2024年2月23日发(作者：止阳云)

1989年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、填空题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.)(1)已知f(3)2,则limh0f(3h)f(3)_______.2h(2)设f(x)是连续函数,且f(x)x2102f(t)dt,则f(x)_______.(3)设平面曲线L为下半圆周y1x,则曲线积分2z2L(x2y2)ds_______.(4)向量场u(x,y,z)xyiyejxln(1z)k在点P(1,1,0)处的散度divu_______.3001001(5)设矩阵A140,E010,则逆矩阵(A2E)=_______.003001二、选择题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.)(1)当x0时,曲线yxsin(A)(B)(C)(D)1x()有且仅有水平渐近线有且仅有铅直渐近线既有水平渐近线,也有铅直渐近线既无水平渐近线,也无铅直渐近线22(2)已知曲面z4xy上点P处的切平面平行于平面2x2yz10,则点P的坐标是(A)(1,-1,2)(C)(1,1,2)((B)(-1,1,2)(D)(-1,-1,2))(3)设线性无关的函数y1、y2、y3都是二阶非齐次线性方程yp(x)yq(x)yf(x)的解,C1、C2是任意常数,则该非齐次方程的通解是(A)C1y1C2y2y3(C)C1y1C2y2(1C1C2)y3(4)设函数f(x)x,0x1,而S(x)12()(B)C1y1C2y2(C1C2)y3(D)C1y1C2y2(1C1C2)y3bn1nsinnx,x,其中((D))1bn2f(x)sinnxdx,n1,2,3,…,则S()等于02111(A)(B)(C)24412

(5)设A是n阶矩阵,且A的行列式|A|0,则A中(A)(B)(C)(D)必有一列元素全为0必有两列元素对应成比例必有一列向量是其余列向量的线性组合任一列向量是其余列向量的线性组合()三、(本题满分15分,每小题5分.)(1)设zf(2xy)g(x,xy),其中函数f(t)二阶可导,g(u,v)具有连续的二阶偏导数,2z.求xy(2)设曲线积分计算Cxy2dxy(x)dy与路径无关,其中(x)具有连续的导数,且(0)0,(1,1)(0,0)xy2dxy(x)dy的值.2222zxyz1xy,其中是由曲面与所围(xz)dV(3)计算三重积分成的区域.四、(本题满分6分.)将函数f(x)arctan1x展为x的幂级数.1x五、(本题满分7分.)设f(x)sinx六、(本题满分7分.)证明方程lnxx0(xt)f(t)dt,其中f为连续函数,求f(x).x1cos2xdx在区间(0,)内有且仅有两个不同实根.e0七、(本题满分6分.)问为何值时,线性方程组x1x34x1x22x326xx4x23312有解,并求出解的一般形式.八、(本题满分8分.)假设为n阶可逆矩阵A的一个特征值,证明：

(1)1A为A的特征值；为A的伴随矩阵A的特征值.1(2)九、(本题满分9分.)设半径为R的球面的球心在定球面xyza(a0)上,问当R为何值时,球面在定球面内部的那部分的面积最大？十、填空题(本题满分6分,每小题2分.)(1)已知随机事件A的概率P(A)=0.5,随机事件B的概率P(B)=0.6及条件概率2222P(BA)=0.8,则和事件AB的概率P(AB)=_______.(2)甲、乙两人独立地对同一目标射击一次,其命中率分别为0.6和0.5.现已知目标被命中,则它是甲射中的概率为_______.(3)若随机变量在(1,6)上服从均匀分布,则方程xx10有实根的概率是______.2十一、(本题满分6分.)设随机变量X与Y独立,且X服从均值为1、标准差(均方差)为2的正态分布,而Y服从标准正态分布.试求随机变量Z2XY3的概率密度函数.

1989年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析一、填空题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.)(1)【答案】1【解析】原式=(2)【答案】x1【解析】由定积分的性质可知,1f(3h)f(3)1f(3)h2h0210f(t)dt和变量没有关系,且f(x)是连续函数,故1010f(t)dt为一常数,为简化计算和防止混淆,令f(t)dta,则有恒等式f(x)x2a,两边0到1积分得即1110f(x)dx(x2a)dx,0111111a(x2a)dxxdx2adxx22ax02a,0002201a,因此f(x)x2ax1.222解之得(3)【答案】【解析】方法一：L的方程又可写成xy1(y0),被积分函数在L上取值,于是原积分=方法二：写出L的参数方程,1ds(半径为1的的半圆周长).Lxcost,(t0)ysint则L(x2y2)ds(cos2tsin2t)(sint)2cos2tdt1dt.00(4)【答案】2【解析】直接用散度公式divuP[(xy2)(yez)(xln(1z2))]xyz2z)1z220(1,1,0)1e0P(y2ezx20112.102

