2024年3月19日发(作者：祖成)
角平分线的一种向量形式及其应用
角平分线是指在一个角的两侧划分成两个相等的角的线段。从向量的角度讲，角平分
线可以表示为两个向量之和的一半。在本文中，我们将介绍角平分线的向量形式，并探讨
其在几何问题中的应用。
假设有两个向量${overrightarrow{OA}}$和${overrightarrow{OB}}$，它们分别是
一个角的两条边。角平分线AD将这个角分成两个相等的角，AD与边OA的夹角为$alpha$，
与边OB的夹角为$beta$。
由三角函数可知，$tanalpha =frac{d_{AD}}{h}$,$tanbeta =frac{d_{AD}}{h}$，
其中$d_{AD}$表示角平分线到角顶点的距离，$h$表示从角顶点到角平分线的垂线的长度。
因为$alpha=beta$，所以有$d_{AD}=htanalpha=htanbeta$。
又因为${overrightarrow{OA}}$与${overrightarrow{OB}}$在平面内共线，所以我
们可以将${overrightarrow{OA}}$表示成${overrightarrow{OB}}$的倍数，即
${overrightarrow{OA}}=k{overrightarrow{OB}}$，其中$k$表示
${overrightarrow{OA}}$在${overrightarrow{OB}}$上的投影比。同理，
${overrightarrow{OB}}=m{overrightarrow{OA}}$。由于向量在平面内的几何意义，我
们知道$k$和$m$必定是相等的。
我们可以将${overrightarrow{OA}}$和${overrightarrow{OB}}$表示成其单位向量
的形式，即${overrightarrow{OA}}=vec{a}$,$overrightarrow{OB}=vec{b}$。根据
向量的加法和数乘性质，我们有：
通过上述式子，我们可以得到角平分线AD的向量形式：
${overrightarrow{AD}}=frac{vec{a}+vec{b}}{2}$
应用
角平分线在许多几何问题中都有重要的应用，例如：
1. 求相交角的角平分线
如果我们知道一个角的两条边的向量，那么可以通过求出角平分线的向量来确定相交
角的角平分线。如下图所示，角$angle AOB$的角平分线为$OD$。
2. 求三角形的内心
内心是以每条边的角平分线为边所构成的三角形的心，它到每个角的距离相等。因此，
我们可以通过求出三角形的任意两条边的角平分线来确定内心的位置。如下图所示，三角
形ABC的内心为I。
对于平面上的任意三条不共线直线，它们的角平分线三两相交于一点，称之为角平分
线的交点。我们可以通过求出两条角平分线的向量，然后求解它们的交点的坐标来确定角
平分线的交点。如下图所示，角ABC和角ACD的角平分线分别为BE和CF，它们的交点为
O。
总结
通过计算向量的和与差，我们可以求出一个角的角平分线的向量形式，并利用它来解
决许多几何问题。角平分线的应用十分广泛，并在许多数学问题中都有重要的地位。
2024年3月19日发(作者：祖成)
角平分线的一种向量形式及其应用
角平分线是指在一个角的两侧划分成两个相等的角的线段。从向量的角度讲，角平分
线可以表示为两个向量之和的一半。在本文中，我们将介绍角平分线的向量形式，并探讨
其在几何问题中的应用。
假设有两个向量${overrightarrow{OA}}$和${overrightarrow{OB}}$，它们分别是
一个角的两条边。角平分线AD将这个角分成两个相等的角，AD与边OA的夹角为$alpha$，
与边OB的夹角为$beta$。
由三角函数可知，$tanalpha =frac{d_{AD}}{h}$,$tanbeta =frac{d_{AD}}{h}$，
其中$d_{AD}$表示角平分线到角顶点的距离，$h$表示从角顶点到角平分线的垂线的长度。
因为$alpha=beta$，所以有$d_{AD}=htanalpha=htanbeta$。
又因为${overrightarrow{OA}}$与${overrightarrow{OB}}$在平面内共线，所以我
们可以将${overrightarrow{OA}}$表示成${overrightarrow{OB}}$的倍数，即
${overrightarrow{OA}}=k{overrightarrow{OB}}$，其中$k$表示
${overrightarrow{OA}}$在${overrightarrow{OB}}$上的投影比。同理，
${overrightarrow{OB}}=m{overrightarrow{OA}}$。由于向量在平面内的几何意义，我
们知道$k$和$m$必定是相等的。
我们可以将${overrightarrow{OA}}$和${overrightarrow{OB}}$表示成其单位向量
的形式，即${overrightarrow{OA}}=vec{a}$,$overrightarrow{OB}=vec{b}$。根据
向量的加法和数乘性质，我们有：
通过上述式子，我们可以得到角平分线AD的向量形式：
${overrightarrow{AD}}=frac{vec{a}+vec{b}}{2}$
应用
角平分线在许多几何问题中都有重要的应用，例如：
1. 求相交角的角平分线
如果我们知道一个角的两条边的向量，那么可以通过求出角平分线的向量来确定相交
角的角平分线。如下图所示，角$angle AOB$的角平分线为$OD$。
2. 求三角形的内心
内心是以每条边的角平分线为边所构成的三角形的心，它到每个角的距离相等。因此，
我们可以通过求出三角形的任意两条边的角平分线来确定内心的位置。如下图所示，三角
形ABC的内心为I。
对于平面上的任意三条不共线直线，它们的角平分线三两相交于一点，称之为角平分
线的交点。我们可以通过求出两条角平分线的向量，然后求解它们的交点的坐标来确定角
平分线的交点。如下图所示，角ABC和角ACD的角平分线分别为BE和CF，它们的交点为
O。
总结
通过计算向量的和与差，我们可以求出一个角的角平分线的向量形式，并利用它来解
决许多几何问题。角平分线的应用十分广泛，并在许多数学问题中都有重要的地位。