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史上最全归纳推理题型总结

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2024年2月23日发(作者:宜静云)

归纳推理

一、数阵

1.把正整数按如图排列,现有一个三角形框架在图中上下或左右移动,每次恰有9个数在三角形内,则这9个数的和可以是 .

A.2015 B.1220 C. 2111 D.2264

答案:B.

2.已知下表,则a81的位置是 .

A.第13行第2个数 B.第14行第3个数

C.第13行第3个数 D.第17行第2个数

答案:C.

3.如图所示的数阵中,第20行第2个数字是________.

1答案:

1914.将全体正偶数排成一个三角形的数阵:

根据以上排列规律,数阵中第n(n≥3)行的从左到右的第3个数是 .

答案:n²-n+6

5.有一个奇数组成的数阵排列如下图所示,则第30行从左到右第3个数是 。

答案:1051。

6.观察下列数阵:设(i,j)为第i行第j列,按此规律归纳猜想2016所在位置为( )

A.(45,80) B. (45,79) C. (46,80) D. (46,79)

答案:A.

7.把正整数按一定规则排成如图所示的三角形数表,设aij(i,j∈N*)是位于这个三角形数表中从上往下数第i行,从左往右数第j个数,如a42=8。若aij=2011,则i与j的和为 。

答案:108

8.给出以下数阵,按各数排列规律,则n的值为 。

A.66 B.256 C.257 D.326

答案:C.

9.小时候我们就用手指练习过数数,一个小朋友按图中的规则练习数数,数到2009时应对应的指头是( )

A.大拇指 B.食指 C.中指 D.无名指

答案:A.

二、图案类

1.从所给的四个选项中,选择最合适的一个填入问号处,使之呈现一定的规律性( )

A. B. C. D.

分析: 观察图形知,四个图形中的三条线段与圆共有3个交点.

解:观察图形知:第一、二、三、四个图形中,都是由圆和三条线段组成,且这三条线段与圆共有3个交点.观察选项,只有B选项符合题意.

2.如图是今年元宵花灯展中一款五角星灯连续旋转闪烁所成的三个图形,照此规律闪烁,下一个呈现出来的图形是( )

A. B. C. D.

答案:A

3.根据下列各图中三角形的个数,推断第20个图中三角形的个数是( )

A.231 B.200 C.210 D.190

答案:A

4.观察图中各正方形图案,每条边上有n(n≥2)个圆点,第n个图案中圆点的个数是an,按此规律推断出所有圆点总和Sn与n的关系式为( )

A.Sn=2n²-2n答案:B

5.按如图的规律所拼成的一图案共有1024个大小相同的小正三角形”△”或”▽”,则该图案共有

B.Sn=2n² C.Sn=4n²-3n D.Sn=2n²+2n

A. 16层 B. 32层 C. 64层 D.128层

答案:B.

6.用火柴棒摆“金鱼”,如图所示:按照上面的规律,第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数为 .

A.6n-2 B.8n-2 C.6n+2 D.8n+2

答案:C.

7.图1是一个水平摆放的小正方体木块,图2,图3是由这样的小正方体木块叠放而成的,按照这样的规律放下去,至第七个叠放的图形中,小正方体木块总数就是( )

A.25 B.66 C.91 D.120

答案:C.

8.按照图1——图3的规律,第10个图中圆点的个数为( )个.

A.40 B.36 C.44 D.52

答案:A

9.如图所示将若干个点摆成三角形图案,每条边(包括两个端点)有n(n>1,n∈N*)个9999点,相应的图案中总的点数记为an,则+ ++…+= 。

a2a3a3a4a4a5a2016a2017

2A. B. C.

2答案:C

10.如图,第n个图形是由正n+2边形“扩展”而来,(n=1、2、3、…)则在第n个图形中共有

个顶点。

2016 D.

2015

A.(n+1)(n+2) B. (n+2)(n+3) C. n² D. n

答案:B

11.观察下列的图形中小正方形的个数,则第n个图中有 个小正方形.

(n+2)(n+1)答案:

212.蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师,单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形,如图为一组蜂巢的截面图. 其中第一个图有1个蜂巢,第二个图有7个蜂巢,第三个图有19个蜂巢,按此规律,以f(n)表示第n幅图的蜂巢总数.则f(n) =___________.

答案:3n²-3n+1.

13.将平面直角坐标系中的格点(横、纵坐标均为整数的点)按如下规则标上数字标签:原点处标0,点(1,0)处标1,点(0,-1)处标3,点(-1,-1)处标4,点(-1,1)处标6,点(0,1)处标7,依次类推,则标签2009²的格点的坐标为 .

答案:(1005,1004)

14.下面图形都是由小正三角形构成的,设第n个图形中的黑点总数为f(n)

⑴求f(2),f(3),f(4),f(5)出的值;

⑵找出f(n)与f(n+1)的关系,并求出f(n)的表达式.

解:⑴由题意有f(1)=3,f(2)=f(1)+3+3×2=12,f(3)=f(2)+3+3×4=27,

f(4)=f(3)+3+3×6=48,f(5)=f(4)+3+3×8=75.