11(5)【答案】20【解析】由于0102010300200100A2E140020120,003002001为求矩阵的逆可有多种办法,可用伴随,可用初等行变换,也可用分块求逆.方法一：如果对(A2EE)作初等行变换,则由(A2EE)(E(A2E))可以直接得出(A2E).本题中,第一行乘以1加到第二行上;再第二行乘以111,有21100010120010010,201010010010010012001001001001111从而知(A2E)20010.2010方法二：对于2阶矩阵的伴随矩阵有规律：Aab,则求A的伴随矩阵cdb.aabdA*cdc如果A0,这样ab1dAccd11b1aadbc0,1Bdcb.aA1A0再利用分块矩阵求逆的法则：B00

111本题亦可很容易求出(A2E)20010.2010二、选择题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.)(1)【答案】(A)【解析】函数yxsin1只有间断点x0.x11limylimxsin,其中sin是有界函数,而当x0时,x为无穷小,而无穷x0x0xx10,故函数没有铅直渐近线.x0x0x1sinx

令t1 limsint1,limylimxx1xx0txlimylimxsin小量和一个有界函数的乘积仍然是无穷小,所以所以y1为函数的水平渐近线,所以答案为(A).【相关知识点】铅直渐近线：如函数yf(x)在其间断点xx0处有limf(x),则xx0xx0是函数的一条铅直渐近线；水平渐近线：当limf(x)a,(a为常数）,则ya为函数的水平渐近线.x(2)【答案】(C)【解析】题设为求曲面S:F(x,y,z)0(其中F(x,y,z)zxy4)上点P使S22在该点处的法向量n与平面2x2yz10的法向量n02,2,1平行.S在P(x,y,z)处的法向量FFFn,,2x,2y,1,xyz若n//n0,则nn0,为常数,即2x2,2y2,1.即x1,y1.又点P(x,y,z)S,所以z4xy因此应选(C).(3)【答案】(D)22(x,y)(1,1)412122,故求得P(1,1,2).

【解析】由二阶常系数非齐次微分方程解的结构定理可知,y1y3,y2y3为方程对应齐次方程的特解,所以方程yp(x)yq(x)yf(x)的通解为yC1(y1y3)C2(y2y3)y3,即yC1y1C2y2(1C1C2)y3,故应选D.(4)【答案】(B)【解析】S(x)是函数f(x)先作奇延拓后再作周期为2的周期延拓后的函数的傅式级数的和函数,由于S(x)是奇函数,于是S()S().111211时,f(x)连续,由傅式级数的收敛性定理,S()f()().因此,2224211S().应选(B).24当x(5)【答案】(C)【解析】本题考查|A|0的充分必要条件,而选项(A)、(B)、(D)都是充分条件,并不必要.因为对矩阵A来说,行和列具有等价性,所以单说列或者单说行满足什么条件就构成了1212|A|0的必要条件,但是不具有任意性,只需要存在一列向量是其余列向量的线性组合.112以3阶矩阵为例,若A123,134条件(A)必有一列元素全为0,(B)必有两列元素对应成比例均不成立,但有|A|0,所以(A)、(B)不满足题意,不可选.123若A124,则|A|0,但第三列并不是其余两列的线性组合,可见(D)不正确.125这样用排除法可知应选(C).三、(本题满分15分,每小题5分.)(1)【解析】由于混合偏导数在连续条件下与求导次序无关,可以先求zz,也可以先求.xy方法一：先求z,由复合函数求导法,x

再对y求偏导,得z(x)gygf(2xy)g1(xy)2fg122,xxxx2zyg2)2f(2xy)(2fg1xyyyyg21g11(x)g12(xy)g2(x)yg22(xy)yyyy0xg12g2yg210xyg222fg11g2xyg22.2fxg21方法二：先求z,yz(x)gf(2xy)g1(xy)fxg22,yyyy再对x求偏导数,得2z2z)(fxg2xyyxxf(2xy)gxg(x)xg(xy)22122xxxxg21xyg22.2fg2【相关知识点】复合函数求导法则：若uu(x,y)和vv(x,y)在点(x,y)处偏导数存在,函数zf(u,v)在对应点(u,v)具有连续偏导数,则复合函数zf[u(x,y),v(x,y)]在点(x,y)处的偏导数存在,且zfufvzfufv.,xuxvxyuyvy(2)【解析】方法一：先求出(x),再求曲线积分.设P(x,y),Q(x,y)有连续偏导数,在所给的单连通区域D上,LPdxQdy与路径无关,则在D上有QP2,所以y(x)2xy,即(x)2x,(x)xC.由(0)=0,得xyC0,即(x)x2,因此

