锁相环PLL的Kp,Ki参数设计

两周前有同学在qq群中讨论PLL的参数设计，之前没自己动手计算过，一直用的将PLL传递函数，忽略零点项，当做标准的二阶系统近似处理，类似ζ=0.707,wn=wc的近似吧。我搜过一些文章也都是这样写的，其实它的频率响应表现还是不太一样的。
电机控制qq群：528884293

传递函数和频率响应：

PLL框图：

G ( s ) = K p s + K i s 2 G(s)=\frac{K_ps+K_i}{s^2} G(s)=s2Kp​s+Ki​​

G ( s ) c l o s e = K p s + K i s 2 1 + K p s + K i s 2 G(s)_{close}=\frac{\frac{K_ps+K_i}{s^2} }{1+\frac{K_ps+K_i}{s^2}} G(s)close​=1+s2Kp​s+Ki​​s2Kp​s+Ki​​​

G ( s ) c l o s e = K p s + K i s 2 + K p s + K i G(s)_{close}=\frac{K_ps+K_i} {s^2+K_ps+K_i} G(s)close​=s2+Kp​s+Ki​Kp​s+Ki​​

其中：
K p = 2 ζ ω n K_p = 2\zeta \omega_n Kp​=2ζωn​
K i = ω n 2 K_i = \omega_n^2 Ki​=ωn2​

得到
G ( s ) C L = 2 ζ ω n s + ω n 2 s 2 + 2 ζ ω n s + ω n 2 G(s)_{CL}=\frac{2\zeta \omega_n s+\omega^2_n} {s^2+2\zeta \omega_ns+\omega^2_n} G(s)CL​=s2+2ζωn​s+ωn2​2ζωn​s+ωn2​​

设
ω ω n = Ω \frac{\omega}{\omega_n} =\Omega ωn​ω​=Ω

G ( s ) C L = 2 ζ ω ω n j + 1 − ω 2 ω n 2 + 2 ζ ω ω n j + 1 G(s)_{CL}=\frac{2\zeta \frac{ \omega }{ \omega_n}j+1} {-\frac{\omega^2}{\omega_n^2} +2\zeta \frac{ \omega }{ \omega_n} j +1} G(s)CL​=−ωn2​ω2​+2ζωn​ω​j+12ζωn​ω​j+1​

= 2 ζ Ω j + 1 − Ω 2 + 2 ζ Ω j + 1 =\frac{2\zeta \Omega j +1} {-\Omega^2 +2\zeta \Omega j +1} =−Ω2+2ζΩj+12ζΩj+1​

= ( 1 − Ω 2 − 2 ζ Ω j ) ( 2 ζ Ω j + 1 ) ( 1 − Ω 2 + 2 ζ Ω j ) ( 1 − Ω 2 − 2 ζ Ω j ) =\frac{(1-\Omega^2 - 2\zeta \Omega j)(2 \zeta \Omega j + 1)} {( 1-\Omega^2+2\zeta \Omega j ) (1- \Omega^2-2\zeta \Omega j)} =(1−Ω2+2ζΩj)(1−Ω2−2ζΩj)(1−Ω2−2ζΩj)(2ζΩj+1)​

= 1 − Ω 2 + 4 ζ 2 Ω 2 ( 1 − Ω 2 ) 2 + 4 ζ 2 Ω 2 − 2 ζ Ω 3 ( 1 − Ω 2 ) 2 + 4 ζ 2 Ω 2 j =\frac{1-\Omega^2+4\zeta^2 \Omega^2 } {( 1-\Omega^2)^2+4\zeta^2 \Omega^2 }- \frac{2\zeta \Omega^3}{(1- \Omega^2)^2 + 4 \zeta^2 \Omega^2}j =(1−Ω2)2+4ζ2Ω21−Ω2+4ζ2Ω2​−(1−Ω2)2+4ζ2Ω22ζΩ3​j

