2024年2月24日发(作者：咸映秋)

2022年华南师范大学903高等数学综合真题PartA微积分一、填空题PartA（7分*5=35分）nn1.数列1(n1,2,3,)的聚点为___________.n12.改变累次积分次序：Idx2f(x,y)dy___________.0x1x3.计算：limx13x1___________.x12n5202254.计算：lim2cosnnsin___________.nn3n15.设yx,x0,则1xdy___________.dx二、解答题（10分*3=30分）1.求函数yx36x215x20的极值和拐点。2.计算（xyz）dxdydz，V由上半球x2y2z2a2(z0)围成。Vxn3.求函数项级数的收敛域以及和函数。n1n三、证明题（15分）设fx,y为有界闭区域D上的非负函数连续函数，但fx,y不恒为零。证明：fx,ydxdy线性代数四、填空题PartB（7分*5=35分）1222D311.设Aij为D的代数余子式，1143345211则A41A42A43___________.245，1221501

xxxxxx2.设x1,x2,x3为x32x23x10的根，131232__________.x2x2x3x1x1x3100**3.设P为3阶方阵，P为P的伴随矩阵，APBP，P2，B020，则003A25A3E___________.4.要使下列非齐次线性方程组有解，则p___________.x1x23x32x44x13x22x36x41x15x2x310x463x1x2(p2)x3px4105.在正交空间中，设为单位向量，3与75正交，4与72正交，则与的夹角为___________.五、已知是非齐次线性方程组AXb的解，1,2,3,,s是对应的齐次线性方程组AX0的解。证明：（1）1,2,3,,s,线性无关；（2）1,2,3,,s,线性无关。（10分）nn六、设f(x1,x2,,xn)xi12i1ijnxxij.求：（1）f(x1,x2,,xn)的矩阵；（10分）（2）f(x1,x2,,xn)的正定性。七、设V是由四元列向量构成的线性空间，是V的线性变换，A是线性变换下的矩阵。R4，有A.112211其中A3101011100001020.（1）求在单位基1,2,3,4下0010300011的矩阵；（2）Im的基和维数；（3）Ker的基和维数。（15分）2

2022年华南师范大学903高等数学综合真题答案解析PartA微积分一、填空题PartA（7分*5=35分）nn1.数列1(n1,2,3,)的聚点为n1±1.解析：聚点的定义是在这个点的任何空心邻域都含有集合中的点，根据聚点的定义可知上述集合的聚点只有±1.2.改变累次积分次序：Idx2f(x,y)dy0x31x10dyyyf(x,y)dx.3.计算：limx1x12.x1363x1t212t2解析：令tx，则limlim3lim2.x13x1t1t1t13t2n5202254.计算：lim2cosnnsinnn3n15.5t22t20222n520221511则lim2cosnnsinlim解：令n，cossin5t20nttnt3tt3n15t22tlimt0t231x2022sin5t1coslim5055.t0tt51dy1lnx5.设yx,x0,则xx().2dxx解析：由yx,得：lny11x1lnx,两边同时对x求导，得：x1dy11lnx1lnxx1lnxx所以yyx,(x),().222yxdxxx二、解答题（10分*3=30分）1.求函数yx36x215x20的极值和拐点。解：因为yx36x215x20,所以y3x212x15,y6x12.令y0,得：3

x5或x1.当x5时，y280,所以y在x5处取极大值，极大值为80；当x1时，y180,所以y在x1处取极小值，极小值为-28.令y0,得：x2,所以拐点为(2,26).2.计算（xyz）dxdydz，V由上半球x2y2z2a2(z0)围成。V解：由对称性，得：xdsyds0.所以（xyz）dxdydzzds,SSVSxy22zx,zy,ds1zxzydxdyzzaaxy222dxdy所以（xyz）dxdydza2x2y2VDaa2x2y2dxdy3.求函数项级数的收敛域以及和函数。n1n解：因为limnnxn1x1,x(1,1),所以当x1时，发散；当x1时，nn1nxn(1)n收敛，所以该级数的收敛域为1,1.令ux,u00,则nn1nn1xx11,所以u(x)u(0)u(t)dtdtln(1x)，所以001x1tuxxn1n1u(x)ln(1x),x1,1.三、证明题（15分）设fx,y为有界闭区域D上的非负函数连续函数，但fx,y不恒为零。证明：fx,ydxdy0.D证明：因为fx,y为有界闭区域D上的非负函数连续函数，且fx,y不恒为零，所以存在P0x0,y0D,使得fx0,y00.存在P0x0,y0的邻域(P0,),使得fx,yfx0,y0,x,y(P0,)，24