1(1,1)22Ixydxy(x)dyxydxyxdyydxx2dy2(0,0)(0,0)2(0,0)(1,1)1(1,1)11d(x2y2)(x2y2)(0,0).2(0,0)22(1,1)2(1,1)22或取特殊路径如图：Ixy2dxyx2dy0dxy12dyL001111y2.202方法二：不必求出(x),选取特殊的路径,取积分路径如图,则1I0(1,1)(0,0)xy2dxy(x)dy10y(0)dyxdx0(3)【解析】利用三重积分的性质,111.22关于yz平面对称,x对x为奇函数,所以xdV0,即(xz)dVzdV.是由球心在原点半径为1的上半球面与顶点在原点、对称轴为z轴、半顶角为02，0所围成.故可选用球坐标变换,则：所以，01,4IzdVcos2sinddd的锥面4dcossindd200240134011sin2d3d021cos220四、(本题满分6分.)414.4081【解析】直接展开f(x)相对比较麻烦,可f(x)容易展开,f(x)11x(1x)(1)21.22221x2(1x)(1x)(1x)1x1()1x11tt2(1)ntn由1t(1)tn0nn,(|t|1),令tx2得1124n2n1xx(1)x21t1x(1)n0nx2n,(x21)

即所以1n2nf(x)(1)x,(|x|1)21xn0f(x)f(u)duf(0),0xx0x10n2n(1)uduarctan(1)udu0104n0n0n2n2n1nx,(|x|1)(1)4n02n11xx2n1当x1时,式(1)均收敛,而左端f(x)arctan在x1处无定义.1x21nn0n因此1x(1)n2n1f(x)arctanx,x[1,1).1x4n02n1五、(本题满分7分.)【解析】先将原式进行等价变换,再求导,试着发现其中的规律,f(x)sinx(xt)f(t)dtsinxxf(t)dttf(t)dt,000xxx所给方程是含有未知函数及其积分的方程,两边求导,得f(x)cosxf(t)dtxf(x)xf(x)cosxf(t)dt,00xx再求导,得f(x)sinxf(x),即f(x)f(x)sinx.2这是个简单的二阶常系数非齐次线性微分方程,对应的齐次方程的特征方程为r10,此特征方程的根为ri,而右边的sinx可看作e齐次方程有特解Yxasinxxbcosx.xsinx,ii为特征根,因此非x1,故Ycosx,所以22xf(x)c1cosxc2sinxcosx,211x又因为f(0)0,f(0)1,所以c10,c2,即f(x)sinxcosx.222代入方程并比较系数,得a0,b六、(本题满分7分.)【解析】方法一：判定方程f(x)0等价于判定函数yf(x)与x的交点个数.

令其中xf(x)lnx1cos2xdx,e001cos2xdx是定积分,为常数,且被积函数1cos2x在(0,)非负,故001cos2xdx0,为简化计算,令则其导数f(x)即11,令f(x)0解得唯一驻点xe,xef(x)0,0xe,f(x)0,exx1cos2xdxk0,即f(x)lnxk,e所以xe是最大点,最大值为f(e)lneekkk)limf(x)lim(lnxx0x0e又因为,由连续函数的介值定理知在(0,e)与(e,)limf(x)lim(lnxxk)xex各有且仅有一个零点(不相同),故方程lnx不同实根.方法二：x1cos2xdx在(0,)有且仅有两个e0001cos2xdx0sin2xdx,因为当0x时,sinx0,所以2sin2xdx2sinxdx2cosx0220,0其它同方法一.七、(本题满分6分.)【解析】对方程组的增广矩阵作初等行变换.第一行分别乘以有4、6加到第二行和第三行上,再第二行乘以1加到第三行上,有10110110141220123201232.61423012430001由于方程组有解的充要条件是r(A)r(A),故仅当10,即1时,方程组有解.此时秩r(A)r(A)2n3,符合定理的第二种情况,故方程组有无穷多解.由同解方程组x1x31,令x3t,解得原方程组的通解