振幅响应：
∣ G ( j ω ) ∣ = ( R e a l ( G ( j ω ) ) 2 + I m ( G ( j ω ) ) 2 ) 1 2 |G(j\omega)|=(Real(G_{(j\omega)})^2 +Im(G_{(j \omega)})^2)^{\frac{1}{2}} ∣G(jω)∣=(Real(G(jω)​)2+Im(G(jω)​)2)21​

= ( 1 − Ω 2 + 4 ζ 2 Ω 2 ) 2 + ( 2 ζ Ω 3 ) 2 ( ( 1 − Ω 2 ) 2 + 4 ζ 2 Ω 2 ) 2 =\sqrt{\frac{(1-\Omega^2+4\zeta^2 \Omega^2)^2 + (2\zeta \Omega^3)^2} {(( 1-\Omega^2)^2+4\zeta^2 \Omega^2)^2 }} =((1−Ω2)2+4ζ2Ω2)2(1−Ω2+4ζ2Ω2)2+(2ζΩ3)2​ ​

假设 Ω = 1 \Omega = 1 Ω=1 ，即 ω = ω n \omega =\omega_n ω=ωn​的情况

∣ G ( j ω ) ∣ = 4 ζ 2 + 1 4 ζ 2 |G_{(j\omega)}|= \sqrt{\frac{4\zeta^2+1}{4\zeta^2}} ∣G(jω)​∣=4ζ24ζ2+1​ ​

ζ → ∞ , ∣ G ( j ω ) ∣ → 1 \zeta \rightarrow \infty , |G_{(j\omega)}| \rightarrow 1 ζ→∞,∣G(jω)​∣→1

可见 ζ \zeta ζ 的取值,无法像标准的二阶系统取 ζ = 0.707 \zeta = 0.707 ζ=0.707能让 ∣ G ( j ω ) ∣ = 2 2 |G_{(j\omega)}| = \frac{\sqrt{2}}{2} ∣G(jω)​∣=22 ​​,截止频率近似 ω c = ω n \omega_c = \omega_n ωc​=ωn​

使用matlab工具，固定 ω n ， ζ \omega_n ，\zeta ωn​，ζ 取几个不同的值，看伯德图

zeta = [0.1,0.5,0.707,1,5,10];wn = 300;figure(1);
for n=1:6sys = tf([2*zeta(n)*wn,wn*wn],[1, 2*zeta(n)*wn,wn*wn]);bode(sys);hold on;
endlegend('ζ=0.1','ζ=0.5','ζ=0.707','ζ=1','ζ=5','ζ=10');

固定了 ω n \omega_n ωn​,看不同 ζ \zeta ζ的取值，频率响应的变化

1. ζ \zeta ζ 取值越大，bode图的表现就更像一阶低通

2. ζ \zeta ζ 取小，则会有更大的振幅响应

matlab工具，固定 ζ ， ω n \zeta，\omega_n ζ，ωn​取几个不同的值，看看伯德图

ζ = 0.707 ， ω n \zeta =0.707，\omega_n ζ=0.707，ωn​ 取不同值的情况

ζ = 1 ， ω n \zeta =1，\omega_n ζ=1，ωn​ 取不同值的情况

ζ = 5 ， ω n \zeta =5，\omega_n ζ=5，ωn​ 取不同值的情况

固定了 ζ \zeta ζ，不同的 ω n \omega_n ωn​频率响应

1. ζ \zeta ζ 阻尼决定了振幅。
2. ω n \omega_n ωn​ 决定了带宽，响应。

参数设计

对于一般数字滤波器的设计，我们的输入一般就是截止频率，或者比如像带通频率，带阻频率参数等等

标准的二阶系统取 ζ = 0.707 \zeta = 0.707 ζ=0.707能让 ∣ G ( j ω ) ∣ = 2 2 |G_{(j\omega)}| = \frac{\sqrt{2}}{2} ∣G(jω)​∣=22 ​​,使得近似截止频率 ω c = ω n \omega_c = \omega_n ωc​=ωn​

在这里对于PLL， ζ = 0.707 \zeta=0.707 ζ=0.707也不是一个好的值,振幅峰值差不多有2db。

对于PLL的二阶系统我们如何设计 K p , K i K_p,K_i Kp​,Ki​呢,或者说如何选取 ζ , ω n \zeta ,\omega_n ζ,ωn​

