2024年10月22日发(作者：杭觅珍)

实用标准

恒力矩转动法测刚体转动惯量

转动惯量是刚体转动中惯性大小的量度。它取决于刚体的总质量，质量分布、

形状大小和转轴位置。对于形状简单，质量均匀分布的刚体，可以通过数学方法

计算出它绕特定转轴的转动惯量，但对于形状比较复杂，或质量分布不均匀的刚

体，用数学方法计算其转动惯量是非常困难的，因而大多采用实验方法来测定。

转动惯量的测定，在涉及刚体转动的机电制造、航空、航天、航海、军工等

工程技术和科学研究中具有十分重要的意义。测定转动惯量常采用扭摆法或恒力

矩转动法，本实验采用恒力矩转动法测定转动惯量。

一、实验目的

1、学习用恒力矩转动法测定刚体转动惯量的原理和方法。

2、观测刚体的转动惯量随其质量，质量分布及转轴不同而改变的情况，验证平

行轴定理。

3、学会使用智能计时计数器测量时间。

二、实验原理

1、恒力矩转动法测定转动惯量的原理

根据刚体的定轴转动定律：

MJ



（1）

只要测定刚体转动时所受的总合外力矩M及该力矩作用下刚体转动的角加速

度β，则可计算出该刚体的转动惯量J。

设以某初始角速度转动的空实验台转动惯量为J

1

，未加砝码时，在摩擦阻力

矩M

μ

的作用下，实验台将以角加速度β

1

作匀减速运动，即：

M



J

1



1

（2）

将质量为m的砝码用细线绕在半径为R的实验台塔轮上，并让砝码下落，系

统在恒外力作用下将作匀加速运动。若砝码的加速度为a，则细线所受张力为T=

m (g － a)。若此时实验台的角加速度为β

2

，则有a= Rβ

2

。细线施加给实验台

的力矩为T R= m (g －Rβ

2

) R，此时有：

m(gR



2

)RM



J

1



2

（3）

将（2）、（3）两式联立消去M

μ

后，可得：

mR(gR



2

)

J

1





2





1

（4）

同理，若在实验台上加上被测物体后系统的转动惯量为J

2

，加砝码前后的角

加速度分别为β

3

与β

4

，则有：

mR(gR



4

)

J

2





4





3

（5）

由转动惯量的迭加原理可知，被测试件的转动惯量J

3

为

：

J

3

J

2

J

1

（6）

测得R、m及β

1

、β

2

、β

3

、β

4

，由（4），（5），（6）式即可计算被测试件的

转动惯量。

2、β的测量

实验中采用智能计时计数器计录遮挡次数和相应的时间。固定在载物台圆周

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边缘相差π角的两遮光细棒，每转动半圈遮挡一次固定在底座上的光电门，即产

生一个计数光电脉冲，计数器计下遮档次数k和相应的时间t。若从第一次挡光

（k=0，t=0）开始计次，计时，且初始角速度为ω

0

，则对于匀变速运动中测量

得到的任意两组数据（k

m

，t

m

）、（k

n

，t

n

），相应的角位移θ

m

、θ

n

分别为：

1

2



m

k

m







0

t

m





t

m

2

(7)

1

2



n

k

n







0

t

n





t

n

2

(8)

从（7）、（8）两式中消去ω

0

，可得：

2



(k

n

t

m

k

m

t

n

)





22

t

n

t

m

t

m

t

n

（9）

由（9）式即可计算角加速度β。

3、平行轴定理

理论分析表明，质量为m的物体围绕通过质心O的转轴转动时的转动惯量J

0

最小。当转轴平行移动距离d后，绕新转轴转动的转动惯量为：

JJ

0

md

2

（10）

图1 转动惯量实验组合仪

三、转动惯量实验组合仪简介

1、ZKY-ZS转动惯量实验仪

转动惯量实验仪如图1所示，绕线塔轮通过特制的轴承安装在主轴上，使

转动时的摩擦力矩很小。塔轮半径为15，20，25，30，35mm共5挡，可与大

约5g的砝码托及1个5g，4个10g的砝码组合，产生大小不同的力矩。载物

台用螺钉与塔轮连接在一起，随塔轮转动。随仪器配的被测试样有1个圆盘，

1个圆环，两个圆柱；试样上标有几何尺寸及质量，

便于将转动惯量的测试值与理论计算值比较。圆柱试样可插入载物台上的

不同孔，这些

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孔离中心的距离分别为45,60,75,90,105mm，便于验证平行轴定理。铝制