x22x31,

x1t1,x22t1,xt,3(其中t为任意常数).【相关知识点】1.非齐次线性方程组有解的判定定理：设A是mn矩阵,线性方程组Axb有解的充分必要条件是系数矩阵的秩等于增广矩阵AAb的秩,即是r(A)r(A)(或者说,b可由A的列向量1,2,,n线表出,亦等同于1,2,,n与1,2,,n,b是等价向量组)设A是mn矩阵,线性方程组Axb,则（1）有唯一解（2）有无穷多解（3）无解r(A)r(A)n.r(A)r(A)n.r(A)1r(A).b不能由A的列向量1,2,,n线表出.八、(本题满分8分.)【解析】(1)由为A的特征值可知,存在非零向量使A,两端左乘A,得111A1.因为0,故0,于是有A1.按特征值定义知是A1的特征值.A1|A|A,据第(1)问有(2)由于逆矩阵的定义AA,按特征值定|A||A|1义,即|A|为伴随矩阵A的特征值.【相关知识点】矩阵特征值与特征向量的定义：设A是n阶矩阵,若存在数及非零的n维列向量X使得AXX成立,则称是矩阵A的特征值,称非零向量X是矩阵A的特征向量.九、(本题满分9分.)【解析】由球的对称性,不妨设球面的球心是(0,0,a),于是的方程是xy(za)R.先求与球面xyza的交线：22222222

22222a2R2xy(za)R,z.22222axyza,代入上式得的方程R4xyR2.4a2222R42222xyb,bR2(0R2a),它在平面xOy上的投影曲线4az0,相应的在平面xOy上围成区域设为Dxy,则球面在定球面内部的那部分面积S(R)1zx2z将的方程两边分别对x,y求偏导得zxzy,,xzayza所以S(R)1zx2zy2dxdy1(DxyDxyx2y2)()dxdyazazRRxy2221(Dxyx2y2)()dxdyazazDxydxdy.利用极坐标变换(02,0b)有S(R)DxyRRxy222dxdy

极坐标变换

d02b0RR22dbR21d(R22)d020R22222R(R22)b02R(RbR)R4R32代入bR,化简得S(R)2R.4a2a22这是一个关于R的函数,求S(R)在(0,2a)的最大值点,S(R)两边对R求导,并令4a3R2.S(R)0,得S(R)4R0,得R3a

且4SRRa()0,03,S(R)0,4aR2a34a时S(R)取极大值,也是最大值.34a因此,当R时球面在定球面内部的那部分面积最大.3故R十、填空题(本题满分6分,每小题2分.)(1)【解析】方法一：P(AB)P(A)P(B)P(AB)P(A)P(B)P(A)P(B|A)0.7.方法二：P(AB)P(B)P(AB)P(B)P(A)P(B|A)0.60.50.20.7.(2)【解析】设事件A=“甲射中”,B=“乙射中”,依题意,P(A)0.6,P(B)0.5,A与B相互独立,P(AB)P(A)P(B)0.60.50.3.因此,有P(AB)P(A)P(B)P(AB)0.60.50.30.8.P(A|AB)P(A(AB))P(A)0.75.P(AB)P(AB)2(3)【解析】设事件A=“方程有实根”,而方程xx10有实根的充要条件是其判别式40,即A404.2220,

x1,随机变量在(1,6)上服从均匀分布,所以其分布函数为F(x)611,

由分布函数的定义PxkF(k),

x1, 1x6,

x6.P21P210.20.8.而P20.所以由概率的可加性,有P(A)4P2P20.800.8.2【相关知识点】广义加法公式：P(AB)P(A)P(B)P(AB).条件概率：P(B|A)P(BA),所以P(AB)P(BA)P(B|A)P(A).P(A)

十一、(本题满分6分.)【解析】X~N(1,2),Y~N(0,1),由独立的正态变量X与Y的线性组合仍服从正态分布,且EZ2EXEY35,DZ4DXDY4219,得Z~N(5,9).(z5)1fZ(z)e18.322代入正态分布的概率密度公式,有Z的概率密度函数为【相关知识点】对于随机变量X与Y均服从正态分布,则X与Y的线性组合亦服从正态分布.若X与Y相互独立,由数学期望和方差的性质,有E(aXbYc)aE(X)bE(Y)c,D(aXbYc)a2D(X)b2D(Y),其中a,b,c为常数.