因为 K p = 2 ζ ω n K_p = 2\zeta \omega_n Kp​=2ζωn​， K i = ω n 2 K_i = \omega_n^2 Ki​=ωn2​。选取 ζ , ω n \zeta ,\omega_n ζ,ωn​，即得到了 K p K_p Kp​和 K i K_i Ki​

①首先要确定 ζ \zeta ζ，如果按照最小谐振峰值的要求，那 ζ \zeta ζ可以选择大一些。

• 这里选取两个值讨论 ζ = 1 , 10 \zeta= 1,10 ζ=1,10

②我们希望设置一个截止频率 ω c \omega_c ωc​,就需要知道 ω n \omega_n ωn​和 ω c \omega_c ωc​的关系

其实在matlab的伯德图中，其实也可以找出关系
当 ζ = 1 , ω c ≈ 2.5 ω n 当 \zeta= 1, \omega_c \approx 2.5\omega_n 当ζ=1,ωc​≈2.5ωn​

当 ζ = 10 , ω c ≈ 20 ω n 当 \zeta= 10, \omega_c \approx 20\omega_n 当ζ=10,ωc​≈20ωn​

理论计算：

∣ G ( j ω ) ∣ = ( 1 − Ω 2 + 4 ζ 2 Ω 2 ) 2 + ( 2 ζ Ω 3 ) 2 ( ( 1 − Ω 2 ) 2 + 4 ζ 2 Ω 2 ) 2 |G_{(j\omega)}|=\sqrt{\frac{(1-\Omega^2+4\zeta^2 \Omega^2)^2+ (2\zeta \Omega^3)^2} {(( 1-\Omega^2)^2+4\zeta^2 \Omega^2)^2 }} ∣G(jω)​∣=((1−Ω2)2+4ζ2Ω2)2(1−Ω2+4ζ2Ω2)2+(2ζΩ3)2​ ​

令 ∣ G ( j ω ) ∣ = 2 2 , ζ = 1 , 求 Ω 令|G_{(j\omega)}|=\frac{\sqrt{2}}{2}, \zeta = 1, 求\Omega 令∣G(jω)​∣=22 ​​,ζ=1,求Ω

( 1 − Ω 2 + 4 ζ 2 Ω 2 ) 2 + ( 2 ζ Ω 3 ) 2 ( ( 1 − Ω 2 ) 2 + 4 ζ 2 Ω 2 ) 2 = 2 2 \sqrt{\frac{(1-\Omega^2+4\zeta^2 \Omega^2)^2+ (2\zeta \Omega^3)^2} {(( 1-\Omega^2)^2+4\zeta^2 \Omega^2)^2 }} = \frac{\sqrt{2}}{2} ((1−Ω2)2+4ζ2Ω2)2(1−Ω2+4ζ2Ω2)2+(2ζΩ3)2​ ​=22 ​​

Ω 8 − 4 Ω 6 − 12 Ω 4 − 8 Ω 2 − 1 = 0 \Omega^8-4\Omega^6-12\Omega^4-8\Omega^2-1=0 Ω8−4Ω6−12Ω4−8Ω2−1=0

其中一个解 Ω = 10 + 3 ≈ 2.482 其中一个解\Omega=\sqrt{\sqrt{10}+3} \approx 2.482 其中一个解Ω=10 ​+3 ​≈2.482

同理当 ζ = 10 \zeta = 10 ζ=10, 求 Ω \Omega Ω

其中一个解

Ω = 40402 + 201 ≈ 20.05 \Omega=\sqrt{\sqrt{40402}+201} \approx 20.05 Ω=40402 ​+201 ​≈20.05

