卡苏夫计量模型的不足是缺乏微观基础。
20世纪60年代，期权定价理论取得新的进展。1961年斯普林克尔(Sprenkle)假设股票
价格的动态过程满足对数正态分布，而且股票价格具有固定平均值和方差，进一步通过在
随机游走过程中引入正向漂移，这样就直接排除了证券是非正价的可能性。他的欧式买入
期权公式为：
0
2009届本科生毕业论文 期权定价理论的发展与应用
c(S,T)
e
T
SN(d
1
)
(1
A)KN(d
2
)
其中：
d
1
1
2
S
ln()
(
)T
2
T
K
1
d
2
d
1
T
其中
S,K
分别为期权执行价格和股票价格，
是股票价格的波动率，
T
为期权有效期，
表示股票价格的平均增长率,
A
表示风险厌恶程度。
斯普林克尔提出了“股票价格服从对数正态分布”的基本假设，肯定了股价发生随机漂
移的可能性。但该模型忽略了货币的时间价值，而且该公式中股票价格的平均增长率和对
应风险厌恶程度为两个主观变量必须估计，使其在应用上受到了限制。
1964年博内斯(Boness)考虑了货币的时间价值，另外还假设投资者对风险的态度是无差
异的，假定股票收益率为一个固定的对数分布，利用股票的期望收益率，通过将到期股票
价格贴现，其欧式买入期权公式为：
c(S,T)
SN(d
1
)
Ke
T
N(d
2
)
其中：
d
1
1
2
S
ln()
(
)T
2
T
K
1
d
2
d
1
T
博内斯将货币的时间价值的概念引入期权定价过程，但没有考虑期权和标的股票之间风险
水平的差异。该公式与Black-Scholes公式完全相同，但此处的
是股票的预期收益率而不
是无风险收益率。
同年，Sharpe和Lintner提出了资本资产定价模型(CAPM)；先求解资本资产的一个期望
值，然后再求出这个值从到期日贴现到当前的贴现值。但结果依赖于投资者对风险的厌恶
程度。
1965年萨缪尔森(Samuelson)意识到不同的风险会导致期权和股票的期望收益不同。对
应于股票的期望收益
，他给定期权的期望收益为一个较高的常数
。他的欧式看涨期权
的价格公式为：
c(S,T)
Se
(
)T
N(d
1
)
Ke
T
N(d
2
)
其中：
d
1
1
2
S
ln()
(
)T
2
T
K
1
d
2
d
1
T
上面的Boness公式是
时的特例。萨缪尔森将前人的研究成果统一在一个模型中，
1
2024年6月11日发(作者：严翊君)
第3章 期权定价理论
3.1 期权定价理论的发展
3.1.1 早期模型
早在公元前1200年的古希腊和古尼基国的贸易中就已经出现了期权交易的雏形，只不
过当时条件下不可能对其有深刻认识。
法国学者路易斯·巴舍利耶(Louis Bachelier)是迄今为止所知最早的用理论模型研究期权
定价问题的提出者。1900年，他在博士论文《投机理论》中，假设股票价格按无漂移和每
单位时间具有
2
的绝对布朗运动变化，得到不分红股票的欧式买入期权的定价公式为：
c(S,T)
SN(
S
TS
KK
S
)
KN()
Tn()
T
T
T
其中：
S
为股票价格,
K
为执行价格，
T
为期权到期的时间，
c
S,T
为欧式买入期权价
格,
收益的瞬时标准差，
N
为标准正态分布的分布函数，
n
为标准状态分布的概率密
度函数。该公式允许有负的证券价格和期权价格,而且没有考虑资金的时间价值
[50]
。
巴舍利耶的研究成果为后人指引了方向。但是他在建模时有3个缺陷:
(1)假设股票价格服从正态分布，使得股价出现负值的概率大于0;
(2)认为买权价值在离到期日足够远的时候价值可能大于标的股票的价值;
(3)假设股票的期望收益为零。
这都是与实际情况不符合的。
在巴舍利耶以后，期权定价理论的进展主要是在应用计量经济模型方面。其中经典的
成果是卡苏夫(Kassouf)的工作，他利用下面式子估计看涨期权价格:
S
C
X
X
1
1
1
，
1
其中
S,X
分别为期权执行价格和股票价格。这一公式限定了看涨期权的最高价格是股
票价格，最低价格至实值
max
0,SX
。卡苏夫通过到期时间，股票收益和其他变量估计
参数
，从而确定期权定价模型。卡苏夫计量模型的不足是缺乏微观基础。
20世纪60年代，期权定价理论取得新的进展。1961年斯普林克尔(Sprenkle)假设股票
价格的动态过程满足对数正态分布，而且股票价格具有固定平均值和方差，进一步通过在
随机游走过程中引入正向漂移，这样就直接排除了证券是非正价的可能性。他的欧式买入
期权公式为：
0
2009届本科生毕业论文 期权定价理论的发展与应用
c(S,T)
e
T
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1
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(1
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其中：
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其中
S,K
分别为期权执行价格和股票价格，
是股票价格的波动率，
T
为期权有效期，
表示股票价格的平均增长率,
A
表示风险厌恶程度。
斯普林克尔提出了“股票价格服从对数正态分布”的基本假设，肯定了股价发生随机漂
移的可能性。但该模型忽略了货币的时间价值，而且该公式中股票价格的平均增长率和对
应风险厌恶程度为两个主观变量必须估计，使其在应用上受到了限制。
1964年博内斯(Boness)考虑了货币的时间价值，另外还假设投资者对风险的态度是无差
异的，假定股票收益率为一个固定的对数分布，利用股票的期望收益率，通过将到期股票
价格贴现，其欧式买入期权公式为：
c(S,T)
SN(d
1
)
Ke
T
N(d
2
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其中：
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1
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T
博内斯将货币的时间价值的概念引入期权定价过程，但没有考虑期权和标的股票之间风险
水平的差异。该公式与Black-Scholes公式完全相同，但此处的
是股票的预期收益率而不
是无风险收益率。
同年，Sharpe和Lintner提出了资本资产定价模型(CAPM)；先求解资本资产的一个期望
值，然后再求出这个值从到期日贴现到当前的贴现值。但结果依赖于投资者对风险的厌恶
程度。
1965年萨缪尔森(Samuelson)意识到不同的风险会导致期权和股票的期望收益不同。对
应于股票的期望收益
，他给定期权的期望收益为一个较高的常数
。他的欧式看涨期权
的价格公式为：
c(S,T)
Se
(
)T
N(d
1
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其中：
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上面的Boness公式是
时的特例。萨缪尔森将前人的研究成果统一在一个模型中，
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