2024年2月18日发(作者：赫寄翠)

第6节 对数与对数函数

考试要求 1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用；2.理解对数函数的概念及1其单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点，会画底数为2，10，2的对数函数的图象；3.体会对数函数是一类重要的函数模型；4.了解指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数.

1.对数的概念

如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数.

2.对数的性质、运算性质与换底公式

(1)对数的性质：①alogaN＝N；②logaab＝b(a>0，且a≠1).

(2)对数的运算性质

如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么

①loga(MN)＝logaM＋logaN；

M②logaN＝logaM－logaN；

③logaMn＝nlogaM(n∈R).

logaN(3)换底公式：logbN＝logb(a，b均大于零且不等于1，N>0).

a3.对数函数及其性质

(1)概念：函数y＝logax(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞).

(2)对数函数的图象与性质

a>1 0

图象

定义域：(0，＋∞)

值域：R

性质

当x＝1时，y＝0，即过定点(1，0)

当x>1时，y>0；当0

在(0，＋∞)上是增函数

4.反函数

指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称.

1.换底公式的两个重要结论

1(1)logab＝loga(a>0，且a≠1；b>0，且b≠1).

bn(2)logambn＝mlogab(a>0，且a≠1；b>0；m，n∈R，且m≠0).

2.在第一象限内，不同底的对数函数的图象从左到右底数逐渐增大.

13.对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象过定点(1，0)，且过点(a，1)，a，－1，函数图象只在第一、四象限.

1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)

(1)log2x2＝2log2x.( )

(2)函数y＝log2(x＋1)是对数函数.( )

(3)函数y＝ln1＋x与y＝ln(1＋x)－ln(1－x)的定义域相同.( )

1－x当x>1时，y<0；当00

在(0，＋∞)上是减函数

(4)当x>1时，若logax>logbx，则a

答案 (1)× (2)× (3)√ (4)×

解析 (1)log2x2＝2log2|x|，故(1)错误.

(2)形如y＝logax(a＞0，且a≠1)为对数函数，故(2)错误.

(4)若0

2.(2021·全国甲卷)青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量，通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足L＝5＋lg V.已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据约为(A.1.5

答案 C

解析 由题意知，4.9＝5＋lg V，得lg V＝－0.1，得1－V＝1010＝1010≈1.259)( )

D.0.6 B.1.2 C.0.8

110101≈1.259≈0.8，所以该同学视力的小数记录法的数据约为0.8.

3.(2021·天津卷)设a＝log2 0.3，b＝log10.4，c＝0.40.3，则a，b，c的大小关系为( )

2A.a＜b＜c

C.b＜c＜a

答案 D

B.c＜a＜b

D.a＜c＜b

解析 ∵log20.3＜log21＝0，∴a＜0.

∵log10.4＝－log20.4＝log2252＞log22＝1，

∴b＞1.

∵0＜0.40.3＜0.40＝1，∴0＜c＜1，

∴a＜c＜b.

4.(易错题)函数y＝loga(x－1)＋2(a>0，且a≠1)的图象恒过的定点是________.

答案 (2，2)

解析 当x＝2时，函数y＝loga(x－1)＋2(a>0，且a≠1)的值为2，所以图象恒过

定点(2，2).

x5.(易错题)已知lg x＋lg y＝2lg(x－2y)，则y＝________.

答案 4

解析 ∵lg x＋lg y＝2lg(x－2y)，

∴lg(xy)＝lg(x－2y)2，

x>0，x>2y，y>0，∴即y>0，

x－2y>0，（x－y）（x－4y）＝0，xy＝（x－2y），2x则x＝4y>0，∴y＝4.

6.若函数y＝logax(a>0，a≠1)在[2，4]上的最大值与最小值的差是1，则a＝________.

1答案 2或2

解析 当0

当a>1时，f(x)在[2，4]上单调递增，此时f(x)max＝f(4)，f(x)min＝f(2)，则f(4)－f(2)＝loga2＝1，解得a＝2.

考点一 对数的运算

1.(2020·全国Ⅰ卷)设alog34＝2，则4－a＝( )

1A.16

答案 B

11解析 法一 因为alog34＝2，所以log34a＝2，则4a＝32＝9，所以4－a＝4a＝9.

2法二 因为alog34＝2，所以a＝log4＝2log43＝log432＝log49，所以4－a＝4－log4931 B.9

1C.8

1 D.6

1＝4log49－1＝9－1＝9.

2.在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满5E1足m2－m1＝2lgE，其中星等为mk的星的亮度为Ek(k＝1，2).已知太阳的星等是2－26.7，天狼星的星等是－1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为( )

A.1010.1

答案 A

5E1解析 依题意，m1＝－26.7，m2＝－1.45，代入所给公式得2lg

E＝－1.45－(－26.7)2B.10.1 10.1 D.10－10.1

＝25.25.

E12E1所以lg

E＝25.25×5＝10.1，即E＝1010.1.

22113.(2021·天津卷)若2a＝5b＝10，则a＋b＝( )

A.－1

答案 C

解析 ∵2a＝5b＝10，

∴a＝log210，b＝log510，

1111∴a＋b＝log10＋log10＝lg 2＋lg 5＝lg 10＝1.

