2024年5月31日发(作者：贵英逸)

2023年全国普通高等学校招生统一考试（上海）

　数学（理工农医类） 全解全析

一 填空（4’×11）

1.不等式

|x1|1

地解集是 　　　　　　　　　 　.

【解析】

(0,2)

【解析】由

1x110x2

.

2.若集合A＝{x|x≤2}、B＝{x|x≥a}满足A∩B＝{2},则实数a＝ 　　　　　　　 .

【解析】

2

【解析】由

AB{2}A,B 只有一个公共元素 2a2

.

3.若复数z满足z＝i(2-z)（i是虚数单位）,则z＝ 　　　　　　　 .

【解析】

1i

【解析】由

z



i(2



z)



z



2i



1



i

.

1



i

4.若函数f(x)地反函数为f

－

1

(x)＝x

2

（x＞0）,则f(4)＝ 　　　　　　 .

【解析】

2

【解析】令

f(4)



t



f



1

(t)



4



t

2



4(t



0)



t



2

.











5.若向量

a

、

b

满足|

a

|＝1,|

b

|＝2,且

a

与

b

地夹角为

,则|

a

+

b

|＝ 　　　　　 .

3

【解析】

7

【解析】



2



2



2





|a



b|



(a



b)



(a



b)



a



a



b



b



2a



b



|a|



|b|



2|a||b|cos



7



|a



b|



7

.

3



6.函数f(x)＝

3sin

x +sin(

+x)地最大值是 　　　　　　　 .

2

【解析】

2

【解析】由

f(x)



3sinx



cosx



2sin(x





6

)



f(x)

max



2

.

7.在平面直角坐标系中,从六个点:A(0,0)、B(2,0)、C(1,1)、D(0,2)、E(2,2)、F(3,3)中

任取三个,这三点能构成三角形地概率是 　　　 （结果用分数表示）.

【解析】

3

4

【解析】已知

A、C、E、F共线；B、C、D共线；

六个无共线地点生成三角形总数为:

1

C

3

6

；可构成三角形地个数为:

333

C

6



C

4



C

3

CCC15

,所以所求概率为:



3

；

3

4

C

6

3

6

3

4

3

3

8.设函数f(x)是定义在R上地奇函数,若当x∈(0,+∞)时,f(x)＝lg x,则满足f(x)＞0

地x地取值范围是 　　　　　　　　　　　　 .

【解析】

(1,0)(1,)

f(x)0x1 ；f(x)00x1 ；

【解析】

当 x0 时，

由f(x)为奇函数得:

f(x)01x0 ；f(x)0x1  结论；

当 x0 时，

9.已知总体地各个体地值由小到大依次为2,3,3,7,a,b,12,13.7,18.3,20,且总体地中位数

为10.5,若要使该总体地方差最小,则a、b地取值分别是 　　　　　　　　　 .

【解析】

a10.5,b10.5

【解析】根据总体方差地定义知,只需且必须

a10.5,b10.5

时,总体方差最小；

10.某海域内有一孤岛,岛四周地海平面（视为平面）上有一浅水区（含边界）,其边界是长

轴长为2a,短轴长为2b地椭圆,已知岛上甲、乙导航灯地海拔高度分别为h

1

、h

2

,且两个导

航灯在海平面上地投影恰好落在椭圆地两个焦点上,现有船只经过该海域（船只地大小忽

略不计）,在船上测得甲、乙导航灯地仰角分别为θ

1

、θ

2

,那么船只已进入该浅水区地判

别条件是 　　　　　　　 .

【解析】

h

1

cot



1

h

2

cot



2

2a

【解析】依题意,

|MF

1

||MF

2

|2a

h

1

cot



1

h

2

cot



2

2a

；

1

11.方程x

2

+

2

x

－

1＝0地解可视为函数y＝x+

2

地图像与函数y＝地图像交点地横坐标,若x

4

+

x

ax

－

4＝0地各个实根x

1

,x

2

,…,x

k

2

(k≤4)所对应地点(x

i

4

,)（i＝1,2,…,k）均在直线y＝x地同侧,则实数a地取值范围是 　　　　　　　　　　　　　

x

i

.

