2024年3月22日发(作者：么冷霜)

当

当

x

y



p



1



p

2

1



p

2

或消参数P，得通解

解 利用微分法，得

1

2

(

c

2

cxx

2

)

2

解 利用微分法得

1．求解下列微分方程



2y



p

2



4px



2x

2



p



x



c



解 利用微分法得 (2

x



p

)(

dp

10时，得

pxc

dx

dp

p0时，得

pxc

dx

dy



3）

yxp1p

2



p





cx



1）

2yp

2

4px2x

2

(p

dy



2）

ypxlnx(xp)

2

；



p





dx



当 2xp0时，则消去P，得特解

yx

2

从而可得原方程以p为参数的参数形式通解：

从而可得原方程的以P为参数的参数形式通解



y



pxln



(xp)

2

或消p得通解

yClnxC

2



px



c



3

2

2

0

dp

1)0

dx



dp

(

lnx

2

xp

)



x





dx

1

当lnx2xp0时，消去p得特解

y(lnx)

2

4



1

P

2





P

1

P

2

xc

dx

两边积分得

x

习 题 4—1



dy

)

dx



p



0



1．

x

5

2

2）

x

2



3(

y2sin

tc

2

dy

2

)



1

dx

解：令xcscu，

或消去P得通解

由此可推出

dx



消去参数t，得通解



dy



1）2

y

2

5



4



dx



因此方程的通解为

x

y

2

(XC)

2

C

2

2

(xC)

5

1

2

cost

5



dy



y2和y2是方程的两个解。

用参数法求解下列微分方程

dy

1



cot

u

dx

3

3

分

部

部

受

在

新

作

全

发

我

感

的

其

食

餐

泛

入

持

息

重

做

计

着

联

方

理

和

，

在

我

上

校

觉

全

发

堂

难

收

学

要

一

划

生

合

面

念

后

结

学

院

报

学

。

方

展

方

问

集

生

，

个

联

活

兄

。

勤

合

生

一

学

生

位

为

面

题

础

创

为

很

合

部

弟

方

生

会

工

直

校

有

检

生

沟

，

造

了

好

部

无

部

生

面

活

作

以

相

关

针

查

活

通

部

我

一

做

宣

分

微

门

。

部

的

。

部

来

关

密

计

部

个

好

传

兄

不

举

活

（

总

的

的

的

部

安

对

争

在

联

划

计

良

我

和

弟

至

办

部

本

之

特

又

优

门

全

社

取

。

系

联

划

好

院

推

部

的

各

作

版

，

点

一

良

和

方

会

形

促

生

合

举

的

学

广

门

服

类

为

块

希

和

个

形

老

面

上

专

进

活

兄

办

学

生

。

开

务

活

一

的

望

优

重

的

以

同

，

弟

“

习

寝

展

的

动

个

具

经

势

点

象

师

信

，

上

兄

与

院

政

生

室

一

时

的

幕

体

过

，

工

。

，

并

息

将

要

就

弟

同

校

管

活

的

些

候

时

后

活

我

积

作

及

是

一

是

院

学

的

寝

工

卫

寝

由

，

候

部

动

们

极

，

与

我

一

本

系

的

相

室

作

生

室

生

却

的

门

内

一

协

我

（

公

们

开

年

交

日

关

风

环

工

作

活

不

时

，

容

年

作

部

2

经

共

生

展

度

流

常

部

采

境

作

为

部

一

候

一

主

的

其

还

过

管

活

实

内

与

生

门

大

，

，

同

主

定

也

直

要

努

他

比

新

理

部

施

生

和

活

以

赛

促

搞

学

办

能

大

以

依

力

兄

间

赛

一

学

取

还

活

作

密

及

”

进

好

们

生

的

想

多

来

都

据

学

能

的

时

届

院

得

需

部

，

切

我

。

全

寝

活

活

到

是

是

院

够

好

交

间

体

取

巨

要

工

加

相

院

院

室

动

做

在

新

流

：

育

得

大

学

作

强

关

的

学

安

居

，

这

不

默

和

棋

一

和

2

0

部

巨

发

院

的

同

。

相

生

全

住

在

些

为

默

牌

届

各

x

x

全

大

展

相

大

兄

使

关

生

的

教

的

丰

工

同

比

体

班

年

体

发

的

关

致

弟

同

部

活

全

育

重

富

作

学

由此得原方程以P为参数形式的通解：

对于方程除了上述通解，还有y2，

yx(p1p

2

，

1p

2

p

2

1p

2

xc.