小滑轮的转动惯量与实验台相比可忽略不记。一只光电门作测量，一只作备用，

可通过智能计时计数器上的按钮方便的切换。

四、实验内容及步骤

1、实验准备

在桌面上放置ZKY-ZS转动惯量实验仪，并利用基座上的三颗调平螺钉，将

仪器调平。将滑轮支架固定在实验台面边缘，调整滑轮高度及方位，使滑轮槽与

选取的绕线塔轮槽等高，且其方位相互垂直，如图1所示。并且用数据线将智能

计时计数器中A或B通道与转动惯量实验仪其中一个光电门相连。

2、测量并计算实验台的转动惯量J

1

（1）测量β

1

上电开机后LCD显示“智能计数计时器 成都世纪中科”欢迎界面延时一段

时间后，显示操作界面：

1、选择“计时 1—2 多脉冲” 。

2、选择通道，A或B。

3、用手轻轻拨动载物台，使实验台有一初始转速并在摩擦阻力矩作用下作

匀减速运动。

4、按确认键进行测量。

5、载物盘转动15圈后按确认键停止测量。

6、查阅数据，并将查阅到的数据记入表1中；

采用逐差法处理数据，将第1和第5组，第2和第6组……,分别组成4组，

用（9）式计算对应各组的β

1

值，然后求其平均值作为β

1

的测量值。

7、按确认键后返回“计时 1—2 多脉冲”界面。

（2）测量β

2

1、选择塔轮半径R及砝码质量，将1端打结的细线沿塔轮上开的细缝塞入，

并且不重叠的密绕于所选定半径的轮上，细线另1端通过滑轮后连接砝码托上的

挂钩，用手将载物台稳住；

2、重复（1）中的2、3、4步

3、释放载物台，砝码重力产生的恒力矩使实验台产生匀加速转动；

记录8组数据后停止测量。查阅、记录数据于表1中并计算β

2

的测量

值。

由（4）式即可算出J

1

的值。

3、测量并计算实验台放上试样后的转动惯量J

2

，计算试样的转动惯量J

3

并与理

论值比较

将待测试样放上载物台并使试样几何中心轴与转轴中心重合，按与测量J

1

同样的方法可分别测量未加法码的角加速度β

3

与加砝码后的角加速度β

4

。由（5）

式可计算J

2

的值，已知J

1

、J

2

，由（6）式可计算试样的转动惯量J

3

。

已知圆盘、圆柱绕几何中心轴转动的转动惯量理论值为：

1

JmR

2

2

（11）

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圆环绕几何中心轴的转动惯量理论值为：

J

m

22

R

外

R

内

2

（12）



计算试样的转动惯量理论值并与测量值J

3

比较，计算测量值的相对误差：

E

J

3

J

100%

J

（13）

4、验证平行轴定理

将两圆柱体对称插入载物台上与中心距离为d的圆孔中，测量并计算两圆柱

体在此位置的转动惯量。将测量值与由（11）、（10）式所得的计算值比较，若一

致即验证了平行轴定理。

数据记录表格与测量计算实例

表1 测量实验台的角加速度

匀减速

k

t

(s)

k

t

(s)

β

1

2

(1/s)

1

5

2

6

3

7

4

8

平

均

k

t

(s)

k

t

(s)

β

2

2

(1/s)

匀加速 R

塔轮

= m

砝码

=

1

5

2

6

3

7

4

8

平

均

表2 测量实验台加圆环试样后的角加速度 R

外

= R

内

= m

圆环

=

匀减速

k

t

(s)

k

t

(s)

β

3

2

(1/s)

平

均

k

t

(s)

k

t

(s)

β

4

2

(1/s)

5

1 2

6

3

7

匀加速 R

塔轮

= m

砝码

=

4

8

平

均

表3 测量两圆柱试样中心与转轴距离d= 时的角加速度R

圆柱

= m

圆柱

×2 =

匀减速

k

t

(s)

k

t

(s)

β

3

2

(1/s)

1

5

2

6

3

7

4

8

平

均

k

t

(s)

k

t

(s)

β

4

2

(1/s)

匀加速 R

塔轮

= m

砝码

=

1

5

2

6

3

7

4

8

平

均

1、将表1中数据代入（4）式可计算空实验台转动惯量 J

1

= kgm

2

2、 将表2中数据代入（5）式可计算实验台放上圆环后的转动惯量 J

2

= kgm

2

由（6）式可计算圆环的转动惯量测量值 J

3

= kgm

2

由（12）式可计算圆环的转动惯量理论值 J

= kgm

2

由（13）式可计算测量的相对误差 E =

3、 将表3中数据代入（5）式可计算实验台放上两圆柱后的转动惯量 J

2

= kgm

2

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由（6）式可计算两圆柱距轴心为d时的转动惯量测量值 J

3

= kgm

2

由（11）、（10）式可计算两圆柱距轴心为d时的转动惯量理论值 J

= kgm

2

由（13）式可计算测量的相对误差 E =

4．对平行轴定理加以讨论。

注意事项：

1． 一定先将仪器调平。

2． 测匀减速时初速度要小。

3． 拉力一定与塔轮相切。

选作：

理论上，同一待测样品的转动惯量不随转动力矩的变化而变化。改变塔轮半径或

砝码质量（五个塔轮，五个砝码）可得到25种组合，形成不同的力矩。可改变

实验条件进行测量并对数据进行分析，探索其规律，寻求发生误差的原因，探索

测量的最佳条件。

附件：

智能计时计数器简介及技术指标

（1）主要技术指标：

时间分辨率（最小显示位）为0.0001秒，误差为0.004％。最大功耗0.3W

（2）智能计时计数器简介

智能计时计数器配备一个＋9V稳压直流电源。

智能计时计数器：＋9V直流电源输入段端；122 X 32 点阵图形LCD；三个操作

按钮：模式选择/查询下翻按钮、项目选择/查询上翻按钮、确定/开始/停止

按钮；四个信号源输入端，两个4孔输入端是一组，两个3孔输入端是另一组，

4孔的A通道同3孔的A通道同属同一通道，不管接那个效果一样，同样4孔

的B通道和3孔的B通道统属同一通道。

4孔输入端 (主板座子)