⑵由题意及⑴知,f(n+1)=f(n)+3+3×2n=f(n)+6n+3,即f(n+1)-f(n)=6n+3,

故f(2)-f(1)=6×1+3,f(3)-f(2)=6×2+3,f(4)-f(3)=6×3+3,

……f(n)-f(n-1)=6(n-1)+3,n≥2

将上面n-1个式子相加,得:

(1+n-1)( n-1)f(n)-f(1)=6[1+2+3+…+(n-1)]+3(n-1)=6×+3(n-1)=3n²-3

2又f(1)=3,所以f(n)=3n²,n≥2,而当n=1时,也满足上式,故f(n)=3n²,n∈N*。

15.某少数民族的刺绣有着悠久的历史,下图⑴、⑵、⑶、⑷为她们刺绣最简单的四个图案,这些图案都由小正方形构成,小正方形数越多刺绣越漂亮,现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同),设第n个图形包含f(n)个小正方形.

⑴求出f(2),f(3),f(4),f(5)并猜测f(n)的表达式;

1⑵求证:f(1)+1113++…+<2.

f(2)-1f(3)-1f(n)-1

解析:(1)∵ f(1)=1,f(2)=5,f(3)=13,f(4)=25,∴ f(5)=25+4×4=41.

∵ f(2)-f(1)=4=4×1,f(3)-f(2)=8=4×2,f(4)-f(3)=12=4×3,f(5)-f(4)=16=4×4,

由上式规律得出f(n+1)-f(n)=4n.

∴ f(n)-f(n-1)=4(n-1),

f(n-1)-f(n-2)=4·(n-2),

f(n-2)-f(n-3)=4·(n-3),

……

f(2)-f(1)=4×1,

∴ f(n)-f(1)=41(n-1)+(n-2)+…+2+1]=2(n-1)·n,

∴ f(n)=2n2-2n+1(n≥2),又n=1时,f(1)也适合f(n).

∴ f(n)=2n2-2n+1.

11111-(2)当n≥2时,==,

f(n)-12n2-2n+1-12n-1n

1111111111+++…+=1+1-2+2-3+…+n-1-n

2 f(1)-1 f(2)-1 f(3)-1 f(n)-1131311-=-< =1+2n22n216.下面的图形无限向内延伸,最外面的正方形的边长是1,从外到内,第n个正方形与其内切圆之间的深色图形面积记为Sn(n∈N*).

⑴试写出Sn+1与Sn(n∈N*)的递推关系式;

⑵设Tn=S1+S2+…+Sn (n∈N*),求Tn的值。

an解:⑴设第n(n∈N*)个正方形的边长为an,则其内切圆半径为,第n+1个正方形的边长2为22anπan,其内切圆半径为an,所以Sn=an²-π()²=an²(1-),

2424221π1an)²-π(an)²=an²(-)=Sn,(n∈N*).

24282Sn+1=(π1ππ1-⑵由⑴得S1=1-,S2=(1-),…,Sn=(1-)()n1,

42442π111π1Tn=S1+S2+…+Sn=(1-)(1+++…+n-1=(2-)(1-n) (n∈N*).

422²222三、坐标型

1.把数列依次按第一个括号一个数,第二个括号两个数,第三个括号三个数,…循环即为:(3),(5,7),(9,11,13),(15,17,19,21),…,则2017在第n个括号内,则n= .

答案:45

2.已知自然数按如下规律排数对:(0,1),(1,0),(0,2),(1,1),(2,0),(0,3),(1,2),(2,1),(3,0),(0,4),(1,3),(2,2),(3,1),(4,0),…,则第60个数对是( )

A.(3,7) B.(4,6) C.(5,5) D.(6,4)

答案:C

3.已知“整数对”按如下规律排列成一列:(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(2,2),(3,1),(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),…,则第60个“整数对”是 .

A.(5,7) B. (7,5) C. (2,10) D. (10,1)

答案:A.

4.观察数表(3),(5,7),(9,11,13),(15,17,19,21),(23),(25,27),(29,31,33),(35,37,39,41),(43),…,则第100个括号内各数之和为 .

A.1479 B.1992 C.2000 D.2072

答案:B.

5.把数列依次按第一个括号一个数,第二个括号两个数,第三个括号三个数,…循环即为:(3),(5,7),(9,11,13),(15,17,19,21),…则2017在第n个括号内,则n= .

答案:45

四、多项式

1311511171.观察式子:1+<,1++< ,1+++<,…则可归纳出式子为( )

2²22²3²32²3²4²41112n+11112n-1A. 1+++…+<(n≥2) B. 1+++…+<(n≥2)

2²3²n²n2²3²n²n-1111n²1112n-1C. 1+++…+<(n≥2) D. 1+++…+<(n≥2)

2²3²n²n2²3²n²n答案:B

2.观察下列等式:13+23=32,13+23+33=62,13+23+33+43=102,…,根据上述规律,第五个等式为____________________.

答案:13+23+33+43+5³+6³=212,

3.记Sk=1k+2k+3k+…+nk,当k=1,2,3,…时,观察下列等式:

11111111S1=n²+n,S2=n³+n²+n,S3=n4+n³+n²,

22326424111115S4=n5+n4+n³-n,S5=An6+n5+n4+Bn²,……可以推测A-B等于 .

523302121答案:

43.观察下列等式

(1+x+x²)1=1+x+x²

(1+x+x²)2=1+2x+3x²+2x3+x4

(1+x+x²)3=1+3x+6x²+7x3+6x4+3x5+x6

(1+x+x²)4=1+4x+10x²+16x3+19x4+16x5+10x6+4x7+x8

若(1+x+x²)6=a0+a1x+a2x²+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6+a7x7+a8x8+a9x9+a10x10+a11x11+a12x12

则a2= .

