2024年4月26日发(作者：胡凝荷)
第十五章 复数
一、基础知识
2
1．复数的定义：设i为方程x=-1的根,i称为虚数单位,由i与实数进行加、减、乘、除等
运算.便产生形如a+bi（a,b∈R）的数,称为复数.所有复数构成的集合称复数集.通常用C
来表示.
2．复数的几种形式.对任意复数z=a+bi（a,b∈R）,a称实部记作Re(z),b称虚部记作Im(z).
z=ai称为代数形式,它由实部、虚部两部分构成；若将(a,b)作为坐标平面内点的坐标,那么
z与坐标平面唯一一个点相对应,从而可以建立复数集与坐标平面内所有的点构成的集合之
间的一一映射.因此复数可以用点来表示,表示复数的平面称为复平面,x轴称为实轴,y轴去
掉原点称为虚轴,点称为复数的几何形式；如果将(a,b)作为向量的坐标,复数z又对应唯一
一个向量.因此坐标平面内的向量也是复数的一种表示形式,称为向量形式；另外设z对应复
平面内的点Z,见图15-1,连接OZ,设∠xOZ=θ,|OZ|=r,则a=rcosθ,b=rsinθ,所以z=r(cos
θ+isinθ),这种形式叫做三角形式.若z=r(cosθ+isinθ),则θ称为z的辐角.若0≤θ<2
π,则θ称为z的辐角主值,记作θ=Arg(z). r称为z的模,也记作|z|,由勾股定理知
|z|=
a
2
b
2
.如果用e表示cosθ+isinθ,则z=re,称为复数的指数形式.
iθiθ
3．共轭与模,若z=a+bi,（a,b∈R）,则
z
a-bi称为z的共轭复数.模与共轭的性质有：（1）
z
1
2
（2）
z
1
z
2
z
1
z
2
；（3）
zz|z|
；（4）
z
1
z
2
z
1
z
2
；
z
2
（6）
|
|z
1
z
2
||z
1
||z
2
|
；
2222
z
1
；（5）
z
2
z
1
|z
1
|
；（7）||z
1
|-|z
2
||≤|z
1
±z
2
|≤|z
1
|+|z
2
|；（8）
|
z
2
|z
2
|
1
.
z
|z
1
+z
2
|+|z
1
-z
2
|=2|z
1
|+2|z
2
|；（9）若|z|=1,则
z
4．复数的运算法则：（1）按代数形式运算加、减、乘、除运算法则与实数范围内一致,运算
结果可以通过乘以共轭复数将分母分为实数；（2）按向量形式,加、减法满足平行四边形和
三角形法则；（3）按三角形式,若z
1
=r
1
(cosθ
1
+isinθ
1
), z
2
=r
2
(cosθ
2
+isinθ
2
),则z
1•
•
z
2
=r
1
r
2
[cos(θ
1
+θ
2
)+isin(θ
1
+θ
2
)]；若
z
2
0,
z
1
r
1
[cos(θ
1
-θ
2
)+isin(θ
1
-θ
2
)],
z
2
r
2
用指数形式记为z
1
z
2
=r
1
r
2
e
i(θ1+θ2)
,
z
1
r
1
i(
1
2
)
e.
z
2
r
2
nn
5.棣莫弗定理：[r(cosθ+isinθ)]=r(cosnθ+isinnθ).
6.开方：若
w
n
r(cosθ+isinθ),则
w
n
r(cos
2k
n
n
isin
2k
n
)
,k=0,1,2,…,n-1.
2
2
isin
,
nn
7．单位根：若w=1,则称w为1的一个n次单位根,简称单位根,记Z
1
=
cos
则全部单位根可表示为1,
Z
1
,
Z
1
,,Z
1
2n1
.单位根的基本性质有（这里记
用心 爱心 专心
Z
k
Z
1
k
,k=1,2,…,n-1）：（1）对任意整数k,若k=nq+r,q∈Z,0≤r≤n-1,有Z
nq+r
=Z
r
；（2）
mmm
对任意整数m,当n≥2时,有
1Z
1
Z
2
Z
n1
=
0,当n|m,
特别1+Z
1
+Z
2
+…+Z
n-1
=0；
n,当n|m,
2n1
（3）x+x+…+x+1=(x-Z
1
)(x-Z
2
)…(x-Z
n-1
)=(x-Z
1
)(x-
Z
1
)…(x-
Z
1
).
n-1n-2
8.复数相等的充要条件：（1）两个复数实部和虚部分别对应相等；（2）两个复数的模和辐角
主值分别相等.
9．复数z是实数的充要条件是z=
z
;z是纯虚数的充要条件是：z+
z
=0（且z≠0）.
10.代数基本定理：在复数范围内,一元n次方程至少有一个根.
11．实系数方程虚根成对定理：实系数一元n次方程的虚根成对出现,即若z=a+bi(b≠0)是
方程的一个根,则
z
=a-bi也是一个根.
22
12．若a,b,c∈R,a≠0,则关于x的方程ax+bx+c=0,当Δ=b-4ac<0时方程的根为
x
1,2
bi
.
2a
二、方法与例题
1．模的应用.
2n2n
例1 求证：当n∈N
+
时,方程(z+1)+(z-1)=0只有纯虚根.
2
例2 设f(z)=z+az+b,a,b为复数,对一切|z|=1,有|f(z)|=1,求a,b的值.
2.复数相等.
2
例3 设λ∈R,若二次方程(1-i)x+(λ+i)x+1+λi=0有两个虚根,求λ满足的充要条件.