11



t

2

u

又令

tan

t

则

x



2

sinu2t

5

tc

，

y2sint

2





dy





y

2



dx



2

dy2



1

令

y2sint



cost

解 将方程化为

4

dx

2

5

5

515

d(2sint)



dt

从而得

2cost

2

dy

0，显然

dx

2024年3月22日发(作者：么冷霜)

当

当

x

y



p



1



p

2

1



p

2

或消参数P，得通解

解 利用微分法，得

1

2

(

c

2

cxx

2

)

2

解 利用微分法得

1．求解下列微分方程



2y



p

2



4px



2x

2



p



x



c



解 利用微分法得 (2

x



p

)(

dp

10时，得

pxc

dx

dp

p0时，得

pxc

dx

dy



3）

yxp1p

2



p





cx



1）

2yp

2

4px2x

2

(p

dy



2）

ypxlnx(xp)

2

；



p





dx



当 2xp0时，则消去P，得特解

yx

2

从而可得原方程以p为参数的参数形式通解：

从而可得原方程的以P为参数的参数形式通解



y



pxln



(xp)

2

或消p得通解

yClnxC

2



px



c



3

2

2

0

dp

1)0

dx



dp

(

lnx

2

xp

)



x





dx

1

当lnx2xp0时，消去p得特解

y(lnx)

2

4



1

P

2





P

1

P

2

xc

dx

两边积分得

x

习 题 4—1



dy

)

dx



p



0



1．

x

5

2

2）

x

2



3(

y2sin

tc

2

dy

2

)



1

dx

解：令xcscu，

或消去P得通解

由此可推出

dx



消去参数t，得通解



dy



1）2

y

2

5



4



dx



因此方程的通解为

x

y

2

(XC)

2

C

2

2

(xC)

5

1

2

cost

5



dy



y2和y2是方程的两个解。

用参数法求解下列微分方程

dy

1



cot

u

dx

3

3

分

部

部

受

在

新

作

全

发

我

感

的

其

食

餐

泛

入

持

息

重

做

计

着

联

方

理

和

，

在

我

上

校

觉

全

发

堂

难

收

学

要

一

划

生

合

面

念

后

结

学

院

报

学

。

方

展

方

问

集

生

，

个

联

活

兄

。

勤

合

生

一

学

生

位

为

面

题

础

创

为

很

合

部

弟

方

生

会

工

直

校

有

检

生

沟

，

造

了

好

部

无

部

生

面

活

作

以

相

关

针

查

活

通

部

我

一

做

宣

分

微

门

。

部

的

。

部

来

关

密

计

部

个

好

传

兄

不

举

活

（

总

的

的

的

部

安

对

争

在

联

划

计

良

我

和

弟

至

办

部

本

之

特

又

优

门

全

社

取

。

系

联

划

好

院

推

部

的

各

作

版

，

点

一

良

和

方

会

形

促

生

合

举

的

学

广

门

服

类

为

块

希

和

个

形

老

面

上

专

进

活

兄

办

学

生

。

开

务

活

一

的

望

优

重

的

以

同

，

弟

“

习

寝

展

的

动

个

具

经

势

点

象

师

信

，

上

兄

与

院

政

生

室

一

时

的

幕

体

过

，

工

。

，

并

息

将

要

就

弟

同

校

管

活

的

些

候

时

后

活

我

积

作

及

是

一

是

院

学

的

寝

工

卫

寝

由

，

候

部

动

们

极

，

与

我

一

本

系

的

相

室

作

生

室

生

却

的

门

内

一

协

我

（

公

们

开

年

交

日

关

风

环

工

作

活

不

时

，

容

年

作

部

2

经

共

生

展

度

流

常

部

采

境

作

为

部

一

候

一

主

的

其

还

过

管

活

实

内

与

生

门

大

，

，

同

主

定

也

直

要

努

他

比

新

理

部

施

生

和

活

以

赛

促

搞

学

办

能

大

以

依

力

兄

间

赛

一

学

取

还

活

作

密

及

”

进

好

们

生

的

想

多

来

都

据

学

能

的

时

届

院

得

需

部

，

切

我

。

全

寝

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到

是

是

院

够

好

交

间

体

取

巨

要

工

加

相

院

院

室

动

做

在

新

流

：

育

得

大

学

作

强

关

的

学

安

居

，

这

不

默

和

棋

一

和

2

0

部

巨

发

院

的

同

。

相

生

全

住

在

些

为

默

牌

届

各

x

x

全

大

展

相

大

兄

使

关

生

的

教

的

丰

工

同

比

体

班

年

体

发

的

关

致

弟

同

部

活

全

育

重

富

作

学

由此得原方程以P为参数形式的通解：

对于方程除了上述通解，还有y2，

yx(p1p

2

，

1p

2

p

2

1p

2

xc.

11



t

2

u

又令

tan

t

则

x



2

sinu2t

5

tc

，

y2sint

2





dy





y

2



dx



2

dy2



1

令

y2sint



cost

解 将方程化为

4

dx

2

5

5

515

d(2sint)



dt

从而得

2cost

2

dy

0，显然

dx