2024年2月23日发(作者：止阳云)

1989年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、填空题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.)(1)已知f(3)2,则limh0f(3h)f(3)_______.2h(2)设f(x)是连续函数,且f(x)x2102f(t)dt,则f(x)_______.(3)设平面曲线L为下半圆周y1x,则曲线积分2z2L(x2y2)ds_______.(4)向量场u(x,y,z)xyiyejxln(1z)k在点P(1,1,0)处的散度divu_______.3001001(5)设矩阵A140,E010,则逆矩阵(A2E)=_______.003001二、选择题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.)(1)当x0时,曲线yxsin(A)(B)(C)(D)1x()有且仅有水平渐近线有且仅有铅直渐近线既有水平渐近线,也有铅直渐近线既无水平渐近线,也无铅直渐近线22(2)已知曲面z4xy上点P处的切平面平行于平面2x2yz10,则点P的坐标是(A)(1,-1,2)(C)(1,1,2)((B)(-1,1,2)(D)(-1,-1,2))(3)设线性无关的函数y1、y2、y3都是二阶非齐次线性方程yp(x)yq(x)yf(x)的解,C1、C2是任意常数,则该非齐次方程的通解是(A)C1y1C2y2y3(C)C1y1C2y2(1C1C2)y3(4)设函数f(x)x,0x1,而S(x)12()(B)C1y1C2y2(C1C2)y3(D)C1y1C2y2(1C1C2)y3bn1nsinnx,x,其中((D))1bn2f(x)sinnxdx,n1,2,3,…,则S()等于02111(A)(B)(C)24412

(5)设A是n阶矩阵,且A的行列式|A|0,则A中(A)(B)(C)(D)必有一列元素全为0必有两列元素对应成比例必有一列向量是其余列向量的线性组合任一列向量是其余列向量的线性组合()三、(本题满分15分,每小题5分.)(1)设zf(2xy)g(x,xy),其中函数f(t)二阶可导,g(u,v)具有连续的二阶偏导数,2z.求xy(2)设曲线积分计算Cxy2dxy(x)dy与路径无关,其中(x)具有连续的导数,且(0)0,(1,1)(0,0)xy2dxy(x)dy的值.2222zxyz1xy,其中是由曲面与所围(xz)dV(3)计算三重积分成的区域.四、(本题满分6分.)将函数f(x)arctan1x展为x的幂级数.1x五、(本题满分7分.)设f(x)sinx六、(本题满分7分.)证明方程lnxx0(xt)f(t)dt,其中f为连续函数,求f(x).x1cos2xdx在区间(0,)内有且仅有两个不同实根.e0七、(本题满分6分.)问为何值时,线性方程组x1x34x1x22x326xx4x23312有解,并求出解的一般形式.八、(本题满分8分.)假设为n阶可逆矩阵A的一个特征值,证明：

(1)1A为A的特征值；为A的伴随矩阵A的特征值.1(2)九、(本题满分9分.)设半径为R的球面的球心在定球面xyza(a0)上,问当R为何值时,球面在定球面内部的那部分的面积最大？十、填空题(本题满分6分,每小题2分.)(1)已知随机事件A的概率P(A)=0.5,随机事件B的概率P(B)=0.6及条件概率2222P(BA)=0.8,则和事件AB的概率P(AB)=_______.(2)甲、乙两人独立地对同一目标射击一次,其命中率分别为0.6和0.5.现已知目标被命中,则它是甲射中的概率为_______.(3)若随机变量在(1,6)上服从均匀分布,则方程xx10有实根的概率是______.2十一、(本题满分6分.)设随机变量X与Y独立,且X服从均值为1、标准差(均方差)为2的正态分布,而Y服从标准正态分布.试求随机变量Z2XY3的概率密度函数.

1989年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析一、填空题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.)(1)【答案】1【解析】原式=(2)【答案】x1【解析】由定积分的性质可知,1f(3h)f(3)1f(3)h2h0210f(t)dt和变量没有关系,且f(x)是连续函数,故1010f(t)dt为一常数,为简化计算和防止混淆,令f(t)dta,则有恒等式f(x)x2a,两边0到1积分得即1110f(x)dx(x2a)dx,0111111a(x2a)dxxdx2adxx22ax02a,0002201a,因此f(x)x2ax1.222解之得(3)【答案】【解析】方法一：L的方程又可写成xy1(y0),被积分函数在L上取值,于是原积分=方法二：写出L的参数方程,1ds(半径为1的的半圆周长).Lxcost,(t0)ysint则L(x2y2)ds(cos2tsin2t)(sint)2cos2tdt1dt.00(4)【答案】2【解析】直接用散度公式divuP[(xy2)(yez)(xln(1z2))]xyz2z)1z220(1,1,0)1e0P(y2ezx20112.102

