2024年6月12日发(作者：蹉梦凡)
2021
年第
40
卷第
5
期
传感器与微系统(
TransPucev
and
Microsystem
Technologies
)
45
DOI
：
3.
03873/J.
300-9787(2021)05-0045-04
电气化铁路钢轨内阻抗计算研究
*
*
王东
，
张友鹏
，
赵斌
(兰州交通大学自动化与电气工程学院
，
甘肃兰州
730070
)
摘要
：
为解决因集肤效应和钢轨横截面不规则造成的钢轨内阻抗计算困难的问题
，
在把钢轨等效为圆
柱形导体的基础上
，
分别推导出钢轨在电流低
、
高频时的内阻抗计算公式
；
根据
RoVe平均值定理及
Mocmurmn
近似公式
，
得到整个频率范围内钢轨内阻抗的计算公式;利用有限元法对钢轨模型进行仿真计
算
。
结果表明:所推导的钢轨内阻抗计算公式能正确地反映钢轨交流电阻和内电感随电流幅值
、频率的变
化规律
。
将计算结果同有限元仿真结果对比
，
相对误差小于
6
%
,
验证了该计算公式的正确性
，
从而为牵
引供电系统建模时钢轨内阻抗的计算提供了可靠的理论基础。
关键词：
钢轨内阻抗
；
集肤效应
；Rollo
平均值定理
；
Mocmu/an
近似公式
；
有限元仿真
中图分类号
：
U284.2
；
TP14
文献标识码
：
A
文章编号
：
300-9787(2021)05-0045-34
Sidy
on
colchlation
of
intesal
impedance
for
rail
of
electrio
rsilwa
*
WANG
Dong
,
ZHANG
Yoppexg
,
ZHAO
Bin
(School
of
Automation
&
Electricoi
Engineering
,
Lanzhou
Jiaotong
University
,
Lanzeou
730070,China)
Abstroct
:
In
orkev
to
deal
with
the
diXicuVu
in
cakumUox
of
rail
internal
inipeiance
causei
U
v
shin
elect
and
Xreaulov
sectioxs
of
the
rail
,
the
rail
is
taPen
os
a
cylingkcol
conductev
at
first.
Basel
ox
that
,
the
formula
of
internal
inipeiance
undev
the
current
ot
both
kw
and
high
fmxuency
are
de/vei.
According
to
the
de/vei
formulae
and
Rolle
s
overage
value
theorem
os
well
os
Mocmu/an
approximate
formula
,
the
formula
aPapteU
to
the
whole
fmxuency
range
is
oPtainel.
Finite
element
methoP
is
usei
ox
the
rail
mobel
to
simulate
and
calculate
the
ixpeiance.
The
result
shows
that
the
formula
can
correctly
reUeet
the
change
rules
of
rail
alkrnakng
current
resistance
and
internal
inductance
with
current
amplituUo
and
fmxuency.
The
error
between
the
cakumUox
result
and
the
simuktiox
result
is
less
than
6
%
,
which
verifies
the
formula.
The
research
can
be
a
theoretical
basis
for
the
cakulakox
of
rail
internal
impeiance
undev
the
estaUVshment
of
a
tractiox
power
suppm
system
mobel.
Keywordi
:
rail
internal
impeiance
:
shin
elect
；
Rollo
'
s
average
value
theorem
；
MacVu/an
approximatiox
formula
;
Unite
element
simuVtiox
0
引言
钢轨作为电气化铁路牵引供电系统的重要组成部分,
考虑集肤效应计算导体内阻抗时
，
可以直接解析求解
，
但对
于像钢轨这种具有不规则横截面的导体
，
直接求解内阻抗
时较为困难
。
目前对于考虑集肤效应计算不规则导体内阻抗时
，
一
般采用将不规则导体等效为圆柱体模型的做法
28
。
Silvester
P
等人理论研究了圆柱形导体的集肤效应,为钢轨
除了支撑和引导列车运行外
，
还是牵引电流回流和轨道电
路信号电流的共同通道
。
钢轨阻抗是轨道电路设计中重要
的一次侧参数
，
阻抗大小影响着轨道电路的传输性能
2
］
。
钢轨内阻抗是钢轨阻抗计算中极为重要的一部分
，
精确计
算钢轨内阻抗对于保证轨道电路传输性能和列车运行安全
具有重要意义
2
］
。
交流电流流经钢轨时
，
由于集肤效应的存在
，
导致电流
内阻抗的计算提供了理论依据
2
］
;
Dommol
H
W
和
Semiyen
A
等人分别通过对Bessel
函数进行多项式近似和渐近展开
计算了圆导线的内阻抗卩'
6
；
陈彩屏使用
Bessel
函数计算
分布不均匀,主要集中分布在钢轨表面
。
集肤效应会导致
了大参数下空心圆导线的内阻抗
27
；
HX1
R
J
等人基于有限
钢轨交流电阻的增加和内电感的减少
。
对于圆柱形导体,
元法研究了钢轨交流内阻抗随电流
、
频率的变化规律
，
并与
收稿日期
：
233
-
3
-25
*
基金项目
：
国家自然科学基金资助项目
C1367813
)
46
传感器与微系统
第
40
卷
z
c
=
槡
Z
r
+
Z
e
=
R
DC
j
1
+ju
”
•
S/(
R
dc
/
)
实测数据对比
，
表明有限元法可用于钢轨内阻抗的计
算⑻
，
但计算所需资源较大;朱峰等人将钢轨等效为圆柱
(
3
)
1.6
内阻抗的计算
计算圆导线内阻抗时
，
将涉及到
Bessel
函数。
SchelPunoff
公式表明
[0]
,在频率产
0
时
，
对于圆柱形导体,
形导体，
推导出内阻抗计算公式
，
并利用多项式近似对
Bes
wl
函数进行近似
[9]
,但是计算与仿真结果同实验数据
相比误差较大
。
Bessel
函数变量
/T•
0,
得到
Bessel
函数值为
本文在把钢轨等效为圆柱形导体的基础上
，
分别推导
出钢轨在低频和高频时的内阻抗公式
。根据Rolle
平均值
定理和
Macmuriap近似公式,对低频和高频时钢轨内阻抗
1
3
(0)
=1571
1
(/)
T
1/2,K
0
(0)
=0,^()
)
^
5s
(6
)
式中
13
(
0)
51(
)
分别为第一类修正的零阶
、
一阶
Bessel
函数
;K
0(
0
)
,心()分别为第二类修正的零阶
、
一阶
Bessel
函数
。
因此
，
对于频率
(
0,
根据式
(6
)
中
Bessel
函数的
公式进行处理
，
得到整个频率范围下内阻抗计算公式。
利
用该计算公式编程计算不同型号钢轨的内阻抗
，
并分析内
值，
计算低频内阻抗为
阻抗随电流幅值
、
频率的变化规律。同时
，
基于有限元法仿
真计算钢轨模型
，
并将内阻抗计算公式的计算结果与有限
元仿真结果进行对比
，
相对误差小于6
%
，
且仿真结果与计
算结果变化趋势一致
，
从而为牵引供电系统建模时钢轨内
阻抗的计算提供了可靠的理论依据
。
1
理论推导
1.
