2024年6月13日发(作者：充以欣)
高中数学立体几何-直线与平面垂直
【知识网络】
1、直线与平面垂直的性质与判定；
2、点到平面的距离，直线到平面的距离；
3、直线与平面的所成角及直线在平面内的射影。
【典型例题】
例1：（1）平面过△ABC的重心，B、C在的同侧，A在
的另一侧，若A、B、C到平面的距离分别为a、b、c，
则a、b、c间的关系为()
（A）2a=b+c；（B）a=b+c；（C）2a=3(b+c)；（D）
3a=2(b+c)．
答案：B解析：B、C中点到平面
的距离为
即
abc
（2）已知正△ABC的边长为
4
1的平面有()
（A）1个；（B）3个；（C）5个；（D）7个．
答案：C解析：三点在同一侧的有2个，过两边的中点且垂
直第三边上的中线的平面有3个，共5个。
（3）设a，b，c表示三条直线，
,
表示两个平面，则下
列命题中逆命题不成立的是（）
A、
c
，若
c
，则
//
B、
b
，
c
，若
c//
，则
b//c
3
3
bcabc
，∴
22
2
，则到三个顶点的距离都为
C、
b
，若
b
，则
D、
b
，
c
是
在
内的射影，若
bc
，则
b
答案：C解析：C的逆命题是
b
,若
，则
ba
显然不
成立。
（4）已知
PA
垂直平行四边形
ABCD
所在平面，若
PCBD
，
平行则四边形
ABCD
一定是.
答案：
菱形
解析：显然
ACBD
，即平行四边形ABCD一定是
菱形
（5）P是△ABC所在平面外一点，O是P点在平面上的射
影．若P到△ABC三边的距离相等，则O是△ABC的心；若
P到△ABC三个顶点的距离相等，则O是△ABC的心；若
PA、PB、PC两两互相垂直，则O是△ABC的心．
答案：内心、外心、垂心；解析：由内心、外心、垂心的
性质可知。
例2：已知
ABC
中
ACB90
，
SA
面
ABC
，
证：
AD
面
SBC
．
答案：证明：
ACB90
BCAC
A
C
D
B
ADSC
，求
S
又
SA
面
ABCSABCBC
面
SACBCAD
，又
SCAD,SCBCC
，
AD
面
SBC
2024年6月13日发(作者：充以欣)
高中数学立体几何-直线与平面垂直
【知识网络】
1、直线与平面垂直的性质与判定；
2、点到平面的距离，直线到平面的距离；
3、直线与平面的所成角及直线在平面内的射影。
【典型例题】
例1：（1）平面过△ABC的重心，B、C在的同侧，A在
的另一侧，若A、B、C到平面的距离分别为a、b、c，
则a、b、c间的关系为()
（A）2a=b+c；（B）a=b+c；（C）2a=3(b+c)；（D）
3a=2(b+c)．
答案：B解析：B、C中点到平面
的距离为
即
abc
（2）已知正△ABC的边长为
4
1的平面有()
（A）1个；（B）3个；（C）5个；（D）7个．
答案：C解析：三点在同一侧的有2个，过两边的中点且垂
直第三边上的中线的平面有3个，共5个。
（3）设a，b，c表示三条直线，
,
表示两个平面，则下
列命题中逆命题不成立的是（）
A、
c
，若
c
，则
//
B、
b
，
c
，若
c//
，则
b//c
3
3
bcabc
，∴
22
2
，则到三个顶点的距离都为
C、
b
，若
b
，则
D、
b
，
c
是
在
内的射影，若
bc
，则
b
答案：C解析：C的逆命题是
b
,若
，则
ba
显然不
成立。
（4）已知
PA
垂直平行四边形
ABCD
所在平面，若
PCBD
，
平行则四边形
ABCD
一定是.
答案：
菱形
解析：显然
ACBD
，即平行四边形ABCD一定是
菱形
（5）P是△ABC所在平面外一点，O是P点在平面上的射
影．若P到△ABC三边的距离相等，则O是△ABC的心；若
P到△ABC三个顶点的距离相等，则O是△ABC的心；若
PA、PB、PC两两互相垂直，则O是△ABC的心．
答案：内心、外心、垂心；解析：由内心、外心、垂心的
性质可知。
例2：已知
ABC
中
ACB90
，
SA
面
ABC
，
证：
AD
面
SBC
．
答案：证明：
ACB90
BCAC
A
C
D
B
ADSC
，求
S
又
SA
面
ABCSABCBC
面
SACBCAD
，又
SCAD,SCBCC
，
AD
面
SBC