2024年5月30日发(作者：乘壤)

2019年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）

数学（理工类）

本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题），第I卷1至2页，第II卷3至4页，共4页，满分150

分，考试时间120分钟，考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿上答题无效，考试结束

后，将本试题卷和答题卡一并交回。

第I卷（选择题 共50分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题

目要求的。

1.设集合

A{x|2x2}

，Z为整数集，则

A

（A）3（B）4（C）5（D）6

2.设i为虚数单位，则

(xi)

的展开式中含x

4

的项为（ ）

（A）－15x

4

（B）15x

4

（C）－20i x

4

（D）20i x

4

3.为了得到函数

ysin(2x)

的图象，只需把函数

ysin2x

的图象上所有的点（ ）

6

Z

中元素的个数是（ ）

π

3

ππ

个单位长度（

B

）向右平行移动个单位长度

33

ππ

（

C

）向左平行移动个单位长度（

D

）向右平行移动个单位长度

66

（

A

）向左平行移动

4.用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为（ ）

（A）24（B）48（C）60（D）72

5.某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入.若该公司2019年全年投入研发资金130万元，在此基础

上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（ ）

（参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg2≈0.30）

（ A）2018年（B）2019年（C）2020年（D）2021年

6.秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式

求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的

一个实例，若输入n，x的值分别为3，2，则输出v的值为（ ）

（A）9 （B）18 （C）20 （D）35



yx1,



7.设p：实数x，y满足(x–1)

2

+(y–1)

2

≤2，q：实数x，y满足



y1x,

则p是q的（ ）



y1,



（A）必要不充分条件（B）充分不必要条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件

8.设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线

y2px(p0)

上任意一点，M是线段PF上的点，且

2

PM

=2

MF

,则直线OM的斜率的最大值为（ ）

（A）

32

2

（B）（C）（D）1

32

3

9.设直线l

1

，l

2

分别是函数f(x)=





lnx,0x1,

图象上点P

1

，P

2

处的切线，l

1

与l

2

垂直相交于点P，且l

1

，



lnx,x1,

l

2

分别与y轴相交于点A，B，则△PAB的面积的取值范围是（ ）

（A）(0,1) （B）(0,2) （C）(0,+∞) （D）(1,+∞)

10.在平面内，定点A，B，C，D满足

DA

=

DB

=

DC

,

DADB

=

DB

DC

=

DC

DA

=-2，动点P，M

满足

AP

=1，

PM

=

MC

，则

BM

的最大值是（ ）

2

（A）

376337233

49

43

（B）（C）（D）

44

4

4

第II卷（非选择题 100分）

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。

2

ππ

–sin

2

= .

88

12.同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这次试验成功，则在2次试验中成

功次数X的均值是 .

13.已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形，该三棱锥的正视图如图所示，则该三棱锥的体积

是 。

1

3

3

正视图

14.已知函数（fx）是定义在R上的周期为2的奇函数，当0＜x＜1时，（fx）=

4

x

，则（f）+ f（1）= 。

15．在平面直角坐标系中，当P(x，y)不是原点时，定义P的“伴随点”为

P(

'

yx

,)

；

2222

xyxy

当P是原点时，定义P的“伴随点“为它自身，平面曲线C上所有点的“伴随点”所构成的曲线

C

'

定义为

曲线C的“伴随曲线”.现有下列命题：

①若点A的“伴随点”是点

A

，则点

A

的“伴随点”是点A

②单位圆的“伴随曲线”是它自身；

③若曲线C关于x轴对称，则其“伴随曲线”

C

'

关于y轴对称；

④一条直线的“伴随曲线”是一条直线.

其中的真命题是_____________（写出所有真命题的序列）.

三、解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

16.（本小题满分12分）

我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，

拟确定一个合理的月用水量标准

x

（吨）、一位居民的月用水量不超过

x

的部分按平价收费，超出

x

的部分

按议价收费.为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将

''

数据按照[0,0.5)，[0.5,1)，…，[4,4.5)分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图.