3孔输入端（主板座子）

电源接口（主板座子）

（3）智能计时计数器操作：

上电开机后显示“智能计数计时器 成都世纪中科”画面延时一段时间后，

显示操作界面：

上行为测试模式名称和序号，例：“1 计时 ”表示按模式选择/查询下翻

按钮选择测试模式。

下行为测试项目名称和序号，例：“1－1 单电门 ”表示项目选择/查询上

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翻按钮选择测试项目。

选择好测试项目后，按确定键,LCD将显示“选A通道测量 ” ，然后通

过按模式选择/查询下翻按钮和项目选择/查询上翻按钮进A或B通道的选择，

选择好后再次按下确认键即可开始测量。一般测量过程中将显示“测量中

*****”，测量完成后自动显示测量值，若该项目有几组数据，可按查询下翻按

钮或查询上翻按钮进行查询，再次按下确定键退回到项目选择界面。如未测量

完成就按下确定键，则测量停止，将根据已测量到的内容进行显示，再次按下

确定键将退回到测量项目选择界面。

注意

：

有AB两通道，每通道都各有两个不同的插件（分别为电源＋5V的

光电门4芯和电源＋9V的光电门3芯），同一通道不同插件的的关系是互斥的，

禁止同时接插同一通道不同插件。

AB通道可以互换，如为单电门时，使用A通道或B通道都可以，但是尽量避

免同时插AB两通道，以免互相干扰。如为双电门，则产生前脉冲的光电门可接

A通道也可接B通道，后脉冲的当然也可随便插在余下那通道。

如果光电门被遮挡时输出的信号端是高电平，则仪器是测脉冲的上升前沿间

时间。如光电门被遮挡时输出的信号端是低电平，则仪器是测脉冲的上升后沿间

时间的。

模式种类及功能：

1 计时

2 平均速度

3 加速度

4计数

计数

30秒 60秒 3分钟 手动

5自检

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自检

测量信号输入：

1． 计时

光电门自检

1－1单电门，测试单电门连续两脉冲间距时间。

1－2多脉冲，测量单电门连续脉冲间距时间，可测量99个脉冲间距时间

1－3 双电门，测量两个电门各自发出单脉冲之间的间距时间。

1－4 单摆周期，测量单电门第三脉冲到第一脉冲间隔时间。

1－5 时钟 类似跑表，按下确定则开始计时。

2速度

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2－1单电门，测得单电门连续两脉冲间距时间t，然后根据公式计算速度。

2－2碰撞，分别测得各个光电门在去和回时遮光片通过光电门得时间t1、t2、

t3、t4，然后根据公式计算速度。

2－3角速度，测得圆盘两遮光片通过光电门产生得两个脉冲间时间t，然后根据

公式计算速度。

2－4转速，测得圆盘两遮光片通过光电门产生得两个脉冲间时间t，然后根据公

式计算速度。

3加速度

3－1单电门，测得单电门连续三脉冲各个脉冲与相邻脉冲间距时间t1、t2，然

后根据公式计算速度。

3－2线加速度，测得单电门连续七脉冲第1个脉冲与第脉4个脉冲间距时间t1、

第7个脉冲与第4个脉冲间距时间t2，然后根据公式计算速度。

3－3角加速度，测得单电门连续七脉冲第1个脉冲与第脉4个脉冲间距时间t1、

第7个脉冲与第4个脉冲间距时间t2，然后根据公式计算速度。

3－4双电门，测得A通道第2脉冲与第1脉冲间距时间t1，B通道第一脉冲与A

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通道第一脉冲间距时间t2，B通道第二脉冲与A通道第一脉冲间距时间t3。

4计数

4－1 30秒，第一个脉冲开始计时，共计30秒，记录累计脉冲个数。

4－2 60秒，第一个脉冲开始计时，共计60秒，记录累计脉冲个数。

4－3 3分钟，第一个脉冲开始计时，共计3分钟，记录累计脉冲个数。

4－4 手动第一个脉冲开始计时，手动按下确定键停止，记录累计脉冲个数。

5自检

检测信号输入端电平。特别注意：如某一通道无任何线缆连接将显示“高”。自

检时正确的方法应该是通过遮挡光电门来查看LCD显示通道是否有高低变化。有

变化则光电门正常，反之异常。

耦合摆的研究

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一．概述

振动系统间的作用问题（耦合振动）在物理学、工程结构和电子学线路中具有极其重要

的意义。本仪器由两个完全相同的单摆组成，单摆的振动周期可分别调整，两者之间用一根

弹簧相连，实现了相互的耦合即组成耦合摆。改变耦合弹簧在单摆上的位置，可明显观察到

耦合度大小对振动系统的影响和规律，并从中观察到“拍”的现象。

本仪器可实验弹簧传递能量的过程和拍的现象；可定量测量同相位，反相位振动，简正

振动和拍频等物理参数。整套仪器由耦合摆实验装置和MS－4计数计时多用秒表组成，采用

激光光电门作为计数计时传感器，具有实验测量直观，数据精确的特点，有利于拓宽学生视

野；仪器结构科学．牢固轻巧，是当前探索研究型实验教学的新仪器。

二．实验仪器

1、 摆杆固定和调整螺母 2、摆杆 3、立柱 4、耦合弹簧 5、耦合位

置调节环 6、振动频率微调螺母 7、摆锤 8、振幅指针兼计数计时挡杆 9、水平尺固定

架 10、振幅测量直尺 11、底盘 12、气泡式水准仪 13、仪器水平调整旋钮14、激光发

射部件和信号处理部件15、可见红色激光束 16、挡光片 17、激光接收探头 18、激光

光电门支架 19、次数预置 20、次数显示 21、相应次数的计时显示窗 22、计数

计时复位按钮 23、＋5V接线柱 24、GND（公共地）接线柱 25、计数计时信号输入接线

柱 26、输入信号低电平指示

三．实验原理

1. 设一单摆，摆长为L，则固有圆频率

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

0



g

L

，式中g为重力加速度。

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2. 将两个完全相同的单摆通过一根弹簧耦合组成耦合摆，如果一个摆固定，另一个摆

gK



Lm

，式中K为弹簧的倔强系数，m为单振动的频率叫做支频率，支频率

摆有效质量。通过调整使固有圆频率相等后组成的耦合摆，其两个支频率相等，







1





2

。

3. 实际上耦合系统的振动方式比较复杂，取决于初始条件。然后存在两种特有的振动

方式，一种是两摆往同方向从平衡位置移开相等的距离引起的振动，即同相振动。

4. 另一种是两摆从平衡位置往相反方相移开相等距离引起的振动，即反相振动。

5. 反相振动和同相振动称作简正振动，其频率称为简正频率。反相振动时，其简正频

率为

6. 在一般情况下，耦合系统的振动是这两个简正振动的组合，振动表现出拍振的性质，

反

拍振频率

之间来回交替传递。



反



g2K





同



Lm

；同相振动时，其简正频率为

g

L

（同固有频率）。











同

两个摆相继地发生振幅周期性增大和减小，能量在两个摆

四．实验内容

1. 测定单个摆的固有振动频率、调整使两摆的振动频率（或周期）相同。

测单个摆的固有圆频率，

测出10个周期的时间，计算出振动频率。调整微调螺母，使两摆在同样起始振幅下的振动

周期相同。其误差＜1％。

实验时计时周期数为10，所以计数计时多用秒表预置次数设置为20，振幅指针经过平

衡位置20次,用手水平方向移开摆锤，使振幅指针偏离平衡位置25mm后放开。实验测量周

期记作T

0

、振动频率记作f

0

。

表1

单摆1 单摆2

序号 10T

0

/S

1

2

3

4

5

平均

值

2. 在不同摆杆位置用弹簧耦合连接，测定耦合系统的支频率。测定耦合摆的两个简正

频率；验证耦合长度的平方与其反相振动频率的平方成线性关系。

T

0

/S

f

0

/(1/S) 10T

0

/S

T

0

/S

f

0

/(1/S)