6
直流内阻抗
导体的直流内阻抗(电阻)与导体横截面形状无关
，
仅
与导体横截面面积
、
电阻率
、
长度有关
，
单位长度导体的直
流内阻抗为
Z
dc
==/
S
=
R
dc
(
1
)
式中
s
为导体的横截面积;
2
为导体的电阻率。
1.2
交流内阻抗
导体中流过交流电流时
，
由于集肤效应的存在,导致电
流在导体横截面上分布不均匀，
电流主要分布在导体表面
一定的集肤深度内
,
导体集肤深度为
h
4
=
槡
p/jU"
(2
)
式中
i
为虚数单位;
3
为角频率；
”
="
謬
3
为导体的磁导
率
("r
为导体的相对磁导率
，
“
0
=4
n
X10-
3
H
-
m_
5
为真空
磁导率)
。
为方便计算导体交流内阻抗
，
假设电流在导体集肤深
度内均匀分布
，
得到交流内阻抗公式为
z
af
==/
S
af
=p/
j
X
h
c
=
槡
j
u
r/
2
()
式中
/
为导体圆周长度;
S
af
为集肤深度内电流分布层
面积
。
为计算整个频率范围内导体的内阻抗,对低频和高频
的内阻抗计算公式进行处理
。
定义函数
/
(
3
)
在
[0,8
]
上
连续可微,且为非零函数
，
当
/()
与
/
(
3T8
)
已知时
，
根据
Rolle
平均值定理及
Macmp/ap
近似公式,(
)
可以表示为
/
4
(
3)
=/
4
(
0
)
+7"
4
(
3
^
8
)
,0
^x^
8
(4)
直流内阻抗计算式
(
1
)
与交流内阻抗计算式
(3
)
分别
对应于函数
/
(3
)
的
/(0
)和
/()
—
8
)
,
因此,根据式
(4
)
得
到整个频率范围内导体内阻抗为
Z
dc
CM
3
)=
F
m
[
ju
“
%
1
(
3
0
)
«1
(
3
i
)
+
(
3
0
)
1
(
3
i
)
]
)
1
1(
3
0
)
«
1(
)
)
-^
1(
3
0
)
1
1(
3
1
))
=lim[ji/n(
尸
3
3
4
—
殊
)
]
(7
)
式中
/
1
=
h/h
c,
3
0
=
h^S
c,
i
l
与
h
为等效圆柱形导体的
内
、
外半径
。
将式
()
中的
h
代入式
(7),
得到当频率产
0
时
，
导体
低频内阻抗为
Z
dc
CM
0
)
=p/z(
h
—
h
)
=
r
dc
(
7
)
当频率较高时
(8
,
Bessel
函数变量
，
得到
Bessel
函数值为
/
T
8
：
1(3)
T
e
/
/
h
/
j
)^
/
；
K
”
(
/)
t
槡
("/2/
)
/
(
(9
)
因此
，
对于频率产
8
，
根据式
(
9)
中
Bessel
函数的值,
计算高频内阻抗为
Z
m
C/T
s
)
=
]im
[
ju
/
%
1
(
3
0
)
«
1
(
3i
)
+«
0
(
3
0
)
1
(
3
i
)
]
/FSn)
1(
3
0
)
K,
3
,
)
-^1(
3
0
)
1
(
3
,
)
)
=
jj
U
//
2
n
h
(
0
)
根据式
()
对式
(8)
与式
(
7
)
进行处理,得到整个频率
范围内导体内阻抗为
z
C
=心
槡
5
+ju
/[
5
—
(
h/h
)
坷/
2
^
r
dc
(
1
)
2
钢轨等效模型
由于钢轨横截面不规则
，
呈
“
工
”
字型
，
与平时常见的
圆导线不同,考虑集肤效应时无法直接解析计算内阻抗
，
因
此,将钢轨等效成圆柱形导体。
根据钢轨的横截面积和横
截面周长
，
得到等效的圆柱形导体的内半径
h
外半径
h
分
别为
r
0
=
J
/
2
n
h
=
j
(/
/
2
1
)
4
-
S
/
n
(
5
)
式中
A
为钢轨的横截面周长
;/
为钢轨的横截面积
。
钢轨长度为
1
叫
钢轨电阻率
P=2.
1
xi0-
3
n
-
叫
相
对磁导率
/
=100,根据式(12
)
计算不同型号钢轨的参数,
第
5
期
王
东
，
等
：
电气化铁路钢轨内阻抗计算研究
47
1.2
如表
1
所示
。
1.5
表
1
不同型号钢轨的基本参数
1.0
1.0
0.8
P43
P50
P60
P75
钢轨型号
参数
横截面积
2
/cm
2
-
P
48
35.
3
0
0.6
P43
P50
P60
P75
P53
63.
3
0
62.
3
0
8
74
9,
75
P60
77.43
P
5
93.
8
0
74.00
0.5
0
L
0
0.4
0.2
4000
频率
+Hz
8
000
0
4000
频率
/Hz
8
000
横截面周周长
2
/cm
等效内半径
2,
/cm
56.3
0
65.
3
0
5.
44
&
42
9444
3.
