2024年6月13日发(作者：殷凡灵)
个人收集整理资料， 仅供交流学习， 勿作商业用途
第20讲：空间直线、平面平行位置关系的证明方法
【考纲要求】
1、 理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解如下可以作
为推理依据的公理和定理。
◆公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上
所有的点在此平面内。
◆公理2：过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。
◆公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只
有一条过该点的公共直线。
理解以下性质定理，并能够证明。
◆如果一条直线与一个平面平行，那么经过该直线的任一个平面与
此平面的交线和该直线平行。<记为线面平行，则线线平行）
b5E2RGbCAP
◆如果两个平面平行，则其中一个平面内的任意一条直线都和另
外一个平面平行。<记为面面平行，则线面平行）
◆如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线相
互平行。
1 / 20
个人收集整理资料， 仅供交流学习， 勿作商业用途
◆垂直于同一个平面的两条直线平行。
3、能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系
的简单命题。
4、空间向量的应用
① 理解直线的方向向量与平面的法向量.
② 能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行
关系.
【基础知识】
一、空间直线、平面平行位置关系的判定和证明
空间直线、平面平行位置关系的判定和证明一般有两种方法。
方法一<几何法）：线线平行线面平行面面平行，它体现
的主要是一个转化的思想。p1EanqFDPw
位置关系 定义 判定定理
如果不在一个
平面内的一条
直线和平面内
的一条直线平
行，那么这条
直线和这个平
面平行。<记
为：线线平
行，则线面平
行）
①如果一个平
面内有两条相
交直线平行于
另一个平面，
那么这两个平
性质定理
如果一条直线
和一个平面平
行，经过这条
直线的平面和
这个平面相
交，那么这条
直线就和两平
面的交线平
行。<记为：线
面平行，则线
线平行）
①如果两个平
面平行，那么
其中一个平面
内的任何一条
直线平行于另
直线和平面平
行
直线和平面没
有公共点。
平面和平面平
行
如果两个平面
没有公共点，
则这两个平面
互相平行
2 / 20
个人收集整理资料， 仅供交流学习， 勿作商业用途
面平行。<记
为：线面平
行，则面面平
行）
②如果一个平
面内有两条相
交直线分别平
行于另一个平
面内的两条直
线，则这两个
平面平行。
一个平面。<记
为：面面平
行，则线面平
行）
②如果两个平
面同时与第三
个平面相交，
那么它们的交
线平行。
③平行于同一
个平面的两个
平面平行。
④两条直线被
三个平行平面
所截，截得的
对应线段成比
例。
⑤夹在两个平
行平面间的两
条平行线段相
等。
方法二<向量法）：它体现的是数学的转化的思想和向量的工具
性。
其中向量是直线
DXDiTa9E3d
向量是平面的法向量，且
的方向向量，且
RTCrpUDGiT
3 / 20
个人收集整理资料， 仅供交流学习， 勿作商业用途
例1 如图所示，四边形ABCD是平行四边形，点S是平面ABCD外
一点，M是SC的中点，在DM上取一点G，过G和AS作平面交平面
BDM于GH，求证：AS∥GH.5PCzVD7HxA
证明：连结AC交BD于O，连结MO.
因为四边形ABCD是平行四边形，
所以O为AC的中点.
又M为SC的中点，
所以OM∥SA，所以SA∥平面BMD.
又平面SAHG∩平面BMD=GH，所以AS∥GH.
例2 如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形PA⊥平面
ABCD，AP=AB，BP=BC=2，E，F分别是PB,PC的中点.jLBHrnAILg
(Ⅰ>证明：EF∥平面PAD；
(Ⅱ>求三棱锥E—ABC的体积V.
解： (Ⅰ>在△PBC中，E，F分别是PB，PC的中点，∴EF∥BC.
4 / 20
个人收集整理资料， 仅供交流学习， 勿作商业用途
又BC∥AD,∴EF∥AD,
又∵AD平面PAD,EF平面PAD,
∴EF∥平面PAD.
(Ⅱ>连接AE,AC,EC,过E作EG∥PA交AB于点G,
则BG⊥平面ABCD,且EG=PA.
在△PAB中，AD=AB,PAB°,BP=2,∴AP=AB=
×2=
×
,
=.
,EG=.
∴S△ABC=AB·BC=×
∴VE-ABC=S△ABC·EG=×
【变式演练2】 在长方体ABCD－A1B1C1D1中，DA＝DC＝2，
DD1＝错误!，E是C1D1的中点，F是CE的中点．xHAQX74J0X
(1>求证：EA∥平面BDF；
(2>求证：平面BDF⊥平面BCE；
(3>求二面角D－EB－C的正切值．
例3 如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，O为底面
ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，问：当点Q在
什么位置时，平面D1BQ∥平面PAO？LDAYtRyKfE
解：当Q为CC1的中点时，平面D1BQ∥平面PAO.