答案:21

4.观察下列等式:

123+3=1;

7810113+3+3+3=12;

3++++ +333333=39;……

3m+13m+23m+43m+53n-23n-1则当m<n且m,n∈N+时,++++…+33333+3=(

)。(最后结果用m,n表示).

答案:n²-m²

5.观察下列等式:1²=1;1²-2²=-3;1²-2²+3²=6;1²-2²+3²-4²=-10;……由*+以上等式推测出一个一般性的结论:对于n∈N,1²-2²+3²-4²+…+(-1)n1n²=

答案:(-1)n+1n²+n2。

6.观察下列各式:

1=1;

2+3+4=9;

3+4+5+6+7=25;

4+5+6+7+8+9+10=49;……

照此规律,第n个等式为 。

答案:n+(n+1)+…+(3n-2)=(2n-1)²

五、不等式

1427a1.设x>0,由不等式x+x≥2,x+≥3,x+≥4,…,类比推广到x+xn≥n+1,则ax²x³= .

A.2n B.2 C.n² D.n

答案:D.

3571112.已知f(3)=1+2+3+…+n(n∈N*),经计算得f(2)=,f(4)>2,f(8)> ,f(16)>3,f(32)>,推测出222n≥2时,有不等式 成立.

n+2答案:f(2n)>

21114193.已知正数a,b满足a+b=1.观察以下不等式的规律:①a+b≥4;②a+b≥9;③a+b≥16;…

分析上述各式的共同特点,猜想出反映一般规律的不等式,并对猜想结果的正确性作出证明.

六、函数型

1.已知函数f(x)满足f(a+b)=f(a)·f(b),f(1)=2,则f²(4)+f(8)=( )

f(7)A.

4 B. 8 C. 12 D. 16

答案:D.

f²(1)+f(2)f²(2)+f(4)f²(3)+f(6)+++ f(1) f(3) f(5)nn2.设f0(x)=cosx,f1(x)=f0′(x),f2(x)=f1′(x),……,fn+1(x)=fn′(x)(n∈N),则f2018(x)=( )

B.-sinx D.-cosx

答案:C

f(2)f(4)f(6)f(2 006)f(2 008)f(2 010)3.如果f(a+b)=f(a)·f(b),且f(1)=2,则+++…+++=f(1)f(3)f(5)f(2 005)f(2 007)f(2 009)_____.

答案:2010

x1114.已知函数f(x)=,则f(1)+f(2)+…+f(2017)+f()+f()+…+f()= 。

2320171+x4033答案:

2x+1x+2x+3x5.已知函数f(x)=+++,f(-6+5)+f(1-5)= 。

x+1x+2x+3x+4答案:8

6.已知函数f(x)=ax³+bx²+cx+d(a≠0) 的对称中心为M(x0, y0),记函数f(x)的导函数为

f′(x),f′(x)的导函数为f′′(x),则有f′′(x)=0。若函数f(x)=x³-3x²,则可求得:

1240264027f()+f()+…+f()+f()= 。

2014

答案:-8054

7.若函数h(x)=ax³+bx²+cx+d(a≠0)图象的对称中心为M(x0, h(x0))记函数h(x)的导函数为g(x),则有g′(x0)=0,设函数f(x)=x³-3x²+2,则f(= 。

答案:0

x21+f(3)+f1+f(4)+f1=_____ 8.已知函数f(x)=,那么f(1)+f(2)+f2341+x27答案:2

lg3lg49.设an=logn+1(n+2)(n∈N*),观察下列运算:a1·a2=log23·log34=·=2;

lg2lg3lg8a1·a2·a3·a4·a5·a6=log23·log34·log45·log56·log67·log78==3;……

lg2则当a1·a2……ak=2017时,正整数为( )

A.22015-2 B.22017 C.22017-2 D.22017+2

答案:C.

110.设函数f(x)=x,利用课本中推导等差数列前n项和公式的方法,可求得f(-5)+…2+2+f(0)+…+f(5)+f(6)的值为 .

答案:32

1240324033)+f()+…+f()+f()201711.已知函数f(x)=1,

3x+3⑴分别求f(0)+f(1),f(-1)+f(2),f(-2)+f(3)的值;

⑵试根据⑴的结果归纳猜想一般性的结论,并给出证明.

答案:⑴3,3,3;⑵f(x)+f(1-x)=3。

12.观察(x²)′=2x,(x)′=4x³,(cosx)′=-sinx,由此归纳推理可得,若定义在R上的函数f(x)满足f(-x)=f(x),记g(x)是f(x)的导函数,则g(-x)= 。

A.f(x) B.-f(x) C. g(x) D.-g(x)

答案:D.

43333七、数列型

1. 观察数列3、3、15、21、33,…,写出该数列的一个通项公式an=___________.

答案:3(2n-1)(n∈N*)

2.在平面内,凸四边形有2条对角线,凸五边形有5条对角线,凸六边形有9条对角线,由此猜想凸n边形有________条对角线.

n(n-3)答案:2

3.观察下列各式:a+b=1,a²+b²=3,a3+b3=4,a4+b4=7,…,则a10+b10= .

答案:123

4.已知22+3=223 ,33+8=338,44+15=4415,…,若a6+t=6at,(a,t均为正实数),则类比以上等式,可推测a,t的值,a+t= .

答案:41

5.已知22+=232 ,333+=383,844+=4154,…,15mm+=mtm( m,tt∈N*,m≥2)若不等式λm-t-3<0恒成立,则实数λ的取值范围是( )

A.[22,+∞) B.(-∞, 22) C. (-∞, 3) D.[1,3]

答案:C.