频率

组距

0.52

0.40

a

0.16

0.12

0.08

0.04

0

0.51

1.5

22.53

3.5

4

4.5

月均用水量（吨）

（I）求直方图中a的值；

（II）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，并说明理由；

（III）若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准

x

（吨），估计

x

的值，并说明理由.

17.（本小题满分12分）

在△ABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且

（I）证明：

sinAsinBsinC

；

（II）若

bca

222

cosAcosBsinC



.

abc

6

bc

，求

tanB

.

5

18.（本小题满分12分）

如图，在四棱锥P-ABCD中，AD∥BC，



ADC=



PAB=90°，BC=CD=

面直线PA与CD所成的角为90°.

P

1

AD.E为棱AD的中点，异

2

B

C

A

E

D

（I）在平面PAB内找一点M，使得直线CM∥平面PBE，并说明理由；

(II)若二面角P-CD-A的大小为45°，求直线PA与平面PCE所成角的正弦值.

19.（本小题满分12分）

已知数列{

a

n

}的首项为1，

S

n

为数列{

a

n

}的前n项和，

S

n1

qS

n

1

，其中q>0，

nN

*

.

（I）若

2a

2

,a

3

,a

2

2

成等差数列，求{

a

n

}的通项公式；

4

n

3

n

y

2

5

(ii)设双曲线

x

2

1

的离心率为

e

n

，且

e

2



，证明：

e

1

e

2

e

n



n1

3

3

a

n

.

2

20.（本小题满分13分）

已知椭圆E：

与椭圆

E

有且只有一个公共点

T

.

（I）求椭圆E的方程及点T的坐标；

（II）设O是坐标原点，直线l’平行于OT,与椭圆E交于不同的两点A、B，且与直线l交于点P.证明：存

在常数λ，使得∣PT∣

2

=λ∣PA∣·∣PB∣，并求λ的值.

21.（本小题满分14分）

设函数f(x)=ax

2

-a-lnx，其中a ∈R.

（I）讨论f(x)的单调性；

（II）确定a的所有可能取值，使得

f(x)

数)。

的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的3个顶点，直线l:

y

=-

x

+3

1

1x

e

在区间（1，+∞）内恒成立(e=2.718…为自然对数的底

x

2019年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）

数学（理工类）试题参考答案

一、选择题

1．C 2．A 3．D 4．D 5．B

6．B 7．A 8．C 9．A 10．B

二、填空题

11．

23

3

12． 13． 14．–2 15．②③

23

2

三、解答题

16．（本小题满分12分）

（Ⅰ）由频率分布直方图知，月均用水量在[0,0.5)中的频率为0.08×0.5=0.04，

同理，在[0.5,1)，[1.5,2)，[2,2.5)，[3,3.5)，[3.5,4)，[4,4.5)中的频率分别为0.08，0.20，0.26，0.06，0.04，

0.02．

由0.04+0.08+0.5×a+0.20+0.26+0.5×a+0.06+0.04+0.02=1，

解得a=0.30．

（Ⅱ）由（Ⅰ），100位居民每人月均用水量不低于3吨的频率为0.06+0.04+0.02=0.12．

由以上样本的频率分布，可以估计全市30万居民中月均用水量不低于3吨的人数为

300 000×0.12=36 000．

（Ⅲ）因为前6组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.20+0.26+0.15=0.88>0.85，

而前5组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.20+0.26=0.73<0.85，

所以2.5≤x<3．

由0.3×(x–2.5)=0.85–0.73，

解得x=2.9．

所以，估计月用水量标准为2.9吨时，85%的居民每月的用水量不超过标准．

17．（本小题满分12分）

（Ⅰ）根据正弦定理，可设

abc

===k(k>0)．

sinAsinBsinC

则a=ksin A，b=ksin B，c=ksin C．

代入

cosAcosBsinC

+=中，有

abc

2024年5月30日发(作者：乘壤)