25 7 C.1 710

（1－log63）2＋log62·log6184.计算：＝________.

log46答案 1

61－2log63＋（log63）2＋log63·log6（6×3）log64解析 原式＝

1－2log63＋（log63）2＋1－（log63）2＝

log642（1－log63）log66－log63log62＝＝＝log2＝1.

2log62log626感悟提升 1.在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后用对数运算法则化简合并.

2.先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算.

＝N⇔b＝logaN(a>0，且a≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化.

考点二 对数函数的图象及应用

例1 (1)函数f(x)＝loga|x|＋1(0

1(2)若方程4x＝logax在0，2上有解，则实数a的取值范围为________.

2答案 (1)A (2)0，

2解析 (1)由函数f(x)的解析式可确定该函数为偶函数，图象关于y轴对称.设g(x)＝loga|x|，先画出x>0时，g(x)的图象，然后根据g(x)的图象关于y轴对称画出x<0时g(x)的图象，最后由函数g(x)的图象向上整体平移一个单位长度即得f(x)的图象，结合图象知选A.

11(2)若方程4x＝logax在0，2上有解，则函数y＝4x和函数y＝logax的图象在0，2上有交点，

0

12loga2≤2，感悟提升 对数函数图象的识别及应用方法

(1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质，函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项.

(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解.

训练1 (1)已知函数y＝loga(x＋c)(a，c为常数，其中a>0，a≠1)的图象如图，则下列结论成立的是( )

A.a>1，c>1

B.a>1，0

D.01

log2x，x>0，(2)已知函数f(x)＝x关于x的方程f(x)＋x－a＝0有且只有一个实根，3，x≤0，则实数a的取值范围是________.

答案 (1)D (2)(1，＋∞)

解析 (1)由该函数的图象通过第一、二、四象限知该函数为减函数，∴0

(2)问题等价于函数y＝f(x)与y＝－x＋a的图象有且只有一个交点，结合函数图象可知a>1.

考点三 解决与对数函数的性质有关的问题

角度1 比较大小

11例2 (1)已知a＝23，b＝log23，c＝log13，则( )

－12A.a>b>c

C.c>b>a

B.a>c>b

D.c>a>b

(2)若实数a，b，c满足loga2

A.a

C.c

B.b

D.a

0.21(3)(2021·衡水中学检测)已知a＝2，b＝log10.2，c＝ab，则a，b，c的大小关2系是( )

A.a

C.a

B.c

D.b

答案 (1)D (2)C (3)B

11解析 (1)∵01.∴c>a>b.

2111(2)根据不等式的性质和对数的换底公式可得loga

222即log2c

可得c

11(3)函数y＝2与y＝log1x的图象关于直线y＝x对称，则0<2<1

22x0.2又c＝ab＝210.2log0.2211＝2log10.220.210.2＝0.2<2＝a，所以b>a>c.

0.2角度2 解对数不等式

例3 (1)(2022·太原质检)定义在R上的奇函数f(x)，当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝log2x，则不等式f(x)<－1的解集是________.

(2)不等式loga(a2＋1)

11答案 (1)(－∞，－2)∪0，2 (2)2，1

解析 (1)设x<0，则－x>0，

∴f(x)＝－f(－x)＝－log2(－x)，

log2x，x>0，∴f(x)＝0，x＝0，

－log2（－x），x<0.11当x>0时，f(x)<－1，即log2x<－1＝log22，解得0

当x<0时，f(x)<－1，即－log2(－x)<－1，

则log2(－x)>1＝log22，解得x<－2.

当x＝0时，f(x)＝0<－1显然不成立.

1综上，原不等式的解集为(－∞，－2)∪0，2.

(2)由题意得a>0且a≠1，

故必有a2＋1>2a.

又loga(a2＋1)

1所以2a>1，即a>2.

1综上，2

角度3 对数型函数性质的综合应用

1例4 已知函数f(x)＝log22x＋a.

(1)若函数f(x)是R上的奇函数，求a的值；

(2)若函数f(x)的定义域是一切实数，求a的取值范围；

(3)若函数f(x)在区间[0，1]上的最大值与最小值的差不小于2，求实数a的取值范围.

解 (1)若函数f(x)是R上的奇函数，

则f(0)＝0，

∴log2(1＋a)＝0，∴a＝0.

当a＝0时，f(x)＝－x是R上的奇函数.

所以a＝0.

(2)若函数f(x)的定义域是一切实数，

1则2x＋a>0恒成立.

11即a>－2x恒成立，由于－2x∈(－∞，0)，

故只要a≥0，则a的取值范围是[0，＋∞).

(3)由已知得函数f(x)是减函数，故f(x)在区间[0，1]上的最大值是f(0)＝log2(1＋a)，1最小值是f(1)＝log22＋a.

1由题设得log2(1＋a)－log22＋a≥2，

则log2(1＋a)≥log2(4a＋2).

1＋a≥4a＋2，11∴解得－2

4a＋2>0，11故实数a的取值范围是－2，－3.

