2024年5月27日发(作者：刚水瑶)
一、平面二连杆机器人手臂运动学
平面二连杆机械手臂如图 1所示，连杆1长度h，连杆2长度
丨
2
。建立如图1所示的坐
标系，其中，
（
X
o
，
y
。
）
为基础坐标系，固定在基座上，
（
X^yj
、
（
X
2
,y
2
）
为连体坐标系，
分别固结在连杆1和连杆2上并随它们一起运动。关节角顺时针为负逆时针为正。
y
o
y
2
D
B
2 -
2
2
C
X
1
1
y
1
1
X
o
图1平面双连杆机器人示意图
1、 用简单的平面几何关系建立运动学方程
连杆2末段与中线交点处一点 P在基础坐标系中的位置坐标:
2
）
2
X
p
l
1
cos
1
l
2
cos（
1
y
p
丨
1
sin
1
l
2
Si n（
1
2、 用D-H方法建立运动学方程
假定
Z
o
、
Z
1
、
）
z
2
垂直
sin
co
s
于纸面
向
i
1
1
里。从
（
X
0
,y
°
, Z
0
）
到
（X
i
, y
i
, Z
i
）
的齐次旋转变换矩阵为:
cos
1
0
0 0
0
sin
1
0
0
0
T
（2）
0
0
到
1 0
0 1
从
（
x
「乙）
（
X
2
,
sin
cos
y
2
, Z
2
)
2
2
的齐次旋转变换矩阵为：
1
2
T
cos
2
sin
2
0 l
i
0 0
（3）
1
0 0 0
0 0 0 1
从
（
X
o
，
y
o
, Z
o
）
到
（X
2
,y
2
,Z
2
）
的齐次旋转变换矩阵为:
1
0 0 1
sin
2
0
T
0
1
T
2
1
T
2 1 2
0
co
s
1
1
si
n
cos
0
0
2
)
1
0
co
2
s
si
2
1
0
0
n
1 0 0
0
sin
2
cos
2
0
0
l
1
0 0
1 0
0 1
0
co
s(
sin
(
1
1
0 1
si
1
n(
cos(
1
2
)
0 0
0
l
1
cos
1
2
)
0
l
1
sin
1
2
)
（4）
0
0
0
0
1
0
0
1
那么，连杆 2 末段与中线交点处一点 P 在基础坐标系中的位置矢量为：
建立以上运动学方程后，若已知个连杆的关节角
0
P
2
T P
02
(
cos(
1
sin
1
2
2
) sin(
1
1
) cos(
)
2
)
2
0
0
0
0
2
、
2
，就可以用运动学方程求出机
0 lcos
1
l
2
0 l
1
sin
1
0
1 0 0
0 1 1
1
1
(5)
x
p
y
p
z
p
l
1
cos
1
1
l
1
sin
l
2
cos(
1
l
2
sin(
1
0
1
)
2
1
)
即，
x
p
l
1
cos
1
1
l
2
cos(
1
l
2
sin(
1
2
y
p
l
1
sin
与用简单的平面几何关系建立运动学方程（
械手臂末端位置坐标，这可以用于运动学仿真。
3、平面二连杆机器人手臂逆运动学
)
2
)
6）
1）相同。
建立以上运动学方程后， 若已知个机械臂的末端位置， 可以用运动学方程求出机械手臂 二连杆的关节角
1
、
2
，这叫机械臂的逆运动学。逆运动学可以用于对机械臂关节角和末
端位置的控制。对于本例中平面二连杆机械臂，其逆运动学方程的建立就是已知末端位置
（
X
p
,y
p
）
求相应关节角
1
、
（1）问题
2
的过程。推倒如下。
X
p
l
1
cos
1
l
2
cos（
1
y
p
l
1
sin
1
l
2
sin（
1
2
2
）
）
2
已知末端位置坐标
（
x
p
,y
p
）
，求关节角 「
2）求
1
2
2024年5月27日发(作者：刚水瑶)
一、平面二连杆机器人手臂运动学
平面二连杆机械手臂如图 1所示，连杆1长度h，连杆2长度
丨
2
。建立如图1所示的坐
标系，其中，
（
X
o
，
y
。
）
为基础坐标系，固定在基座上，
（
X^yj
、
（
X
2
,y
2
）
为连体坐标系，
分别固结在连杆1和连杆2上并随它们一起运动。关节角顺时针为负逆时针为正。
y
o
y
2
D
B
2 -
2
2
C
X
1
1
y
1
1
X
o
图1平面双连杆机器人示意图
1、 用简单的平面几何关系建立运动学方程
连杆2末段与中线交点处一点 P在基础坐标系中的位置坐标:
2
）
2
X
p
l
1
cos
1
l
2
cos（
1
y
p
丨
1
sin
1
l
2
Si n（
1
2、 用D-H方法建立运动学方程
假定
Z
o
、
Z
1
、
）
z
2
垂直
sin
co
s
于纸面
向
i
1
1
里。从
（
X
0
,y
°
, Z
0
）
到
（X
i
, y
i
, Z
i
）
的齐次旋转变换矩阵为:
cos
1
0
0 0
0
sin
1
0
0
0
T
（2）
0
0
到
1 0
0 1
从
（
x
「乙）
（
X
2
,
sin
cos
y
2
, Z
2
)
2
2
的齐次旋转变换矩阵为：
1
2
T
cos
2
sin
2
0 l
i
0 0
（3）
1
0 0 0
0 0 0 1
从
（
X
o
，
y
o
, Z
o
）
到
（X
2
,y
2
,Z
2
）
的齐次旋转变换矩阵为:
1
0 0 1
sin
2
0
T
0
1
T
2
1
T
2 1 2
0
co
s
1
1
si
n
cos
0
0
2
)
1
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co
2
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2
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0
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0
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2
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2
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l
1
0 0
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0 1
0
co
s(
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(
1
1
0 1
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1
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1
2
)
0 0
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l
1
cos
1
2
)
0
l
1
sin
1
2
)
（4）
0
0
0
0
1
0
0
1
那么，连杆 2 末段与中线交点处一点 P 在基础坐标系中的位置矢量为：
建立以上运动学方程后，若已知个连杆的关节角
0
P
2
T P
02
(
cos(
1
sin
1
2
2
) sin(
1
1
) cos(
)
2
)
2
0
0
0
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2
、
2
，就可以用运动学方程求出机
0 lcos
1
l
2
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1
sin
1
0
1 0 0
0 1 1
1
1
(5)
x
p
y
p
z
p
l
1
cos
1
1
l
1
sin
l
2
cos(
1
l
2
sin(
1
0
1
)
2
1
)
即，
x
p
l
1
cos
1
1
l
2
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1
l
2
sin(
1
2
y
p
l
1
sin
与用简单的平面几何关系建立运动学方程（
械手臂末端位置坐标，这可以用于运动学仿真。
3、平面二连杆机器人手臂逆运动学
)
2
)
6）
1）相同。
建立以上运动学方程后， 若已知个机械臂的末端位置， 可以用运动学方程求出机械手臂 二连杆的关节角
1
、
2
，这叫机械臂的逆运动学。逆运动学可以用于对机械臂关节角和末
端位置的控制。对于本例中平面二连杆机械臂，其逆运动学方程的建立就是已知末端位置
（
X
p
,y
p
）
求相应关节角
1
、
（1）问题
2
的过程。推倒如下。
X
p
l
1
cos
1
l
2
cos（
1
y
p
l
1
sin
1
l
2
sin（
1
2
2
）
）
2
已知末端位置坐标
（
x
p
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p
）
，求关节角 「
2）求
1
2