2019年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）

数学（理工类）

本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题），第I卷1至2页，第II卷3至4页，共4页，满分150

分，考试时间120分钟，考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿上答题无效，考试结束

后，将本试题卷和答题卡一并交回。

第I卷（选择题 共50分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题

目要求的。

1.设集合

A{x|2x2}

，Z为整数集，则

A

（A）3（B）4（C）5（D）6

2.设i为虚数单位，则

(xi)

的展开式中含x

4

的项为（ ）

（A）－15x

4

（B）15x

4

（C）－20i x

4

（D）20i x

4

3.为了得到函数

ysin(2x)

的图象，只需把函数

ysin2x

的图象上所有的点（ ）

6

Z

中元素的个数是（ ）

π

3

ππ

个单位长度（

B

）向右平行移动个单位长度

33

ππ

（

C

）向左平行移动个单位长度（

D

）向右平行移动个单位长度

66

（

A

）向左平行移动

4.用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为（ ）

（A）24（B）48（C）60（D）72

5.某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入.若该公司2019年全年投入研发资金130万元，在此基础

上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（ ）

（参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg2≈0.30）

（ A）2018年（B）2019年（C）2020年（D）2021年

6.秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式

求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的

一个实例，若输入n，x的值分别为3，2，则输出v的值为（ ）

（A）9 （B）18 （C）20 （D）35



yx1,



7.设p：实数x，y满足(x–1)

2

+(y–1)

2

≤2，q：实数x，y满足



y1x,

则p是q的（ ）



y1,



（A）必要不充分条件（B）充分不必要条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件

8.设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线

y2px(p0)

上任意一点，M是线段PF上的点，且

2

PM

=2

MF

,则直线OM的斜率的最大值为（ ）

（A）

32

2

（B）（C）（D）1

32

3

9.设直线l

1

，l

2

分别是函数f(x)=





lnx,0x1,

图象上点P

1

，P

2

处的切线，l

1

与l

2

垂直相交于点P，且l

1

，



lnx,x1,

l

2

分别与y轴相交于点A，B，则△PAB的面积的取值范围是（ ）

（A）(0,1) （B）(0,2) （C）(0,+∞) （D）(1,+∞)

10.在平面内，定点A，B，C，D满足

DA

=

DB

=

DC

,

DADB

=

DB

DC

=

DC

DA

=-2，动点P，M

满足

AP

=1，

PM

=

MC

，则

BM

的最大值是（ ）

2

（A）

376337233

49

43

（B）（C）（D）

44

4

4

第II卷（非选择题 100分）

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。

2

ππ

–sin

2

= .

88

12.同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这次试验成功，则在2次试验中成

功次数X的均值是 .

13.已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形，该三棱锥的正视图如图所示，则该三棱锥的体积

是 。

1

3

3

正视图

14.已知函数（fx）是定义在R上的周期为2的奇函数，当0＜x＜1时，（fx）=

4

x

，则（f）+ f（1）= 。

15．在平面直角坐标系中，当P(x，y)不是原点时，定义P的“伴随点”为

P(

'

yx

,)

；

2222

xyxy

当P是原点时，定义P的“伴随点“为它自身，平面曲线C上所有点的“伴随点”所构成的曲线

C

'

定义为

曲线C的“伴随曲线”.现有下列命题：

①若点A的“伴随点”是点

A

，则点

A

的“伴随点”是点A

②单位圆的“伴随曲线”是它自身；

③若曲线C关于x轴对称，则其“伴随曲线”

C

'

关于y轴对称；

④一条直线的“伴随曲线”是一条直线.

其中的真命题是_____________（写出所有真命题的序列）.

三、解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

16.（本小题满分12分）

我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，

拟确定一个合理的月用水量标准

x

（吨）、一位居民的月用水量不超过

x

的部分按平价收费，超出

x

的部分

按议价收费.为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将

''

数据按照[0,0.5)，[0.5,1)，…，[4,4.5)分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图.