75
3.41
11.
46
0.0221
(a)
交流电阻与频率关系
(b)
电感与频率关系
等效外半径
2/cm
直流电阻
R
dc
/
(
Q
•
km-
)
图
2
不同型号钢轨内阻抗随频率变化
1
0.338
8
0.3
819
0.0271
电阻逐渐变大
，
在低频时变化比较明显
，
而随着频率的增
3
有限元仿真
大
，
变化越来越小
。
在同一频率下
，
钢轨横截面越小
，
其交
以钢轨型号为
60
kg/m
的
P60
型钢轨为例
，
按照钢轨
的实际尺寸,
：
1
比例完成钢轨模型的绘制
，
并根据实际情
况设置钢轨的材料参数
。
仿真中
，
钢轨电阻率为
p
由于钢
轨是铁磁性材料
，
根据文献
23
，
获得钢轨的
B-H
曲线参
数
。
集肤效应实际是涡流效应的体现
，
因此在仿真中使用
涡流求解器,激励设置为正弦工频
50
H
z
电流
。
对模型网
格剖分时,考虑集肤效应，
根据集肤因子确定网格的大小
。
钢轨模型剖分结果如图
1(a)
所示
。
对模型进行仿真计算
，
得到钢轨横截面的电流密度分布图
，
如图
1(b)
所示
，
由于
集肤效应
，
电流主要趋向于钢轨表面分布
。
■
J[A_per_m2]
6.0877
!
10
4
■
5.6760
x
l0
4
5.2643
X
10
4
4.8527
!
10
4
4.4410
!
10
4
4.0293
!
10
4
3.6177
x
10
4
3.2060
!
10
4
2.7943
!
10
4
2.3826
!
10
4
1.9710x
10
4
1.5593x
10
4
1.1476x
10
4
.7.3594
■
3.2426
!
!
10
10
3
3
■
-
8.7410
X
10
2
■
T.9908
X
10
3
(a)
钢轨网格剖分
(b)
'轨电流密度分布
图
1
有限元仿真
通过计算欧姆损耗和磁场储能,分别得到钢轨交流内
电阻与电感
，
其中电感的计算结果包含模型的外电感和内
电感
，
本文主要研究钢轨内电感的变化规律
。
当电流频率
极高时，
电流集中分布在钢轨表面
，
此时可认为钢轨内部无
电流分布,从而得到钢轨外电感
，
将有限元计算的电感数据
减去外电感即为钢轨内电感。
4
钢轨内阻抗影响因素分析
4.
1
频率的影响
钢轨是轨道电路信号电流与牵引电流的通道,而轨道
电路信号电流的频率范围为
1770
-2600
Hz
,
牵引电流频率
为
55
Hz,
因此，
频率范围较宽
。
为研究不同型号钢轨内阻
抗在较宽频率范围内的变化规律
，进行
0
~3
kHz
范围内
的扫频
。
不同型号钢轨的基本参数如表
1
所示
，
根据
式
(11
),
编程计算在
0
~3
kHz
范围内钢轨内阻抗随频率
的变化规律,计算结果如图
2
所示
，
钢轨交流电阻和内电感
与频率呈非线性关系
。
从图
2(a)
可以看出
，随着电流频率的增加
，
钢轨交流
流电阻值越大
。
从图
2(b
)
可以看出
，
随着电流频率的增
加,钢轨内电感逐渐减小
，
在低频时特别明显
，
而随着频率
的增大
，
钢轨内电感趋于稳定值
，
且不同型号钢轨的内电感
稍有不同
。
在同一频率下
，
钢轨横截面越小
，
其电感值越
大
，
但差值较小
4.
2
电流的影响
钢轨中同时存在信号电流和牵引电流时
，
信号电流幅
值大小为毫安
(mA)
级,而牵引电流幅值较大
，
一般为几百
安培
，
因此
，
研究电流幅值对内阻抗影响时,钢轨中电流主
要为工频
55
Hz
的牵引电流
。
以
P60
型钢轨为例,其基本
参数如表
1
所示
。
由于钢轨是铁磁材料
，
不同电流幅值下
钢轨的相对磁导率将发生变化
，
所以钢轨内阻抗在不同电
流下也将发生明显的变化
。
利用安培环路定理计算出不同
电流幅值所产生的的磁场强度
，
钢轨相对磁导率
Mr
与磁场
强度
H
之间的函数关系
，
得到不同电流幅值对应的钢轨相
对磁导率
r
的值
，
如表
2
所示
。
表
2
工频情况下不同电流幅值对应的钢轨相对磁导率
电流
//
磁场强度
H
J
相对
电流
/
磁场强度
H/
相对
A
(
A
•
cm
_1
)
磁导率
r
A
(A
•
cm
_1
)
磁导率
r
100
1.0
30
600
8.0
530
260
8.0
260
730
3.2
490
380
4.3
370
&0
11.7
430
△oo
5.0
450
900
13.8
445
530
7.2
430
10
0
0
14.0
426
在工频
(2=5
5
Hz)
情况下
，
将表
2
中不同幅值电流对
应的磁导率
r
的值代入式
(11)
，
得到钢轨交流电阻与内电
感随电流幅值变化的规律
，
如图
3
所示
。
(a)
电阻关于电流
(b)
电感关于电流
图
3
P60
钢轨内阻抗随电流变化
从图
3
可以看出
，
钢轨交流电阻与内电感先随电流增
48
传感器与微系统
ratus
and
Systems
,
1367
,
PAS
-77(3)
：
7
/
—
yD.
第40
卷
大而增大,达到最大值后开始缓慢减小
，
其主要是由于钢轨
是铁磁材料
，
随着电流的增大
，
将出现磁饱和效应
，
即磁导
率随电流先开始增大
，
当电流超过某一限定值后
，
磁导率随
[3
]
DOMMEL
H
W.
OverkeaP
Ude
parameters
from
handboob
formu
las
and
computes
proprams
[
J
]
.
IEEE
TmnsactWhs
ox
Powes
电流的增大而缓慢减小,从而出现上述情况
。
同时也可以
看出
，
计算值与有限元仿真结果变化趋势一致
，将两者对比
Apparatus
and
Systems
,
1
737
,54(2
)
：
333
—
372
.