即：当选取 ζ = 1 \zeta= 1 ζ=1, 截止频率选1000时, ω n = 400 \omega_n=400 ωn​=400

K p = 2 ζ ω n = 800 K_p = 2\zeta \omega_n = 800 Kp​=2ζωn​=800

K i = ω n 2 = 160000 K_i = \omega_n^2=160000 Ki​=ωn2​=160000

锁相环PLL的Kp,Ki参数设计

两周前有同学在qq群中讨论PLL的参数设计，之前没自己动手计算过，一直用的将PLL传递函数，忽略零点项，当做标准的二阶系统近似处理，类似ζ=0.707,wn=wc的近似吧。我搜过一些文章也都是这样写的，其实它的频率响应表现还是不太一样的。
电机控制qq群：528884293

传递函数和频率响应：

PLL框图：

G ( s ) = K p s + K i s 2 G(s)=\frac{K_ps+K_i}{s^2} G(s)=s2Kp​s+Ki​​

G ( s ) c l o s e = K p s + K i s 2 1 + K p s + K i s 2 G(s)_{close}=\frac{\frac{K_ps+K_i}{s^2} }{1+\frac{K_ps+K_i}{s^2}} G(s)close​=1+s2Kp​s+Ki​​s2Kp​s+Ki​​​

G ( s ) c l o s e = K p s + K i s 2 + K p s + K i G(s)_{close}=\frac{K_ps+K_i} {s^2+K_ps+K_i} G(s)close​=s2+Kp​s+Ki​Kp​s+Ki​​

其中：
K p = 2 ζ ω n K_p = 2\zeta \omega_n Kp​=2ζωn​
K i = ω n 2 K_i = \omega_n^2 Ki​=ωn2​

得到
G ( s ) C L = 2 ζ ω n s + ω n 2 s 2 + 2 ζ ω n s + ω n 2 G(s)_{CL}=\frac{2\zeta \omega_n s+\omega^2_n} {s^2+2\zeta \omega_ns+\omega^2_n} G(s)CL​=s2+2ζωn​s+ωn2​2ζωn​s+ωn2​​

设
ω ω n = Ω \frac{\omega}{\omega_n} =\Omega ωn​ω​=Ω

G ( s ) C L = 2 ζ ω ω n j + 1 − ω 2 ω n 2 + 2 ζ ω ω n j + 1 G(s)_{CL}=\frac{2\zeta \frac{ \omega }{ \omega_n}j+1} {-\frac{\omega^2}{\omega_n^2} +2\zeta \frac{ \omega }{ \omega_n} j +1} G(s)CL​=−ωn2​ω2​+2ζωn​ω​j+12ζωn​ω​j+1​

= 2 ζ Ω j + 1 − Ω 2 + 2 ζ Ω j + 1 =\frac{2\zeta \Omega j +1} {-\Omega^2 +2\zeta \Omega j +1} =−Ω2+2ζΩj+12ζΩj+1​

= ( 1 − Ω 2 − 2 ζ Ω j ) ( 2 ζ Ω j + 1 ) ( 1 − Ω 2 + 2 ζ Ω j ) ( 1 − Ω 2 − 2 ζ Ω j ) =\frac{(1-\Omega^2 - 2\zeta \Omega j)(2 \zeta \Omega j + 1)} {( 1-\Omega^2+2\zeta \Omega j ) (1- \Omega^2-2\zeta \Omega j)} =(1−Ω2+2ζΩj)(1−Ω2−2ζΩj)(1−Ω2−2ζΩj)(2ζΩj+1)​

= 1 − Ω 2 + 4 ζ 2 Ω 2 ( 1 − Ω 2 ) 2 + 4 ζ 2 Ω 2 − 2 ζ Ω 3 ( 1 − Ω 2 ) 2 + 4 ζ 2 Ω 2 j =\frac{1-\Omega^2+4\zeta^2 \Omega^2 } {( 1-\Omega^2)^2+4\zeta^2 \Omega^2 }- \frac{2\zeta \Omega^3}{(1- \Omega^2)^2 + 4 \zeta^2 \Omega^2}j =(1−Ω2)2+4ζ2Ω21−Ω2+4ζ2Ω2​−(1−Ω2)2+4ζ2Ω22ζΩ3​j