∵Q为CC1的中点，P为DD1的中点，∴QB∥PA.
∵P、O为DD1、DB的中点，∴D1B∥PO.
又PO∩PA=P，D1B∩QB=B，D1B∥平面PAO，QB∥平面PAO，
5 / 20
个人收集整理资料， 仅供交流学习， 勿作商业用途
∴平面D1BQ∥平面PAO.
求证：<1）BF∥HD1；<2）EG∥平面BB1D1D；<3）平面BDF∥
平面B1D1H.
例4 如图，平面
三角形，
．
平面 分别为 ， ，， 是以为斜边的等腰直角 ，的中点， 的中点，证明：平面 ，使 ； 平面 ，并求点 内存在一点 到，的距离． 证明： 别以OB、OC、OP所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标 系O 则 ，Zzz6ZB2Ltk z ，由题意得，因 ，因此平面BOE的法向量为 ， 在平面内，因此有 得 平面 ，又直线 不 x y 6 / 20 个人收集整理资料， 仅供交流学习， 勿作商业用途 平面BOE，所以有 ，则 ，因此有 中， ，因为 ，即点M的坐标为 的内部区域满足不等式，在平面直角坐标系 组，经检验，点M的坐标满足上述不等式组，所以在 ，使平面，由点M的坐标得点到，内存在一点 的距离为．dvzfvkwMI1 【变式演练4 】如图是一个直三棱柱<以A1B1C1为底面）被一平面 所截得到的几何体，截面为ABC．已知A1B1＝B1C1＝l，∠AlBlC1＝ 90°，AAl＝4，BBl＝2，CCl＝3。rqyn14ZNXI <Ⅲ）求此几何体的体积； EmxvxOtOco 【高考精选传真】 1.【2018高考真题四川理6】下列命题正确的是< ） A、若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行 B、若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面 平行 7 / 20 个人收集整理资料， 仅供交流学习， 勿作商业用途 C、若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交 线平行 D、若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行 【解读】A.两直线可能平行，相交，异面故A不正确；B.两平面平 行或相交；C.正确；D.这两个平面平行或相交.SixE2yXPq5 2、<2018高考真题辽宁理18）. 如图，直三棱柱，， ，点分别为和的中 点 <1）证明：； <2）若二面角为直二面角，求的 值 【解读】<1）连结，由已知 三棱柱为直三棱柱， 所以为中点.又因为为中点 所以，又平面 平面，因此……6分 <2）以为坐标原点，分别以直线为轴，轴，轴建立 直角坐标系，如图所示 设则， 8 / 20 个人收集整理资料， 仅供交流学习， 勿作商业用途 因为为直二面角，所以 ……12分 ，解得 中，3．<2018年高考真题江苏理16）如图，在直三棱柱 ， 为 分别是棱 的中点． 平面 ． ； 上的点<点不同于点），且 求证：<1）平面 <2）直线平面 <2）∵，为的中点，∴ 9 / 20 。 个人收集整理资料， 仅供交流学习， 勿作商业用途 又∵ 又∵ 平面 平面 ，且 ， 平面，∴ ，∴ ∥。 平面 。 平面。 由<1）知， 又∵平面 平面，∴ 平面，∴直线 【反馈训练】 1．关于线、面的四个命题中不正确的是( > A．平行于同一平面的两个平面一定平行 B．平行于同一直线的两条直线一定平行 C．垂直于同一直线的两条直线一定平行 D．垂直于同一平面的两条直线一定平行 2．设a，b为两条直线，α，β为两个平面，下列四个命题 中，正确的命题是( > A．若a，b与α所成的角相等，则α∥b B．若a∥α，b∥β，α∥β，则a∥b C．若a⊂α，b⊂β，α∥b，则α∥β D．若a⊥α，b⊥β，α⊥β，是a⊥b 3．设α、β是两个平面，l、m是两条直线，下列命题中，可 以判断α∥β的是( > A．l⊂α，m⊂α，且l∥β，m∥β B．l⊂α，m⊂β，且m∥α C．l∥α，m∥β且l∥m D．l⊥α，m⊥β，且l∥m 4． a、b、c为三条不重合的直线，α、β、γ为三个不重合平 面，现给出六个命题 ①错误!⇒a∥b②错误!⇒a∥b③错误!⇒α∥β6ewMyirQFL 10 / 20 个人收集整理资料， 仅供交流学习， 勿作商业用途 ④错误!