[4
]
SEMLYEN
A
,
DERI
A.
Time
domaic
modelling
of
f/quedch
后
，
相对误差均小于
6
%
。
Uesesdest
th/e-phase
trassmissiox
lide
impedayce
[
J
]
.
IEEE
T/nsactWhs
ox
Powes
Apparatus
and
Systems
,
1737
,
PAS
—
4
结
论
1
)
考虑钢轨不规则截面和集肤效应计算钢轨内阻抗
104
(
6
)
：
1549
—
1555
5
J]
陈彩屏.空心圆导线阻抗的计算
[J
]
湖南大学学报,
时
,运用本文推导的内阻计算公式
,
计算结果与有限元仿真
结果对比,相对误差小于6
%
。
1975
(
4
)
：
37
—
46
．
[8
]
HIPL
R
J,
CARPENTER
D
C.
Determisatiox
of
rail
interval
impedayce
for
electric
/ilway
tractiov
system
simulatiov
[
J
].
IPE
Proceedings
B
Elect/c
Powes
Applicatiovs
,
1931,173(4f
：311
—
2)
给出了内阻抗计算公式在不同型号钢轨下交流电
阻和内电感随频率变化的曲线
，
表明不同型号钢轨在同一
频率下
，
电阻值差异较大,且横截面越小
，
电阻值越大
，
而对
钢轨内电感影响较小
。
3
)
给出了钢轨电阻和内电感随电流幅值变化的规律
，
321
5
J]
朱峰
，
李嘉成,李朋真
，
等•电气化铁路钢轨交流内阻抗计
算[
J
]
5
铁道学报
，
2017
，
39
(
12
)
：
37
—
42
5
[17]
SCHELKUNOFF
S
A.
The
6
—
0/0130)6X0
theo/
of
coaxial
t/ys-
表明由于钢轨是铁磁材料
，
其电阻和内电感随电流幅值的
增大呈现出先增大而后缓慢减小的变化趋势
。
参考文献
：
missiov
dyes
and
cyl/d/cal
shields
[
J
].
Bell
Labs
Technical
J
—
mag
534
J
3(4
)
：
5
/
—
579
.
[]
张汉花
，
邹军
，
王智新
，
等.无砟轨道钢轨阻抗特性影响因素
分析
[J].
铁道学报，
2310,33(5)
：
62-66.
[11
]
李群湛
，
贺建闽
.
牵引供电系统分析
[M
].
成都:西南交通大
学出版社
5037
.
作者简介
：
[]
朱峰
，
李鑫
，
李朋真
，
等.电气化铁路钢轨感抗的精确计算公
式
[J]
.
中国铁道科学
5217,37(3)
：
83
-87
.
王东
(1733
-
)
，
男
，
硕士研究生
，
研究方向为交通信息工程
[]
吴命利
，
范瑜
.
圆导线内阻抗的数值计算
[J]
.
电工技术学报
，
2034,17(3) ：
52
-58.
与控制
，
E
-
:
ml
@53
.
com
。
张友鹏
(
1935
-
),
男
，
教授
，
博士研究生导师
，
主要从事交通信
[4]
SLIPESTER
P.
The
accurate
calculatWe
of
ship
effect
ic
coxduet
tors
of
complicated sUape[
J]
.
IPEE
Transactiovs
ox
Powes
Appa
息控制技术,电力系统计算机控制技术方面的研究工作
,
：
zbangyp@
mail,
lzjtu.
co
。
(上接第
44
页)
的阵列式传感器检测方式
，
并给出了阵列式传感器压电信
[5
]
HODGES
R
V.
Polyvihs
UuoriPe
(
PVDF
)
gaupes
for
measuremest
of
output
pressure
of
small
orknace
devices
[
J
]
.
Propellants
,
E
xp
U
w
/
cs
,
Py/Wchnics
,003
5
3
：
17
—
5.
号输岀模型
,
以及模切压力计算方法,该传感器模型不会改
变接触面的接触环境
，
可直接测得接触面内各感应单元的
接触载荷
。
为实现模切机高速运行提供了新的方法
。
参考文献
：
[
1
]
薛超志•平压平模切机模切压力系统研究[
D
]
•北京:北京印
[
3
]
张智丹
,
纪松
,
张延松•冲击载荷下
PVDF
和
PZT
压电材料的
动态性能研究
[
J
]
兵器材料科学与工程
5008(2
)
：
35
—
69.
J]
张安跃
，唐志平,郑航.
PVDF
压力传感器的冲击压电特性研
究
[]•
实验力学
,009
,
4(3)
：
244
—
253.
刷学院
5
35
.
[]
谢兰生
，
范绪箕
.PVDF
压力传感器在测量撞击压力中的应
用
[]•
振动•测试与诊断
9993(3
)
：
73
—
53.
[]
孙万杰
，
王仪明,施向东，
等
.
平压平模切机模切力在线监测
系统设计
[]•
中国印刷与包装研究,
314
5()
：
3
3
-42
.
[]
张钰忻
•
基于
PVDF
压电薄膜的高频切削力信号传感器研
制
[
D]
.
哈尔滨:哈尔滨工业大学
5
35
.
作者简介
：
黄红星
(
593-
)
男
，
硕士研究生
，
研究方向为印刷机械检测
[]
焦琳青
，
王仪明
，
武淑琴
，
等
.
基于微胶囊感压传感原理的模
切压力测试方法研究
[
J]
•
机械设计
,
319
,
3
(5)
:
53
-54
.
[4]
FRANCOIS
B.
PVDF
shoch
sessos
：
Applicatiovs
to
polas
与故障诊断技术
，
E
-
:
/33174933
@
qq.
com
。
王仪明
(
1935
-
)
男
，
通讯作者
，
博士
，
教授
，
研究领域为印刷
mate/als
and
high
explosives]
J]
.
IEEE
Trass
ox
SactWv
,
Fe/ee-
elect/cs
and
F/quescy
C
w
/W
5°°3
,47
(4
)
：
1488
—1454
.
机械检测及故障诊断技术
，
E
-
:
wangyiming
@
bige
,
e
du
.