振幅响应：
∣ G ( j ω ) ∣ = ( R e a l ( G ( j ω ) ) 2 + I m ( G ( j ω ) ) 2 ) 1 2 |G(j\omega)|=(Real(G_{(j\omega)})^2 +Im(G_{(j \omega)})^2)^{\frac{1}{2}} ∣G(jω)∣=(Real(G(jω)​)2+Im(G(jω)​)2)21​

= ( 1 − Ω 2 + 4 ζ 2 Ω 2 ) 2 + ( 2 ζ Ω 3 ) 2 ( ( 1 − Ω 2 ) 2 + 4 ζ 2 Ω 2 ) 2 =\sqrt{\frac{(1-\Omega^2+4\zeta^2 \Omega^2)^2 + (2\zeta \Omega^3)^2} {(( 1-\Omega^2)^2+4\zeta^2 \Omega^2)^2 }} =((1−Ω2)2+4ζ2Ω2)2(1−Ω2+4ζ2Ω2)2+(2ζΩ3)2​ ​

假设 Ω = 1 \Omega = 1 Ω=1 ，即 ω = ω n \omega =\omega_n ω=ωn​的情况

∣ G ( j ω ) ∣ = 4 ζ 2 + 1 4 ζ 2 |G_{(j\omega)}|= \sqrt{\frac{4\zeta^2+1}{4\zeta^2}} ∣G(jω)​∣=4ζ24ζ2+1​ ​

ζ → ∞ , ∣ G ( j ω ) ∣ → 1 \zeta \rightarrow \infty , |G_{(j\omega)}| \rightarrow 1 ζ→∞,∣G(jω)​∣→1

可见 ζ \zeta ζ 的取值,无法像标准的二阶系统取 ζ = 0.707 \zeta = 0.707 ζ=0.707能让 ∣ G ( j ω ) ∣ = 2 2 |G_{(j\omega)}| = \frac{\sqrt{2}}{2} ∣G(jω)​∣=22 ​​,截止频率近似 ω c = ω n \omega_c = \omega_n ωc​=ωn​

使用matlab工具，固定 ω n ， ζ \omega_n ，\zeta ωn​，ζ 取几个不同的值，看伯德图

zeta = [0.1,0.5,0.707,1,5,10];wn = 300;figure(1);
for n=1:6sys = tf([2*zeta(n)*wn,wn*wn],[1, 2*zeta(n)*wn,wn*wn]);bode(sys);hold on;
endlegend('ζ=0.1','ζ=0.5','ζ=0.707','ζ=1','ζ=5','ζ=10');

固定了 ω n \omega_n ωn​,看不同 ζ \zeta ζ的取值，频率响应的变化

1. ζ \zeta ζ 取值越大，bode图的表现就更像一阶低通

2. ζ \zeta ζ 取小，则会有更大的振幅响应

matlab工具，固定 ζ ， ω n \zeta，\omega_n ζ，ωn​取几个不同的值，看看伯德图

ζ = 0.707 ， ω n \zeta =0.707，\omega_n ζ=0.707，ωn​ 取不同值的情况

ζ = 1 ， ω n \zeta =1，\omega_n ζ=1，ωn​ 取不同值的情况

ζ = 5 ， ω n \zeta =5，\omega_n ζ=5，ωn​ 取不同值的情况

固定了 ζ \zeta ζ，不同的 ω n \omega_n ωn​频率响应

1. ζ \zeta ζ 阻尼决定了振幅。
2. ω n \omega_n ωn​ 决定了带宽，响应。

参数设计

对于一般数字滤波器的设计，我们的输入一般就是截止频率，或者比如像带通频率，带阻频率参数等等

标准的二阶系统取 ζ = 0.707 \zeta = 0.707 ζ=0.707能让 ∣ G ( j ω ) ∣ = 2 2 |G_{(j\omega)}| = \frac{\sqrt{2}}{2} ∣G(jω)​∣=22 ​​,使得近似截止频率 ω c = ω n \omega_c = \omega_n ωc​=ωn​

在这里对于PLL， ζ = 0.707 \zeta=0.707 ζ=0.707也不是一个好的值,振幅峰值差不多有2db。

对于PLL的二阶系统我们如何设计 K p , K i K_p,K_i Kp​,Ki​呢,或者说如何选取 ζ , ω n \zeta ,\omega_n ζ,ωn​