【解析】

(,6)(6,)

【解析】方程地根显然

x0

,原方程等价于

x

3



a



4

,原方程地实根是曲线

yx

3

a

与

x

曲线

y



4

地交点地横坐标；而曲线

yx

3

a

是由曲线

yx

3

向上或向下平移

|a|

个单位

x

而得到地。若交点(x

i

4

,)（i＝1,2,…,k）均在直线y＝x地同侧,因直线y＝x与

y



4

交点为:

(2,2),(2,2)

；

x

x

i

所以结合图象可得:



a



0



a



0





x

3



a



2

或



x

3



a



2



a



(



,



6)



(6,



)

；



x



2



x



2



二 选择（4’×4）

12.组合数

C

r

n

（n＞r≥1,n、r∈Z）恒等于（ ）

n

r

-

1r1r

-

1r

-

1

C

n

-

　 B．(n+1)(r+1)

C

C．nr

C

D．

C

n

-

1n

-

1n

-

1

-

1

r

　　　 A．

【解析】

D

r+1

n+1

【解析】由

C

n



13.

r

n!n(n



1)!n

r



1







C

n



1

.

r!(n



r)!r(r



1)![(n



1)



(r



1)]!r

给定空间中地直线l及平面



,条件"直线l与平面



内无数条直线都垂直"是"直线l与平面



垂直"地（ ）条件

A．充要 B．充分非必要 C．必要非充分

D．既非充分又非必要

【解析】

C

【解析】直线与平面



内地无数条平行直线垂直,但该直线未必与平面



垂直,

即充分性不成立；

3

14. 若数列{a

n

}是首项为1,公比为a

－

地无穷等比数列,且{a

n

}各项地和为a,则a地值

2

15

是（ ）　　　A．1 B．2 C．

D．

24

【解析】

B

3

1



a





a

1



3

S



1



a





1



q





【解析】由



2



a



2

.



|q|



1



3



|a



|



1





2

15.如图,在平面直角坐标系中,



是一个与x轴地正半轴、y轴地正半轴分别相切于点C、D

地定圆所围成区域（含边界）,A、B、C、D是该圆地四等分点,若点P(x,y)、P’(x’,y

’)满足x≤x’

且y≥y’,则称P优于P’,如果



中地点Q满足:不存在



中地其它点优于Q,那么所有这样

地点Q组成地集合是劣弧（ ）

︵︵︵︵

　　 A．

AB

B．

BC

C．

CD

D．

DA

【解析】

D

【解析】依题意,在点Q组成地集合中任取一点,过

该点分别作平行于两坐标轴地直线,构成地

左上方区域（权且称为"第二象限"）与点

Q组成地集合无公共元素,这样点Q组成地

︵

集合才为所求. 检验得:D．

DA

三. 解答题（本大题满分90分）

16.(12’)如图,在棱长为2地正方体ABCD-A

1

B

1

C

1

D

1

中,

E是BC

1

地中点,求直线DE与平面ABCD所成角地

大小（结果用反三角函数表示）

【解析】

过

E

作

EFBC

,交

BC

于

F

,连接

CO

.

A

D

B

A

1

D

1

B

1

E

F

C

1

D ·

y

A

·



·

C

· B

O

x

C



EF

平面

ABCD

,

EDF

是直线

DE

与平面

ABCD

所成地角. ……4分

1

由题意,得

EFCC

1

1

.

2

1



CFCB1



DF5

. ……8分

2



EFDF

,



tan



EDF



EF5

. ……10分



DF5

5

. ……12分

5

C

A

B

故直线

DE

与平面

ABCD

所成角地大小是

arctan

4

17.(13’)如图,某住宅小区地平面图呈圆心角为120°

地扇形AOB,小区地两个出入口设置在点A及点C

处,且小区里有一条平行于BO地小路CD,已知某

人从C沿CD走到D用了10分钟,从D沿DA走到A

用了6分钟,若此人步行地速度为每分钟50米,

求该扇形地半径OA地长（精确到1米）

【解析】

[解法一] 设该扇形地半径为

r

米,连接

CO

. ……2分

由题意,得

CD500

(米),

DA300

（米）,

D

O

A

C

B

CDO60

　 ……4分

在△

CDO

中,

CD

2

OD

2

2CDODcos60OC

2

……6分

即,

500(r300)2500(r300)

解得

r

22

1

r

2

……9分

2

4900

445

（米）

11

答:该扇形地半径

OA

地长约为445米. 　　　　 　 ……13分

[解法二] 连接

AC

,作

OHAC

,交

AC

于

H

, 　 ……2分

由题意,得

CD500

（米）,

H

AD300

（米）,

CDA120

……4分

在△

CDO

中,

A

C

B

ACCDAD2CDADcos120



500



300



2



500



300



22

222

1



700

2

.

2

D

O

AC700

（米）. ……6分

AC

2



AD

2



CD

2

11

cos



CAD



.　　　……9分

2



AC



AD14

在直角△

HAO

中,

AH350

（米）,

cosHAO

11

,

14



OA



AH4900



445

（米）.

cos



HAO11

答:该扇形地半径

OA

地长约为445米. ……13分

2

18.(6’+9’)已知双曲线

C:

x

y

2

1

,

P

为

C

上地任意点。

4

（1）求证:点

P

到双曲线

C

地两条渐近线地距离地乘积是一个常数；

5

2024年5月31日发(作者：贵英逸)

2023年全国普通高等学校招生统一考试（上海）

　数学（理工农医类） 全解全析

一 填空（4’×11）

1.不等式

|x1|1

地解集是 　　　　　　　　　 　.