0



g

L

。不加耦合弹簧，用激光光电门结合计数计时毫秒仪，

（1）测定耦合系统的支频率

（左面单摆）,使单摆2（右面单摆）振动，用激光光电门结合计数计时毫秒仪，测出

10个周期的时间，计算出振动频率。

实验时计时周期数为10，所以计数计时多用秒表预置次数设置为20，振幅指针经过

平衡位置20次,用手水平方向移开摆锤，使振幅指针偏离平衡位置25mm后放开。在

耦合长度分别为20、25、30、35、40cm时.，实验测量支频率记作f

1

和f

2

。耦合长度

是指耦合点到摆杆转动轴心的距离，记作L。

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

1





2



gK



Lm

将两摆用弹簧连接起来 ，用手固定单摆1

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表2

耦合长度L/cm

20

25

30

35

40

10T/S

T/S

f/(1/S)

（2） 测定耦合摆的简正频率

相同的方向，从平衡位置移开相等距离，使振幅指针偏离平衡位置25mm后放开，用

激光光电门结合计数计时多用秒表，测出10个周期振动时间，计算振动频率。实验

时计时周期数为10，计数计时预置次数设置为20，振幅指针经过平衡位置20次，

在耦合长度分别为20、25、30、35、40cm.时，实验测量简正频率，记作f

2

。

表3

耦合长度L/cm 10T

2

/S T

2

/S f

2

/(1/S)

20

25

30

35

40



2



g

L

（与自由振动的单摆固有频率相同）,把两个摆往

（3）测定耦合摆的简正频率

即作反相振动，在两摆振幅指针偏离平衡位置25mm后放开，用激光光电门结合计数

计时多用秒表，测出10个周期的时间，计算出振动频率。实验时计时周期数为10，

计数计时多用秒表预置次数设置为20，振幅指针经过平衡位置20次，在耦合长度分

别为20、25、30、35、40cm.时，实验测量简正频率，记作f

1

。

表4

耦合长度L/cm 10T

1

/S T

1

/S f

1

/(1/S)

20

25

30

35



1



g2K



Lm

,把两个摆从平衡位置对称地往相反方向拉开，

40

22

由上述数据作f

1

－L图，说明反相振动频率的平方与耦合长度的平方其成线性关系。

3. 用弹簧耦合，测定在不同耦合长度时，耦合长度的平方与拍频成线性关系。

1) 观察拍振，测出拍振频率，握住左摆不动，拉开右摆20mm，然后同时释放两摆，

观察两摆的振动情况，可以看到左摆位相总是落于右摆。振动的能量从右边的摆逐

渐转移到左边的摆，然后又从左边的摆逐渐返还到右边的摆，此是位相亦产生变换，

右摆的位相又落后于左边的摆。如此周期性的进行，可以明显地看到每个摆的振动

都具有拍的特征。

2) 用计数计时多用秒表测出拍振周期，即测出一个摆相邻两次摆动中止的时间间隔，

从而算出拍振频率。实验证明f＝f

1

－f

2

，实验时，用左手固定单摆1摆锤（即左

摆），右手沿水平方向移开单摆2摆锤（即右摆），使振幅指针偏离平衡位置25mm

后两手松开。在耦合长度分别为20、25、30、35、40cm.时，实验测量拍振周期，

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T

拍

。

表5

耦合长度L/cm

20

25

30

35

40

T

拍

/S

F

拍

/(1/S)

2

由上述数据作f

拍

－L图，说明拍频与耦合长度的平方成线性关系。

五、注意事项

1) 激光光电门由激光发射和接收两部分组成。激光发射部分发出红色可见激光，其红

线接仪器+5V接线柱，黑线接GND接线柱；接收部件的黑色圆柱小也孔为激光接收

孔，当其被激光照射后，上面的发光二极管熄灭，黄（信号）线输出低电平。该部

件红线接仪器+5V接线柱，黑线接GND接线柱，黄线接INPUT接线柱。

2) 实验测量摆动周期时，先调整激光方向，使激光束射向接收部件的小孔，发光二极

管熄灭。在待测量摆平衡位置，摆幅指针恰好遮挡激光束，将该激光光电门放置于

上述位置的圆底盘上。这样当摆左右摆动中在经过平衡位置时遮挡激光束，接收部

件将信号输出至计数计时多用秒表。显然计数+1为半周期，因难以精确置于平衡

点，故实验时以一周期测量为好。一般次数预置成偶数，即整数个周期加以实验研

究。

3) 多功能毫秒仪（即计数计时多用秒表）的使用，计数计时始点时，计数窗显示：00；

计时窗显示：00.000；计数次数和次数预置相同时，仪器停止计数计时，可通过查

阅-或查阅+键记录相应次数从开始点所计的时间。重复计数计时按RESET，次数预

置数不大于64次，一旦改变预置数，须按RESET键方有效。

4) 数字秒表用于记录拍周期，接上AC9V插座后，开启电源，按需启动或复位，由人

工记时操控。

参考资料：

1、陈熙谋 ＜＜物理演示实验＞＞ 高等教育出版社

2、[德]威廉·Ｈ·卫斯特发尔，物理实验，实验十，王福山译，上海：上海科学技术出版

社，1981年

3、曹尔第，近代物理实验，上海：华东师范大学出版社，1992

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2024年10月22日发(作者：杭觅珍)

