2024年3月23日发(作者：萨媛)

2023星光杯初赛（2023年1月）（模拟）

暨GMC第二届冬季网络数学竞赛试题

答题时间：60小时，满分：200分，共10题

题1（20分）

给定正整数

N

，设

a

1

，

a

2

，



，

a

n

是小于

N

的互不相同的正整数，记这

n

个

3

数的最小公倍数为

M

，最大公约数为

m

，已知

M m

，求证：

n



4N

.

2

题2（20分）

设

x

，

y

，

z

为正实数，求证：

xyx

2

y

2

xyyzy

2

z

2

yzxzx

2

z

2

xz





x

2

y

2

xyy

2

z

2

yzx

2

z

2

xz



并指出等号成立的条件.

题3（20分）

p

2

设素数

p3

，求证：

C

2

p



2 mod p



.

题4（20分）

b



，求

给定正实数

0ab

，设

x

1

，

x

2

，

x

3

，

x

4





a

，

2

22

x

3

x

1

2

x

2

x

4



x

2

x

3

x

4

x

1

x

1



x

2



x

3



x

4

的最小值与最大值.

—1—

题5（20分）

b

平面上有

2022

个向量分别为

a

1

，

a

2

，

a

3

，



，

a

2022

，若

ab0

，则称

a ，

组成一个无序“好向量对”，这

2022

个向量最多能组成多少个“好向量对”？



题6（20分）

如图所示，在

ABC

中，

M

是

BC

的中点，点

P

在

BAC

平分线上，直线

MP

与

APB

，

ACP

的外接圆分别交于不同于点

P

的两点

D

，

E

，

BHMP

于

H

求证：

DE2MH

.

题7（20分）

n

求所有正整数

n

，使存在唯一正整数

an !

，且

n

!

a

1

.

—2—

2024年3月23日发(作者：萨媛)

2023星光杯初赛（2023年1月）（模拟）

暨GMC第二届冬季网络数学竞赛试题

答题时间：60小时，满分：200分，共10题

题1（20分）

给定正整数

N

，设

a

1

，

a

2

，



，

a

n

是小于

N

的互不相同的正整数，记这

n

个

3

数的最小公倍数为

M

，最大公约数为

m

，已知

M m

，求证：

n



4N

.

2

题2（20分）

设

x

，

y

，

z

为正实数，求证：

xyx

2

y

2

xyyzy

2

z

2

yzxzx

2

z

2

xz





x

2

y

2

xyy

2

z

2

yzx

2

z

2

xz



并指出等号成立的条件.

题3（20分）

p

2

设素数

p3

，求证：

C

2

p



2 mod p



.

题4（20分）

b



，求

给定正实数

0ab

，设

x

1

，

x

2

，

x

3

，

x

4





a

，

2

22

x

3

x

1

2

x

2

x

4



x

2

x

3

x

4

x

1

x

1



x

2



x

3



x

4

的最小值与最大值.

—1—

题5（20分）

b

平面上有

2022

个向量分别为

a

1

，

a

2

，

a

3

，



，

a

2022

，若

ab0

，则称

a ，

组成一个无序“好向量对”，这

2022

个向量最多能组成多少个“好向量对”？



题6（20分）

如图所示，在

ABC

中，

M

是

BC

的中点，点

P

在

BAC

平分线上，直线

MP

与

APB

，

ACP

的外接圆分别交于不同于点

P

的两点

D

，

E

，

BHMP

于

H

求证：

DE2MH

.

题7（20分）

n

求所有正整数

n

，使存在唯一正整数

an !

，且

n

!

a

1

.

—2—