⇒α∥β⑤错误!⇒α∥a⑥错误!⇒α∥akavU42VRUs 其中正确的命题是( > A．①②③ B．①④⑤C．①④ D．①③④ 5．已知m、n是两条不重合的直线，α、β是两个不重合的平 面，下列命题中正确的是( > A．若m∥α，n∥β，α∥β，则m∥n B．若m∥n，n⊂α，m⊄α，则m∥α C．若α⊥β，m⊥α，则m∥β D．若m⊥α，n⊂β，m⊥n，则α⊥β 6．已知m、n为直线，α、β为平面，给出下列命题： ①错误!⇒n∥α②错误!⇒m∥ny6v3ALoS89 ③错误!⇒α∥β④错误!⇒m∥nM2ub6vSTnP 其中正确的命题序号是< ） A．③④ B．②③C．①② D．①②③④ 8．棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是棱AA1的中 点，过C、M、D1作 正方体的截面，则截面的面积是________． 9．如图所示，四棱锥P－ABCD的底面是一直角梯形， AB∥CD，BA⊥AD，CD＝2AB， 11 / 20 个人收集整理资料， 仅供交流学习， 勿作商业用途 PA⊥底面ABCD，E为PC中点，则BE与平面PAD的位置关系为 ________． 13．如图，在四棱锥P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB＝AD， ∠BAD＝60°，E，F分别是AP，AD的中点．求证：0YujCfmUCw (1>直线EF∥平面PCD； (2>平面BEF⊥平面PAD. 14．在四棱锥P－ABCD中，侧面PCD⊥底面ABCD， PD⊥CD，E为PC中点，底面ABCD是直角梯形， AB∥CD，∠ADC＝90°，AB＝AD＝PD＝1，CD＝2． (Ⅰ>求证：BE∥平面PAD； 12 / 20 个人收集整理资料， 仅供交流学习， 勿作商业用途 (Ⅱ>求证：BC⊥ λ － 平面PBD； (Ⅲ>设Q为侧棱PC上一点， 二面角Q－BD ，试确定λ的值，使得 P为45°． eUts8ZQVRd 【变式演练详细解读】 【变式演练1详细解读】 已知：，，求证： ∴ ∴∴ sQsAEJkW5T GMsIasNXkA TIrRGchYzg 证：过作面交面于∵ 同理，过作 又 ∵ ∴∵∴ ∴ ∵ 又面过交于7EqZcWLZNX lzq7IGf02E 【变式演练2详细解读】 解：(1>证明：连接AC交BD于O点，连接OF，可得OF是 △ACE的中位线，OF∥AE. 又AE⊄平面BDF，OF⊂平面BDF， 所以EA∥平面BDF. 13 / 20 个人收集整理资料， 仅供交流学习， 勿作商业用途 (2>证明：计算可得DE＝2，又DC＝2，F为CE的中点， 所以DF⊥CE， 又BC⊥平面CDD1C1， 所以DF⊥BC， 又BC∩CE＝C， 所以DF⊥平面BCE， 而DF⊂平面BDF，所以平面BDF⊥平面BCE. (3>由(2>知DF⊥平面BCE， 过F作FG⊥BE于G点，连接DG， 则DG在平面BCE中的射影为FG，从而DG⊥BE， 所以∠DGF即为二面角D－EB－C的平面角， 设其大小为θ，计算得DF＝错误!，FG＝错误!， tanθ＝错误!＝错误!， 故二面角D－EB－C的正切值为错误!. ∴四边形OEGD1是平行四边形，∴GE∥D1O. BB1D1D，∴EG∥平面J1hk 又D1O平面 <3）由<1）知D1H∥BF，又BD∥B1D1，B1D1、HD1平面HB1D1， BF、BD平面BDF，且B1D1∩HD1=D1，NrpoJac3v1 DB∩BF=B，∴平面BDF∥平面B1D1H. 【变式演练4详细解读】 解：<1）如图，以为原点建立空间直角坐标系， 14 / 20 个人收集整理资料， 仅供交流学习， 勿作商业用途 则， ，1nowfTG4KI ． ，，因为是的中点，所以 则 所以二面角 <3）因为 ，结合图形可知所求二面角为锐角． 的大小是 ，所以 ． ． 所求几何体体积为 ． ．fjnFLDa5Zo 【反馈训练详细解读】 15 / 20 个人收集整理资料， 仅供交流学习， 勿作商业用途 1．C【解读】：垂直于同一条直线的两条直线不一定平行，可 能相交或异面． 2. D【解读】对于选项A，要注意直线a，b的方向相同时 才 平行；对于选项B，可用长方体验证．