实用标准

恒力矩转动法测刚体转动惯量

转动惯量是刚体转动中惯性大小的量度。它取决于刚体的总质量，质量分布、

形状大小和转轴位置。对于形状简单，质量均匀分布的刚体，可以通过数学方法

计算出它绕特定转轴的转动惯量，但对于形状比较复杂，或质量分布不均匀的刚

体，用数学方法计算其转动惯量是非常困难的，因而大多采用实验方法来测定。

转动惯量的测定，在涉及刚体转动的机电制造、航空、航天、航海、军工等

工程技术和科学研究中具有十分重要的意义。测定转动惯量常采用扭摆法或恒力

矩转动法，本实验采用恒力矩转动法测定转动惯量。

一、实验目的

1、学习用恒力矩转动法测定刚体转动惯量的原理和方法。

2、观测刚体的转动惯量随其质量，质量分布及转轴不同而改变的情况，验证平

行轴定理。

3、学会使用智能计时计数器测量时间。

二、实验原理

1、恒力矩转动法测定转动惯量的原理

根据刚体的定轴转动定律：

MJ



（1）

只要测定刚体转动时所受的总合外力矩M及该力矩作用下刚体转动的角加速

度β，则可计算出该刚体的转动惯量J。

设以某初始角速度转动的空实验台转动惯量为J

1

，未加砝码时，在摩擦阻力

矩M

μ

的作用下，实验台将以角加速度β

1

作匀减速运动，即：

M



J

1



1

（2）

将质量为m的砝码用细线绕在半径为R的实验台塔轮上，并让砝码下落，系

统在恒外力作用下将作匀加速运动。若砝码的加速度为a，则细线所受张力为T=

m (g － a)。若此时实验台的角加速度为β

2

，则有a= Rβ

2

。细线施加给实验台

的力矩为T R= m (g －Rβ

2

) R，此时有：

m(gR



2

)RM



J

1



2

（3）

将（2）、（3）两式联立消去M

μ

后，可得：

mR(gR



2

)

J

1





2





1

（4）

同理，若在实验台上加上被测物体后系统的转动惯量为J

2

，加砝码前后的角

加速度分别为β

3

与β

4

，则有：

mR(gR



4

)

J

2





4





3

（5）

由转动惯量的迭加原理可知，被测试件的转动惯量J

3

为

：

J

3

J

2

J

1

（6）

测得R、m及β

1

、β

2

、β

3

、β

4

，由（4），（5），（6）式即可计算被测试件的

转动惯量。

2、β的测量

实验中采用智能计时计数器计录遮挡次数和相应的时间。固定在载物台圆周

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实用标准

边缘相差π角的两遮光细棒，每转动半圈遮挡一次固定在底座上的光电门，即产

生一个计数光电脉冲，计数器计下遮档次数k和相应的时间t。若从第一次挡光

（k=0，t=0）开始计次，计时，且初始角速度为ω

0

，则对于匀变速运动中测量

得到的任意两组数据（k

m

，t

m

）、（k

n

，t

n

），相应的角位移θ

m

、θ

n

分别为：

1

2



m

k

m







0

t

m





t

m

2

(7)

1

2



n

k

n







0

t

n





t

n

2

(8)

从（7）、（8）两式中消去ω

0

，可得：

2



(k

n

t

m

k

m

t

n

)