11(5)【答案】20【解析】由于0102010300200100A2E140020120,003002001为求矩阵的逆可有多种办法,可用伴随,可用初等行变换,也可用分块求逆.方法一：如果对(A2EE)作初等行变换,则由(A2EE)(E(A2E))可以直接得出(A2E).本题中,第一行乘以1加到第二行上;再第二行乘以111,有21100010120010010,201010010010010012001001001001111从而知(A2E)20010.2010方法二：对于2阶矩阵的伴随矩阵有规律：Aab,则求A的伴随矩阵cdb.aabdA*cdc如果A0,这样ab1dAccd11b1aadbc0,1Bdcb.aA1A0再利用分块矩阵求逆的法则：B00

111本题亦可很容易求出(A2E)20010.2010二、选择题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.)(1)【答案】(A)【解析】函数yxsin1只有间断点x0.x11limylimxsin,其中sin是有界函数,而当x0时,x为无穷小,而无穷x0x0xx10,故函数没有铅直渐近线.x0x0x1sinx

令t1 limsint1,limylimxx1xx0txlimylimxsin小量和一个有界函数的乘积仍然是无穷小,所以所以y1为函数的水平渐近线,所以答案为(A).【相关知识点】铅直渐近线：如函数yf(x)在其间断点xx0处有limf(x),则xx0xx0是函数的一条铅直渐近线；水平渐近线：当limf(x)a,(a为常数）,则ya为函数的水平渐近线.x(2)【答案】(C)【解析】题设为求曲面S:F(x,y,z)0(其中F(x,y,z)zxy4)上点P使S22在该点处的法向量n与平面2x2yz10的法向量n02,2,1平行.S在P(x,y,z)处的法向量FFFn,,2x,2y,1,xyz若n//n0,则nn0,为常数,即2x2,2y2,1.即x1,y1.又点P(x,y,z)S,所以z4xy因此应选(C).(3)【答案】(D)22(x,y)(1,1)412122,故求得P(1,1,2).

【解析】由二阶常系数非齐次微分方程解的结构定理可知,y1y3,y2y3为方程对应齐次方程的特解,所以方程yp(x)yq(x)yf(x)的通解为yC1(y1y3)C2(y2y3)y3,即yC1y1C2y2(1C1C2)y3,故应选D.(4)【答案】(B)【解析】S(x)是函数f(x)先作奇延拓后再作周期为2的周期延拓后的函数的傅式级数的和函数,由于S(x)是奇函数,于是S()S().111211时,f(x)连续,由傅式级数的收敛性定理,S()f()().因此,2224211S().应选(B).24当x(5)【答案】(C)【解析】本题考查|A|0的充分必要条件,而选项(A)、(B)、(D)都是充分条件,并不必要.因为对矩阵A来说,行和列具有等价性,所以单说列或者单说行满足什么条件就构成了1212|A|0的必要条件,但是不具有任意性,只需要存在一列向量是其余列向量的线性组合.112以3阶矩阵为例,若A123,134条件(A)必有一列元素全为0,(B)必有两列元素对应成比例均不成立,但有|A|0,所以(A)、(B)不满足题意,不可选.123若A124,则|A|0,但第三列并不是其余两列的线性组合,可见(D)不正确.125这样用排除法可知应选(C).三、(本题满分15分,每小题5分.)(1)【解析】由于混合偏导数在连续条件下与求导次序无关,可以先求zz,也可以先求.xy方法一：先求z,由复合函数求导法,x

再对y求偏导,得z(x)gygf(2xy)g1(xy)2fg122,xxxx2zyg2)2f(2xy)(2fg1xyyyyg21g11(x)g12(xy)g2(x)yg22(xy)yyyy0xg12g2yg210xyg222fg11g2xyg22.2fxg21方法二：先求z,yz(x)gf(2xy)g1(xy)fxg22,yyyy再对x求偏导数,得2z2z)(fxg2xyyxxf(2xy)gxg(x)xg(xy)22122xxxxg21xyg22.2fg2【相关知识点】复合函数求导法则：若uu(x,y)和vv(x,y)在点(x,y)处偏导数存在,函数zf(u,v)在对应点(u,v)具有连续偏导数,则复合函数zf[u(x,y),v(x,y)]在点(x,y)处的偏导数存在,且zfufvzfufv.,xuxvxyuyvy(2)【解析】方法一：先求出(x),再求曲线积分.设P(x,y),Q(x,y)有连续偏导数,在所给的单连通区域D上,LPdxQdy与路径无关,则在D上有QP2,所以y(x)2xy,即(x)2x,(x)xC.由(0)=0,得xyC0,即(x)x2,因此

