2024年6月13日发(作者：依依珊)
1067空间角.空间距离综合
一:高考真题:
1.（2003京春文11，理8）如图9—1，在正三角形ABC中，D，E，F分别为各边的中点，G，H，I，
J分别为AF，AD，BE，DE的中点.将△ABC沿DE，EF，DF折成三棱锥以后，GH与IJ所成角的度数为
（ ）
A.90° B.60°
C.45° D.0°
2.（2002全国理，8）正六棱柱ABCDEF—A
1
B
1
C
1
D
1
E
1
F
1
的底面边长为1，侧棱长为
2
，则
图9—1
这个棱柱的侧面对角线E
1
D与BC
1
所成的角是（ ）
A.90° B.60° C.45° D.30°
3.（2001全国，11）一间民房的屋顶有如图9—4三种不同的盖法：①单向倾斜；②双向倾斜；③四
向倾斜.记三种盖法屋顶面积分别为P
1
、P
2
、P
3
.
图9—4
若屋顶斜面与水平面所成的角都是α，则（ ）
A.P
3
＞P
2
＞P
1
B.P
3
＞P
2
＝P
1
C.P
3
＝P
2
＞P
1
D.P
3
＝P
2
＝P
1
4.（2001全国，9）在正三棱柱ABC—A
1
B
1
C
1
中，若AB＝
（ ）
A.60° B.90° C.105° D.75°
5.（2000全国文，12）如图9—5，OA是圆锥底面中心O到母线的垂线，OA绕轴旋转一周所得曲面
将圆锥分成相等的两部分，则母线与轴的夹角的余弦值为（ ）
A.
2
BB
1
，则AB
1
与C
1
B所成的角的大小为
1
3
2
1
2
B.
1
2
C. D.
1
4
2
A
1
B
1
，则BE
1
与DF
1
4
6.（1995全国文，10）如图9—7，ABCD—A
1
B
1
C
1
D
1
是正方体，B
1
E
1
＝D
1
F
1
＝
所成角的余弦值是（ ）
A.
15
17
8
17
B.
1
2
C. D.
3
2
7.（2003上海春，10）若正三棱锥底面边长为4，体积为1，则侧面和底面所成二面角的大小等于
（结果用反三角函数值表示）.
8.（2002京皖春，15）正方形ABCD的边长是2，E、F分别是AB和CD的中点，将正方形沿EF折
成直二面角（如图9—11所示）.M为矩形AEFD内一点，如果∠MBE=∠MBC，MB和平面BCF所成角的
正切值为
1
，那么点M到直线EF的距离为 .
2
9.（2002上海，4）若正四棱锥的底面边长为2
3
cm，体积为4 cm
3
，则它的侧面与底面所成的二面
角的大小是 .
10.（2000上海春，8）如图9—13，∠BAD＝90°的等腰直角三角形ABD与正三角
形CBD所在平面互相垂直，E是BC的中点，则AE与平面BCD所成角的大小为_____.
11.（2003京春文，19）如图9—19，ABCD—A
1
B
1
C
1
D
1
是正四棱柱，侧棱长为1，
底面边长为2，E是棱BC的中点.
（Ⅰ）求三棱锥D
1
—DBC的体积；
（Ⅱ）证明BD
1
∥平面C
1
DE；
（Ⅲ）求面C
1
DE与面CDE所成二面角的正切值.
图9—13
图9—19 图9—20
12.（2003京春理，19）如图9—20，正四棱柱ABCD—A
1
B
1
C
1
D
1
中，底面边长为2
F分别为棱AB，BC的中点，EF∩BD=G.
（Ⅰ）求证：平面B
1
EF⊥平面BDD
1
B
1
；
（Ⅱ）求点D
1
到平面B
1
EF的距离d；
（Ⅲ）求三棱锥B
1
—EFD
1
的体积V.
13.（2002京皖春文，19）在三棱锥S—ABC中，∠SAB=∠SAC=
∠ACB=90°，且AC=BC=5，SB=5
2
，侧棱长为4.E，
5
.（如图9—21）
（Ⅰ）证明：SC⊥BC；
图9—21
（Ⅱ）求侧面SBC与底面ABC所成二面角的大小；
（Ⅲ）求三棱锥的体积V
S
－
ABC
.
14.（2002全国理，18）如图9—26，正方形ABCD、ABEF的边长都是1，而且平面ABCD、ABEF互
相垂直.点M在AC上移动，点N在BF上移动，若CM=BN=a（0＜a＜
2
）.