22

t

n

t

m

t

m

t

n

（9）

由（9）式即可计算角加速度β。

3、平行轴定理

理论分析表明，质量为m的物体围绕通过质心O的转轴转动时的转动惯量J

0

最小。当转轴平行移动距离d后，绕新转轴转动的转动惯量为：

JJ

0

md

2

（10）

图1 转动惯量实验组合仪

三、转动惯量实验组合仪简介

1、ZKY-ZS转动惯量实验仪

转动惯量实验仪如图1所示，绕线塔轮通过特制的轴承安装在主轴上，使

转动时的摩擦力矩很小。塔轮半径为15，20，25，30，35mm共5挡，可与大

约5g的砝码托及1个5g，4个10g的砝码组合，产生大小不同的力矩。载物

台用螺钉与塔轮连接在一起，随塔轮转动。随仪器配的被测试样有1个圆盘，

1个圆环，两个圆柱；试样上标有几何尺寸及质量，

便于将转动惯量的测试值与理论计算值比较。圆柱试样可插入载物台上的

不同孔，这些

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实用标准

孔离中心的距离分别为45,60,75,90,105mm，便于验证平行轴定理。铝制

小滑轮的转动惯量与实验台相比可忽略不记。一只光电门作测量，一只作备用，

可通过智能计时计数器上的按钮方便的切换。

四、实验内容及步骤

1、实验准备

在桌面上放置ZKY-ZS转动惯量实验仪，并利用基座上的三颗调平螺钉，将

仪器调平。将滑轮支架固定在实验台面边缘，调整滑轮高度及方位，使滑轮槽与

选取的绕线塔轮槽等高，且其方位相互垂直，如图1所示。并且用数据线将智能

计时计数器中A或B通道与转动惯量实验仪其中一个光电门相连。

2、测量并计算实验台的转动惯量J

1

（1）测量β

1

上电开机后LCD显示“智能计数计时器 成都世纪中科”欢迎界面延时一段

时间后，显示操作界面：

1、选择“计时 1—2 多脉冲” 。

2、选择通道，A或B。

3、用手轻轻拨动载物台，使实验台有一初始转速并在摩擦阻力矩作用下作

匀减速运动。

4、按确认键进行测量。

5、载物盘转动15圈后按确认键停止测量。

6、查阅数据，并将查阅到的数据记入表1中；

采用逐差法处理数据，将第1和第5组，第2和第6组……,分别组成4组，

用（9）式计算对应各组的β

1

值，然后求其平均值作为β

1

的测量值。

7、按确认键后返回“计时 1—2 多脉冲”界面。

（2）测量β

2

1、选择塔轮半径R及砝码质量，将1端打结的细线沿塔轮上开的细缝塞入，

并且不重叠的密绕于所选定半径的轮上，细线另1端通过滑轮后连接砝码托上的

挂钩，用手将载物台稳住；

2、重复（1）中的2、3、4步

3、释放载物台，砝码重力产生的恒力矩使实验台产生匀加速转动；

记录8组数据后停止测量。查阅、记录数据于表1中并计算β

2

的测量

值。

由（4）式即可算出J

1

的值。

3、测量并计算实验台放上试样后的转动惯量J

2

，计算试样的转动惯量J

3

并与理

论值比较

将待测试样放上载物台并使试样几何中心轴与转轴中心重合，按与测量J

1

同样的方法可分别测量未加法码的角加速度β

3

与加砝码后的角加速度β

4

。由（5）

式可计算J

2

的值，已知J

1

、J

2

，由（6）式可计算试样的转动惯量J

3

。

已知圆盘、圆柱绕几何中心轴转动的转动惯量理论值为：

1

JmR

2

2

（11）

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圆环绕几何中心轴的转动惯量理论值为：

J

m

22

R

外

R

内

2

（12）



计算试样的转动惯量理论值并与测量值J

3

比较，计算测量值的相对误差：

E

J

3

J

100%

J

（13）

4、验证平行轴定理

将两圆柱体对称插入载物台上与中心距离为d的圆孔中，测量并计算两圆柱

体在此位置的转动惯量。将测量值与由（11）、（10）式所得的计算值比较，若一

致即验证了平行轴定理。

数据记录表格与测量计算实例

表1 测量实验台的角加速度

匀减速

k

t

(s)

k

t

(s)

β

1

2

(1/s)

1

5

2

6

3

7

4

8

平

均

k

t

(s)

k

t

(s)

β

2

2

(1/s)

匀加速 R

塔轮

= m

砝码

=

1

5

2

6

3

7

4

8

平

均

表2 测量实验台加圆环试样后的角加速度 R

外

= R

内

= m

圆环

=

匀减速

k

t

(s)

k

t

(s)

β

3

2

(1/s)

平

均

k

t

(s)

k

t

(s)

β

4

2

(1/s)

5

1 2

6

3

7

匀加速 R

塔轮

= m

砝码

=

4

8

平

均

表3 测量两圆柱试样中心与转轴距离d= 时的角加速度R

圆柱

= m

圆柱

×2 =

匀减速

k

t

(s)

k

t

(s)

β

3

2

(1/s)

1

5

2

6

3

7

4

8

平

均

k

t

(s)

k

t

(s)

β

4

2

(1/s)

匀加速 R

塔轮

= m

砝码

=

1

5

2

6

3

7

4

8

平

均

1、将表1中数据代入（4）式可计算空实验台转动惯量 J

1

= kgm

2

2、 将表2中数据代入（5）式可计算实验台放上圆环后的转动惯量 J

2

= kgm

2

由（6）式可计算圆环的转动惯量测量值 J

3

= kgm

2

由（12）式可计算圆环的转动惯量理论值 J

= kgm

2

由（13）式可计算测量的相对误差 E =

3、 将表3中数据代入（5）式可计算实验台放上两圆柱后的转动惯量 J

2

= kgm

2

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由（6）式可计算两圆柱距轴心为d时的转动惯量测量值 J

3

= kgm

2

由（11）、（10）式可计算两圆柱距轴心为d时的转动惯量理论值 J

= kgm

2

由（13）式可计算测量的相对误差 E =

4．对平行轴定理加以讨论。

注意事项：

1． 一定先将仪器调平。

2． 测匀减速时初速度要小。

3． 拉力一定与塔轮相切。

选作：

理论上，同一待测样品的转动惯量不随转动力矩的变化而变化。改变塔轮半径或

砝码质量（五个塔轮，五个砝码）可得到25种组合，形成不同的力矩。可改变

实验条件进行测量并对数据进行分析，探索其规律，寻求发生误差的原因，探索

测量的最佳条件。

附件：

智能计时计数器简介及技术指标

（1）主要技术指标：

时间分辨率（最小显示位）为0.0001秒，误差为0.004％。最大功耗0.3W

（2）智能计时计数器简介

智能计时计数器配备一个＋9V稳压直流电源。

智能计时计数器：＋9V直流电源输入段端；122 X 32 点阵图形LCD；三个操作

按钮：模式选择/查询下翻按钮、项目选择/查询上翻按钮、确定/开始/停止

按钮；四个信号源输入端，两个4孔输入端是一组，两个3孔输入端是另一组，

4孔的A通道同3孔的A通道同属同一通道，不管接那个效果一样，同样4孔

的B通道和3孔的B通道统属同一通道。

4孔输入端 (主板座子)