6
u
。
2024年6月12日发(作者：蹉梦凡)
2021
年第
40
卷第
5
期
传感器与微系统(
TransPucev
and
Microsystem
Technologies
)
45
DOI
：
3.
03873/J.
300-9787(2021)05-0045-04
电气化铁路钢轨内阻抗计算研究
*
*
王东
，
张友鹏
，
赵斌
(兰州交通大学自动化与电气工程学院
，
甘肃兰州
730070
)
摘要
：
为解决因集肤效应和钢轨横截面不规则造成的钢轨内阻抗计算困难的问题
，
在把钢轨等效为圆
柱形导体的基础上
，
分别推导出钢轨在电流低
、
高频时的内阻抗计算公式
；
根据
RoVe平均值定理及
Mocmurmn
近似公式
，
得到整个频率范围内钢轨内阻抗的计算公式;利用有限元法对钢轨模型进行仿真计
算
。
结果表明:所推导的钢轨内阻抗计算公式能正确地反映钢轨交流电阻和内电感随电流幅值
、频率的变
化规律
。
将计算结果同有限元仿真结果对比
，
相对误差小于
6
%
,
验证了该计算公式的正确性
，
从而为牵
引供电系统建模时钢轨内阻抗的计算提供了可靠的理论基础。
关键词：
钢轨内阻抗
；
集肤效应
；Rollo
平均值定理
；
Mocmu/an
近似公式
；
有限元仿真
中图分类号
：
U284.2
；
TP14
文献标识码
：
A
文章编号
：
300-9787(2021)05-0045-34
Sidy
on
colchlation
of
intesal
impedance
for
rail
of
electrio
rsilwa
*
WANG
Dong
,
ZHANG
Yoppexg
,
ZHAO
Bin
(School
of
Automation
&
Electricoi
Engineering
,
Lanzhou
Jiaotong
University
,
Lanzeou
730070,China)
Abstroct
:
In
orkev
to
deal
with
the
diXicuVu
in
cakumUox
of
rail
internal
inipeiance
causei
U
v
shin
elect
and
Xreaulov
sectioxs
of
the
rail
,
the
rail
is
taPen
os
a
cylingkcol
conductev
at
first.
Basel
ox
that
,
the
formula
of
internal
inipeiance
undev
the
current
ot
both
kw
and
high
fmxuency
are
de/vei.
According
to
the
de/vei
formulae
and
Rolle
s
overage
value
theorem
os
well
os
Mocmu/an
approximate
formula
,
the
formula
aPapteU
to
the
whole
fmxuency
range
is
oPtainel.
Finite
element
methoP
is
usei
ox
the
rail
mobel
to
simulate
and
calculate
the
ixpeiance.
The
result
shows
that
the
formula
can
correctly
reUeet
the
change
rules
of
rail
alkrnakng
current
resistance
and
internal
inductance
with
current
amplituUo
and
fmxuency.
The
error
between
the
cakumUox
result
and
the
simuktiox
result
is
less
than
6
%
,
which
verifies
the
formula.
The
research
can
be
a
theoretical
basis
for
the
cakulakox
of
rail
internal
impeiance
undev
the
estaUVshment
of
a
tractiox
power
suppm
system
mobel.
Keywordi
:
rail
internal
impeiance
:
shin
elect
；
Rollo
'
s
average
value
theorem
；
MacVu/an
approximatiox
formula
;
Unite
element
simuVtiox
0
引言
钢轨作为电气化铁路牵引供电系统的重要组成部分,
考虑集肤效应计算导体内阻抗时
，
可以直接解析求解
，
但对
于像钢轨这种具有不规则横截面的导体
，
直接求解内阻抗
时较为困难
。
目前对于考虑集肤效应计算不规则导体内阻抗时
，
一
般采用将不规则导体等效为圆柱体模型的做法
28
。
Silvester
P
等人理论研究了圆柱形导体的集肤效应,为钢轨
除了支撑和引导列车运行外
，
还是牵引电流回流和轨道电
路信号电流的共同通道
。
钢轨阻抗是轨道电路设计中重要
的一次侧参数
，
阻抗大小影响着轨道电路的传输性能
2
］
。
钢轨内阻抗是钢轨阻抗计算中极为重要的一部分
，
精确计
算钢轨内阻抗对于保证轨道电路传输性能和列车运行安全
具有重要意义
2
］
。
交流电流流经钢轨时
，
由于集肤效应的存在
，
导致电流
内阻抗的计算提供了理论依据
2
］
;
Dommol
H
W
和
Semiyen
A
等人分别通过对Bessel
函数进行多项式近似和渐近展开
计算了圆导线的内阻抗卩'
6
；
陈彩屏使用
Bessel
函数计算
分布不均匀,主要集中分布在钢轨表面
。
集肤效应会导致
了大参数下空心圆导线的内阻抗
27
；
HX1
R
J
等人基于有限
钢轨交流电阻的增加和内电感的减少
。
对于圆柱形导体,
元法研究了钢轨交流内阻抗随电流
、
频率的变化规律
，
并与
收稿日期
：
233
-
3
-25
*
基金项目
：
国家自然科学基金资助项目
C1367813
)
46
传感器与微系统
第
40
卷
z
c
=
槡
Z
r
+
Z
e
=
R
DC
j
1
+ju
”
•
S/(
R
dc
/
)
实测数据对比
，
表明有限元法可用于钢轨内阻抗的计
算⑻
，
但计算所需资源较大;朱峰等人将钢轨等效为圆柱
(
3
)
1.6
内阻抗的计算
计算圆导线内阻抗时
，
将涉及到
Bessel
函数。
SchelPunoff
公式表明
[0]
,在频率产
0
时
，
对于圆柱形导体,
形导体，
推导出内阻抗计算公式
，
并利用多项式近似对
Bes
wl
函数进行近似
[9]
,但是计算与仿真结果同实验数据
相比误差较大
。
Bessel
函数变量
/T•
0,
得到
Bessel
函数值为
本文在把钢轨等效为圆柱形导体的基础上
，
分别推导
出钢轨在低频和高频时的内阻抗公式
。根据Rolle
平均值
定理和
Macmuriap近似公式,对低频和高频时钢轨内阻抗
1
3
(0)
=1571
1
(/)
T
1/2,K
0
(0)
=0,^()
)
^
5s
(6
)
式中
13
(
0)
51(
)
分别为第一类修正的零阶
、
一阶
Bessel
函数
;K
0(
0
)
,心()分别为第二类修正的零阶
、
一阶
Bessel
函数
。
因此
，
对于频率
(
0,
根据式
(6
)
中
Bessel
函数的
公式进行处理
，
得到整个频率范围下内阻抗计算公式。
利
用该计算公式编程计算不同型号钢轨的内阻抗
，
并分析内
值，
计算低频内阻抗为
阻抗随电流幅值
、
频率的变化规律。同时
，
基于有限元法仿
真计算钢轨模型
，
并将内阻抗计算公式的计算结果与有限
元仿真结果进行对比
，
相对误差小于6
%
，
且仿真结果与计
算结果变化趋势一致
，
从而为牵引供电系统建模时钢轨内
阻抗的计算提供了可靠的理论依据
。
1
理论推导
1.