【解析】

(0,2)

【解析】由

1x110x2

.

2.若集合A＝{x|x≤2}、B＝{x|x≥a}满足A∩B＝{2},则实数a＝ 　　　　　　　 .

【解析】

2

【解析】由

AB{2}A,B 只有一个公共元素 2a2

.

3.若复数z满足z＝i(2-z)（i是虚数单位）,则z＝ 　　　　　　　 .

【解析】

1i

【解析】由

z



i(2



z)



z



2i



1



i

.

1



i

4.若函数f(x)地反函数为f

－

1

(x)＝x

2

（x＞0）,则f(4)＝ 　　　　　　 .

【解析】

2

【解析】令

f(4)



t



f



1

(t)



4



t

2



4(t



0)



t



2

.











5.若向量

a

、

b

满足|

a

|＝1,|

b

|＝2,且

a

与

b

地夹角为

,则|

a

+

b

|＝ 　　　　　 .

3

【解析】

7

【解析】



2



2



2





|a



b|



(a



b)



(a



b)



a



a



b



b



2a



b



|a|



|b|



2|a||b|cos



7



|a



b|



7

.

3



6.函数f(x)＝

3sin

x +sin(

+x)地最大值是 　　　　　　　 .

2

【解析】

2

【解析】由

f(x)



3sinx



cosx



2sin(x





6

)



f(x)

max



2

.

7.在平面直角坐标系中,从六个点:A(0,0)、B(2,0)、C(1,1)、D(0,2)、E(2,2)、F(3,3)中

任取三个,这三点能构成三角形地概率是 　　　 （结果用分数表示）.

【解析】

3

4

【解析】已知

A、C、E、F共线；B、C、D共线；

六个无共线地点生成三角形总数为:

1

C

3

6

；可构成三角形地个数为:

333

C

6



C

4



C

3

CCC15

,所以所求概率为:



3

；

3

4

C

6

3

6

3

4

3

3

8.设函数f(x)是定义在R上地奇函数,若当x∈(0,+∞)时,f(x)＝lg x,则满足f(x)＞0

地x地取值范围是 　　　　　　　　　　　　 .

【解析】

(1,0)(1,)

f(x)0x1 ；f(x)00x1 ；

【解析】

当 x0 时，

由f(x)为奇函数得:

f(x)01x0 ；f(x)0x1  结论；

当 x0 时，

9.已知总体地各个体地值由小到大依次为2,3,3,7,a,b,12,13.7,18.3,20,且总体地中位数

为10.5,若要使该总体地方差最小,则a、b地取值分别是 　　　　　　　　　 .

【解析】

a10.5,b10.5

【解析】根据总体方差地定义知,只需且必须

a10.5,b10.5

时,总体方差最小；

10.某海域内有一孤岛,岛四周地海平面（视为平面）上有一浅水区（含边界）,其边界是长

轴长为2a,短轴长为2b地椭圆,已知岛上甲、乙导航灯地海拔高度分别为h

1

、h

2

,且两个导

航灯在海平面上地投影恰好落在椭圆地两个焦点上,现有船只经过该海域（船只地大小忽

略不计）,在船上测得甲、乙导航灯地仰角分别为θ

1

、θ

2

,那么船只已进入该浅水区地判

别条件是 　　　　　　　 .

【解析】

h

1

cot



1

h

2

cot



2

2a

【解析】依题意,

|MF

1

||MF

2

|2a

h

1

cot



1

h

2

cot



2

2a

；

1

11.方程x

2

+

2

x

－

1＝0地解可视为函数y＝x+

2

地图像与函数y＝地图像交点地横坐标,若x

4

+

x

ax

－

4＝0地各个实根x

1

,x

2

,…,x

k

2

(k≤4)所对应地点(x

i

4

,)（i＝1,2,…,k）均在直线y＝x地同侧,则实数a地取值范围是 　　　　　　　　　　　　　

x

i

.