6.《聊斋志异》中有这样一首诗:“挑水砍柴不堪苦,请归但求穿墙术.得诀自诩无所阻,额上坟起终不悟.”在这里,我们称如下形式的等式具有“穿墙术”:338,44+15=4415,…,按照以上规律,若88+n=822+3=223 ,33+8=8n具有“穿墙术”,则n应为( )

A.7 B.35 C. 48 D.63

答案:D.

7.数的分解:2²=1+3;3²=1+3+5;4²=1+3+5+7,…;2³=3+5,3³=7+9+11,4³=13+15+17+19,…,根据这样数的分解规律,若n²=1+3+5+…+19,则*n= ;若m³(m∈N)的分解式中含有数129,则m= 。

答案:10;11.

22228.某数学家观察到:215;2117;21257;2165537,于是该数1234学家猜想:任何形如221(nN*)都是质数,请判断该数学家的推理方式并对该结论给出正误判断 。

A.类比推理 推理结果正确 B.类比推理 推理结果错误

C.归纳推理 推理结果正确 D.归纳推理 推理结果错误

n答案:D.

612209.1³+2³=(2)²,1³+2³+3³=(2)², 1³+2³+3³+4³=(2)²,……,若1³+2³+3³+4³+…+n³=3025,则n= 。

A.8 B.9 C.10 D.11

答案:C.

10.对应大于或等于2的自然数的3次方还可以做如下分解:

2³=3+5;3³=7+9+11;4³=13+15+17+19;……

根据上述规律,10³的分解式中,最大的数是 。

答案:109

11.如图,在圆内画一条线段,将圆分成2部分;画两条线段,彼此最多分割成4条线段,将圆最多分割成4部分;画三条线段,彼此最多分割成9条线段,将圆最多分割成7部分;画四条线段,彼此最多分割成16条线段,将圆最多分割成11部分.

⑴圆内画五条线段,彼此最多分割成多少条线段?将圆最多分割成多少部分?

⑵猜想:在圆内画n(n≥2)条线段,彼此最多分割成多少条线段?将圆最多分割成多少部

分?

n²+n+2答案:⑴25,16;⑵n²,(n≥2)。

212.观察下列等式:1²=1;1²-2²=-3;1²-2²+3²=6;1²-2²+3²-4²=-10;……由*+以上等式推测出一个一般性的结论:对于n∈N,1²-2²+3²-4²+…+(-1)n1n²=

答案:(-1)n1+1n²+n2。

111131113. 已知:1>2;1+2+3>1;1+2+…+7>2;1+2+…+15>2,……,根据以上不等式的结构特点,请归纳出一般结论: 。

11n*答案:1+2+…+n>2(n∈N)

2-114.观察下列不等式:1+为 。

131151117<2;1++<3;1+++<4……,照此规律,第五个不等式2²2²3²2²3²4²答案:1+2²+3²+4²+5²+6²<6

15.已知数列{an}满足a0=1,an=a0+a1+a2+…+an-1(n≥1),则n≥1时,an等于 。

1-A.2n

B.2n(n+1) C. 2n1 D. 2n-1

答案:C.

1111111八、三角型

1.观察下列等式:

①cos 2α=2cos2α-1;

②cos 4α=8cos4α-8cos2α+1;

③cos 6α=32cos6α-48cos4α+18cos2α-1;

④cos 8α=128cos8α-256cos6α+160cos4α-32cos2α+1;

⑤cos 10α=mcos10α-1 280cos8α+1 120cos6α+ncos4α+pcos2α-1.

可以推测,m-n+p=________.

答案:962(m=512,n=-400,p=50)

2.某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数.

①sin²13°+cos²17°-sin13°cos17°;②sin²15°+cos²15°-sin15°cos15°;

③sin²18°+cos²12°-sin18°cos12°;④sin²(-18°)+cos²48°-sin(-18°)cos48°;

⑤sin²(-25°)+cos²55°-sin(-25°)cos55°;

⑴试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数;

⑵根据⑴的计算结果,将该同学的发现推广为三角恒等式,并证明你的结论。

13解:⑴由②得sin²15°+cos²15°-sin15°cos15°=1-sin30°=;

243⑵三角恒为等式:sin²α+cos²(30°-α)-sinαcos(30°-α)=;

4证明:sin²α+cos²(30°-α)-sinαcos(30°-α)

=sin²α+(cos30°cosα+sin30°sinα) ²-sinα(cos30°cosα+sin30°sinα)

=sin²α+(3131cosα+sinα) ²-sinα(cosα+sinα)

2222353331=sin²α+cos²α+sinαcosα-sinαcosα-sin²α=.

4422243.观察等式:sin50°+sin20°=2sin35°cos15°, sin66°+sin32°=2sin49°cos17°

猜想符合以上两式规律的一般结论,并进行证明.

九、周期性

1.对于25,规定第一次操作为2³+5³=133,第二次操作为1³+3³+3³=55,如此反复操作,则第2018次操作后得到的数是 。

A.25 B.250 C.55 D.133

答案:C.

20182.已知31=3;3²=9;3³=27;……,则3的个位上数字为 。

答案:9。

3.观察下列各式:

20187²=49;7³=343;74=2401;……,则7的末两位数字是 。

答案:49。

4.观察下列各式:55=3 125, 56=15 625, 57=78 125,…,则52 011 的末四位数字为( )

A.3 125 B.5 625 C.0 625 D.8 125

答案:D.