6
直流内阻抗
导体的直流内阻抗(电阻)与导体横截面形状无关
，
仅
与导体横截面面积
、
电阻率
、
长度有关
，
单位长度导体的直
流内阻抗为
Z
dc
==/
S
=
R
dc
(
1
)
式中
s
为导体的横截面积;
2
为导体的电阻率。
1.2
交流内阻抗
导体中流过交流电流时
，
由于集肤效应的存在,导致电
流在导体横截面上分布不均匀，
电流主要分布在导体表面
一定的集肤深度内
,
导体集肤深度为
h
4
=
槡
p/jU"
(2
)
式中
i
为虚数单位;
3
为角频率；
”
="
謬
3
为导体的磁导
率
("r
为导体的相对磁导率
，
“
0
=4
n
X10-
3
H
-
m_
5
为真空
磁导率)
。
为方便计算导体交流内阻抗
，
假设电流在导体集肤深
度内均匀分布
，
得到交流内阻抗公式为
z
af
==/
S
af
=p/
j
X
h
c
=
槡
j
u
r/
2
()
式中
/
为导体圆周长度;
S
af
为集肤深度内电流分布层
面积
。
为计算整个频率范围内导体的内阻抗,对低频和高频
的内阻抗计算公式进行处理
。
定义函数
/
(
3
)
在
[0,8
]
上
连续可微,且为非零函数
，
当
/()
与
/
(
3T8
)
已知时
，
根据
Rolle
平均值定理及
Macmp/ap
近似公式,(
)
可以表示为
/
4
(
3)
=/
4
(
0
)
+7"
4
(
3
^
8
)
,0
^x^
8
(4)
直流内阻抗计算式
(
1
)
与交流内阻抗计算式
(3
)
分别
对应于函数
/
(3
)
的
/(0
)和
/()
—
8
)
,
因此,根据式
(4
)
得
到整个频率范围内导体内阻抗为
Z
dc
CM
3
)=
F
m
[
ju
“
%
1
(
3
0
)
«1
(
3
i
)
+
(
3
0
)
1
(
3
i
)
]
)
1
1(
3
0
)
«
1(
)
)
-^
1(
3
0
)
1
1(
3
1
))
=lim[ji/n(
尸
3
3
4
—
殊
)
]
(7
)
式中
/
1
=
h/h
c,
3
0
=
h^S
c,
i
l
与
h
为等效圆柱形导体的
内
、
外半径
。
将式
()
中的
h
代入式
(7),
得到当频率产
0
时
，
导体
低频内阻抗为
Z
dc
CM
0
)
=p/z(
h
—
h
)
=
r
dc
(
7
)
当频率较高时
(8
,
Bessel
函数变量
，
得到
Bessel
函数值为
/
T
8
：
1(3)
T
e
/
/
h
/
j
)^
/
；
K
”
(
/)
t
槡
("/2/
)
/
(
(9
)
因此
，
对于频率产
8
，
根据式
(
9)
中
Bessel
函数的值,
计算高频内阻抗为
Z
m
C/T
s
)
=
]im
[
ju
/
%
1
(
3
0
)
«
1
(
3i
)
+«
0
(
3
0
)
1
(
3
i
)
]
/FSn)
1(
3
0
)
K,
3
,
)
-^1(
3
0
)
1
(
3
,
)
)
=
jj
U
//
2
n
h
(
0
)
根据式
()
对式
(8)
与式
(
7
)
进行处理,得到整个频率
范围内导体内阻抗为
z
C
=心
槡
5
+ju
/[
5
—
(
h/h
)
坷/
2
^
r
dc
(
1
)
2
钢轨等效模型
由于钢轨横截面不规则
，
呈
“
工
”
字型
，
与平时常见的
圆导线不同,考虑集肤效应时无法直接解析计算内阻抗
，
因
此,将钢轨等效成圆柱形导体。
根据钢轨的横截面积和横
截面周长
，
得到等效的圆柱形导体的内半径
h
外半径
h
分
别为
r
0
=
J
/
2
n
h
=
j
(/
/
2
1
)
4
-
S
/
n
(
5
)
式中
A
为钢轨的横截面周长
;/
为钢轨的横截面积
。
钢轨长度为
1
叫
钢轨电阻率
P=2.
1
xi0-
3
n
-
叫
相
对磁导率
/
=100,根据式(12
)
计算不同型号钢轨的参数,
第
5
期
王
东
，
等
：
电气化铁路钢轨内阻抗计算研究
47
1.2
如表
1
所示
。
1.5
表
1
不同型号钢轨的基本参数
1.0
1.0
0.8
P43
P50
P60
P75
钢轨型号
参数
横截面积
2
/cm
2
-
P
48
35.
3
0
0.6
P43
P50
P60
P75
P53
63.
3
0
62.
3
0
8
74
9,
75
P60
77.43
P
5
93.
8
0
74.00
0.5
0
L
0
0.4
0.2
4000
频率
+Hz
8
000
0
4000
频率
/Hz
8
000
横截面周周长
2
/cm
等效内半径
2,
/cm
56.3
0
65.
3
0
5.
44
&
42
9444
3.