如图，设A1B1 为a，平面AC为α，BC为b，平面A1C1为β，显然有 a∥α，b∥β，α∥β，但得不到a∥b；对于选项C，可设 A1B1为a，平面AB1为α，CD为b，平面AC为β，满足选 项C的条件却得不到α∥β，故C不正确；对于选项D，可 验证是正确的． tfnNhnE6e5 3. D【解读】条件A中，增加上l与m相交才能判断出 α∥β，A错．由条件B、C都有可能α与β相交，排除B 和C.而垂直于同一直线的两个平面平行，D成 立．HbmVN777sL 4. C【解读】：①④正确，②错在a、b可能相交或异 面．③错在α与β可能相交．⑤⑥错在a可能在α内． 7. A【解读】：将展开图还原为四棱锥，可知BE与CF相交，BE与 AF异面，EF和平面PBC平行．又易知该几何体不一定为正四棱 锥．所以，正确的结论为②和③.V7l4jRB8Hs 16 / 20 个人收集整理资料， 仅供交流学习， 勿作商业用途 8.错误!【解读】：由面面平行的性质知截面与平面AB1的 交线MN是△AA1B的中位线，所以截面是梯形CD1MN，易求 其面积为错误!.83lcPA59W9 9.平行【解读】答案：平行 10. 错误!【解读】：因为直线EF∥平面AB1C，EF⊂平面ABCD，且 平面AB1C∩平面ABCD＝AC，所以EF∥AC，又因为在E是DA的中 点，所以F是DC的中点，由中位线定理可得：EF＝错误!AC，又因 为在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，所以AC＝2错误!，所以EF ＝错误!.mZkklkzaaP 11. ①②④【解读】连接MN交AE于点P，则MP∥DE， NP∥AB， ∵AB∥CD，∴NP∥CD. 对于①，由题意可得平面MNP∥平面DEC， ∴MN∥平面DEC，故①正确； 对于②，∵AE⊥MP，AE⊥NP，MP∩NP＝P， ∴AE⊥平面MNP.∴AE⊥MN，故②正确； 对于③，∵NP∥AB， ∴不论D折至何位置(不在平面ABC内>都不可能有MN∥AB，故 ③不正确； 对于④，由题意知EC⊥AE，故在折起的过程中，当EC⊥DE时， EC⊥平面ADE， ∴EC⊥AD，故④正确． 17 / 20 个人收集整理资料， 仅供交流学习， 勿作商业用途 12. 【解读】：(1>证明：连接AC交BD于O点，连接OF，可得 OF是△ACE的中位线，OF∥AE.又AE⊄平面BDF，OF⊂平面BDF，所 以EA∥平面43bpw (2>证明：计算可得DE＝2，又DC＝2，F为CE的中点， 所以DF⊥CE，又BC⊥平面CDD1C1， 所以DF⊥BC， 又BC∩CE＝ C， 所以DF⊥平面BCE，而DF⊂平面BDF，所以平面BDF⊥平面BCE. (3>由(2>知DF⊥平面BCE， 过F作FG⊥BE于G点，连接DG， 则DG在平面BCE中的射影为FG，从而DG⊥BE，所以∠DGF即为二 面角D－EB－C的平面角，设其大小为θ，计算得DF＝错误!，FG＝ 错误!，tanθ＝错误!＝错误!，ORjBnOwcEd 故二面角D－EB－C的正切值为错误!. 18 / 20 个人收集整理资料， 仅供交流学习， 勿作商业用途 则A(1，0，0>，B(1，1，0>，C(0，2，0>， P(0，0，1>． (1，1，0>， 所以 (－1，1，0>， ＝0，BC⊥DB， 又由PD⊥平面ABCD，可得 PD⊥BC ， 所以BC⊥平面PBD． ＝(－1，1，0>， λ，λ∈(0，1> (Ⅲ>平面PBD的法向量为 (0，2，-1>， 所以Q(0，2λ，1－λ>， 设平面QBD的法向量为n＝(a，b，c>， (1，1，0>，(0，2λ，1－λ>， 0，n·0，得 由n· 19 / 20 个人收集整理资料， 仅供交流学习， 勿作商业用途 2MiJTy0d TT 申明： 所有资料为本人收集整理，仅限个人学习使用，勿做商业用 途。 申明： 所有资料为本人收集整理，仅限个人学习使用，勿做商业用 途。 20 / 20 2024年6月13日发(作者：殷凡灵) 个人收集整理资料， 仅供交流学习， 勿作商业用途 第20讲：空间直线、平面平行位置关系的证明方法 【考纲要求】 1、 理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解如下可以作 为推理依据的公理和定理。 ◆公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上 所有的点在此平面内。 ◆公理2：过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。 ◆公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只 有一条过该点的公共直线。 理解以下性质定理，并能够证明。 ◆如果一条直线与一个平面平行，那么经过该直线的任一个平面与 此平面的交线和该直线平行。<记为线面平行，则线线平行） b5E2RGbCAP ◆如果两个平面平行，则其中一个平面内的任意一条直线都和另 外一个平面平行。<记为面面平行，则线面平行） ◆如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线相 互平行。 1 / 20 个人收集整理资料， 仅供交流学习， 勿作商业用途 ◆垂直于同一个平面的两条直线平行。 3、能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系 的简单命题。 4、空间向量的应用 ① 理解直线的方向向量与平面的法向量. ② 能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行 关系. 【基础知识】 一、空间直线、平面平行位置关系的判定和证明 空间直线、平面平行位置关系的判定和证明一般有两种方法。 方法一<几何法）：线线平行线面平行面面平行，它体现 的主要是一个转化的思想。p1EanqFDPw 位置关系 定义 判定定理 如果不在一个 平面内的一条 直线和平面内 的一条直线平 行，那么这条 直线和这个平 面平行。<记 为：线线平 行，则线面平 行） ①如果一个平 面内有两条相 交直线平行于 另一个平面， 那么这两个平 性质定理 如果一条直线 和一个平面平 行，经过这条 直线的平面和 这个平面相 交，那么这条 直线就和两平 面的交线平 行。<记为：线 面平行，则线 线平行） ①如果两个平 面平行，那么 其中一个平面 内的任何一条 直线平行于另 直线和平面平 行 直线和平面没 有公共点。 平面和平面平 行 如果两个平面 没有公共点， 则这两个平面 互相平行 2 / 20 个人收集整理资料， 仅供交流学习， 勿作商业用途 面平行。<记 为：线面平 行，则面面平 行） ②如果一个平 面内有两条相 交直线分别平 行于另一个平 面内的两条直 线，则这两个 平面平行。 一个平面。<记 为：面面平 行，则线面平 行） ②如果两个平 面同时与第三 个平面相交， 那么它们的交 线平行。 ③平行于同一 个平面的两个 平面平行。 ④两条直线被 三个平行平面 所截，截得的 对应线段成比 例。 ⑤夹在两个平 行平面间的两 条平行线段相 等。 方法二<向量法）：它体现的是数学的转化的思想和向量的工具 性。 其中向量是直线 DXDiTa9E3d 向量是平面的法向量，且 的方向向量，且 RTCrpUDGiT 3 / 20 个人收集整理资料， 仅供交流学习， 勿作商业用途 例1 如图所示，四边形ABCD是平行四边形，点S是平面ABCD外 一点，M是SC的中点，在DM上取一点G，过G和AS作平面交平面 BDM于GH，求证：AS∥GH.5PCzVD7HxA 证明：连结AC交BD于O，连结MO. 因为四边形ABCD是平行四边形， 所以O为AC的中点. 又M为SC的中点， 所以OM∥SA，所以SA∥平面BMD. 又平面SAHG∩平面BMD=GH，所以AS∥GH. 例2 如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形PA⊥平面 ABCD，AP=AB，BP=BC=2，E，F分别是PB,PC的中点.jLBHrnAILg (Ⅰ>证明：EF∥平面PAD； (Ⅱ>求三棱锥E—ABC的体积V. 解： (Ⅰ>在△PBC中，E，F分别是PB，PC的中点，∴EF∥BC. 4 / 20 个人收集整理资料， 仅供交流学习， 勿作商业用途 又BC∥AD,∴EF∥AD, 又∵AD平面PAD,EF平面PAD, ∴EF∥平面PAD. (Ⅱ>连接AE,AC,EC,过E作EG∥PA交AB于点G, 则BG⊥平面ABCD,且EG=PA. 在△PAB中，AD=AB,PAB°,BP=2,∴AP=AB= ×2= × , =. ,EG=. ∴S△ABC=AB·BC=× ∴VE-ABC=S△ABC·EG=× 【变式演练2】 在长方体ABCD－A1B1C1D1中，DA＝DC＝2， DD1＝错误!，E是C1D1的中点，F是CE的中点．