2024年2月23日发(作者:宜静云)

归纳推理

一、数阵

1.把正整数按如图排列,现有一个三角形框架在图中上下或左右移动,每次恰有9个数在三角形内,则这9个数的和可以是 .

A.2015 B.1220 C. 2111 D.2264

答案:B.

2.已知下表,则a81的位置是 .

A.第13行第2个数 B.第14行第3个数

C.第13行第3个数 D.第17行第2个数

答案:C.

3.如图所示的数阵中,第20行第2个数字是________.

1答案:

1914.将全体正偶数排成一个三角形的数阵:

根据以上排列规律,数阵中第n(n≥3)行的从左到右的第3个数是 .

答案:n²-n+6

5.有一个奇数组成的数阵排列如下图所示,则第30行从左到右第3个数是 。

答案:1051。

6.观察下列数阵:设(i,j)为第i行第j列,按此规律归纳猜想2016所在位置为( )

A.(45,80) B. (45,79) C. (46,80) D. (46,79)

答案:A.

7.把正整数按一定规则排成如图所示的三角形数表,设aij(i,j∈N*)是位于这个三角形数表中从上往下数第i行,从左往右数第j个数,如a42=8。若aij=2011,则i与j的和为 。

答案:108

8.给出以下数阵,按各数排列规律,则n的值为 。

A.66 B.256 C.257 D.326

答案:C.

9.小时候我们就用手指练习过数数,一个小朋友按图中的规则练习数数,数到2009时应对应的指头是( )

A.大拇指 B.食指 C.中指 D.无名指

答案:A.

二、图案类

1.从所给的四个选项中,选择最合适的一个填入问号处,使之呈现一定的规律性( )

A. B. C. D.

分析: 观察图形知,四个图形中的三条线段与圆共有3个交点.

解:观察图形知:第一、二、三、四个图形中,都是由圆和三条线段组成,且这三条线段与圆共有3个交点.观察选项,只有B选项符合题意.

2.如图是今年元宵花灯展中一款五角星灯连续旋转闪烁所成的三个图形,照此规律闪烁,下一个呈现出来的图形是( )

A. B. C. D.

答案:A

3.根据下列各图中三角形的个数,推断第20个图中三角形的个数是( )

A.231 B.200 C.210 D.190

答案:A

4.观察图中各正方形图案,每条边上有n(n≥2)个圆点,第n个图案中圆点的个数是an,按此规律推断出所有圆点总和Sn与n的关系式为( )

A.Sn=2n²-2n答案:B

5.按如图的规律所拼成的一图案共有1024个大小相同的小正三角形”△”或”▽”,则该图案共有

B.Sn=2n² C.Sn=4n²-3n D.Sn=2n²+2n

A. 16层 B. 32层 C. 64层 D.128层

答案:B.

6.用火柴棒摆“金鱼”,如图所示:按照上面的规律,第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数为 .

A.6n-2 B.8n-2 C.6n+2 D.8n+2

答案:C.

7.图1是一个水平摆放的小正方体木块,图2,图3是由这样的小正方体木块叠放而成的,按照这样的规律放下去,至第七个叠放的图形中,小正方体木块总数就是( )

A.25 B.66 C.91 D.120

答案:C.

8.按照图1——图3的规律,第10个图中圆点的个数为( )个.

A.40 B.36 C.44 D.52

答案:A

9.如图所示将若干个点摆成三角形图案,每条边(包括两个端点)有n(n>1,n∈N*)个9999点,相应的图案中总的点数记为an,则+ ++…+= 。

a2a3a3a4a4a5a2016a2017

2A. B. C.

2答案:C

10.如图,第n个图形是由正n+2边形“扩展”而来,(n=1、2、3、…)则在第n个图形中共有

个顶点。

2016 D.

2015

A.(n+1)(n+2) B. (n+2)(n+3) C. n² D. n

答案:B

11.观察下列的图形中小正方形的个数,则第n个图中有 个小正方形.

(n+2)(n+1)答案:

212.蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师,单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形,如图为一组蜂巢的截面图. 其中第一个图有1个蜂巢,第二个图有7个蜂巢,第三个图有19个蜂巢,按此规律,以f(n)表示第n幅图的蜂巢总数.则f(n) =___________.

答案:3n²-3n+1.

13.将平面直角坐标系中的格点(横、纵坐标均为整数的点)按如下规则标上数字标签:原点处标0,点(1,0)处标1,点(0,-1)处标3,点(-1,-1)处标4,点(-1,1)处标6,点(0,1)处标7,依次类推,则标签2009²的格点的坐标为 .

答案:(1005,1004)

14.下面图形都是由小正三角形构成的,设第n个图形中的黑点总数为f(n)

⑴求f(2),f(3),f(4),f(5)出的值;

⑵找出f(n)与f(n+1)的关系,并求出f(n)的表达式.

解:⑴由题意有f(1)=3,f(2)=f(1)+3+3×2=12,f(3)=f(2)+3+3×4=27,

f(4)=f(3)+3+3×6=48,f(5)=f(4)+3+3×8=75.