75
3.41
11.
46
0.0221
(a)
交流电阻与频率关系
(b)
电感与频率关系
等效外半径
2/cm
直流电阻
R
dc
/
(
Q
•
km-
)
图
2
不同型号钢轨内阻抗随频率变化
1
0.338
8
0.3
819
0.0271
电阻逐渐变大
，
在低频时变化比较明显
，
而随着频率的增
3
有限元仿真
大
，
变化越来越小
。
在同一频率下
，
钢轨横截面越小
，
其交
以钢轨型号为
60
kg/m
的
P60
型钢轨为例
，
按照钢轨
的实际尺寸,
：
1
比例完成钢轨模型的绘制
，
并根据实际情
况设置钢轨的材料参数
。
仿真中
，
钢轨电阻率为
p
由于钢
轨是铁磁性材料
，
根据文献
23
，
获得钢轨的
B-H
曲线参
数
。
集肤效应实际是涡流效应的体现
，
因此在仿真中使用
涡流求解器,激励设置为正弦工频
50
H
z
电流
。
对模型网
格剖分时,考虑集肤效应，
根据集肤因子确定网格的大小
。
钢轨模型剖分结果如图
1(a)
所示
。
对模型进行仿真计算
，
得到钢轨横截面的电流密度分布图
，
如图
1(b)
所示
，
由于
集肤效应
，
电流主要趋向于钢轨表面分布
。
■
J[A_per_m2]
6.0877
!
10
4
■
5.6760
x
l0
4
5.2643
X
10
4
4.8527
!
10
4
4.4410
!
10
4
4.0293
!
10
4
3.6177
x
10
4
3.2060
!
10
4
2.7943
!
10
4
2.3826
!
10
4
1.9710x
10
4
1.5593x
10
4
1.1476x
10
4
.7.3594
■
3.2426
!
!
10
10
3
3
■
-
8.7410
X
10
2
■
T.9908
X
10
3
(a)
钢轨网格剖分
(b)
'轨电流密度分布
图
1
有限元仿真
通过计算欧姆损耗和磁场储能,分别得到钢轨交流内
电阻与电感
，
其中电感的计算结果包含模型的外电感和内
电感
，
本文主要研究钢轨内电感的变化规律
。
当电流频率
极高时，
电流集中分布在钢轨表面
，
此时可认为钢轨内部无
电流分布,从而得到钢轨外电感
，
将有限元计算的电感数据
减去外电感即为钢轨内电感。
4
钢轨内阻抗影响因素分析
4.
1
频率的影响
钢轨是轨道电路信号电流与牵引电流的通道,而轨道
电路信号电流的频率范围为
1770
-2600
Hz
,
牵引电流频率
为
55
Hz,
因此，
频率范围较宽
。
为研究不同型号钢轨内阻
抗在较宽频率范围内的变化规律
，进行
0
~3
kHz
范围内
的扫频
。
不同型号钢轨的基本参数如表
1
所示
，
根据
式
(11
),
编程计算在
0
~3
kHz
范围内钢轨内阻抗随频率
的变化规律,计算结果如图
2
所示
，
钢轨交流电阻和内电感
与频率呈非线性关系
。
从图
2(a)
可以看出
，随着电流频率的增加
，
钢轨交流
流电阻值越大
。
从图
2(b
)
可以看出
，
随着电流频率的增
加,钢轨内电感逐渐减小
，
在低频时特别明显
，
而随着频率
的增大
，
钢轨内电感趋于稳定值
，
且不同型号钢轨的内电感
稍有不同
。
在同一频率下
，
钢轨横截面越小
，
其电感值越
大
，
但差值较小
4.
2
电流的影响
钢轨中同时存在信号电流和牵引电流时
，
信号电流幅
值大小为毫安
(mA)
级,而牵引电流幅值较大
，
一般为几百
安培
，
因此
，
研究电流幅值对内阻抗影响时,钢轨中电流主
要为工频
55
Hz
的牵引电流
。
以
P60
型钢轨为例,其基本
参数如表
1
所示
。
由于钢轨是铁磁材料
，
不同电流幅值下
钢轨的相对磁导率将发生变化
，
所以钢轨内阻抗在不同电
流下也将发生明显的变化
。
利用安培环路定理计算出不同
电流幅值所产生的的磁场强度
，
钢轨相对磁导率
Mr
与磁场
强度
H
之间的函数关系
，
得到不同电流幅值对应的钢轨相
对磁导率
r
的值
，
如表
2
所示
。
表
2
工频情况下不同电流幅值对应的钢轨相对磁导率
电流
//
磁场强度
H
J
相对
电流
/
磁场强度
H/
相对
A
(
A
•
cm
_1
)
磁导率
r
A
(A
•
cm
_1
)
磁导率
r
100
1.0
30
600
8.0
530
260
8.0
260
730
3.2
490
380
4.3
370
&0
11.7
430
△oo
5.0
450
900
13.8
445
530
7.2
430
10
0
0
14.0
426
在工频
(2=5
5
Hz)
情况下
，
将表
2
中不同幅值电流对
应的磁导率
r
的值代入式
(11)
，
得到钢轨交流电阻与内电
感随电流幅值变化的规律
，
如图
3
所示
。
(a)
电阻关于电流
(b)
电感关于电流
图
3
P60
钢轨内阻抗随电流变化
从图
3
可以看出
，
钢轨交流电阻与内电感先随电流增
48
传感器与微系统
ratus
and
Systems
,
1367
,
PAS
-77(3)
：
7
/
—
yD.
第40
卷
大而增大,达到最大值后开始缓慢减小
，
其主要是由于钢轨
是铁磁材料
，
随着电流的增大
，
将出现磁饱和效应
，
即磁导
率随电流先开始增大
，
当电流超过某一限定值后
，
磁导率随
[3
]
DOMMEL
H
W.
OverkeaP
Ude
parameters
from
handboob
formu
las
and
computes
proprams
[
J
]
.
IEEE
TmnsactWhs
ox
Powes
电流的增大而缓慢减小,从而出现上述情况
。
同时也可以
看出
，
计算值与有限元仿真结果变化趋势一致
，将两者对比
Apparatus
and
Systems
,
1
737
,54(2
)
：
333
—
372
.