所以f(x,y)dxdyD(P0,)f(x,y)dxdyf(x0,y0)20.2PartB线性代数四、填空题PartB（7分*5=35分）12221.设为DAij的代数余子式，D3245，则A41A42A4312215-9.解析：A41A42A431A411A421A430A440A4531245111按第2行展开111320530-39=-9.2.设x1,x2,x3为x32x23x10的根，x1x3x1x2x3x2x2x2x3x1x1x3-9.解析：因为x1,x2,x3是方程的根，所以x32x23x1(xx1)(xx2)(xx3),所以x1x2x32,x1x2x1x3x2x33,x1x2x31,所以x1x3x1x2x3x2x1(x1x3x1x2)x2(x2x3x1x2)x3(x1x3x2x3)x2x2x3x1x1x3x1x2x3x1(3x2x3)x2(3x1x3)x3(3x1x2)3(x1x2x3)3x1x2x399.x1x2x3x1x2x31100**3.设P为3阶方阵，P为P的伴随矩阵，APBP，P2，B020，则003A25A3E27.5

解析：因为P20，所以P可逆，且P11*1*PPP*2P1;因为P2APBP*,所以AP(2B)P1,即A与2B相似.所以A的特征值为2,4,6.令f(A)A25A3E,则f(A)f(1)f(2)f(3)27.166.134.要使下列非齐次线性方程组有解，则px1x23x32x44x13x22x36x41x15x2x310x463x1x2(p2)x3px4101113解析：AAb153111020000317p92241161022110606p2p10043314p744382p6222113440214433166所以当时，p.0072020771313166000pp281p77166.13r(A)3r(A)4,此时方程组无解。所以想要方程组有解，则p5.在正交空间中，设为单位向量，3与75正交，4与72正交，则与的夹角为.3解析：因为3与75正交，所以(3,75)0，即7(,)16(,)15(,)016(,)15(,)7,同理，可得7(,)30(,)8(,)030(,)8(,)7,1所以(,),(,)1,设与的夹角为.2因为(,)coscoscos,所以.3116

五、已知是非齐次线性方程组AXb的解，1,2,3,,s是对应的齐次线性方程组AX0的解。证明：（1）1,2,3,,s,线性无关；（2）1,2,3,,s,线性无关。（10分）证明：（1）依题意，可设0是非齐次线性方程组AXb的特解，则123s0.令k11k22k33kssks10.则k1ks11k2ks12k3ks13ksks1sks100.因为123s0是非齐次线性方程组AXb的解，所以1,2,3,,s,0线性无关，所以k1ks1k2ks1ksks1ks10.即k1k2k3ksks10.所以1,2,3,,s,线性无关。（2）令l1(1)l2(2)l3(3)ls(s)ls10.则l11l22lss(l1l2ls1)0.由（1）1,2,,s,线性无关，得l1l2lsl1l2l3ls10,所以l1l2lsls10,所以1,2,3,,s,线性无关。nn六、设f(x1,x2,,xn)xi12i1ijnxxij.求：（1）f(x1,x2,,xn)的矩阵；（2）f(x1,x2,,xn)的正定性。（10分）1nn12解：（1）因为f(x1,x2,,xn)xixixj，所以A2i11ijn121122112.1127

11（2）因为Hk21211221k11220,(k1,2,,n),所以A的所有顺序主子式112都大于0，A是正定矩阵，所以该二次型是正定二次型。七、设V是由四元列向量构成的线性空间，是V的线性变换，A是线性变换下的矩阵。R4，有A.112211其中A3101011100020100,,,.（1）求在单位基下12340010300011的矩阵；（2）Im的基和维数；（3）Ker的基和维数。（15分）112211解：（1）由题可知，在单位基1,2,3,4下的矩阵为31010112.31（2）取一组基为1,2,3,4,则ImL((1),(2),(3),(4)).因为11221131010111203010111113021,,,维数是2.所以的一组基为Im00031100000（3）令A0,得Ker的基是方程AX0的基础解系，解得基础解系11113030为,.所以Ker的基为,,维数是2.101001018