感悟提升 1.比较对数值的大小与解形如logaf(x)>logag(x)的不等式，主要是应用函数的单调性求解，如果a的取值不确定，需要分a>1与0

2.与对数函数有关的复合函数的单调性问题，必须弄清三方面的问题：一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的.

训练2 (1)(2019·天津卷)已知a＝log27，b＝log38，c＝0.30.2，则a，b，c的大小关系为( )

A.c

C.b

(2)若f(x)＝lg(x2－2ax＋1＋a)在区间(－∞，1]上单调递减，则a的取值范围为________.

(3)已知函数f(x)＝loga(8－ax)(a>0，且a≠1)，若f(x)>1在区间[1，2]上恒成立，则实数a的取值范围是________.

8答案 (1)A (2)[1，2) (3)1，3

解析 (1)显然c＝0.30.2∈(0，1).

因为log33

因为log27>log24＝2，所以a>2.

故c

(2)令函数g(x)＝x2－2ax＋1＋a＝(x－a)2＋1＋a－a2，对称轴为x＝a，

要使函数在(－∞，1]上递减，

g（1）>0，2－a>0，则有即

a≥1，a≥1，解得1≤a<2，即a∈[1，2).

(3)当a>1时，f(x)＝loga(8－ax)在[1，2]上是减函数，由f(x)>1在区间[1，2]上恒成立，

则f(x)min＝f(2)＝loga(8－2a)>1，

8即8－2a>a，且8－2a>0，解得1

当0

由f(x)>1在区间[1，2]上恒成立，

知f(x)min＝f(1)＝loga(8－a)>1，且8－2a>0.

∴8－a0，此时解集为∅.

8综上可知，实数a的取值范围是1，3.



1.已知b>0，log5b＝a，lg b＝c，5d＝10，则下列等式一定成立的是( )

A.d＝ac

C.c＝ad

答案 B

解析 ∵log5b＝a，lg b＝c，∴5a＝b，10c＝b.

又∵5d＝10，∴5a＝b＝10c＝(5d)c＝5cd，

∴a＝cd.

42.(2021·濮阳模拟)已知函数f(x)＝lg3x＋3x＋m 的值域是全体实数，则实数m的取值范围是( )

A.(－4，＋∞)

C.(－∞，－4)

答案 D

4解析 由题意可知3x＋3x＋m能取遍所有正实数.

4又3x＋3x＋m≥m＋4，

所以m＋4≤0，即m≤－4.

∴实数m的取值范围为(－∞，－4].

11lg

3.若函数f(x)＝|x|＋x，则f(lg 2)＋f2＋f(lg 5)＋flg

5＝( )

3B.a＝cd

D.d＝a＋c

B.[－4，＋∞)

D.(－∞，－4]

A.2

答案 A

B.4 C.6 D.8

解析 由于f(x)＝|x|＋x3，得f(－x)＋f(x)＝2|x|.

11又lg

2＝－lg 2，lg

5＝－lg 5.

所以原式＝2|lg 2|＋2|lg 5|＝2(lg 2＋lg 5)＝2.

14.(2021·新高考Ⅱ卷)已知a＝log52，b＝log83，c＝2，则下列判断正确的是( )

A.c

C.a

答案 C

1解析 a＝log52

115.在同一直角坐标系中，函数y＝ax，y＝logax＋2(a>0，且a≠1)的图象可能是( )

B.b

D.a

答案 D

111x＋解析 若a>1，则y＝ax单调递减，A，B，D不符合，且y＝loga2过定点2，0，C项不符合，因此0

1当0

6.已知函数f(x)＝log2(1－|x|)，则关于函数f(x)有下列说法：

①f(x)的图象关于原点对称；

②f(x)的图象关于y轴对称；

③f(x)的最大值为0；

④f(x)在区间(－1，1)上单调递增.

其中正确的是( )

A.①③

答案 C

B.①④ C.②③ D.②④

解析 f(x)＝log2(1－|x|)为偶函数，不是奇函数，

∴①错误，②正确；

根据f(x)的图象(图略)可知④错误；

∵1－|x|≤1，∴f(x)≤log21＝0，故③正确.

7.(2021·济南一中检测)已知函数y＝loga(2x－3)＋2(a>0且a≠1)的图象恒过定点A，若点A也在函数f(x)＝3x＋b的图象上，则b＝________.

答案 －7

解析 令2x－3＝1，得x＝2，∴定点为A(2，2)，将定点A的坐标代入函数f(x)中，得2＝32＋b，解得b＝－7.

8.计算：lg 25＋lg 50＋lg 2·lg 500＋(lg 2)2＝________.

答案 4

解析 原式＝2lg 5＋lg(5×10)＋lg 2·lg(5×102)＋(lg 2)2

＝2lg 5＋lg 5＋1＋lg 2·(lg 5＋2)＋(lg 2)2

＝3lg 5＋1＋lg 2·lg 5＋2lg 2＋(lg 2)2

＝3lg 5＋2lg 2＋1＋lg 2(lg 5＋lg 2)

＝3lg 5＋2lg 2＋1＋lg 2＝3(lg 5＋lg 2)＋1 ＝4.

