2024年8月22日发(作者：壤驷华)
凸多边形顶点排序问题的一种分治算法
【摘 要】对凸多边形顶点排序问题做深入分析，提
出一种基于矢量方向比较的凸多边形顶点排序分治算法。首
先深入分析凸多边形顶点排序问题的背景；其次提出基于矢
量方向比较的凸多边形顶点排序分治算法；最后通过C++编程
实现该算法，并分析该算法的时间复杂度和空间复杂度。该
算法已经应用在实际项目中，证明该算法是简单高效的。
【关键词】凸多边形 顶点排序 凸包问题 分治算法
一、问题描述
（一）凸包问题和凸多边形定义
凸包问题[1]是计算机图形学中一个很重要的基础问
题，在GIS、CAD等领域有广泛的应用。对凸包问题的求解有
不少高效算法，例如卷包裹算法[2]，分治算法[3]等。简单
多边形[4]的凸包问题是其中一个特例，而凸多边形顶点排序
问题又是简单多边形凸包问题的一个特例，目前对其研究不
多。下面给出凸多边形的严格定义。
[定义1]在一个简单多边形中，如果所有顶点都是凸顶
点[5]，则称该多边形是一个凸多边形。
（二）凸多边形顶点排序问题
作者在开发有限元系统时遇到这样的问题，一个空间
六面体网格单元被一个平面切割， 12条边可能与切割面相交
于n（3<=n<=6）个点，n点连接后必然形成一个凸多边形。
六面体与平面相交后只有n个交点的坐标信息，顶点
的连接顺序就是我们要解决的凸多边形顶点排序问题。
二、算法分析
首先可以简化问题：当切平面与某坐标平面不垂直
时，可以将n个交点投影到该坐标平面（例如xoy平面）
上，这样将三维问题简化为二维问题。
在二维坐标平面上的n个点排序就是一个典型的凸包
问题，我们提出一种全新的快速分治算法。基础思想就是找
一个凸多边形的内部点，然后将该点与所有n个顶点连接形
成n个矢量，最后根据矢量与坐标轴夹角将n个点排序。假
设P为凸多边形内部任意点，PQ为x轴正方向，A到F是凸
多边形的6个顶点。显然按照PA、PB等矢量方向与PQ的逆
时针夹角从小到大的顺序，可以将所有6个顶点逆时针排
序，反之亦可。
该算法具体实现时，有以下几个问题需要解决。
（一）如何选择投影坐标面。
任取三个顶点所在平面与某坐标面不垂直时，我们可
以投影到该坐标面。一个平面不可能同时与三个坐标面垂
直，所以总能找到一个坐标面来投影。计算可以利用叉积求
法向量的方式，但是该方式计算量大，我们可以逆用如下定
理。
[定理1]：任取三点的xy坐标比值相同，则该平面必
然垂直于xoy平面。
简单证明如下：当（Xa/Ya） = （Xb/Yb） =
（Xc/Yc）时，a、b、c三点在xoy平面上的投影共线，则
a、b、c三点所在平面垂直于xoy面。同理可得到xoz和yoz
平面的类似结论。
（二）如何选择凸多边形内部点。
任取三顶点，求其几何中心P，则P点必然在凸多边形
内。如公式（2.1）所示。
Xp=（Xa+Xb+Xc）/3
Yp=（Ya+Yb+Yc）/3
Xp=（Ya+Yb+Yc）/3 （2.1）
（三）如何对各顶点排序。
夹角的cos值在[0，π]之间随角度增大而减小，
[π，2π]之间随角度增大而增大。因此，我们在对所有点排
序前，需要将全部点分为两个子集。以在xoy平面的投影为
例，按照y坐标是否大于P点可以将全部点分为“上部点”
（例如{ABC}）和“下部点”（例如{DEF}）两个子集。对
“上部点”我们按照cos值降序排列，对“下部点”按照cos
值升序排列，这样就得到全部点的排列。而这种将问题分
解，减小问题规模分而治之的思想正是典型的“分治”算
法。cos值可以按照公式（2.2）求得。
cos（QPA）=（Xa-Xp）/（Ya-Yp） （2.2）
三、算法实现和复杂度分析
在c++中函数的声明形式为：int sortpolynode（int
