2024年7月15日发(作者：倪素昕)
变上限定积分求导法则：
例如：原函数存在定理：
x
0
f t dt f x
如果该函数
f t
x
0
再添一个变量
x
，那么公式就变为
x
0
xf t dt f t dt xf x
x
0
相当于：
x
是一个常数，提取在变上限定积分
举例：（ 2008 年高职升本试卷）
f t dt
的前面。
若
f ( x)
在
,
内连续，
F x
x
0
x
2t f t dt
证明：（ 1 ）若
f (x)
为奇函数，则
F x
为奇函数。
（2 ）若
f (x)
非增，则
F
x
非减。
F x F x
证明：（ 1 ）若
f (x)
为奇函数，则证明
F x
x
0
x
0
=0 即可。
x 2t f t dt
x
0
xf t dt
x
0
x
0
2tf t dt
=
f t dt xf x
x
0
2xf x
x
0
f t dt xf x
x
0
F
x x 2t f t dt ( x) f t dt 2tf t dt
x
0
=
x
0
f t dt ( x) f
x F x
x
0
x ( 1) 2( x) f
f t dt xf x
f t dt
0
x
x ( 1)
x
0
f t dt xf
x
x
故：
F
f t dt xf
x
x
x
0
f t dt f t dt 0
由拉格朗日定理，可知：
F x
x
F x C
（
C
为常数）
当
x
0
时代入，可得：
F F x
=0 。
（ 2 ）若
f (x)
非增，则证明
由
F
x
F x 0
。
x
0
f t dt xf x
由积分中值定理，可得：
0, x
上式
F x
f x 0 xf x xf xf x x f f x
依题意，得：不妨设
x 0
，则
x f f x 0
即 ： 命 题
证.
名言，
得
5 、关于坚持的
你既然期望辉煌伟大的一生，那么就应该从今天起，以毫不动摇的决心和坚定不移的信念，凭自己的智慧和毅力，去创造你和人类的快乐。 —— 佚名
6 、最可怕的敌人，就是没有坚强的信念。 ——罗曼 ·罗兰
7 、只要持续地努力，不懈地奋斗，就没有征服不了的东西。 ——塞内加
8 、无论是美女的歌声，还是鬓狗的狂吠，无论是鳄鱼的眼泪，还是恶狼的嚎叫，都不会使我动摇。
9 、书不记，熟读可记；义不精，细思可精；惟有志不立，直是无着力处。 ——朱熹
10 、既然我已经踏上这条道路，那么，任何东西都不应妨碍我沿着这条路走下去。 —— 康德
11 、坚强的信念能赢得强者的心，并使他们变得更坚强。 ——白哲特
12 、三军可夺帅也，匹夫不可夺志也。 —— 佚名
13 、立志不坚，终不济事。 —— 朱熹
14 、富贵不能淫，贫贱不能移，威武不能屈。 —— 孟子
15 、关于坚持的名言，意志目标不在自然中存在，而在生命中蕴藏。 —— 武者小路实笃
关于坚持不懈的 50 条励志名人名言
16 、意志若是屈从，不论程度如何，它都帮助了暴力。 —— 但丁
17 、只要有坚强的意志力，就自然而然地会有能耐、机灵和知识。 —— 陀思妥耶夫斯基
18 、功崇惟志，业广惟勤。 —— 佚名
19 、能够岿然不动，坚持正见，度过难关的人是不多的。 ——雨果
20 、立志用功如种树然，方其根芽，犹未有干；及其有干，尚未有枝；枝而后叶，叶而后花。
21 、谁有历经千辛万苦的意志，谁就能达到任何目的。 —— 米南德
22 、不作什么决定的意志不是现实的意志；无性格的人从来不做出决定。 ——黑格尔
23 、执着追求并从中得到最大快乐的人，才是成功者。 —— 梭罗
24 、有了坚定的意志，就等于给双脚添了一对翅膀。 —— 乔·贝利
—— 恰普曼
—— 王守仁
25 、有百折不挠的信念的所支持的人的意志，比那些似乎是无敌的物质力量有更强大的威力。
—— 爱因斯坦
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2024年7月15日发(作者：倪素昕)