[4
]
SEMLYEN
A
,
DERI
A.
Time
domaic
modelling
of
f/quedch
后
，
相对误差均小于
6
%
。
Uesesdest
th/e-phase
trassmissiox
lide
impedayce
[
J
]
.
IEEE
T/nsactWhs
ox
Powes
Apparatus
and
Systems
,
1737
,
PAS
—
4
结
论
1
)
考虑钢轨不规则截面和集肤效应计算钢轨内阻抗
104
(
6
)
：
1549
—
1555
5
J]
陈彩屏.空心圆导线阻抗的计算
[J
]
湖南大学学报,
时
,运用本文推导的内阻计算公式
,
计算结果与有限元仿真
结果对比,相对误差小于6
%
。
1975
(
4
)
：
37
—
46
．
[8
]
HIPL
R
J,
CARPENTER
D
C.
Determisatiox
of
rail
interval
impedayce
for
electric
/ilway
tractiov
system
simulatiov
[
J
].
IPE
Proceedings
B
Elect/c
Powes
Applicatiovs
,
1931,173(4f
：311
—
2)
给出了内阻抗计算公式在不同型号钢轨下交流电
阻和内电感随频率变化的曲线
，
表明不同型号钢轨在同一
频率下
，
电阻值差异较大,且横截面越小
，
电阻值越大
，
而对
钢轨内电感影响较小
。
3
)
给出了钢轨电阻和内电感随电流幅值变化的规律
，
321
5
J]
朱峰
，
李嘉成,李朋真
，
等•电气化铁路钢轨交流内阻抗计
算[
J
]
5
铁道学报
，
2017
，
39
(
12
)
：
37
—
42
5
[17]
SCHELKUNOFF
S
A.
The
6
—
0/0130)6X0
theo/
of
coaxial
t/ys-
表明由于钢轨是铁磁材料
，
其电阻和内电感随电流幅值的
增大呈现出先增大而后缓慢减小的变化趋势
。
参考文献
：
missiov
dyes
and
cyl/d/cal
shields
[
J
].
Bell
Labs
Technical
J
—
mag
534
J
3(4
)
：
5
/
—
579
.
[]
张汉花
，
邹军
，
王智新
，
等.无砟轨道钢轨阻抗特性影响因素
分析
[J].
铁道学报，
2310,33(5)
：
62-66.
[11
]
李群湛
，
贺建闽
.
牵引供电系统分析
[M
].
成都:西南交通大
学出版社
5037
.
作者简介
：
[]
朱峰
，
李鑫
，
李朋真
，
等.电气化铁路钢轨感抗的精确计算公
式
[J]
.
中国铁道科学
5217,37(3)
：
83
-87
.
王东
(1733
-
)
，
男
，
硕士研究生
，
研究方向为交通信息工程
[]
吴命利
，
范瑜
.
圆导线内阻抗的数值计算
[J]
.
电工技术学报
，
2034,17(3) ：
52
-58.
与控制
，
E
-
:
ml
@53
.
com
。
张友鹏
(
1935
-
),
男
，
教授
，
博士研究生导师
，
主要从事交通信
[4]
SLIPESTER
P.
The
accurate
calculatWe
of
ship
effect
ic
coxduet
tors
of
complicated sUape[
J]
.
IPEE
Transactiovs
ox
Powes
Appa
息控制技术,电力系统计算机控制技术方面的研究工作
,
：
zbangyp@
mail,
lzjtu.
co
。
(上接第
44
页)
的阵列式传感器检测方式
，
并给出了阵列式传感器压电信
[5
]
HODGES
R
V.
Polyvihs
UuoriPe
(
PVDF
)
gaupes
for
measuremest
of
output
pressure
of
small
orknace
devices
[
J
]
.
Propellants
,
E
xp
U
w
/
cs
,
Py/Wchnics
,003
5
3
：
17
—
5.
号输岀模型
,
以及模切压力计算方法,该传感器模型不会改
变接触面的接触环境
，
可直接测得接触面内各感应单元的
接触载荷
。
为实现模切机高速运行提供了新的方法
。
参考文献
：
[
1
]
薛超志•平压平模切机模切压力系统研究[
D
]
•北京:北京印
[
3
]
张智丹
,
纪松
,
张延松•冲击载荷下
PVDF
和
PZT
压电材料的
动态性能研究
[
J
]
兵器材料科学与工程
5008(2
)
：
35
—
69.
J]
张安跃
，唐志平,郑航.
PVDF
压力传感器的冲击压电特性研
究
[]•
实验力学
,009
,
4(3)
：
244
—
253.
刷学院
5
35
.
[]
谢兰生
，
范绪箕
.PVDF
压力传感器在测量撞击压力中的应
用
[]•
振动•测试与诊断
9993(3
)
：
73
—
53.
[]
孙万杰
，
王仪明,施向东，
等
.
平压平模切机模切力在线监测
系统设计
[]•
中国印刷与包装研究,
314
5()
：
3
3
-42
.
[]
张钰忻
•
基于
PVDF
压电薄膜的高频切削力信号传感器研
制
[
D]
.
哈尔滨:哈尔滨工业大学
5
35
.
作者简介
：
黄红星
(
593-
)
男
，
硕士研究生
，
研究方向为印刷机械检测
[]
焦琳青
，
王仪明
，
武淑琴
，
等
.
基于微胶囊感压传感原理的模
切压力测试方法研究
[
J]
•
机械设计
,
319
,
3
(5)
:
53
-54
.
[4]
FRANCOIS
B.
PVDF
shoch
sessos
：
Applicatiovs
to
polas
与故障诊断技术
，
E
-
:
/33174933
@
qq.
com
。
王仪明
(
1935
-
)
男
，
通讯作者
，
博士
，
教授
，
研究领域为印刷
mate/als
and
high
explosives]
J]
.
IEEE
Trass
ox
SactWv
,
Fe/ee-
elect/cs
and
F/quescy
C
w
/W
5°°3
,47
(4
)
：
1488
—1454
.
机械检测及故障诊断技术
，
E
-
:
wangyiming
@
bige
,
e
du
.
6
u
。