因为 K p = 2 ζ ω n K_p = 2\zeta \omega_n Kp​=2ζωn​， K i = ω n 2 K_i = \omega_n^2 Ki​=ωn2​。选取 ζ , ω n \zeta ,\omega_n ζ,ωn​，即得到了 K p K_p Kp​和 K i K_i Ki​

①首先要确定 ζ \zeta ζ，如果按照最小谐振峰值的要求，那 ζ \zeta ζ可以选择大一些。

• 这里选取两个值讨论 ζ = 1 , 10 \zeta= 1,10 ζ=1,10

②我们希望设置一个截止频率 ω c \omega_c ωc​,就需要知道 ω n \omega_n ωn​和 ω c \omega_c ωc​的关系

其实在matlab的伯德图中，其实也可以找出关系
当 ζ = 1 , ω c ≈ 2.5 ω n 当 \zeta= 1, \omega_c \approx 2.5\omega_n 当ζ=1,ωc​≈2.5ωn​

当 ζ = 10 , ω c ≈ 20 ω n 当 \zeta= 10, \omega_c \approx 20\omega_n 当ζ=10,ωc​≈20ωn​

理论计算：

∣ G ( j ω ) ∣ = ( 1 − Ω 2 + 4 ζ 2 Ω 2 ) 2 + ( 2 ζ Ω 3 ) 2 ( ( 1 − Ω 2 ) 2 + 4 ζ 2 Ω 2 ) 2 |G_{(j\omega)}|=\sqrt{\frac{(1-\Omega^2+4\zeta^2 \Omega^2)^2+ (2\zeta \Omega^3)^2} {(( 1-\Omega^2)^2+4\zeta^2 \Omega^2)^2 }} ∣G(jω)​∣=((1−Ω2)2+4ζ2Ω2)2(1−Ω2+4ζ2Ω2)2+(2ζΩ3)2​ ​

令 ∣ G ( j ω ) ∣ = 2 2 , ζ = 1 , 求 Ω 令|G_{(j\omega)}|=\frac{\sqrt{2}}{2}, \zeta = 1, 求\Omega 令∣G(jω)​∣=22 ​​,ζ=1,求Ω

( 1 − Ω 2 + 4 ζ 2 Ω 2 ) 2 + ( 2 ζ Ω 3 ) 2 ( ( 1 − Ω 2 ) 2 + 4 ζ 2 Ω 2 ) 2 = 2 2 \sqrt{\frac{(1-\Omega^2+4\zeta^2 \Omega^2)^2+ (2\zeta \Omega^3)^2} {(( 1-\Omega^2)^2+4\zeta^2 \Omega^2)^2 }} = \frac{\sqrt{2}}{2} ((1−Ω2)2+4ζ2Ω2)2(1−Ω2+4ζ2Ω2)2+(2ζΩ3)2​ ​=22 ​​

Ω 8 − 4 Ω 6 − 12 Ω 4 − 8 Ω 2 − 1 = 0 \Omega^8-4\Omega^6-12\Omega^4-8\Omega^2-1=0 Ω8−4Ω6−12Ω4−8Ω2−1=0

其中一个解 Ω = 10 + 3 ≈ 2.482 其中一个解\Omega=\sqrt{\sqrt{10}+3} \approx 2.482 其中一个解Ω=10 ​+3 ​≈2.482

同理当 ζ = 10 \zeta = 10 ζ=10, 求 Ω \Omega Ω

其中一个解

Ω = 40402 + 201 ≈ 20.05 \Omega=\sqrt{\sqrt{40402}+201} \approx 20.05 Ω=40402 ​+201 ​≈20.05

即：当选取 ζ = 1 \zeta= 1 ζ=1, 截止频率选1000时, ω n = 400 \omega_n=400 ωn​=400

K p = 2 ζ ω n = 800 K_p = 2\zeta \omega_n = 800 Kp​=2ζωn​=800

K i = ω n 2 = 160000 K_i = \omega_n^2=160000 Ki​=ωn2​=160000