xHAQX74J0X (1>求证：EA∥平面BDF； (2>求证：平面BDF⊥平面BCE； (3>求二面角D－EB－C的正切值． 例3 如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，O为底面 ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，问：当点Q在 什么位置时，平面D1BQ∥平面PAO？LDAYtRyKfE 解：当Q为CC1的中点时，平面D1BQ∥平面PAO. ∵Q为CC1的中点，P为DD1的中点，∴QB∥PA. ∵P、O为DD1、DB的中点，∴D1B∥PO. 又PO∩PA=P，D1B∩QB=B，D1B∥平面PAO，QB∥平面PAO， 5 / 20 个人收集整理资料， 仅供交流学习， 勿作商业用途 ∴平面D1BQ∥平面PAO. 求证：<1）BF∥HD1；<2）EG∥平面BB1D1D；<3）平面BDF∥ 平面B1D1H. 例4 如图，平面 三角形， ． 平面 分别为 ， ，， 是以为斜边的等腰直角 ，的中点， 的中点，证明：平面 ，使 ； 平面 ，并求点 内存在一点 到，的距离． 证明： 别以OB、OC、OP所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标 系O 则 ，Zzz6ZB2Ltk z ，由题意得，因 ，因此平面BOE的法向量为 ， 在平面内，因此有 得 平面 ，又直线 不 x y 6 / 20 个人收集整理资料， 仅供交流学习， 勿作商业用途 平面BOE，所以有 ，则 ，因此有 中， ，因为 ，即点M的坐标为 的内部区域满足不等式，在平面直角坐标系 组，经检验，点M的坐标满足上述不等式组，所以在 ，使平面，由点M的坐标得点到，内存在一点 的距离为．dvzfvkwMI1 【变式演练4 】如图是一个直三棱柱<以A1B1C1为底面）被一平面 所截得到的几何体，截面为ABC．已知A1B1＝B1C1＝l，∠AlBlC1＝ 90°，AAl＝4，BBl＝2，CCl＝3。rqyn14ZNXI <Ⅲ）求此几何体的体积； EmxvxOtOco 【高考精选传真】 1.【2018高考真题四川理6】下列命题正确的是< ） A、若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行 B、若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面 平行 7 / 20 个人收集整理资料， 仅供交流学习， 勿作商业用途 C、若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交 线平行 D、若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行 【解读】A.两直线可能平行，相交，异面故A不正确；B.两平面平 行或相交；C.正确；D.这两个平面平行或相交.SixE2yXPq5 2、<2018高考真题辽宁理18）. 如图，直三棱柱，， ，点分别为和的中 点 <1）证明：； <2）若二面角为直二面角，求的 值 【解读】<1）连结，由已知 三棱柱为直三棱柱， 所以为中点.又因为为中点 所以，又平面 平面，因此……6分 <2）以为坐标原点，分别以直线为轴，轴，轴建立 直角坐标系，如图所示 设则， 8 / 20 个人收集整理资料， 仅供交流学习， 勿作商业用途 因为为直二面角，所以 ……12分 ，解得 中，3．<2018年高考真题江苏理16）如图，在直三棱柱 ， 为 分别是棱 的中点． 平面 ． ； 上的点<点不同于点），且 求证：<1）平面 <2）直线平面 <2）∵，为的中点，∴ 9 / 20 。 个人收集整理资料， 仅供交流学习， 勿作商业用途 又∵ 又∵ 平面 平面 ，且 ， 平面，∴ ，∴ ∥。 平面 。 平面。 由<1）知， 又∵平面 平面，∴ 平面，∴直线 【反馈训练】 1．关于线、面的四个命题中不正确的是( > A．平行于同一平面的两个平面一定平行 B．平行于同一直线的两条直线一定平行 C．垂直于同一直线的两条直线一定平行 D．垂直于同一平面的两条直线一定平行 2．设a，b为两条直线，α，β为两个平面，下列四个命题 中，正确的命题是( > A．若a，b与α所成的角相等，则α∥b B．若a∥α，b∥β，α∥β，则a∥b C．