⑵由题意及⑴知,f(n+1)=f(n)+3+3×2n=f(n)+6n+3,即f(n+1)-f(n)=6n+3,

故f(2)-f(1)=6×1+3,f(3)-f(2)=6×2+3,f(4)-f(3)=6×3+3,

……f(n)-f(n-1)=6(n-1)+3,n≥2

将上面n-1个式子相加,得:

(1+n-1)( n-1)f(n)-f(1)=6[1+2+3+…+(n-1)]+3(n-1)=6×+3(n-1)=3n²-3

2又f(1)=3,所以f(n)=3n²,n≥2,而当n=1时,也满足上式,故f(n)=3n²,n∈N*。

15.某少数民族的刺绣有着悠久的历史,下图⑴、⑵、⑶、⑷为她们刺绣最简单的四个图案,这些图案都由小正方形构成,小正方形数越多刺绣越漂亮,现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同),设第n个图形包含f(n)个小正方形.

⑴求出f(2),f(3),f(4),f(5)并猜测f(n)的表达式;

1⑵求证:f(1)+1113++…+<2.

f(2)-1f(3)-1f(n)-1

解析:(1)∵ f(1)=1,f(2)=5,f(3)=13,f(4)=25,∴ f(5)=25+4×4=41.

∵ f(2)-f(1)=4=4×1,f(3)-f(2)=8=4×2,f(4)-f(3)=12=4×3,f(5)-f(4)=16=4×4,

由上式规律得出f(n+1)-f(n)=4n.

∴ f(n)-f(n-1)=4(n-1),

f(n-1)-f(n-2)=4·(n-2),

f(n-2)-f(n-3)=4·(n-3),

……

f(2)-f(1)=4×1,

∴ f(n)-f(1)=41(n-1)+(n-2)+…+2+1]=2(n-1)·n,

∴ f(n)=2n2-2n+1(n≥2),又n=1时,f(1)也适合f(n).

∴ f(n)=2n2-2n+1.

11111-(2)当n≥2时,==,

f(n)-12n2-2n+1-12n-1n

1111111111+++…+=1+1-2+2-3+…+n-1-n

2 f(1)-1 f(2)-1 f(3)-1 f(n)-1131311-=-< =1+2n22n216.下面的图形无限向内延伸,最外面的正方形的边长是1,从外到内,第n个正方形与其内切圆之间的深色图形面积记为Sn(n∈N*).

⑴试写出Sn+1与Sn(n∈N*)的递推关系式;

⑵设Tn=S1+S2+…+Sn (n∈N*),求Tn的值。

an解:⑴设第n(n∈N*)个正方形的边长为an,则其内切圆半径为,第n+1个正方形的边长2为22anπan,其内切圆半径为an,所以Sn=an²-π()²=an²(1-),

2424221π1an)²-π(an)²=an²(-)=Sn,(n∈N*).

24282Sn+1=(π1ππ1-⑵由⑴得S1=1-,S2=(1-),…,Sn=(1-)()n1,

42442π111π1Tn=S1+S2+…+Sn=(1-)(1+++…+n-1=(2-)(1-n) (n∈N*).

422²222三、坐标型

1.把数列依次按第一个括号一个数,第二个括号两个数,第三个括号三个数,…循环即为:(3),(5,7),(9,11,13),(15,17,19,21),…,则2017在第n个括号内,则n= .

答案:45

2.已知自然数按如下规律排数对:(0,1),(1,0),(0,2),(1,1),(2,0),(0,3),(1,2),(2,1),(3,0),(0,4),(1,3),(2,2),(3,1),(4,0),…,则第60个数对是( )

A.(3,7) B.(4,6) C.(5,5) D.(6,4)

答案:C

3.已知“整数对”按如下规律排列成一列:(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(2,2),(3,1),(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),…,则第60个“整数对”是 .

A.(5,7) B. (7,5) C. (2,10) D. (10,1)

答案:A.

4.观察数表(3),(5,7),(9,11,13),(15,17,19,21),(23),(25,27),(29,31,33),(35,37,39,41),(43),…,则第100个括号内各数之和为 .

A.1479 B.1992 C.2000 D.2072

答案:B.

5.把数列依次按第一个括号一个数,第二个括号两个数,第三个括号三个数,…循环即为:(3),(5,7),(9,11,13),(15,17,19,21),…则2017在第n个括号内,则n= .

答案:45

四、多项式

1311511171.观察式子:1+<,1++< ,1+++<,…则可归纳出式子为( )

2²22²3²32²3²4²41112n+11112n-1A. 1+++…+<(n≥2) B. 1+++…+<(n≥2)

2²3²n²n2²3²n²n-1111n²1112n-1C. 1+++…+<(n≥2) D. 1+++…+<(n≥2)

2²3²n²n2²3²n²n答案:B

2.观察下列等式:13+23=32,13+23+33=62,13+23+33+43=102,…,根据上述规律,第五个等式为____________________.

答案:13+23+33+43+5³+6³=212,

3.记Sk=1k+2k+3k+…+nk,当k=1,2,3,…时,观察下列等式:

11111111S1=n²+n,S2=n³+n²+n,S3=n4+n³+n²,

22326424111115S4=n5+n4+n³-n,S5=An6+n5+n4+Bn²,……可以推测A-B等于 .

523302121答案:

43.观察下列等式

(1+x+x²)1=1+x+x²

(1+x+x²)2=1+2x+3x²+2x3+x4

(1+x+x²)3=1+3x+6x²+7x3+6x4+3x5+x6

(1+x+x²)4=1+4x+10x²+16x3+19x4+16x5+10x6+4x7+x8

若(1+x+x²)6=a0+a1x+a2x²+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6+a7x7+a8x8+a9x9+a10x10+a11x11+a12x12

则a2= .