【解析】

(,6)(6,)

【解析】方程地根显然

x0

,原方程等价于

x

3



a



4

,原方程地实根是曲线

yx

3

a

与

x

曲线

y



4

地交点地横坐标；而曲线

yx

3

a

是由曲线

yx

3

向上或向下平移

|a|

个单位

x

而得到地。若交点(x

i

4

,)（i＝1,2,…,k）均在直线y＝x地同侧,因直线y＝x与

y



4

交点为:

(2,2),(2,2)

；

x

x

i

所以结合图象可得:



a



0



a



0





x

3



a



2

或



x

3



a



2



a



(



,



6)



(6,



)

；



x



2



x



2



二 选择（4’×4）

12.组合数

C

r

n

（n＞r≥1,n、r∈Z）恒等于（ ）

n

r

-

1r1r

-

1r

-

1

C

n

-

　 B．(n+1)(r+1)

C

C．nr

C

D．

C

n

-

1n

-

1n

-

1

-

1

r

　　　 A．

【解析】

D

r+1

n+1

【解析】由

C

n



13.

r

n!n(n



1)!n

r



1







C

n



1

.

r!(n



r)!r(r



1)![(n



1)



(r



1)]!r

给定空间中地直线l及平面



,条件"直线l与平面



内无数条直线都垂直"是"直线l与平面



垂直"地（ ）条件

A．充要 B．充分非必要 C．必要非充分

D．既非充分又非必要

【解析】

C

【解析】直线与平面



内地无数条平行直线垂直,但该直线未必与平面



垂直,

即充分性不成立；

3

14. 若数列{a

n

}是首项为1,公比为a

－

地无穷等比数列,且{a

n

}各项地和为a,则a地值

2

15

是（ ）　　　A．1 B．2 C．

D．

24

【解析】

B

3

1



a





a

1



3

S



1



a





1



q





【解析】由



2



a



2

.



|q|



1



3



|a



|



1





2

15.如图,在平面直角坐标系中,



是一个与x轴地正半轴、y轴地正半轴分别相切于点C、D

地定圆所围成区域（含边界）,A、B、C、D是该圆地四等分点,若点P(x,y)、P’(x’,y

’)满足x≤x’

且y≥y’,则称P优于P’,如果



中地点Q满足:不存在



中地其它点优于Q,那么所有这样

地点Q组成地集合是劣弧（ ）

︵︵︵︵

　　 A．

AB

B．

BC

C．

CD

D．

DA

【解析】

D

【解析】依题意,在点Q组成地集合中任取一点,过

该点分别作平行于两坐标轴地直线,构成地

左上方区域（权且称为"第二象限"）与点

Q组成地集合无公共元素,这样点Q组成地

︵

集合才为所求. 检验得:D．

DA

三. 解答题（本大题满分90分）

16.(12’)如图,在棱长为2地正方体ABCD-A

1

B

1

C

1

D

1

中,

E是BC

1

地中点,求直线DE与平面ABCD所成角地

大小（结果用反三角函数表示）

【解析】

过

E

作

EFBC

,交

BC

于

F

,连接

CO

.

A

D

B

A

1

D

1

B

1

E

F

C

1

D ·

y

A

·



·

C

· B

O

x

C



EF

平面

ABCD

,

EDF

是直线

DE

与平面

ABCD

所成地角. ……4分

1

由题意,得

EFCC

1

1

.

2

1



CFCB1



DF5

. ……8分

2



EFDF

,



tan



EDF



EF5

. ……10分



DF5

5

. ……12分

5

C

A

B

故直线

DE

与平面

ABCD

所成角地大小是

arctan

4

17.(13’)如图,某住宅小区地平面图呈圆心角为120°

地扇形AOB,小区地两个出入口设置在点A及点C

处,且小区里有一条平行于BO地小路CD,已知某

人从C沿CD走到D用了10分钟,从D沿DA走到A

用了6分钟,若此人步行地速度为每分钟50米,

求该扇形地半径OA地长（精确到1米）

【解析】

[解法一] 设该扇形地半径为

r

米,连接

CO

. ……2分

由题意,得

CD500

(米),

DA300

（米）,

D

O

A

C

B

CDO60

　 ……4分

在△

CDO

中,

CD

2

OD

2

2CDODcos60OC

2

……6分

即,

500(r300)2500(r300)

解得

r

22

1

r

2

……9分

2

4900

445

（米）

11

答:该扇形地半径

OA

地长约为445米. 　　　　 　 ……13分

[解法二] 连接

AC

,作

OHAC

,交

AC

于

H

, 　 ……2分

由题意,得

CD500

（米）,

H

AD300

（米）,

CDA120

……4分

在△

CDO

中,

A

C

B

ACCDAD2CDADcos120



500



300



2



500



300



22

222

1



700

2

.

2

D

O

AC700

（米）. ……6分

AC

2



AD

2



CD

2

11

cos



CAD



.　　　……9分

2



AC



AD14

在直角△

HAO

中,

AH350

（米）,

cosHAO

11

,

14



OA



AH4900



445

（米）.

cos



HAO11

答:该扇形地半径

OA

地长约为445米. ……13分

2

18.(6’+9’)已知双曲线

C:

x

y

2

1

,

P

为

C

上地任意点。

4

（1）求证:点

P

到双曲线

C

地两条渐近线地距离地乘积是一个常数；

5