2024年3月11日发(作者：谏水风)
第四章 幂函数的积分运算
本章所指的积分运算，包括下面两种情况：
1 根据变量的速度公式（对微分运算而言是微分公式，
对积分运算而言是原函数）求变量的变化量（即积分值）或者
变化公式（即积分公式）；
2 根据变量的速度数据（即变量的速度公式是未知的，
根据其速度的测定数据进行运算）求变量的变化量或者变化公
式。
对于前一种情况，我们可以从微分公式逆向推导出积分公
式（以下称之为逆向推导法）；对于后一种情况，我们可以先
求出变量的速度公式，然后按前一种情况进行运算。另外我们
还可以根据微分运算的增量递减法导出一种割距递减法。这种
方法虽然计算工作量较大一些，但在计算机已经普及的今天来
说，只要不是无穷大，就不能算是很大的问题。下面我们就分
别介绍该两种方法。
4-1 逆向推导法
对于微积分运算来说，前者是指根据变量的变化量求变化
速度的问题，后者是指根据变量的变化速度求变化量的问题。
这也就是说，积分运算中的原函数就是微分运算中的微分公式，
积分运算中的积分公式就是微分运算中的原函数。因此，对于
积分运算来说，如果原函数的函数公式是已知的，则我们可以
根据微分运算中微分公式与原函数的关系，从积分运算的原函
数推导出积分公式。因为这种推导，实际上也就是根据微分公
式逆向推导出微分运算的原函数的问题。所以，我们将其称之
为逆向推导法。
该方法适合于原函数的幂通式为已知时使用，如果是未知
的，应先求出其幂通式。
在上一章的介绍中，我们已经知道，在微分运算中，如果
原函数
n
f(x)
=ax
，
则其微分公式（导函数）
f
(x)
= anx
。
n-1
该两式的关系式为
f(x)
f
(x)
= ax
anx。
nn-1
根据上述关系式，微分运算中的原函数等于微分公式增加
1次幂，再除以它的指数。为与积分运算相适应，现在，我们
令微分公式
n
f
(x)
= ax
，
于是我们有
ax
n
1
。
f(x)
=
n
1
这就是微分公式
f
(x)
= ax时的原函数；也就是积分运算中，
原函数
f(x)
=ax
n
时的积分公式。因此，当原函数
n
f(x)
=ax
时，
ax
n
1
f(x)
=
，
n
1
n
（式4-2-1-1）
这就是幂函数的积分公式。式中系数a为任意实数，指数n为
任意正整数。
下面，我们计算几个例题。
例题4-2-1-1：求
32
f(x)
=4x
－3x－2x+5
的积分公式？
解：
该例题是一个高次多项式，我们必须逐项求出它的积分公
2024年3月11日发(作者：谏水风)
第四章 幂函数的积分运算
本章所指的积分运算，包括下面两种情况：
1 根据变量的速度公式（对微分运算而言是微分公式，
对积分运算而言是原函数）求变量的变化量（即积分值）或者
变化公式（即积分公式）；
2 根据变量的速度数据（即变量的速度公式是未知的，
根据其速度的测定数据进行运算）求变量的变化量或者变化公
式。
对于前一种情况，我们可以从微分公式逆向推导出积分公
式（以下称之为逆向推导法）；对于后一种情况，我们可以先
求出变量的速度公式，然后按前一种情况进行运算。另外我们
还可以根据微分运算的增量递减法导出一种割距递减法。这种
方法虽然计算工作量较大一些，但在计算机已经普及的今天来
说，只要不是无穷大，就不能算是很大的问题。下面我们就分
别介绍该两种方法。
4-1 逆向推导法
对于微积分运算来说，前者是指根据变量的变化量求变化
速度的问题，后者是指根据变量的变化速度求变化量的问题。
这也就是说，积分运算中的原函数就是微分运算中的微分公式，
积分运算中的积分公式就是微分运算中的原函数。因此，对于
积分运算来说，如果原函数的函数公式是已知的，则我们可以
根据微分运算中微分公式与原函数的关系，从积分运算的原函
数推导出积分公式。因为这种推导，实际上也就是根据微分公
式逆向推导出微分运算的原函数的问题。所以，我们将其称之
为逆向推导法。
该方法适合于原函数的幂通式为已知时使用，如果是未知
的，应先求出其幂通式。
在上一章的介绍中，我们已经知道，在微分运算中，如果
原函数
n
f(x)
=ax
，
则其微分公式（导函数）
f
(x)
= anx
。
n-1
该两式的关系式为
f(x)
f
(x)
= ax
anx。
nn-1
根据上述关系式，微分运算中的原函数等于微分公式增加
1次幂，再除以它的指数。为与积分运算相适应，现在，我们
令微分公式
n
f
(x)
= ax
，
于是我们有
ax
n
1
。
f(x)
=
n
1
这就是微分公式
f
(x)
= ax时的原函数；也就是积分运算中，
原函数
f(x)
=ax
n
时的积分公式。因此，当原函数
n
f(x)
=ax
时，
ax
n
1
f(x)
=
，
n
1
n
（式4-2-1-1）
这就是幂函数的积分公式。式中系数a为任意实数，指数n为
任意正整数。
下面，我们计算几个例题。
例题4-2-1-1：求
32
f(x)
=4x
－3x－2x+5
的积分公式？
解：
该例题是一个高次多项式，我们必须逐项求出它的积分公