9.函数f(x)＝log2x·log1答案 －4

1111解析 依题意得f(x)＝2log2x·(2＋2log2x)＝(log2x)2＋log2x＝log2x＋2－4≥－4，121当log2x＝－2，即x＝2时等号成立，所以函数f(x)的最小值为－4.

10.已知f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≥0时，f(x)＝loga(x＋1)(a>0，且a≠1).

22(2x)的最小值为________.

(1)求函数f(x)的解析式；

(2)若－1

解 (1)当x<0时，－x>0，

由题意知f(－x)＝loga(－x＋1)，

又f(x)是定义在R上的偶函数，

所以f(－x)＝f(x).

所以当x<0时，f(x)＝loga(－x＋1)，

所以函数f(x)的解析式为

loga（x＋1），x≥0，f(x)＝

loga（－x＋1），x<0.(2)因为－1

1所以logaa

1a<2，①当a>1时，原不等式等价于解得a>2；

a>2，②当0

10，综上，实数a的取值范围为∪(2，＋∞).

211.已知函数f(x)＝log21＋ax(a为常数)是奇函数.

x－11a>2，a<2，

(1)求a的值与函数f(x)的定义域；

(2)若当x∈(1，＋∞)时，f(x)＋log2(x－1)>m恒成立，求实数m的取值范围.

1＋ax解 (1)因为函数f(x)＝log2是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，

x－1

1＋ax所以log2＝－log2，

－x－1x－1即log2ax－1x＋1＝log2，

1＋axx－11－ax1＋x所以a＝1，f(x)＝log2，

x－11＋x令>0，解得x<－1或x>1，

x－1所以函数的定义域为{x|x<－1或x>1}.

(2)f(x)＋log2(x－1)＝log2(1＋x)，

当x>1时，x＋1>2，

所以log2(1＋x)>log22＝1.

因为x∈(1，＋∞)时，f(x)＋log2(x－1)>m恒成立，

所以m≤1，所以m的取值范围是(－∞，1].

12.(2022·烟台模拟)某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P(单位：mg/L)与时间t(单位：h)间的关系式为P＝P0e－kt，其中P0，k为正常数.如果一定量的废气在前10 h的过滤过程中污染物被消除了20%，那么污染物减少到最初含量的50%还需要经过多长时间？(结果四舍五入取整数，参考数据：ln 2≈0.693，ln 5≈1.609)( )

A.11 h

答案 B

14解析 由已知得1－5＝e－10k，方程两边同取自然对数得ln

5＝－10k，所以k＝2ln 2－ln 5－101≈0.022 3.设污染物减少到最初含量的50%需要经过t h，则2＝e－0.022 3t，B.21 h C.31 h D.41 h

1方程两边同取自然对数得ln

2＝－0.022 3t，解得t≈31.所以还需要经过31－10

＝21(h)使污染物减少到最初含量的50%，故选B.

log2（x－1），x>1，13.已知函数f(x)＝x且关于x的方程f(x)－a＝0有两个实数2，x≤1，根，则实数a的取值范围为( )

A.(0，1)

C.(1，2)

答案 D

解析 作出函数y＝f(x)的图象(如图)，

B.(0，1]

D.(0，2]

方程f(x)－a＝0有两个实数根，

即y＝f(x)与y＝a有两个交点，

由图知，0

14.(2022·郑州调研)在①f(x)＋f(－x)＝0，②f(x)－f(－x)＝0，③f(－2)＝－f(2)这三个条件中选择一个合适的补充在下面问题中，并给出解答.

已知函数f(x)＝log2(x2＋a＋x)(a∈R)满足________.

(1)求a的值；

(2)若函数g(x)＝2f(－x)5＋1－x＋1，证明：g(x－x)≤4.

22注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

解 若选择②f(x)－f(－x)＝0，

因为f(x)－f(－x)＝0，

所以log2(所以x2＋a＋x)－log2(x2＋a－x)＝0，

x2＋a＋x＝x2＋a－x，

所以x＝0，a≥0，

此时求不出a的具体值，所以不能选②.

若选择①f(x)＋f(－x)＝0，

(1)因为f(x)＋f(－x)＝0，

所以log2(所以log2[(x2＋a＋x)＋log2(x2＋a＋x)(x2＋a－x)＝0，

x2＋a－x)]＝0，

所以x2＋a－x2＝1，解得a＝1.

若选择③f(－2)＝－f(2)，

(1)因为f(－2)＝－f(2)，

所以log2(所以(4＋a－2)＝－log2(4＋a＋2)，

4＋a－2)(4＋a＋2)＝1，

所以4＋a－4＝1，所以a＝1.

(2)由(1)知f(x)＝log2(f(－x)＝log2(x2＋1＋x)，

x2＋1－x)，

x2＋1－x)所以g(x)＝2log2(＝＋1－x2＋1

x2＋1－x＋1－x2＋1＝－x＋1，

所以g(x2－x)＝－(x2－x)＋1＝－x2＋x＋1

155＝－x－2＋4≤4.