3孔输入端（主板座子）

电源接口（主板座子）

（3）智能计时计数器操作：

上电开机后显示“智能计数计时器 成都世纪中科”画面延时一段时间后，

显示操作界面：

上行为测试模式名称和序号，例：“1 计时 ”表示按模式选择/查询下翻

按钮选择测试模式。

下行为测试项目名称和序号，例：“1－1 单电门 ”表示项目选择/查询上

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实用标准

翻按钮选择测试项目。

选择好测试项目后，按确定键,LCD将显示“选A通道测量 ” ，然后通

过按模式选择/查询下翻按钮和项目选择/查询上翻按钮进A或B通道的选择，

选择好后再次按下确认键即可开始测量。一般测量过程中将显示“测量中

*****”，测量完成后自动显示测量值，若该项目有几组数据，可按查询下翻按

钮或查询上翻按钮进行查询，再次按下确定键退回到项目选择界面。如未测量

完成就按下确定键，则测量停止，将根据已测量到的内容进行显示，再次按下

确定键将退回到测量项目选择界面。

注意

：

有AB两通道，每通道都各有两个不同的插件（分别为电源＋5V的

光电门4芯和电源＋9V的光电门3芯），同一通道不同插件的的关系是互斥的，

禁止同时接插同一通道不同插件。

AB通道可以互换，如为单电门时，使用A通道或B通道都可以，但是尽量避

免同时插AB两通道，以免互相干扰。如为双电门，则产生前脉冲的光电门可接

A通道也可接B通道，后脉冲的当然也可随便插在余下那通道。

如果光电门被遮挡时输出的信号端是高电平，则仪器是测脉冲的上升前沿间

时间。如光电门被遮挡时输出的信号端是低电平，则仪器是测脉冲的上升后沿间

时间的。

模式种类及功能：

1 计时

2 平均速度

3 加速度

4计数

计数

30秒 60秒 3分钟 手动

5自检

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自检

测量信号输入：

1． 计时

光电门自检

1－1单电门，测试单电门连续两脉冲间距时间。

1－2多脉冲，测量单电门连续脉冲间距时间，可测量99个脉冲间距时间

1－3 双电门，测量两个电门各自发出单脉冲之间的间距时间。

1－4 单摆周期，测量单电门第三脉冲到第一脉冲间隔时间。

1－5 时钟 类似跑表，按下确定则开始计时。

2速度

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2－1单电门，测得单电门连续两脉冲间距时间t，然后根据公式计算速度。

2－2碰撞，分别测得各个光电门在去和回时遮光片通过光电门得时间t1、t2、

t3、t4，然后根据公式计算速度。

2－3角速度，测得圆盘两遮光片通过光电门产生得两个脉冲间时间t，然后根据

公式计算速度。

2－4转速，测得圆盘两遮光片通过光电门产生得两个脉冲间时间t，然后根据公

式计算速度。

3加速度

3－1单电门，测得单电门连续三脉冲各个脉冲与相邻脉冲间距时间t1、t2，然

后根据公式计算速度。

3－2线加速度，测得单电门连续七脉冲第1个脉冲与第脉4个脉冲间距时间t1、

第7个脉冲与第4个脉冲间距时间t2，然后根据公式计算速度。

3－3角加速度，测得单电门连续七脉冲第1个脉冲与第脉4个脉冲间距时间t1、

第7个脉冲与第4个脉冲间距时间t2，然后根据公式计算速度。

3－4双电门，测得A通道第2脉冲与第1脉冲间距时间t1，B通道第一脉冲与A

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实用标准

通道第一脉冲间距时间t2，B通道第二脉冲与A通道第一脉冲间距时间t3。

4计数

4－1 30秒，第一个脉冲开始计时，共计30秒，记录累计脉冲个数。

4－2 60秒，第一个脉冲开始计时，共计60秒，记录累计脉冲个数。

4－3 3分钟，第一个脉冲开始计时，共计3分钟，记录累计脉冲个数。

4－4 手动第一个脉冲开始计时，手动按下确定键停止，记录累计脉冲个数。

5自检

检测信号输入端电平。特别注意：如某一通道无任何线缆连接将显示“高”。自

检时正确的方法应该是通过遮挡光电门来查看LCD显示通道是否有高低变化。有

变化则光电门正常，反之异常。

耦合摆的研究

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实用标准

一．概述

振动系统间的作用问题（耦合振动）在物理学、工程结构和电子学线路中具有极其重要

的意义。本仪器由两个完全相同的单摆组成，单摆的振动周期可分别调整，两者之间用一根

弹簧相连，实现了相互的耦合即组成耦合摆。改变耦合弹簧在单摆上的位置，可明显观察到

耦合度大小对振动系统的影响和规律，并从中观察到“拍”的现象。

本仪器可实验弹簧传递能量的过程和拍的现象；可定量测量同相位，反相位振动，简正

振动和拍频等物理参数。整套仪器由耦合摆实验装置和MS－4计数计时多用秒表组成，采用

激光光电门作为计数计时传感器，具有实验测量直观，数据精确的特点，有利于拓宽学生视

野；仪器结构科学．牢固轻巧，是当前探索研究型实验教学的新仪器。

二．实验仪器

1、 摆杆固定和调整螺母 2、摆杆 3、立柱 4、耦合弹簧 5、耦合位

置调节环 6、振动频率微调螺母 7、摆锤 8、振幅指针兼计数计时挡杆 9、水平尺固定

架 10、振幅测量直尺 11、底盘 12、气泡式水准仪 13、仪器水平调整旋钮14、激光发

射部件和信号处理部件15、可见红色激光束 16、挡光片 17、激光接收探头 18、激光

光电门支架 19、次数预置 20、次数显示 21、相应次数的计时显示窗 22、计数

计时复位按钮 23、＋5V接线柱 24、GND（公共地）接线柱 25、计数计时信号输入接线

柱 26、输入信号低电平指示

三．实验原理

1. 设一单摆，摆长为L，则固有圆频率

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

0



g

L

，式中g为重力加速度。

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2. 将两个完全相同的单摆通过一根弹簧耦合组成耦合摆，如果一个摆固定，另一个摆

gK



Lm

，式中K为弹簧的倔强系数，m为单振动的频率叫做支频率，支频率

摆有效质量。通过调整使固有圆频率相等后组成的耦合摆，其两个支频率相等，







1





2

。

3. 实际上耦合系统的振动方式比较复杂，取决于初始条件。然后存在两种特有的振动

方式，一种是两摆往同方向从平衡位置移开相等的距离引起的振动，即同相振动。

4. 另一种是两摆从平衡位置往相反方相移开相等距离引起的振动，即反相振动。

5. 反相振动和同相振动称作简正振动，其频率称为简正频率。反相振动时，其简正频

率为

6. 在一般情况下，耦合系统的振动是这两个简正振动的组合，振动表现出拍振的性质，

反

拍振频率

之间来回交替传递。



反



g2K





同



Lm

；同相振动时，其简正频率为

g

L

（同固有频率）。











同

两个摆相继地发生振幅周期性增大和减小，能量在两个摆

四．实验内容

1. 测定单个摆的固有振动频率、调整使两摆的振动频率（或周期）相同。

测单个摆的固有圆频率，

测出10个周期的时间，计算出振动频率。调整微调螺母，使两摆在同样起始振幅下的振动

周期相同。其误差＜1％。

实验时计时周期数为10，所以计数计时多用秒表预置次数设置为20，振幅指针经过平

衡位置20次,用手水平方向移开摆锤，使振幅指针偏离平衡位置25mm后放开。实验测量周

期记作T

0

、振动频率记作f

0

。

表1

单摆1 单摆2

序号 10T

0

/S

1

2

3

4

5

平均

值

2. 在不同摆杆位置用弹簧耦合连接，测定耦合系统的支频率。测定耦合摆的两个简正

频率；验证耦合长度的平方与其反相振动频率的平方成线性关系。

T

0

/S

f

0

/(1/S) 10T

0

/S

T

0

/S

f

0

/(1/S)