若a⊂α，b⊂β，α∥b，则α∥β D．若a⊥α，b⊥β，α⊥β，是a⊥b 3．设α、β是两个平面，l、m是两条直线，下列命题中，可 以判断α∥β的是( > A．l⊂α，m⊂α，且l∥β，m∥β B．l⊂α，m⊂β，且m∥α C．l∥α，m∥β且l∥m D．l⊥α，m⊥β，且l∥m 4． a、b、c为三条不重合的直线，α、β、γ为三个不重合平 面，现给出六个命题 ①错误!⇒a∥b②错误!⇒a∥b③错误!⇒α∥β6ewMyirQFL 10 / 20 个人收集整理资料， 仅供交流学习， 勿作商业用途 ④错误!⇒α∥β⑤错误!⇒α∥a⑥错误!⇒α∥akavU42VRUs 其中正确的命题是( > A．①②③ B．①④⑤C．①④ D．①③④ 5．已知m、n是两条不重合的直线，α、β是两个不重合的平 面，下列命题中正确的是( > A．若m∥α，n∥β，α∥β，则m∥n B．若m∥n，n⊂α，m⊄α，则m∥α C．若α⊥β，m⊥α，则m∥β D．若m⊥α，n⊂β，m⊥n，则α⊥β 6．已知m、n为直线，α、β为平面，给出下列命题： ①错误!⇒n∥α②错误!⇒m∥ny6v3ALoS89 ③错误!⇒α∥β④错误!⇒m∥nM2ub6vSTnP 其中正确的命题序号是< ） A．③④ B．②③C．①② D．①②③④ 8．棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是棱AA1的中 点，过C、M、D1作 正方体的截面，则截面的面积是________． 9．如图所示，四棱锥P－ABCD的底面是一直角梯形， AB∥CD，BA⊥AD，CD＝2AB， 11 / 20 个人收集整理资料， 仅供交流学习， 勿作商业用途 PA⊥底面ABCD，E为PC中点，则BE与平面PAD的位置关系为 ________． 13．如图，在四棱锥P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB＝AD， ∠BAD＝60°，E，F分别是AP，AD的中点．求证：0YujCfmUCw (1>直线EF∥平面PCD； (2>平面BEF⊥平面PAD. 14．在四棱锥P－ABCD中，侧面PCD⊥底面ABCD， PD⊥CD，E为PC中点，底面ABCD是直角梯形， AB∥CD，∠ADC＝90°，AB＝AD＝PD＝1，CD＝2． (Ⅰ>求证：BE∥平面PAD； 12 / 20 个人收集整理资料， 仅供交流学习， 勿作商业用途 (Ⅱ>求证：BC⊥ λ － 平面PBD； (Ⅲ>设Q为侧棱PC上一点， 二面角Q－BD ，试确定λ的值，使得 P为45°． eUts8ZQVRd 【变式演练详细解读】 【变式演练1详细解读】 已知：，，求证： ∴ ∴∴ sQsAEJkW5T GMsIasNXkA TIrRGchYzg 证：过作面交面于∵ 同理，过作 又 ∵ ∴∵∴ ∴ ∵ 又面过交于7EqZcWLZNX lzq7IGf02E 【变式演练2详细解读】 解：(1>证明：连接AC交BD于O点，连接OF，可得OF是 △ACE的中位线，OF∥AE. 又AE⊄平面BDF，OF⊂平面BDF， 所以EA∥平面BDF. 13 / 20 个人收集整理资料， 仅供交流学习， 勿作商业用途 (2>证明：计算可得DE＝2，又DC＝2，F为CE的中点， 所以DF⊥CE， 又BC⊥平面CDD1C1， 所以DF⊥BC， 又BC∩CE＝C， 所以DF⊥平面BCE， 而DF⊂平面BDF，所以平面BDF⊥平面BCE. (3>由(2>知DF⊥平面BCE， 过F作FG⊥BE于G点，连接DG， 则DG在平面BCE中的射影为FG，从而DG⊥BE， 所以∠DGF即为二面角D－EB－C的平面角， 设其大小为θ，计算得DF＝错误!，FG＝错误!， tanθ＝错误!＝错误!， 故二面角D－EB－C的正切值为错误!. ∴四边形OEGD1是平行四边形，∴GE∥D1O. BB1D1D，∴EG∥平面J1hk 又D1O平面 <3）由<1）知D1H∥BF，又BD∥B1D1，B1D1、HD1平面HB1D1， BF、BD平面BDF，且B1D1∩HD1=D1，NrpoJac3v1 DB∩BF=B，∴平面BDF∥平面B1D1H. 【变式演练4详细解读】 解：<1）如图，以为原点建立空间直角坐标系， 14 / 20 个人收集整理资料， 仅供交流学习， 勿作商业用途 则， ，1nowfTG4KI ． ，，因为是的中点，所以 则 所以二面角 <3）因为 ，结合图形可知所求二面角为锐角． 