2024年2月24日发(作者：咸映秋)

2022年华南师范大学903高等数学综合真题PartA微积分一、填空题PartA（7分*5=35分）nn1.数列1(n1,2,3,)的聚点为___________.n12.改变累次积分次序：Idx2f(x,y)dy___________.0x1x3.计算：limx13x1___________.x12n5202254.计算：lim2cosnnsin___________.nn3n15.设yx,x0,则1xdy___________.dx二、解答题（10分*3=30分）1.求函数yx36x215x20的极值和拐点。2.计算（xyz）dxdydz，V由上半球x2y2z2a2(z0)围成。Vxn3.求函数项级数的收敛域以及和函数。n1n三、证明题（15分）设fx,y为有界闭区域D上的非负函数连续函数，但fx,y不恒为零。证明：fx,ydxdy线性代数四、填空题PartB（7分*5=35分）1222D311.设Aij为D的代数余子式，1143345211则A41A42A43___________.245，1221501

xxxxxx2.设x1,x2,x3为x32x23x10的根，131232__________.x2x2x3x1x1x3100**3.设P为3阶方阵，P为P的伴随矩阵，APBP，P2，B020，则003A25A3E___________.4.要使下列非齐次线性方程组有解，则p___________.x1x23x32x44x13x22x36x41x15x2x310x463x1x2(p2)x3px4105.在正交空间中，设为单位向量，3与75正交，4与72正交，则与的夹角为___________.五、已知是非齐次线性方程组AXb的解，1,2,3,,s是对应的齐次线性方程组AX0的解。证明：（1）1,2,3,,s,线性无关；（2）1,2,3,,s,线性无关。（10分）nn六、设f(x1,x2,,xn)xi12i1ijnxxij.求：（1）f(x1,x2,,xn)的矩阵；（10分）（2）f(x1,x2,,xn)的正定性。七、设V是由四元列向量构成的线性空间，是V的线性变换，A是线性变换下的矩阵。R4，有A.112211其中A3101011100001020.（1）求在单位基1,2,3,4下0010300011的矩阵；（2）Im的基和维数；（3）Ker的基和维数。（15分）2

2022年华南师范大学903高等数学综合真题答案解析PartA微积分一、填空题PartA（7分*5=35分）nn1.数列1(n1,2,3,)的聚点为n1±1.解析：聚点的定义是在这个点的任何空心邻域都含有集合中的点，根据聚点的定义可知上述集合的聚点只有±1.2.改变累次积分次序：Idx2f(x,y)dy0x31x10dyyyf(x,y)dx.3.计算：limx1x12.x1363x1t212t2解析：令tx，则limlim3lim2.x13x1t1t1t13t2n5202254.计算：lim2cosnnsinnn3n15.5t22t20222n520221511则lim2cosnnsinlim解：令n，cossin5t20nttnt3tt3n15t22tlimt0t231x2022sin5t1coslim5055.t0tt51dy1lnx5.设yx,x0,则xx().2dxx解析：由yx,得：lny11x1lnx,两边同时对x求导，得：x1dy11lnx1lnxx1lnxx所以yyx,(x),().222yxdxxx二、解答题（10分*3=30分）1.求函数yx36x215x20的极值和拐点。解：因为yx36x215x20,所以y3x212x15,y6x12.令y0,得：3

x5或x1.当x5时，y280,所以y在x5处取极大值，极大值为80；当x1时，y180,所以y在x1处取极小值，极小值为-28.令y0,得：x2,所以拐点为(2,26).2.计算（xyz）dxdydz，V由上半球x2y2z2a2(z0)围成。V解：由对称性，得：xdsyds0.所以（xyz）dxdydzzds,SSVSxy22zx,zy,ds1zxzydxdyzzaaxy222dxdy所以（xyz）dxdydza2x2y2VDaa2x2y2dxdy3.求函数项级数的收敛域以及和函数。n1n解：因为limnnxn1x1,x(1,1),所以当x1时，发散；当x1时，nn1nxn(1)n收敛，所以该级数的收敛域为1,1.令ux,u00,则nn1nn1xx11,所以u(x)u(0)u(t)dtdtln(1x)，所以001x1tuxxn1n1u(x)ln(1x),x1,1.三、证明题（15分）设fx,y为有界闭区域D上的非负函数连续函数，但fx,y不恒为零。证明：fx,ydxdy0.D证明：因为fx,y为有界闭区域D上的非负函数连续函数，且fx,y不恒为零，所以存在P0x0,y0D,使得fx0,y00.存在P0x0,y0的邻域(P0,),使得fx,yfx0,y0,x,y(P0,)，24