2

2024年2月18日发(作者：赫寄翠)

第6节 对数与对数函数

考试要求 1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用；2.理解对数函数的概念及1其单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点，会画底数为2，10，2的对数函数的图象；3.体会对数函数是一类重要的函数模型；4.了解指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数.

1.对数的概念

如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数.

2.对数的性质、运算性质与换底公式

(1)对数的性质：①alogaN＝N；②logaab＝b(a>0，且a≠1).

(2)对数的运算性质

如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么

①loga(MN)＝logaM＋logaN；

M②logaN＝logaM－logaN；

③logaMn＝nlogaM(n∈R).

logaN(3)换底公式：logbN＝logb(a，b均大于零且不等于1，N>0).

a3.对数函数及其性质

(1)概念：函数y＝logax(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞).

(2)对数函数的图象与性质

a>1 0

图象

定义域：(0，＋∞)

值域：R

性质

当x＝1时，y＝0，即过定点(1，0)

当x>1时，y>0；当0

在(0，＋∞)上是增函数

4.反函数

指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称.

1.换底公式的两个重要结论

1(1)logab＝loga(a>0，且a≠1；b>0，且b≠1).

bn(2)logambn＝mlogab(a>0，且a≠1；b>0；m，n∈R，且m≠0).

2.在第一象限内，不同底的对数函数的图象从左到右底数逐渐增大.

13.对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象过定点(1，0)，且过点(a，1)，a，－1，函数图象只在第一、四象限.

1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)

(1)log2x2＝2log2x.( )

(2)函数y＝log2(x＋1)是对数函数.( )

(3)函数y＝ln1＋x与y＝ln(1＋x)－ln(1－x)的定义域相同.( )

1－x当x>1时，y<0；当00

在(0，＋∞)上是减函数

(4)当x>1时，若logax>logbx，则a

答案 (1)× (2)× (3)√ (4)×

解析 (1)log2x2＝2log2|x|，故(1)错误.

(2)形如y＝logax(a＞0，且a≠1)为对数函数，故(2)错误.

(4)若0

2.(2021·全国甲卷)青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量，通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足L＝5＋lg V.已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据约为(A.1.5

答案 C

解析 由题意知，4.9＝5＋lg V，得lg V＝－0.1，得1－V＝1010＝1010≈1.259)( )

D.0.6 B.1.2 C.0.8

110101≈1.259≈0.8，所以该同学视力的小数记录法的数据约为0.8.

3.(2021·天津卷)设a＝log2 0.3，b＝log10.4，c＝0.40.3，则a，b，c的大小关系为( )

2A.a＜b＜c

C.b＜c＜a

答案 D

B.c＜a＜b

D.a＜c＜b

解析 ∵log20.3＜log21＝0，∴a＜0.

∵log10.4＝－log20.4＝log2252＞log22＝1，

∴b＞1.

∵0＜0.40.3＜0.40＝1，∴0＜c＜1，

∴a＜c＜b.

4.(易错题)函数y＝loga(x－1)＋2(a>0，且a≠1)的图象恒过的定点是________.

答案 (2，2)

解析 当x＝2时，函数y＝loga(x－1)＋2(a>0，且a≠1)的值为2，所以图象恒过

定点(2，2).

x5.(易错题)已知lg x＋lg y＝2lg(x－2y)，则y＝________.

答案 4

解析 ∵lg x＋lg y＝2lg(x－2y)，

∴lg(xy)＝lg(x－2y)2，

x>0，x>2y，y>0，∴即y>0，

x－2y>0，（x－y）（x－4y）＝0，xy＝（x－2y），2x则x＝4y>0，∴y＝4.

6.若函数y＝logax(a>0，a≠1)在[2，4]上的最大值与最小值的差是1，则a＝________.

1答案 2或2

解析 当0

当a>1时，f(x)在[2，4]上单调递增，此时f(x)max＝f(4)，f(x)min＝f(2)，则f(4)－f(2)＝loga2＝1，解得a＝2.

考点一 对数的运算

1.(2020·全国Ⅰ卷)设alog34＝2，则4－a＝( )

1A.16

答案 B

11解析 法一 因为alog34＝2，所以log34a＝2，则4a＝32＝9，所以4－a＝4a＝9.

2法二 因为alog34＝2，所以a＝log4＝2log43＝log432＝log49，所以4－a＝4－log4931 B.9

1C.8

1 D.6

1＝4log49－1＝9－1＝9.

2.在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满5E1足m2－m1＝2lgE，其中星等为mk的星的亮度为Ek(k＝1，2).已知太阳的星等是2－26.7，天狼星的星等是－1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为( )

A.1010.1

答案 A

5E1解析 依题意，m1＝－26.7，m2＝－1.45，代入所给公式得2lg

E＝－1.45－(－26.7)2B.10.1 10.1 D.10－10.1

＝25.25.

E12E1所以lg

E＝25.25×5＝10.1，即E＝1010.1.

22113.(2021·天津卷)若2a＝5b＝10，则a＋b＝( )

A.－1

答案 C

解析 ∵2a＝5b＝10，

∴a＝log210，b＝log510，

1111∴a＋b＝log10＋log10＝lg 2＋lg 5＝lg 10＝1.