答案:21

4.观察下列等式:

123+3=1;

7810113+3+3+3=12;

3++++ +333333=39;……

3m+13m+23m+43m+53n-23n-1则当m<n且m,n∈N+时,++++…+33333+3=(

)。(最后结果用m,n表示).

答案:n²-m²

5.观察下列等式:1²=1;1²-2²=-3;1²-2²+3²=6;1²-2²+3²-4²=-10;……由*+以上等式推测出一个一般性的结论:对于n∈N,1²-2²+3²-4²+…+(-1)n1n²=

答案:(-1)n+1n²+n2。

6.观察下列各式:

1=1;

2+3+4=9;

3+4+5+6+7=25;

4+5+6+7+8+9+10=49;……

照此规律,第n个等式为 。

答案:n+(n+1)+…+(3n-2)=(2n-1)²

五、不等式

1427a1.设x>0,由不等式x+x≥2,x+≥3,x+≥4,…,类比推广到x+xn≥n+1,则ax²x³= .

A.2n B.2 C.n² D.n

答案:D.

3571112.已知f(3)=1+2+3+…+n(n∈N*),经计算得f(2)=,f(4)>2,f(8)> ,f(16)>3,f(32)>,推测出222n≥2时,有不等式 成立.

n+2答案:f(2n)>

21114193.已知正数a,b满足a+b=1.观察以下不等式的规律:①a+b≥4;②a+b≥9;③a+b≥16;…

分析上述各式的共同特点,猜想出反映一般规律的不等式,并对猜想结果的正确性作出证明.

六、函数型

1.已知函数f(x)满足f(a+b)=f(a)·f(b),f(1)=2,则f²(4)+f(8)=( )

f(7)A.

4 B. 8 C. 12 D. 16

答案:D.

f²(1)+f(2)f²(2)+f(4)f²(3)+f(6)+++ f(1) f(3) f(5)nn2.设f0(x)=cosx,f1(x)=f0′(x),f2(x)=f1′(x),……,fn+1(x)=fn′(x)(n∈N),则f2018(x)=( )

B.-sinx D.-cosx

答案:C

f(2)f(4)f(6)f(2 006)f(2 008)f(2 010)3.如果f(a+b)=f(a)·f(b),且f(1)=2,则+++…+++=f(1)f(3)f(5)f(2 005)f(2 007)f(2 009)_____.

答案:2010

x1114.已知函数f(x)=,则f(1)+f(2)+…+f(2017)+f()+f()+…+f()= 。

2320171+x4033答案:

2x+1x+2x+3x5.已知函数f(x)=+++,f(-6+5)+f(1-5)= 。

x+1x+2x+3x+4答案:8

6.已知函数f(x)=ax³+bx²+cx+d(a≠0) 的对称中心为M(x0, y0),记函数f(x)的导函数为

f′(x),f′(x)的导函数为f′′(x),则有f′′(x)=0。若函数f(x)=x³-3x²,则可求得:

1240264027f()+f()+…+f()+f()= 。

2014

答案:-8054

7.若函数h(x)=ax³+bx²+cx+d(a≠0)图象的对称中心为M(x0, h(x0))记函数h(x)的导函数为g(x),则有g′(x0)=0,设函数f(x)=x³-3x²+2,则f(= 。

答案:0

x21+f(3)+f1+f(4)+f1=_____ 8.已知函数f(x)=,那么f(1)+f(2)+f2341+x27答案:2

lg3lg49.设an=logn+1(n+2)(n∈N*),观察下列运算:a1·a2=log23·log34=·=2;

lg2lg3lg8a1·a2·a3·a4·a5·a6=log23·log34·log45·log56·log67·log78==3;……

lg2则当a1·a2……ak=2017时,正整数为( )

A.22015-2 B.22017 C.22017-2 D.22017+2

答案:C.

110.设函数f(x)=x,利用课本中推导等差数列前n项和公式的方法,可求得f(-5)+…2+2+f(0)+…+f(5)+f(6)的值为 .

答案:32

1240324033)+f()+…+f()+f()201711.已知函数f(x)=1,

3x+3⑴分别求f(0)+f(1),f(-1)+f(2),f(-2)+f(3)的值;

⑵试根据⑴的结果归纳猜想一般性的结论,并给出证明.

答案:⑴3,3,3;⑵f(x)+f(1-x)=3。

12.观察(x²)′=2x,(x)′=4x³,(cosx)′=-sinx,由此归纳推理可得,若定义在R上的函数f(x)满足f(-x)=f(x),记g(x)是f(x)的导函数,则g(-x)= 。

A.f(x) B.-f(x) C. g(x) D.-g(x)

答案:D.

43333七、数列型

1. 观察数列3、3、15、21、33,…,写出该数列的一个通项公式an=___________.

答案:3(2n-1)(n∈N*)

2.在平面内,凸四边形有2条对角线,凸五边形有5条对角线,凸六边形有9条对角线,由此猜想凸n边形有________条对角线.

n(n-3)答案:2

3.观察下列各式:a+b=1,a²+b²=3,a3+b3=4,a4+b4=7,…,则a10+b10= .

答案:123

4.已知22+3=223 ,33+8=338,44+15=4415,…,若a6+t=6at,(a,t均为正实数),则类比以上等式,可推测a,t的值,a+t= .

答案:41

5.已知22+=232 ,333+=383,844+=4154,…,15mm+=mtm( m,tt∈N*,m≥2)若不等式λm-t-3<0恒成立,则实数λ的取值范围是( )

A.[22,+∞) B.(-∞, 22) C. (-∞, 3) D.[1,3]

答案:C.