频率

组距

0.52

0.40

a

0.16

0.12

0.08

0.04

0

0.51

1.5

22.53

3.5

4

4.5

月均用水量（吨）

（I）求直方图中a的值；

（II）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，并说明理由；

（III）若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准

x

（吨），估计

x

的值，并说明理由.

17.（本小题满分12分）

在△ABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且

（I）证明：

sinAsinBsinC

；

（II）若

bca

222

cosAcosBsinC



.

abc

6

bc

，求

tanB

.

5

18.（本小题满分12分）

如图，在四棱锥P-ABCD中，AD∥BC，



ADC=



PAB=90°，BC=CD=

面直线PA与CD所成的角为90°.

P

1

AD.E为棱AD的中点，异

2

B

C

A

E

D

（I）在平面PAB内找一点M，使得直线CM∥平面PBE，并说明理由；

(II)若二面角P-CD-A的大小为45°，求直线PA与平面PCE所成角的正弦值.

19.（本小题满分12分）

已知数列{

a

n

}的首项为1，

S

n

为数列{

a

n

}的前n项和，

S

n1

qS

n

1

，其中q>0，

nN

*

.

（I）若

2a

2

,a

3

,a

2

2

成等差数列，求{

a

n

}的通项公式；

4

n

3

n

y

2

5

(ii)设双曲线

x

2

1

的离心率为

e

n

，且

e

2



，证明：

e

1

e

2

e

n



n1

3

3

a

n

.

2

20.（本小题满分13分）

已知椭圆E：

与椭圆

E

有且只有一个公共点

T

.

（I）求椭圆E的方程及点T的坐标；

（II）设O是坐标原点，直线l’平行于OT,与椭圆E交于不同的两点A、B，且与直线l交于点P.证明：存

在常数λ，使得∣PT∣

2

=λ∣PA∣·∣PB∣，并求λ的值.

21.（本小题满分14分）

设函数f(x)=ax

2

-a-lnx，其中a ∈R.

（I）讨论f(x)的单调性；

（II）确定a的所有可能取值，使得

f(x)

数)。

的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的3个顶点，直线l:

y

=-

x

+3

1

1x

e

在区间（1，+∞）内恒成立(e=2.718…为自然对数的底

x

2019年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）

数学（理工类）试题参考答案

一、选择题

1．C 2．A 3．D 4．D 5．B

6．B 7．A 8．C 9．A 10．B

二、填空题

11．

23

3

12． 13． 14．–2 15．②③

23

2

三、解答题

16．（本小题满分12分）

（Ⅰ）由频率分布直方图知，月均用水量在[0,0.5)中的频率为0.08×0.5=0.04，

同理，在[0.5,1)，[1.5,2)，[2,2.5)，[3,3.5)，[3.5,4)，[4,4.5)中的频率分别为0.08，0.20，0.26，0.06，0.04，

0.02．

由0.04+0.08+0.5×a+0.20+0.26+0.5×a+0.06+0.04+0.02=1，

解得a=0.30．

（Ⅱ）由（Ⅰ），100位居民每人月均用水量不低于3吨的频率为0.06+0.04+0.02=0.12．

由以上样本的频率分布，可以估计全市30万居民中月均用水量不低于3吨的人数为

300 000×0.12=36 000．

（Ⅲ）因为前6组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.20+0.26+0.15=0.88>0.85，

而前5组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.20+0.26=0.73<0.85，

所以2.5≤x<3．

由0.3×(x–2.5)=0.85–0.73，

解得x=2.9．

所以，估计月用水量标准为2.9吨时，85%的居民每月的用水量不超过标准．

17．（本小题满分12分）

（Ⅰ）根据正弦定理，可设

abc

===k(k>0)．

sinAsinBsinC

则a=ksin A，b=ksin B，c=ksin C．

代入

cosAcosBsinC

+=中，有

abc