25 7 C.1 710

（1－log63）2＋log62·log6184.计算：＝________.

log46答案 1

61－2log63＋（log63）2＋log63·log6（6×3）log64解析 原式＝

1－2log63＋（log63）2＋1－（log63）2＝

log642（1－log63）log66－log63log62＝＝＝log2＝1.

2log62log626感悟提升 1.在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后用对数运算法则化简合并.

2.先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算.

＝N⇔b＝logaN(a>0，且a≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化.

考点二 对数函数的图象及应用

例1 (1)函数f(x)＝loga|x|＋1(0

1(2)若方程4x＝logax在0，2上有解，则实数a的取值范围为________.

2答案 (1)A (2)0，

2解析 (1)由函数f(x)的解析式可确定该函数为偶函数，图象关于y轴对称.设g(x)＝loga|x|，先画出x>0时，g(x)的图象，然后根据g(x)的图象关于y轴对称画出x<0时g(x)的图象，最后由函数g(x)的图象向上整体平移一个单位长度即得f(x)的图象，结合图象知选A.

11(2)若方程4x＝logax在0，2上有解，则函数y＝4x和函数y＝logax的图象在0，2上有交点，

0

12loga2≤2，感悟提升 对数函数图象的识别及应用方法

(1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质，函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项.

(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解.

训练1 (1)已知函数y＝loga(x＋c)(a，c为常数，其中a>0，a≠1)的图象如图，则下列结论成立的是( )

A.a>1，c>1

B.a>1，0

D.01

log2x，x>0，(2)已知函数f(x)＝x关于x的方程f(x)＋x－a＝0有且只有一个实根，3，x≤0，则实数a的取值范围是________.

答案 (1)D (2)(1，＋∞)

解析 (1)由该函数的图象通过第一、二、四象限知该函数为减函数，∴0

(2)问题等价于函数y＝f(x)与y＝－x＋a的图象有且只有一个交点，结合函数图象可知a>1.

考点三 解决与对数函数的性质有关的问题

角度1 比较大小

11例2 (1)已知a＝23，b＝log23，c＝log13，则( )

－12A.a>b>c

C.c>b>a

B.a>c>b

D.c>a>b

(2)若实数a，b，c满足loga2

A.a

C.c

B.b

D.a

0.21(3)(2021·衡水中学检测)已知a＝2，b＝log10.2，c＝ab，则a，b，c的大小关2系是( )

A.a

C.a

B.c

D.b

答案 (1)D (2)C (3)B

11解析 (1)∵01.∴c>a>b.

2111(2)根据不等式的性质和对数的换底公式可得loga

222即log2c

可得c

11(3)函数y＝2与y＝log1x的图象关于直线y＝x对称，则0<2<1

22x0.2又c＝ab＝210.2log0.2211＝2log10.220.210.2＝0.2<2＝a，所以b>a>c.

0.2角度2 解对数不等式

例3 (1)(2022·太原质检)定义在R上的奇函数f(x)，当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝log2x，则不等式f(x)<－1的解集是________.

(2)不等式loga(a2＋1)

11答案 (1)(－∞，－2)∪0，2 (2)2，1

解析 (1)设x<0，则－x>0，

∴f(x)＝－f(－x)＝－log2(－x)，

log2x，x>0，∴f(x)＝0，x＝0，

－log2（－x），x<0.11当x>0时，f(x)<－1，即log2x<－1＝log22，解得0

当x<0时，f(x)<－1，即－log2(－x)<－1，

则log2(－x)>1＝log22，解得x<－2.

当x＝0时，f(x)＝0<－1显然不成立.

1综上，原不等式的解集为(－∞，－2)∪0，2.

(2)由题意得a>0且a≠1，

故必有a2＋1>2a.

又loga(a2＋1)

1所以2a>1，即a>2.

1综上，2

角度3 对数型函数性质的综合应用

1例4 已知函数f(x)＝log22x＋a.

(1)若函数f(x)是R上的奇函数，求a的值；

(2)若函数f(x)的定义域是一切实数，求a的取值范围；

(3)若函数f(x)在区间[0，1]上的最大值与最小值的差不小于2，求实数a的取值范围.

解 (1)若函数f(x)是R上的奇函数，

则f(0)＝0，

∴log2(1＋a)＝0，∴a＝0.

当a＝0时，f(x)＝－x是R上的奇函数.

所以a＝0.

(2)若函数f(x)的定义域是一切实数，

1则2x＋a>0恒成立.

11即a>－2x恒成立，由于－2x∈(－∞，0)，

故只要a≥0，则a的取值范围是[0，＋∞).

(3)由已知得函数f(x)是减函数，故f(x)在区间[0，1]上的最大值是f(0)＝log2(1＋a)，1最小值是f(1)＝log22＋a.

1由题设得log2(1＋a)－log22＋a≥2，

则log2(1＋a)≥log2(4a＋2).

1＋a≥4a＋2，11∴解得－2

4a＋2>0，11故实数a的取值范围是－2，－3.

