2024年3月15日发(作者：析山蝶)
考点28 与三角函数有关的应用题
【知识框图】
【自主热身，归纳总结】
1、(2018苏州期末）如图，两座建筑物AB，CD的高度分别是9
m
和15
m
，从建筑物AB的顶部A看建筑
物CD的张角∠CAD＝45°，则这两座建筑物AB和CD的底部之间的距离BD＝________
m
.
2.（2016苏州期中）如图1，为测量山高
MN
，选择
A
和另一座山的山顶
C
为测量观测点．从
A
点测得
M
点的仰角∠
MAN
＝60°，
C
点的仰角∠
CAB
＝45°以及∠
MAC
＝75°；从
C
点测得∠
MCA
＝60°.已知山高
BC
＝
100 m，则山高
MN
＝________m.
3.（2017南通学情调研）如图2，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形
AOB
，
C
是该小区的一个
出入口，且小区里有一条平行于
AO
的小路
CD
.已知某人从
O
沿
OD
走到
D
用了2分钟，从
D
沿着
DC
走到
C
用了3分钟.若此人步行的速度为每分钟50米，则该扇形的半径为________米.
4、(2019南京、盐城二模）某公园内有一块以O为圆心、半径为20米的圆形区域．为丰富市民的业余
文化生活，现提出如下设计方案：如图，在圆形区域内搭建露天舞台，舞台为扇形OAB区域，其中两个端
点A，B分别在圆周上；观众席为梯形ABQP内且在圆O外的区域，其中AP＝AB＝BQ，∠PAB＝∠QBA＝120°，
且AB，PQ在点O的同侧，为保证视听效果，要求观众席内每一个观众到舞台O处的距离都不超过60米．设
∠OAB＝α，α∈
0，
.问：对于任意α，上述设计方案是否均能符合要求？
3
π
【问题探究，变式训练】
题型一 设计中的最值问题
知识点拨：设计中的问题往往是确定点的位置或者长度的问题，遇到这种问题就是转化为数学问题，是
否成立，关键要注意定义域，所求的值是否在定义域内，或者是否合理。
︵
例1、(2019泰州期末）如图，三个小区分别位于扇形OAB的三个顶点上，点Q是弧AB的中点．现欲在线
段OQ上找一处开挖工作坑P(不与点O，Q重合)，为小区铺设三条地下电缆管线PO，PA，PB.已知OA＝2千
米，∠AOB＝.记∠APQ＝θ
rad
，地下电缆管线的总长度为y千米．
3
(1) 将y表示为θ的函数，并写出θ的范围；
(2) 请确定工作坑P的位置，使地下电缆管线的总长度最小．
π
2024年3月15日发(作者：析山蝶)
考点28 与三角函数有关的应用题
【知识框图】
【自主热身，归纳总结】
1、(2018苏州期末）如图，两座建筑物AB，CD的高度分别是9
m
和15
m
，从建筑物AB的顶部A看建筑
物CD的张角∠CAD＝45°，则这两座建筑物AB和CD的底部之间的距离BD＝________
m
.
2.（2016苏州期中）如图1，为测量山高
MN
，选择
A
和另一座山的山顶
C
为测量观测点．从
A
点测得
M
点的仰角∠
MAN
＝60°，
C
点的仰角∠
CAB
＝45°以及∠
MAC
＝75°；从
C
点测得∠
MCA
＝60°.已知山高
BC
＝
100 m，则山高
MN
＝________m.
3.（2017南通学情调研）如图2，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形
AOB
，
C
是该小区的一个
出入口，且小区里有一条平行于
AO
的小路
CD
.已知某人从
O
沿
OD
走到
D
用了2分钟，从
D
沿着
DC
走到
C
用了3分钟.若此人步行的速度为每分钟50米，则该扇形的半径为________米.
4、(2019南京、盐城二模）某公园内有一块以O为圆心、半径为20米的圆形区域．为丰富市民的业余
文化生活，现提出如下设计方案：如图，在圆形区域内搭建露天舞台，舞台为扇形OAB区域，其中两个端
点A，B分别在圆周上；观众席为梯形ABQP内且在圆O外的区域，其中AP＝AB＝BQ，∠PAB＝∠QBA＝120°，
且AB，PQ在点O的同侧，为保证视听效果，要求观众席内每一个观众到舞台O处的距离都不超过60米．设
∠OAB＝α，α∈
0，
.问：对于任意α，上述设计方案是否均能符合要求？
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π
【问题探究，变式训练】
题型一 设计中的最值问题
知识点拨：设计中的问题往往是确定点的位置或者长度的问题，遇到这种问题就是转化为数学问题，是
否成立，关键要注意定义域，所求的值是否在定义域内，或者是否合理。
︵
例1、(2019泰州期末）如图，三个小区分别位于扇形OAB的三个顶点上，点Q是弧AB的中点．现欲在线
段OQ上找一处开挖工作坑P(不与点O，Q重合)，为小区铺设三条地下电缆管线PO，PA，PB.已知OA＝2千
米，∠AOB＝.记∠APQ＝θ
rad
，地下电缆管线的总长度为y千米．
3
(1) 将y表示为θ的函数，并写出θ的范围；
(2) 请确定工作坑P的位置，使地下电缆管线的总长度最小．
π