0



g

L

。不加耦合弹簧，用激光光电门结合计数计时毫秒仪，

（1）测定耦合系统的支频率

（左面单摆）,使单摆2（右面单摆）振动，用激光光电门结合计数计时毫秒仪，测出

10个周期的时间，计算出振动频率。

实验时计时周期数为10，所以计数计时多用秒表预置次数设置为20，振幅指针经过

平衡位置20次,用手水平方向移开摆锤，使振幅指针偏离平衡位置25mm后放开。在

耦合长度分别为20、25、30、35、40cm时.，实验测量支频率记作f

1

和f

2

。耦合长度

是指耦合点到摆杆转动轴心的距离，记作L。

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

1





2



gK



Lm

将两摆用弹簧连接起来 ，用手固定单摆1

实用标准

表2

耦合长度L/cm

20

25

30

35

40

10T/S

T/S

f/(1/S)

（2） 测定耦合摆的简正频率

相同的方向，从平衡位置移开相等距离，使振幅指针偏离平衡位置25mm后放开，用

激光光电门结合计数计时多用秒表，测出10个周期振动时间，计算振动频率。实验

时计时周期数为10，计数计时预置次数设置为20，振幅指针经过平衡位置20次，

在耦合长度分别为20、25、30、35、40cm.时，实验测量简正频率，记作f

2

。

表3

耦合长度L/cm 10T

2

/S T

2

/S f

2

/(1/S)

20

25

30

35

40



2



g

L

（与自由振动的单摆固有频率相同）,把两个摆往

（3）测定耦合摆的简正频率

即作反相振动，在两摆振幅指针偏离平衡位置25mm后放开，用激光光电门结合计数

计时多用秒表，测出10个周期的时间，计算出振动频率。实验时计时周期数为10，

计数计时多用秒表预置次数设置为20，振幅指针经过平衡位置20次，在耦合长度分

别为20、25、30、35、40cm.时，实验测量简正频率，记作f

1

。

表4

耦合长度L/cm 10T

1

/S T

1

/S f

1

/(1/S)

20

25

30

35



1



g2K



Lm

,把两个摆从平衡位置对称地往相反方向拉开，

40

22

由上述数据作f

1

－L图，说明反相振动频率的平方与耦合长度的平方其成线性关系。

3. 用弹簧耦合，测定在不同耦合长度时，耦合长度的平方与拍频成线性关系。

1) 观察拍振，测出拍振频率，握住左摆不动，拉开右摆20mm，然后同时释放两摆，

观察两摆的振动情况，可以看到左摆位相总是落于右摆。振动的能量从右边的摆逐

渐转移到左边的摆，然后又从左边的摆逐渐返还到右边的摆，此是位相亦产生变换，

右摆的位相又落后于左边的摆。如此周期性的进行，可以明显地看到每个摆的振动

都具有拍的特征。

2) 用计数计时多用秒表测出拍振周期，即测出一个摆相邻两次摆动中止的时间间隔，

从而算出拍振频率。实验证明f＝f

1

－f

2

，实验时，用左手固定单摆1摆锤（即左

摆），右手沿水平方向移开单摆2摆锤（即右摆），使振幅指针偏离平衡位置25mm

后两手松开。在耦合长度分别为20、25、30、35、40cm.时，实验测量拍振周期，

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实用标准

T

拍

。

表5

耦合长度L/cm

20

25

30

35

40

T

拍

/S

F

拍

/(1/S)

2

由上述数据作f

拍

－L图，说明拍频与耦合长度的平方成线性关系。

五、注意事项

1) 激光光电门由激光发射和接收两部分组成。激光发射部分发出红色可见激光，其红

线接仪器+5V接线柱，黑线接GND接线柱；接收部件的黑色圆柱小也孔为激光接收

孔，当其被激光照射后，上面的发光二极管熄灭，黄（信号）线输出低电平。该部

件红线接仪器+5V接线柱，黑线接GND接线柱，黄线接INPUT接线柱。

2) 实验测量摆动周期时，先调整激光方向，使激光束射向接收部件的小孔，发光二极

管熄灭。在待测量摆平衡位置，摆幅指针恰好遮挡激光束，将该激光光电门放置于

上述位置的圆底盘上。这样当摆左右摆动中在经过平衡位置时遮挡激光束，接收部

件将信号输出至计数计时多用秒表。显然计数+1为半周期，因难以精确置于平衡

点，故实验时以一周期测量为好。一般次数预置成偶数，即整数个周期加以实验研

究。

3) 多功能毫秒仪（即计数计时多用秒表）的使用，计数计时始点时，计数窗显示：00；

计时窗显示：00.000；计数次数和次数预置相同时，仪器停止计数计时，可通过查

阅-或查阅+键记录相应次数从开始点所计的时间。重复计数计时按RESET，次数预

置数不大于64次，一旦改变预置数，须按RESET键方有效。

4) 数字秒表用于记录拍周期，接上AC9V插座后，开启电源，按需启动或复位，由人

工记时操控。

参考资料：

1、陈熙谋 ＜＜物理演示实验＞＞ 高等教育出版社

2、[德]威廉·Ｈ·卫斯特发尔，物理实验，实验十，王福山译，上海：上海科学技术出版

社，1981年

3、曹尔第，近代物理实验，上海：华东师范大学出版社，1992

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