的大小是 ，所以 ． ． 所求几何体体积为 ． ．fjnFLDa5Zo 【反馈训练详细解读】 15 / 20 个人收集整理资料， 仅供交流学习， 勿作商业用途 1．C【解读】：垂直于同一条直线的两条直线不一定平行，可 能相交或异面． 2. D【解读】对于选项A，要注意直线a，b的方向相同时 才 平行；对于选项B，可用长方体验证．如图，设A1B1 为a，平面AC为α，BC为b，平面A1C1为β，显然有 a∥α，b∥β，α∥β，但得不到a∥b；对于选项C，可设 A1B1为a，平面AB1为α，CD为b，平面AC为β，满足选 项C的条件却得不到α∥β，故C不正确；对于选项D，可 验证是正确的． tfnNhnE6e5 3. D【解读】条件A中，增加上l与m相交才能判断出 α∥β，A错．由条件B、C都有可能α与β相交，排除B 和C.而垂直于同一直线的两个平面平行，D成 立．HbmVN777sL 4. C【解读】：①④正确，②错在a、b可能相交或异 面．③错在α与β可能相交．⑤⑥错在a可能在α内． 7. A【解读】：将展开图还原为四棱锥，可知BE与CF相交，BE与 AF异面，EF和平面PBC平行．又易知该几何体不一定为正四棱 锥．所以，正确的结论为②和③.V7l4jRB8Hs 16 / 20 个人收集整理资料， 仅供交流学习， 勿作商业用途 8.错误!【解读】：由面面平行的性质知截面与平面AB1的 交线MN是△AA1B的中位线，所以截面是梯形CD1MN，易求 其面积为错误!.83lcPA59W9 9.平行【解读】答案：平行 10. 错误!【解读】：因为直线EF∥平面AB1C，EF⊂平面ABCD，且 平面AB1C∩平面ABCD＝AC，所以EF∥AC，又因为在E是DA的中 点，所以F是DC的中点，由中位线定理可得：EF＝错误!AC，又因 为在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，所以AC＝2错误!，所以EF ＝错误!.mZkklkzaaP 11. ①②④【解读】连接MN交AE于点P，则MP∥DE， NP∥AB， ∵AB∥CD，∴NP∥CD. 对于①，由题意可得平面MNP∥平面DEC， ∴MN∥平面DEC，故①正确； 对于②，∵AE⊥MP，AE⊥NP，MP∩NP＝P， ∴AE⊥平面MNP.∴AE⊥MN，故②正确； 对于③，∵NP∥AB， ∴不论D折至何位置(不在平面ABC内>都不可能有MN∥AB，故 ③不正确； 对于④，由题意知EC⊥AE，故在折起的过程中，当EC⊥DE时， EC⊥平面ADE， ∴EC⊥AD，故④正确． 17 / 20 个人收集整理资料， 仅供交流学习， 勿作商业用途 12. 【解读】：(1>证明：连接AC交BD于O点，连接OF，可得 OF是△ACE的中位线，OF∥AE.又AE⊄平面BDF，OF⊂平面BDF，所 以EA∥平面43bpw (2>证明：计算可得DE＝2，又DC＝2，F为CE的中点， 所以DF⊥CE，又BC⊥平面CDD1C1， 所以DF⊥BC， 又BC∩CE＝ C， 所以DF⊥平面BCE，而DF⊂平面BDF，所以平面BDF⊥平面BCE. (3>由(2>知DF⊥平面BCE， 过F作FG⊥BE于G点，连接DG， 则DG在平面BCE中的射影为FG，从而DG⊥BE，所以∠DGF即为二 面角D－EB－C的平面角，设其大小为θ，计算得DF＝错误!，FG＝ 错误!，tanθ＝错误!＝错误!，ORjBnOwcEd 故二面角D－EB－C的正切值为错误!. 18 / 20 个人收集整理资料， 仅供交流学习， 勿作商业用途 则A(1，0，0>，B(1，1，0>，C(0，2，0>， P(0，0，1>． (1，1，0>， 所以 (－1，1，0>， ＝0，BC⊥DB， 又由PD⊥平面ABCD，可得 PD⊥BC ， 所以BC⊥平面PBD． ＝(－1，1，0>， λ，λ∈(0，1> (Ⅲ>平面PBD的法向量为 (0，2，-1>， 所以Q(0，2λ，1－λ>， 设平面QBD的法向量为n＝(a，b，c>， (1，1，0>，(0，2λ，1－λ>， 0，n·0，得 由n· 19 / 20 个人收集整理资料， 仅供交流学习， 勿作商业用途 2MiJTy0d TT 申明： 所有资料为本人收集整理，仅限个人学习使用，勿做商业用 途。 申明： 所有资料为本人收集整理，仅限个人学习使用，勿做商业用 途。 20 / 20