感悟提升 1.比较对数值的大小与解形如logaf(x)>logag(x)的不等式，主要是应用函数的单调性求解，如果a的取值不确定，需要分a>1与0

2.与对数函数有关的复合函数的单调性问题，必须弄清三方面的问题：一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的.

训练2 (1)(2019·天津卷)已知a＝log27，b＝log38，c＝0.30.2，则a，b，c的大小关系为( )

A.c

C.b

(2)若f(x)＝lg(x2－2ax＋1＋a)在区间(－∞，1]上单调递减，则a的取值范围为________.

(3)已知函数f(x)＝loga(8－ax)(a>0，且a≠1)，若f(x)>1在区间[1，2]上恒成立，则实数a的取值范围是________.

8答案 (1)A (2)[1，2) (3)1，3

解析 (1)显然c＝0.30.2∈(0，1).

因为log33

因为log27>log24＝2，所以a>2.

故c

(2)令函数g(x)＝x2－2ax＋1＋a＝(x－a)2＋1＋a－a2，对称轴为x＝a，

要使函数在(－∞，1]上递减，

g（1）>0，2－a>0，则有即

a≥1，a≥1，解得1≤a<2，即a∈[1，2).

(3)当a>1时，f(x)＝loga(8－ax)在[1，2]上是减函数，由f(x)>1在区间[1，2]上恒成立，

则f(x)min＝f(2)＝loga(8－2a)>1，

8即8－2a>a，且8－2a>0，解得1

当0

由f(x)>1在区间[1，2]上恒成立，

知f(x)min＝f(1)＝loga(8－a)>1，且8－2a>0.

∴8－a0，此时解集为∅.

8综上可知，实数a的取值范围是1，3.



1.已知b>0，log5b＝a，lg b＝c，5d＝10，则下列等式一定成立的是( )

A.d＝ac

C.c＝ad

答案 B

解析 ∵log5b＝a，lg b＝c，∴5a＝b，10c＝b.

又∵5d＝10，∴5a＝b＝10c＝(5d)c＝5cd，

∴a＝cd.

42.(2021·濮阳模拟)已知函数f(x)＝lg3x＋3x＋m 的值域是全体实数，则实数m的取值范围是( )

A.(－4，＋∞)

C.(－∞，－4)

答案 D

4解析 由题意可知3x＋3x＋m能取遍所有正实数.

4又3x＋3x＋m≥m＋4，

所以m＋4≤0，即m≤－4.

∴实数m的取值范围为(－∞，－4].

11lg

3.若函数f(x)＝|x|＋x，则f(lg 2)＋f2＋f(lg 5)＋flg

5＝( )

3B.a＝cd

D.d＝a＋c

B.[－4，＋∞)

D.(－∞，－4]

A.2

答案 A

B.4 C.6 D.8

解析 由于f(x)＝|x|＋x3，得f(－x)＋f(x)＝2|x|.

11又lg

2＝－lg 2，lg

5＝－lg 5.

所以原式＝2|lg 2|＋2|lg 5|＝2(lg 2＋lg 5)＝2.

14.(2021·新高考Ⅱ卷)已知a＝log52，b＝log83，c＝2，则下列判断正确的是( )

A.c

C.a

答案 C

1解析 a＝log52

115.在同一直角坐标系中，函数y＝ax，y＝logax＋2(a>0，且a≠1)的图象可能是( )

B.b

D.a

答案 D

111x＋解析 若a>1，则y＝ax单调递减，A，B，D不符合，且y＝loga2过定点2，0，C项不符合，因此0

1当0

6.已知函数f(x)＝log2(1－|x|)，则关于函数f(x)有下列说法：

①f(x)的图象关于原点对称；

②f(x)的图象关于y轴对称；

③f(x)的最大值为0；

④f(x)在区间(－1，1)上单调递增.

其中正确的是( )

A.①③

答案 C

B.①④ C.②③ D.②④

解析 f(x)＝log2(1－|x|)为偶函数，不是奇函数，

∴①错误，②正确；

根据f(x)的图象(图略)可知④错误；

∵1－|x|≤1，∴f(x)≤log21＝0，故③正确.

7.(2021·济南一中检测)已知函数y＝loga(2x－3)＋2(a>0且a≠1)的图象恒过定点A，若点A也在函数f(x)＝3x＋b的图象上，则b＝________.

答案 －7

解析 令2x－3＝1，得x＝2，∴定点为A(2，2)，将定点A的坐标代入函数f(x)中，得2＝32＋b，解得b＝－7.

8.计算：lg 25＋lg 50＋lg 2·lg 500＋(lg 2)2＝________.

答案 4

解析 原式＝2lg 5＋lg(5×10)＋lg 2·lg(5×102)＋(lg 2)2

＝2lg 5＋lg 5＋1＋lg 2·(lg 5＋2)＋(lg 2)2

＝3lg 5＋1＋lg 2·lg 5＋2lg 2＋(lg 2)2

＝3lg 5＋2lg 2＋1＋lg 2(lg 5＋lg 2)

＝3lg 5＋2lg 2＋1＋lg 2＝3(lg 5＋lg 2)＋1 ＝4.

