2024年3月13日发(作者：绪白卉)

第2课时 均值不等式的应用

学习目标 1.熟练掌握均值不等式及变形的应用．2.会用均值不等式解决简单的最大(小)值

问题．3.能够运用均值不等式解决生活中的应用问题．

知识点一 均值不等式及变形

均值不等式的常见变形，试用不等号连接，并说明等号成立的条件．

a＋b

当a>0，b>0时，有≤ab≤≤

112

＋

ab

2

a

2

＋b

2

；

2

当且仅当a＝b时，以上三个等号同时成立．

知识点二 用均值不等式求最值

x＋y

用均值不等式≥xy求最值应注意：

2

(1)x，y是否是正数；

(2)求积xy的最大值时，应看和x＋y是否为定值；求和x＋y的最小值时，应看积xy是否为

定值；

(3)等号成立的条件是否满足．

1

1．y＝x＋的最小值为2．( × )

x

2．因为x

2

＋1≥2x，当且仅当x＝1时取等号．所以当x＝1时，(x

2

＋1)

min

＝2．( × )

3．由于sin

2

x＋

4

≥2

sin

2

x

44

sin

2

x·

2

＝4，所以sin

2

x＋

2

的最小值为4．( × )

sinxsinx

2

21111

x

3

＋



min

＝22．( × ) 4．当x>0时，x

3

＋＝x

3

＋＋≥2x

2

＋＝2x＋≥22，∴



x



xxxxx

一、利用均值不等式求最值

命题角度1 求一元解析式的最值

4

例1 (1)若x>0，求函数y＝x＋的最小值，并求此时x的值；

x

4

(2)已知x>2，求x＋的最小值；

x－2

3

(3)设0

2

4

解 (1)当x>0时，x＋≥2

x

4

x·＝4，

x

4

当且仅当x＝，即x

2

＝4，x＝2时，取等号．

x

4

∴函数y＝x＋(x>0)在x＝2处取得最小值4．

x

(2)∵x>2，∴x－2>0，

44

∴x＋＝x－2＋＋2≥2

x－2x－2

4

x－2·＋2＝6，

x－2

4

当且仅当x－2＝，即x＝4时，等号成立．

x－2

4

∴x＋的最小值为6．

x－2

3

(3)∵00，

2

∴y＝4x(3－2x)＝2[2x(3－2x)]≤2



2x＋3－2x



2

9

2



＝

2

．

3

当且仅当2x＝3－2x，即x＝时，等号成立．

4

3

3

0，



， ∵∈



4



2



3

9

0



的最大值为． ∴函数y＝4x(3－2x)



2



2

反思感悟 在利用均值不等式求最值时要注意三点：一是各项均为正；二是寻求定值，求和

式最小值时应使积为定值，求积式最大值时应使和为定值(恰当变形，合理拆分项或配凑因式

是常用的解题技巧)；三是考虑等号成立的条件是否具备．

2

跟踪训练1 函数y＝2x＋(x＜0)的最大值为________．

x

答案 －4

解析 ∵x＜0，∴－x＞0，

2

－



≥2∴(－2x)＋





x



2

即y＝2x＋≤－4

x



－

2



＝4， －2x·



x





当且仅当－2x＝－

2

，即x＝－1时等号成立



．

x



2024年3月13日发(作者：绪白卉)

第2课时 均值不等式的应用

学习目标 1.熟练掌握均值不等式及变形的应用．2.会用均值不等式解决简单的最大(小)值

问题．3.能够运用均值不等式解决生活中的应用问题．

知识点一 均值不等式及变形

均值不等式的常见变形，试用不等号连接，并说明等号成立的条件．

a＋b

当a>0，b>0时，有≤ab≤≤

112

＋

ab

2

a

2

＋b

2

；

2

当且仅当a＝b时，以上三个等号同时成立．

知识点二 用均值不等式求最值

x＋y

用均值不等式≥xy求最值应注意：

2

(1)x，y是否是正数；

(2)求积xy的最大值时，应看和x＋y是否为定值；求和x＋y的最小值时，应看积xy是否为

定值；

(3)等号成立的条件是否满足．

1

1．y＝x＋的最小值为2．( × )

x

2．因为x

2

＋1≥2x，当且仅当x＝1时取等号．所以当x＝1时，(x

2

＋1)

min

＝2．( × )

3．由于sin

2

x＋

4

≥2

sin

2

x

44

sin

2

x·

2

＝4，所以sin

2

x＋

2

的最小值为4．( × )

sinxsinx

2

21111

x

3

＋



min

＝22．( × ) 4．当x>0时，x

3

＋＝x

3

＋＋≥2x

2

＋＝2x＋≥22，∴



x



xxxxx

一、利用均值不等式求最值

命题角度1 求一元解析式的最值

4

例1 (1)若x>0，求函数y＝x＋的最小值，并求此时x的值；

x

4

(2)已知x>2，求x＋的最小值；

x－2

3

(3)设0

2

4

解 (1)当x>0时，x＋≥2

x

4

x·＝4，

x

4

当且仅当x＝，即x

2

＝4，x＝2时，取等号．

x

4

∴函数y＝x＋(x>0)在x＝2处取得最小值4．

x

(2)∵x>2，∴x－2>0，

44

∴x＋＝x－2＋＋2≥2

x－2x－2

4

x－2·＋2＝6，

x－2

4

当且仅当x－2＝，即x＝4时，等号成立．

x－2

4

∴x＋的最小值为6．

x－2

3

(3)∵00，

2

∴y＝4x(3－2x)＝2[2x(3－2x)]≤2



2x＋3－2x



2

9

2



＝

2

．

3

当且仅当2x＝3－2x，即x＝时，等号成立．

4

3

3

0，



， ∵∈



4



2



3

9

0



的最大值为． ∴函数y＝4x(3－2x)



2



2

反思感悟 在利用均值不等式求最值时要注意三点：一是各项均为正；二是寻求定值，求和

式最小值时应使积为定值，求积式最大值时应使和为定值(恰当变形，合理拆分项或配凑因式

是常用的解题技巧)；三是考虑等号成立的条件是否具备．

2

跟踪训练1 函数y＝2x＋(x＜0)的最大值为________．

x

答案 －4

解析 ∵x＜0，∴－x＞0，

2

－



≥2∴(－2x)＋





x



2

即y＝2x＋≤－4

x



－

2



＝4， －2x·



x





当且仅当－2x＝－

2

，即x＝－1时等号成立



．

x