变上限定积分求导法则：
例如：原函数存在定理：
x
0
f t dt f x
如果该函数
f t
x
0
再添一个变量
x
，那么公式就变为
x
0
xf t dt f t dt xf x
x
0
相当于：
x
是一个常数，提取在变上限定积分
举例：（ 2008 年高职升本试卷）
f t dt
的前面。
若
f ( x)
在
,
内连续，
F x
x
0
x
2t f t dt
证明：（ 1 ）若
f (x)
为奇函数，则
F x
为奇函数。
（2 ）若
f (x)
非增，则
F
x
非减。
F x F x
证明：（ 1 ）若
f (x)
为奇函数，则证明
F x
x
0
x
0
=0 即可。
x 2t f t dt
x
0
xf t dt
x
0
x
0
2tf t dt
=
f t dt xf x
x
0
2xf x
x
0
f t dt xf x
x
0
F
x x 2t f t dt ( x) f t dt 2tf t dt
x
0
=
x
0
f t dt ( x) f
x F x
x
0
x ( 1) 2( x) f
f t dt xf x
f t dt
0
x
x ( 1)
x
0
f t dt xf
x
x
故：
F
f t dt xf
x
x
x
0
f t dt f t dt 0
由拉格朗日定理，可知：
F x
x
F x C
（
C
为常数）
当
x
0
时代入，可得：
F F x
=0 。
（ 2 ）若
f (x)
非增，则证明
由
F
x
F x 0
。
x
0
f t dt xf x
由积分中值定理，可得：
0, x
上式
F x
f x 0 xf x xf xf x x f f x
依题意，得：不妨设
x 0
，则
x f f x 0
即 ： 命 题
证.
名言，
得
5 、关于坚持的
你既然期望辉煌伟大的一生，那么就应该从今天起，以毫不动摇的决心和坚定不移的信念，凭自己的智慧和毅力，去创造你和人类的快乐。 —— 佚名
6 、最可怕的敌人，就是没有坚强的信念。 ——罗曼 ·罗兰
7 、只要持续地努力，不懈地奋斗，就没有征服不了的东西。 ——塞内加
8 、无论是美女的歌声，还是鬓狗的狂吠，无论是鳄鱼的眼泪，还是恶狼的嚎叫，都不会使我动摇。
9 、书不记，熟读可记；义不精，细思可精；惟有志不立，直是无着力处。 ——朱熹
10 、既然我已经踏上这条道路，那么，任何东西都不应妨碍我沿着这条路走下去。 —— 康德
11 、坚强的信念能赢得强者的心，并使他们变得更坚强。 ——白哲特
12 、三军可夺帅也，匹夫不可夺志也。 —— 佚名
13 、立志不坚，终不济事。 —— 朱熹
14 、富贵不能淫，贫贱不能移，威武不能屈。 —— 孟子
15 、关于坚持的名言，意志目标不在自然中存在，而在生命中蕴藏。 —— 武者小路实笃
关于坚持不懈的 50 条励志名人名言
16 、意志若是屈从，不论程度如何，它都帮助了暴力。 —— 但丁
17 、只要有坚强的意志力，就自然而然地会有能耐、机灵和知识。 —— 陀思妥耶夫斯基
18 、功崇惟志，业广惟勤。 —— 佚名
19 、能够岿然不动，坚持正见，度过难关的人是不多的。 ——雨果
20 、立志用功如种树然，方其根芽，犹未有干；及其有干，尚未有枝；枝而后叶，叶而后花。
21 、谁有历经千辛万苦的意志，谁就能达到任何目的。 —— 米南德
22 、不作什么决定的意志不是现实的意志；无性格的人从来不做出决定。 ——黑格尔
23 、执着追求并从中得到最大快乐的人，才是成功者。 —— 梭罗
24 、有了坚定的意志，就等于给双脚添了一对翅膀。 —— 乔·贝利
—— 恰普曼
—— 王守仁
25 、有百折不挠的信念的所支持的人的意志，比那些似乎是无敌的物质力量有更强大的威力。
—— 爱因斯坦
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