n， double *nodes）。其中函数返回值为排序的顶点数，返
回值为-1时表示函数出错。参数n为多边形的顶点数，nodes
是一个长度为3n的数组，存储n个顶点排序前的xyz坐标；
排序后的顶点坐标仍然放在该数组中，实现数据的输出。
算法定义的辅助变量主要包括几个double类型的
vector，包括upnodes、downnodes、upcoss、downcoss。前
两个分别存储上部点和下部点的坐标，后两个存对应顶点与
内部点P形成的矢量与横坐标正方向夹角的余弦值。前两个
vector长度相加为3n，后两个相加等于n，另外还需要一些
零散辅助空间，所以算法的空间复杂度为O（n）。
算法运行时，需要四个重要的循环。第一个循环次数
为n，将n个顶点按照是否高于内部点p的纵坐标划分到“上
部点”upnodes和“下部点”downnodes中。第二个循环次数
为n，用于求所有顶点的cos值。第三个循环利用选择法或起
泡法对upnodes、downnodes、upcoss和downcoss排序，循
环次数为：（n-1）！=n（n-1）/2。第四个循环用于将
upnodes和downnodes数据复制回nodes中作为函数输出，循
环次数为n。所以整个算法的时间复杂度为O（n^2）。
四、结语
通过上述分析可知，该算法时空效率都很高。该算法
已经应用在实际项目中，实践证明该算法是准确高效的。
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2024年8月22日发(作者：壤驷华)
凸多边形顶点排序问题的一种分治算法
【摘 要】对凸多边形顶点排序问题做深入分析，提
出一种基于矢量方向比较的凸多边形顶点排序分治算法。首
先深入分析凸多边形顶点排序问题的背景；其次提出基于矢
量方向比较的凸多边形顶点排序分治算法；最后通过C++编程
实现该算法，并分析该算法的时间复杂度和空间复杂度。该
算法已经应用在实际项目中，证明该算法是简单高效的。
【关键词】凸多边形 顶点排序 凸包问题 分治算法
一、问题描述
（一）凸包问题和凸多边形定义
凸包问题[1]是计算机图形学中一个很重要的基础问
题，在GIS、CAD等领域有广泛的应用。对凸包问题的求解有
不少高效算法，例如卷包裹算法[2]，分治算法[3]等。简单
多边形[4]的凸包问题是其中一个特例，而凸多边形顶点排序
问题又是简单多边形凸包问题的一个特例，目前对其研究不
多。下面给出凸多边形的严格定义。
[定义1]在一个简单多边形中，如果所有顶点都是凸顶
点[5]，则称该多边形是一个凸多边形。
（二）凸多边形顶点排序问题
作者在开发有限元系统时遇到这样的问题，一个空间
六面体网格单元被一个平面切割， 12条边可能与切割面相交
于n（3<=n<=6）个点，n点连接后必然形成一个凸多边形。
六面体与平面相交后只有n个交点的坐标信息，顶点
的连接顺序就是我们要解决的凸多边形顶点排序问题。
二、算法分析
首先可以简化问题：当切平面与某坐标平面不垂直
时，可以将n个交点投影到该坐标平面（例如xoy平面）
上，这样将三维问题简化为二维问题。
在二维坐标平面上的n个点排序就是一个典型的凸包
问题，我们提出一种全新的快速分治算法。基础思想就是找
一个凸多边形的内部点，然后将该点与所有n个顶点连接形
成n个矢量，最后根据矢量与坐标轴夹角将n个点排序。假
设P为凸多边形内部任意点，PQ为x轴正方向，A到F是凸
多边形的6个顶点。显然按照PA、PB等矢量方向与PQ的逆
时针夹角从小到大的顺序，可以将所有6个顶点逆时针排
序，反之亦可。
该算法具体实现时，有以下几个问题需要解决。
（一）如何选择投影坐标面。
任取三个顶点所在平面与某坐标面不垂直时，我们可