所以f(x,y)dxdyD(P0,)f(x,y)dxdyf(x0,y0)20.2PartB线性代数四、填空题PartB（7分*5=35分）12221.设为DAij的代数余子式，D3245，则A41A42A4312215-9.解析：A41A42A431A411A421A430A440A4531245111按第2行展开111320530-39=-9.2.设x1,x2,x3为x32x23x10的根，x1x3x1x2x3x2x2x2x3x1x1x3-9.解析：因为x1,x2,x3是方程的根，所以x32x23x1(xx1)(xx2)(xx3),所以x1x2x32,x1x2x1x3x2x33,x1x2x31,所以x1x3x1x2x3x2x1(x1x3x1x2)x2(x2x3x1x2)x3(x1x3x2x3)x2x2x3x1x1x3x1x2x3x1(3x2x3)x2(3x1x3)x3(3x1x2)3(x1x2x3)3x1x2x399.x1x2x3x1x2x31100**3.设P为3阶方阵，P为P的伴随矩阵，APBP，P2，B020，则003A25A3E27.5

解析：因为P20，所以P可逆，且P11*1*PPP*2P1;因为P2APBP*,所以AP(2B)P1,即A与2B相似.所以A的特征值为2,4,6.令f(A)A25A3E,则f(A)f(1)f(2)f(3)27.166.134.要使下列非齐次线性方程组有解，则px1x23x32x44x13x22x36x41x15x2x310x463x1x2(p2)x3px4101113解析：AAb153111020000317p92241161022110606p2p10043314p744382p6222113440214433166所以当时，p.0072020771313166000pp281p77166.13r(A)3r(A)4,此时方程组无解。所以想要方程组有解，则p5.在正交空间中，设为单位向量，3与75正交，4与72正交，则与的夹角为.3解析：因为3与75正交，所以(3,75)0，即7(,)16(,)15(,)016(,)15(,)7,同理，可得7(,)30(,)8(,)030(,)8(,)7,1所以(,),(,)1,设与的夹角为.2因为(,)coscoscos,所以.3116

五、已知是非齐次线性方程组AXb的解，1,2,3,,s是对应的齐次线性方程组AX0的解。证明：（1）1,2,3,,s,线性无关；（2）1,2,3,,s,线性无关。（10分）证明：（1）依题意，可设0是非齐次线性方程组AXb的特解，则123s0.令k11k22k33kssks10.则k1ks11k2ks12k3ks13ksks1sks100.因为123s0是非齐次线性方程组AXb的解，所以1,2,3,,s,0线性无关，所以k1ks1k2ks1ksks1ks10.即k1k2k3ksks10.所以1,2,3,,s,线性无关。（2）令l1(1)l2(2)l3(3)ls(s)ls10.则l11l22lss(l1l2ls1)0.由（1）1,2,,s,线性无关，得l1l2lsl1l2l3ls10,所以l1l2lsls10,所以1,2,3,,s,线性无关。nn六、设f(x1,x2,,xn)xi12i1ijnxxij.求：（1）f(x1,x2,,xn)的矩阵；（2）f(x1,x2,,xn)的正定性。（10分）1nn12解：（1）因为f(x1,x2,,xn)xixixj，所以A2i11ijn121122112.1127

11（2）因为Hk21211221k11220,(k1,2,,n),所以A的所有顺序主子式112都大于0，A是正定矩阵，所以该二次型是正定二次型。七、设V是由四元列向量构成的线性空间，是V的线性变换，A是线性变换下的矩阵。R4，有A.112211其中A3101011100020100,,,.（1）求在单位基下12340010300011的矩阵；（2）Im的基和维数；（3）Ker的基和维数。（15分）112211解：（1）由题可知，在单位基1,2,3,4下的矩阵为31010112.31（2）取一组基为1,2,3,4,则ImL((1),(2),(3),(4)).因为11221131010111203010111113021,,,维数是2.所以的一组基为Im00031100000（3）令A0,得Ker的基是方程AX0的基础解系，解得基础解系11113030为,.所以Ker的基为,,维数是2.101001018