6.《聊斋志异》中有这样一首诗:“挑水砍柴不堪苦,请归但求穿墙术.得诀自诩无所阻,额上坟起终不悟.”在这里,我们称如下形式的等式具有“穿墙术”:338,44+15=4415,…,按照以上规律,若88+n=822+3=223 ,33+8=8n具有“穿墙术”,则n应为( )

A.7 B.35 C. 48 D.63

答案:D.

7.数的分解:2²=1+3;3²=1+3+5;4²=1+3+5+7,…;2³=3+5,3³=7+9+11,4³=13+15+17+19,…,根据这样数的分解规律,若n²=1+3+5+…+19,则*n= ;若m³(m∈N)的分解式中含有数129,则m= 。

答案:10;11.

22228.某数学家观察到:215;2117;21257;2165537,于是该数1234学家猜想:任何形如221(nN*)都是质数,请判断该数学家的推理方式并对该结论给出正误判断 。

A.类比推理 推理结果正确 B.类比推理 推理结果错误

C.归纳推理 推理结果正确 D.归纳推理 推理结果错误

n答案:D.

612209.1³+2³=(2)²,1³+2³+3³=(2)², 1³+2³+3³+4³=(2)²,……,若1³+2³+3³+4³+…+n³=3025,则n= 。

A.8 B.9 C.10 D.11

答案:C.

10.对应大于或等于2的自然数的3次方还可以做如下分解:

2³=3+5;3³=7+9+11;4³=13+15+17+19;……

根据上述规律,10³的分解式中,最大的数是 。

答案:109

11.如图,在圆内画一条线段,将圆分成2部分;画两条线段,彼此最多分割成4条线段,将圆最多分割成4部分;画三条线段,彼此最多分割成9条线段,将圆最多分割成7部分;画四条线段,彼此最多分割成16条线段,将圆最多分割成11部分.

⑴圆内画五条线段,彼此最多分割成多少条线段?将圆最多分割成多少部分?

⑵猜想:在圆内画n(n≥2)条线段,彼此最多分割成多少条线段?将圆最多分割成多少部

分?

n²+n+2答案:⑴25,16;⑵n²,(n≥2)。

212.观察下列等式:1²=1;1²-2²=-3;1²-2²+3²=6;1²-2²+3²-4²=-10;……由*+以上等式推测出一个一般性的结论:对于n∈N,1²-2²+3²-4²+…+(-1)n1n²=

答案:(-1)n1+1n²+n2。

111131113. 已知:1>2;1+2+3>1;1+2+…+7>2;1+2+…+15>2,……,根据以上不等式的结构特点,请归纳出一般结论: 。

11n*答案:1+2+…+n>2(n∈N)

2-114.观察下列不等式:1+为 。

131151117<2;1++<3;1+++<4……,照此规律,第五个不等式2²2²3²2²3²4²答案:1+2²+3²+4²+5²+6²<6

15.已知数列{an}满足a0=1,an=a0+a1+a2+…+an-1(n≥1),则n≥1时,an等于 。

1-A.2n

B.2n(n+1) C. 2n1 D. 2n-1

答案:C.

1111111八、三角型

1.观察下列等式:

①cos 2α=2cos2α-1;

②cos 4α=8cos4α-8cos2α+1;

③cos 6α=32cos6α-48cos4α+18cos2α-1;

④cos 8α=128cos8α-256cos6α+160cos4α-32cos2α+1;

⑤cos 10α=mcos10α-1 280cos8α+1 120cos6α+ncos4α+pcos2α-1.

可以推测,m-n+p=________.

答案:962(m=512,n=-400,p=50)

2.某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数.

①sin²13°+cos²17°-sin13°cos17°;②sin²15°+cos²15°-sin15°cos15°;

③sin²18°+cos²12°-sin18°cos12°;④sin²(-18°)+cos²48°-sin(-18°)cos48°;

⑤sin²(-25°)+cos²55°-sin(-25°)cos55°;

⑴试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数;

⑵根据⑴的计算结果,将该同学的发现推广为三角恒等式,并证明你的结论。

13解:⑴由②得sin²15°+cos²15°-sin15°cos15°=1-sin30°=;

243⑵三角恒为等式:sin²α+cos²(30°-α)-sinαcos(30°-α)=;

4证明:sin²α+cos²(30°-α)-sinαcos(30°-α)

=sin²α+(cos30°cosα+sin30°sinα) ²-sinα(cos30°cosα+sin30°sinα)

=sin²α+(3131cosα+sinα) ²-sinα(cosα+sinα)

2222353331=sin²α+cos²α+sinαcosα-sinαcosα-sin²α=.

4422243.观察等式:sin50°+sin20°=2sin35°cos15°, sin66°+sin32°=2sin49°cos17°

猜想符合以上两式规律的一般结论,并进行证明.

九、周期性

1.对于25,规定第一次操作为2³+5³=133,第二次操作为1³+3³+3³=55,如此反复操作,则第2018次操作后得到的数是 。

A.25 B.250 C.55 D.133

答案:C.

20182.已知31=3;3²=9;3³=27;……,则3的个位上数字为 。

答案:9。

3.观察下列各式:

20187²=49;7³=343;74=2401;……,则7的末两位数字是 。

答案:49。

4.观察下列各式:55=3 125, 56=15 625, 57=78 125,…,则52 011 的末四位数字为( )

A.3 125 B.5 625 C.0 625 D.8 125

答案:D.

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