9.函数f(x)＝log2x·log1答案 －4

1111解析 依题意得f(x)＝2log2x·(2＋2log2x)＝(log2x)2＋log2x＝log2x＋2－4≥－4，121当log2x＝－2，即x＝2时等号成立，所以函数f(x)的最小值为－4.

10.已知f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≥0时，f(x)＝loga(x＋1)(a>0，且a≠1).

22(2x)的最小值为________.

(1)求函数f(x)的解析式；

(2)若－1

解 (1)当x<0时，－x>0，

由题意知f(－x)＝loga(－x＋1)，

又f(x)是定义在R上的偶函数，

所以f(－x)＝f(x).

所以当x<0时，f(x)＝loga(－x＋1)，

所以函数f(x)的解析式为

loga（x＋1），x≥0，f(x)＝

loga（－x＋1），x<0.(2)因为－1

1所以logaa

1a<2，①当a>1时，原不等式等价于解得a>2；

a>2，②当0

10，综上，实数a的取值范围为∪(2，＋∞).

211.已知函数f(x)＝log21＋ax(a为常数)是奇函数.

x－11a>2，a<2，

(1)求a的值与函数f(x)的定义域；

(2)若当x∈(1，＋∞)时，f(x)＋log2(x－1)>m恒成立，求实数m的取值范围.

1＋ax解 (1)因为函数f(x)＝log2是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，

x－1

1＋ax所以log2＝－log2，

－x－1x－1即log2ax－1x＋1＝log2，

1＋axx－11－ax1＋x所以a＝1，f(x)＝log2，

x－11＋x令>0，解得x<－1或x>1，

x－1所以函数的定义域为{x|x<－1或x>1}.

(2)f(x)＋log2(x－1)＝log2(1＋x)，

当x>1时，x＋1>2，

所以log2(1＋x)>log22＝1.

因为x∈(1，＋∞)时，f(x)＋log2(x－1)>m恒成立，

所以m≤1，所以m的取值范围是(－∞，1].

12.(2022·烟台模拟)某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P(单位：mg/L)与时间t(单位：h)间的关系式为P＝P0e－kt，其中P0，k为正常数.如果一定量的废气在前10 h的过滤过程中污染物被消除了20%，那么污染物减少到最初含量的50%还需要经过多长时间？(结果四舍五入取整数，参考数据：ln 2≈0.693，ln 5≈1.609)( )

A.11 h

答案 B

14解析 由已知得1－5＝e－10k，方程两边同取自然对数得ln

5＝－10k，所以k＝2ln 2－ln 5－101≈0.022 3.设污染物减少到最初含量的50%需要经过t h，则2＝e－0.022 3t，B.21 h C.31 h D.41 h

1方程两边同取自然对数得ln

2＝－0.022 3t，解得t≈31.所以还需要经过31－10

＝21(h)使污染物减少到最初含量的50%，故选B.

log2（x－1），x>1，13.已知函数f(x)＝x且关于x的方程f(x)－a＝0有两个实数2，x≤1，根，则实数a的取值范围为( )

A.(0，1)

C.(1，2)

答案 D

解析 作出函数y＝f(x)的图象(如图)，

B.(0，1]

D.(0，2]

方程f(x)－a＝0有两个实数根，

即y＝f(x)与y＝a有两个交点，

由图知，0

14.(2022·郑州调研)在①f(x)＋f(－x)＝0，②f(x)－f(－x)＝0，③f(－2)＝－f(2)这三个条件中选择一个合适的补充在下面问题中，并给出解答.

已知函数f(x)＝log2(x2＋a＋x)(a∈R)满足________.

(1)求a的值；

(2)若函数g(x)＝2f(－x)5＋1－x＋1，证明：g(x－x)≤4.

22注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

解 若选择②f(x)－f(－x)＝0，

因为f(x)－f(－x)＝0，

所以log2(所以x2＋a＋x)－log2(x2＋a－x)＝0，

x2＋a＋x＝x2＋a－x，

所以x＝0，a≥0，

此时求不出a的具体值，所以不能选②.

若选择①f(x)＋f(－x)＝0，

(1)因为f(x)＋f(－x)＝0，

所以log2(所以log2[(x2＋a＋x)＋log2(x2＋a＋x)(x2＋a－x)＝0，

x2＋a－x)]＝0，

所以x2＋a－x2＝1，解得a＝1.

若选择③f(－2)＝－f(2)，

(1)因为f(－2)＝－f(2)，

所以log2(所以(4＋a－2)＝－log2(4＋a＋2)，

4＋a－2)(4＋a＋2)＝1，

所以4＋a－4＝1，所以a＝1.

(2)由(1)知f(x)＝log2(f(－x)＝log2(x2＋1＋x)，

x2＋1－x)，

x2＋1－x)所以g(x)＝2log2(＝＋1－x2＋1

x2＋1－x＋1－x2＋1＝－x＋1，

所以g(x2－x)＝－(x2－x)＋1＝－x2＋x＋1

155＝－x－2＋4≤4.

2