3．三角形式的应用.
n
例4 设n≤2000,n∈N,且存在θ满足(sinθ+icosθ)=sinnθ+icosnθ,那么这样的n有多
少个？
用心 爱心 专心
2024年4月26日发(作者：胡凝荷)
第十五章 复数
一、基础知识
2
1．复数的定义：设i为方程x=-1的根,i称为虚数单位,由i与实数进行加、减、乘、除等
运算.便产生形如a+bi（a,b∈R）的数,称为复数.所有复数构成的集合称复数集.通常用C
来表示.
2．复数的几种形式.对任意复数z=a+bi（a,b∈R）,a称实部记作Re(z),b称虚部记作Im(z).
z=ai称为代数形式,它由实部、虚部两部分构成；若将(a,b)作为坐标平面内点的坐标,那么
z与坐标平面唯一一个点相对应,从而可以建立复数集与坐标平面内所有的点构成的集合之
间的一一映射.因此复数可以用点来表示,表示复数的平面称为复平面,x轴称为实轴,y轴去
掉原点称为虚轴,点称为复数的几何形式；如果将(a,b)作为向量的坐标,复数z又对应唯一
一个向量.因此坐标平面内的向量也是复数的一种表示形式,称为向量形式；另外设z对应复
平面内的点Z,见图15-1,连接OZ,设∠xOZ=θ,|OZ|=r,则a=rcosθ,b=rsinθ,所以z=r(cos
θ+isinθ),这种形式叫做三角形式.若z=r(cosθ+isinθ),则θ称为z的辐角.若0≤θ<2
π,则θ称为z的辐角主值,记作θ=Arg(z). r称为z的模,也记作|z|,由勾股定理知
|z|=
a
2
b
2
.如果用e表示cosθ+isinθ,则z=re,称为复数的指数形式.
iθiθ
3．共轭与模,若z=a+bi,（a,b∈R）,则
z
a-bi称为z的共轭复数.模与共轭的性质有：（1）
z
1
2
（2）
z
1
z
2
z
1
z
2
；（3）
zz|z|
；（4）
z
1
z
2
z
1
z
2
；
z
2
（6）
|
|z
1
z
2
||z
1
||z
2
|
；
2222
z
1
；（5）
z
2
z
1
|z
1
|
；（7）||z
1
|-|z
2
||≤|z
1
±z
2
|≤|z
1
|+|z
2
|；（8）
|
z
2
|z
2
|
1
.
z
|z
1
+z
2
|+|z
1
-z
2
|=2|z
1
|+2|z
2
|；（9）若|z|=1,则
z
4．复数的运算法则：（1）按代数形式运算加、减、乘、除运算法则与实数范围内一致,运算
结果可以通过乘以共轭复数将分母分为实数；（2）按向量形式,加、减法满足平行四边形和
三角形法则；（3）按三角形式,若z
1
=r
1
(cosθ
1
+isinθ
1
), z
2
=r
2
(cosθ
2
+isinθ
2
),则z
1•
•
z
2
=r
1
r
2
[cos(θ
1
+θ
2
)+isin(θ
1
+θ
2
)]；若
z
2
0,
z
1
r
1
[cos(θ
1
-θ
2
)+isin(θ
1
-θ
2
)],
z
2
r
2
用指数形式记为z
1
z
2
=r
1
r
2
e
i(θ1+θ2)
,
z
1
r
1
i(
1
2
)
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z
2
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2
nn
5.棣莫弗定理：[r(cosθ+isinθ)]=r(cosnθ+isinnθ).
6.开方：若
w
n
r(cosθ+isinθ),则
w
n
r(cos
2k
n
n
isin
2k
n
)
,k=0,1,2,…,n-1.
2
2
isin
,
nn
7．单位根：若w=1,则称w为1的一个n次单位根,简称单位根,记Z
1
=
cos
则全部单位根可表示为1,
Z
1
,
Z
1
,,Z
1
2n1
.单位根的基本性质有（这里记
用心 爱心 专心
Z
k
Z
1
k
,k=1,2,…,n-1）：（1）对任意整数k,若k=nq+r,q∈Z,0≤r≤n-1,有Z
nq+r
=Z
r
；（2）
mmm
对任意整数m,当n≥2时,有
1Z
1
Z
2
Z
n1
=
0,当n|m,
特别1+Z
1
+Z
2
+…+Z
n-1
=0；
n,当n|m,
2n1
（3）x+x+…+x+1=(x-Z
1
)(x-Z
2
)…(x-Z
n-1
)=(x-Z
1
)(x-
Z
1
)…(x-
Z
1
).
n-1n-2
8.复数相等的充要条件：（1）两个复数实部和虚部分别对应相等；（2）两个复数的模和辐角
主值分别相等.
9．复数z是实数的充要条件是z=
z
;z是纯虚数的充要条件是：z+
z
=0（且z≠0）.
10.代数基本定理：在复数范围内,一元n次方程至少有一个根.
11．实系数方程虚根成对定理：实系数一元n次方程的虚根成对出现,即若z=a+bi(b≠0)是
方程的一个根,则
z
=a-bi也是一个根.
22
12．若a,b,c∈R,a≠0,则关于x的方程ax+bx+c=0,当Δ=b-4ac<0时方程的根为
x
1,2
bi
.
2a
二、方法与例题
1．模的应用.
2n2n
例1 求证：当n∈N
+
时,方程(z+1)+(z-1)=0只有纯虚根.
2
例2 设f(z)=z+az+b,a,b为复数,对一切|z|=1,有|f(z)|=1,求a,b的值.
2.复数相等.
2
例3 设λ∈R,若二次方程(1-i)x+(λ+i)x+1+λi=0有两个虚根,求λ满足的充要条件.
3．三角形式的应用.
n
例4 设n≤2000,n∈N,且存在θ满足(sinθ+icosθ)=sinnθ+icosnθ,那么这样的n有多
少个？
用心 爱心 专心