1(1,1)22Ixydxy(x)dyxydxyxdyydxx2dy2(0,0)(0,0)2(0,0)(1,1)1(1,1)11d(x2y2)(x2y2)(0,0).2(0,0)22(1,1)2(1,1)22或取特殊路径如图：Ixy2dxyx2dy0dxy12dyL001111y2.202方法二：不必求出(x),选取特殊的路径,取积分路径如图,则1I0(1,1)(0,0)xy2dxy(x)dy10y(0)dyxdx0(3)【解析】利用三重积分的性质,111.22关于yz平面对称,x对x为奇函数,所以xdV0,即(xz)dVzdV.是由球心在原点半径为1的上半球面与顶点在原点、对称轴为z轴、半顶角为02，0所围成.故可选用球坐标变换,则：所以，01,4IzdVcos2sinddd的锥面4dcossindd200240134011sin2d3d021cos220四、(本题满分6分.)414.4081【解析】直接展开f(x)相对比较麻烦,可f(x)容易展开,f(x)11x(1x)(1)21.22221x2(1x)(1x)(1x)1x1()1x11tt2(1)ntn由1t(1)tn0nn,(|t|1),令tx2得1124n2n1xx(1)x21t1x(1)n0nx2n,(x21)

即所以1n2nf(x)(1)x,(|x|1)21xn0f(x)f(u)duf(0),0xx0x10n2n(1)uduarctan(1)udu0104n0n0n2n2n1nx,(|x|1)(1)4n02n11xx2n1当x1时,式(1)均收敛,而左端f(x)arctan在x1处无定义.1x21nn0n因此1x(1)n2n1f(x)arctanx,x[1,1).1x4n02n1五、(本题满分7分.)【解析】先将原式进行等价变换,再求导,试着发现其中的规律,f(x)sinx(xt)f(t)dtsinxxf(t)dttf(t)dt,000xxx所给方程是含有未知函数及其积分的方程,两边求导,得f(x)cosxf(t)dtxf(x)xf(x)cosxf(t)dt,00xx再求导,得f(x)sinxf(x),即f(x)f(x)sinx.2这是个简单的二阶常系数非齐次线性微分方程,对应的齐次方程的特征方程为r10,此特征方程的根为ri,而右边的sinx可看作e齐次方程有特解Yxasinxxbcosx.xsinx,ii为特征根,因此非x1,故Ycosx,所以22xf(x)c1cosxc2sinxcosx,211x又因为f(0)0,f(0)1,所以c10,c2,即f(x)sinxcosx.222代入方程并比较系数,得a0,b六、(本题满分7分.)【解析】方法一：判定方程f(x)0等价于判定函数yf(x)与x的交点个数.

令其中xf(x)lnx1cos2xdx,e001cos2xdx是定积分,为常数,且被积函数1cos2x在(0,)非负,故001cos2xdx0,为简化计算,令则其导数f(x)即11,令f(x)0解得唯一驻点xe,xef(x)0,0xe,f(x)0,exx1cos2xdxk0,即f(x)lnxk,e所以xe是最大点,最大值为f(e)lneekkk)limf(x)lim(lnxx0x0e又因为,由连续函数的介值定理知在(0,e)与(e,)limf(x)lim(lnxxk)xex各有且仅有一个零点(不相同),故方程lnx不同实根.方法二：x1cos2xdx在(0,)有且仅有两个e0001cos2xdx0sin2xdx,因为当0x时,sinx0,所以2sin2xdx2sinxdx2cosx0220,0其它同方法一.七、(本题满分6分.)【解析】对方程组的增广矩阵作初等行变换.第一行分别乘以有4、6加到第二行和第三行上,再第二行乘以1加到第三行上,有10110110141220123201232.61423012430001由于方程组有解的充要条件是r(A)r(A),故仅当10,即1时,方程组有解.此时秩r(A)r(A)2n3,符合定理的第二种情况,故方程组有无穷多解.由同解方程组x1x31,令x3t,解得原方程组的通解