以投影到该坐标面。一个平面不可能同时与三个坐标面垂
直，所以总能找到一个坐标面来投影。计算可以利用叉积求
法向量的方式，但是该方式计算量大，我们可以逆用如下定
理。
[定理1]：任取三点的xy坐标比值相同，则该平面必
然垂直于xoy平面。
简单证明如下：当（Xa/Ya） = （Xb/Yb） =
（Xc/Yc）时，a、b、c三点在xoy平面上的投影共线，则
a、b、c三点所在平面垂直于xoy面。同理可得到xoz和yoz
平面的类似结论。
（二）如何选择凸多边形内部点。
任取三顶点，求其几何中心P，则P点必然在凸多边形
内。如公式（2.1）所示。
Xp=（Xa+Xb+Xc）/3
Yp=（Ya+Yb+Yc）/3
Xp=（Ya+Yb+Yc）/3 （2.1）
（三）如何对各顶点排序。
夹角的cos值在[0，π]之间随角度增大而减小，
[π，2π]之间随角度增大而增大。因此，我们在对所有点排
序前，需要将全部点分为两个子集。以在xoy平面的投影为
例，按照y坐标是否大于P点可以将全部点分为“上部点”
（例如{ABC}）和“下部点”（例如{DEF}）两个子集。对
“上部点”我们按照cos值降序排列，对“下部点”按照cos
值升序排列，这样就得到全部点的排列。而这种将问题分
解，减小问题规模分而治之的思想正是典型的“分治”算
法。cos值可以按照公式（2.2）求得。
cos（QPA）=（Xa-Xp）/（Ya-Yp） （2.2）
三、算法实现和复杂度分析
在c++中函数的声明形式为：int sortpolynode（int
n， double *nodes）。其中函数返回值为排序的顶点数，返
回值为-1时表示函数出错。参数n为多边形的顶点数，nodes
是一个长度为3n的数组，存储n个顶点排序前的xyz坐标；
排序后的顶点坐标仍然放在该数组中，实现数据的输出。
算法定义的辅助变量主要包括几个double类型的
vector，包括upnodes、downnodes、upcoss、downcoss。前
两个分别存储上部点和下部点的坐标，后两个存对应顶点与
内部点P形成的矢量与横坐标正方向夹角的余弦值。前两个
vector长度相加为3n，后两个相加等于n，另外还需要一些
零散辅助空间，所以算法的空间复杂度为O（n）。
算法运行时，需要四个重要的循环。第一个循环次数
为n，将n个顶点按照是否高于内部点p的纵坐标划分到“上
部点”upnodes和“下部点”downnodes中。第二个循环次数
为n，用于求所有顶点的cos值。第三个循环利用选择法或起
泡法对upnodes、downnodes、upcoss和downcoss排序，循
环次数为：（n-1）！=n（n-1）/2。第四个循环用于将
upnodes和downnodes数据复制回nodes中作为函数输出，循
环次数为n。所以整个算法的时间复杂度为O（n^2）。
四、结语
通过上述分析可知，该算法时空效率都很高。该算法
已经应用在实际项目中，实践证明该算法是准确高效的。
参考文献：
[1] （美）莱维丁.算法设计与分析基础[M].北京：清
华大学出版社，2007：53-105.
[2] 宋丽，姜旭东.卷包裹法求凸包问题算法分析与程
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04期：18-19.
[3] 刘新，刘任任.一种改进的构建凸包的分治算法
[J].计算机工程与科学，2006，vol.28， NO.8：63-65.
[4] 刘润涛.简单多边形凸包的算法[J].哈尔滨理工大
学学报，2002，vol.7，NO.2：98-100.
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