2024年3月12日发(作者：颛孙香柳)

§11.4 位移变分方程--最小势能原理

学习要点:

本节讨论最小势能原理。首先根据虚功原理推导应变能的一阶变分表达式，然后根据

任意几何可能位移场与真实位移场的总势能的关系，得到真实位移场的总势能取最小值的

结论。

最小势能原理用数学方程描述：总势能的一阶变分为零，而且二阶变分大于零。

最小势能原理等价于以位移表示的平衡微分方程和以位移表示的面力边界条件，所以，

对于一些按实际情况简化后的弹性力学问题， 可以通过最小势能原理推导出其对应的平衡

微分方程和面力边界条件。本节通过例题对此作了说明。

推导中设应变能密度函数是应变分量的函数，因此最小势能原理是位移解法在变分原

理中的应用。

进入本节内容学习之前，应该首先学习有关泛函和变分的基础知识。

学习思路：

1. 总势能；

2. 总势能的变分；

3. 最小势能原理；

4. 最小势能原理推导弯曲问题的平衡微分方程和面力边界条件；

5. 最小势能原理推导扭转问题的平衡微分方程和面力边界条件。

下面根据虚功方程推导仅应用于弹性体的最小势能原理。

设应变能密度函数是应变分量的函数，则应变能密度函数的一阶变分为

上式推导中，应用了格林公式，将上式代入虚功方程，则

上式表示外力虚功等于弹性体应变能的一阶变分。定义外力势能为

注意到虚位移与真实的应力无关，因此在虚位移过程中外力保持不变，即变分与外力

无关。而且积分和变分两种运算次序可以交换的，所以外力势能的一阶变分可以写作

2024年3月12日发(作者：颛孙香柳)

§11.4 位移变分方程--最小势能原理

学习要点:

本节讨论最小势能原理。首先根据虚功原理推导应变能的一阶变分表达式，然后根据

任意几何可能位移场与真实位移场的总势能的关系，得到真实位移场的总势能取最小值的

结论。

最小势能原理用数学方程描述：总势能的一阶变分为零，而且二阶变分大于零。

最小势能原理等价于以位移表示的平衡微分方程和以位移表示的面力边界条件，所以，

对于一些按实际情况简化后的弹性力学问题， 可以通过最小势能原理推导出其对应的平衡

微分方程和面力边界条件。本节通过例题对此作了说明。

推导中设应变能密度函数是应变分量的函数，因此最小势能原理是位移解法在变分原

理中的应用。

进入本节内容学习之前，应该首先学习有关泛函和变分的基础知识。

学习思路：

1. 总势能；

2. 总势能的变分；

3. 最小势能原理；

4. 最小势能原理推导弯曲问题的平衡微分方程和面力边界条件；

5. 最小势能原理推导扭转问题的平衡微分方程和面力边界条件。

下面根据虚功方程推导仅应用于弹性体的最小势能原理。

设应变能密度函数是应变分量的函数，则应变能密度函数的一阶变分为

上式推导中，应用了格林公式，将上式代入虚功方程，则

上式表示外力虚功等于弹性体应变能的一阶变分。定义外力势能为

注意到虚位移与真实的应力无关，因此在虚位移过程中外力保持不变，即变分与外力

无关。而且积分和变分两种运算次序可以交换的，所以外力势能的一阶变分可以写作