x22x31,

x1t1,x22t1,xt,3(其中t为任意常数).【相关知识点】1.非齐次线性方程组有解的判定定理：设A是mn矩阵,线性方程组Axb有解的充分必要条件是系数矩阵的秩等于增广矩阵AAb的秩,即是r(A)r(A)(或者说,b可由A的列向量1,2,,n线表出,亦等同于1,2,,n与1,2,,n,b是等价向量组)设A是mn矩阵,线性方程组Axb,则（1）有唯一解（2）有无穷多解（3）无解r(A)r(A)n.r(A)r(A)n.r(A)1r(A).b不能由A的列向量1,2,,n线表出.八、(本题满分8分.)【解析】(1)由为A的特征值可知,存在非零向量使A,两端左乘A,得111A1.因为0,故0,于是有A1.按特征值定义知是A1的特征值.A1|A|A,据第(1)问有(2)由于逆矩阵的定义AA,按特征值定|A||A|1义,即|A|为伴随矩阵A的特征值.【相关知识点】矩阵特征值与特征向量的定义：设A是n阶矩阵,若存在数及非零的n维列向量X使得AXX成立,则称是矩阵A的特征值,称非零向量X是矩阵A的特征向量.九、(本题满分9分.)【解析】由球的对称性,不妨设球面的球心是(0,0,a),于是的方程是xy(za)R.先求与球面xyza的交线：22222222

22222a2R2xy(za)R,z.22222axyza,代入上式得的方程R4xyR2.4a2222R42222xyb,bR2(0R2a),它在平面xOy上的投影曲线4az0,相应的在平面xOy上围成区域设为Dxy,则球面在定球面内部的那部分面积S(R)1zx2z将的方程两边分别对x,y求偏导得zxzy,,xzayza所以S(R)1zx2zy2dxdy1(DxyDxyx2y2)()dxdyazazRRxy2221(Dxyx2y2)()dxdyazazDxydxdy.利用极坐标变换(02,0b)有S(R)DxyRRxy222dxdy

极坐标变换

d02b0RR22dbR21d(R22)d020R22222R(R22)b02R(RbR)R4R32代入bR,化简得S(R)2R.4a2a22这是一个关于R的函数,求S(R)在(0,2a)的最大值点,S(R)两边对R求导,并令4a3R2.S(R)0,得S(R)4R0,得R3a

且4SRRa()0,03,S(R)0,4aR2a34a时S(R)取极大值,也是最大值.34a因此,当R时球面在定球面内部的那部分面积最大.3故R十、填空题(本题满分6分,每小题2分.)(1)【解析】方法一：P(AB)P(A)P(B)P(AB)P(A)P(B)P(A)P(B|A)0.7.方法二：P(AB)P(B)P(AB)P(B)P(A)P(B|A)0.60.50.20.7.(2)【解析】设事件A=“甲射中”,B=“乙射中”,依题意,P(A)0.6,P(B)0.5,A与B相互独立,P(AB)P(A)P(B)0.60.50.3.因此,有P(AB)P(A)P(B)P(AB)0.60.50.30.8.P(A|AB)P(A(AB))P(A)0.75.P(AB)P(AB)2(3)【解析】设事件A=“方程有实根”,而方程xx10有实根的充要条件是其判别式40,即A404.2220,

x1,随机变量在(1,6)上服从均匀分布,所以其分布函数为F(x)611,

由分布函数的定义PxkF(k),

x1, 1x6,

x6.P21P210.20.8.而P20.所以由概率的可加性,有P(A)4P2P20.800.8.2【相关知识点】广义加法公式：P(AB)P(A)P(B)P(AB).条件概率：P(B|A)P(BA),所以P(AB)P(BA)P(B|A)P(A).P(A)

十一、(本题满分6分.)【解析】X~N(1,2),Y~N(0,1),由独立的正态变量X与Y的线性组合仍服从正态分布,且EZ2EXEY35,DZ4DXDY4219,得Z~N(5,9).(z5)1fZ(z)e18.322代入正态分布的概率密度公式,有Z的概率密度函数为【相关知识点】对于随机变量X与Y均服从正态分布,则X与Y的线性组合亦服从正态分布.若X与Y相互独立,由数学期望和方差的性质,有E(aXbYc)aE(X)bE(Y)c,D(aXbYc)a2D(X)b2D(Y),其中a,b,c为常数.