（Ⅰ）求MN的长；
（Ⅱ）当a为何值时，MN的长最小；
（Ⅲ）当MN长最小时，求面MNA与面MNB所成的二面角α的大小.
2024年6月13日发(作者：依依珊)
1067空间角.空间距离综合
一:高考真题:
1.（2003京春文11，理8）如图9—1，在正三角形ABC中，D，E，F分别为各边的中点，G，H，I，
J分别为AF，AD，BE，DE的中点.将△ABC沿DE，EF，DF折成三棱锥以后，GH与IJ所成角的度数为
（ ）
A.90° B.60°
C.45° D.0°
2.（2002全国理，8）正六棱柱ABCDEF—A
1
B
1
C
1
D
1
E
1
F
1
的底面边长为1，侧棱长为
2
，则
图9—1
这个棱柱的侧面对角线E
1
D与BC
1
所成的角是（ ）
A.90° B.60° C.45° D.30°
3.（2001全国，11）一间民房的屋顶有如图9—4三种不同的盖法：①单向倾斜；②双向倾斜；③四
向倾斜.记三种盖法屋顶面积分别为P
1
、P
2
、P
3
.
图9—4
若屋顶斜面与水平面所成的角都是α，则（ ）
A.P
3
＞P
2
＞P
1
B.P
3
＞P
2
＝P
1
C.P
3
＝P
2
＞P
1
D.P
3
＝P
2
＝P
1
4.（2001全国，9）在正三棱柱ABC—A
1
B
1
C
1
中，若AB＝
（ ）
A.60° B.90° C.105° D.75°
5.（2000全国文，12）如图9—5，OA是圆锥底面中心O到母线的垂线，OA绕轴旋转一周所得曲面
将圆锥分成相等的两部分，则母线与轴的夹角的余弦值为（ ）
A.
2
BB
1
，则AB
1
与C
1
B所成的角的大小为
1
3
2
1
2
B.
1
2
C. D.
1
4
2
A
1
B
1
，则BE
1
与DF
1
4
6.（1995全国文，10）如图9—7，ABCD—A
1
B
1
C
1
D
1
是正方体，B
1
E
1
＝D
1
F
1
＝
所成角的余弦值是（ ）
A.
15
17
8
17
B.
1
2
C. D.
3
2
7.（2003上海春，10）若正三棱锥底面边长为4，体积为1，则侧面和底面所成二面角的大小等于
（结果用反三角函数值表示）.
8.（2002京皖春，15）正方形ABCD的边长是2，E、F分别是AB和CD的中点，将正方形沿EF折
成直二面角（如图9—11所示）.M为矩形AEFD内一点，如果∠MBE=∠MBC，MB和平面BCF所成角的
正切值为
1
，那么点M到直线EF的距离为 .
2
9.（2002上海，4）若正四棱锥的底面边长为2
3
cm，体积为4 cm
3
，则它的侧面与底面所成的二面
角的大小是 .
10.（2000上海春，8）如图9—13，∠BAD＝90°的等腰直角三角形ABD与正三角
形CBD所在平面互相垂直，E是BC的中点，则AE与平面BCD所成角的大小为_____.
11.（2003京春文，19）如图9—19，ABCD—A
1
B
1
C
1
D
1
是正四棱柱，侧棱长为1，
底面边长为2，E是棱BC的中点.
（Ⅰ）求三棱锥D
1
—DBC的体积；
（Ⅱ）证明BD
1
∥平面C
1
DE；
（Ⅲ）求面C
1
DE与面CDE所成二面角的正切值.
图9—13
图9—19 图9—20
12.（2003京春理，19）如图9—20，正四棱柱ABCD—A
1
B
1
C
1
D
1
中，底面边长为2
F分别为棱AB，BC的中点，EF∩BD=G.
（Ⅰ）求证：平面B
1
EF⊥平面BDD
1
B
1
；
（Ⅱ）求点D
1
到平面B
1
EF的距离d；
（Ⅲ）求三棱锥B
1
—EFD
1
的体积V.
13.（2002京皖春文，19）在三棱锥S—ABC中，∠SAB=∠SAC=
∠ACB=90°，且AC=BC=5，SB=5
2
，侧棱长为4.E，
5
.（如图9—21）
（Ⅰ）证明：SC⊥BC；
图9—21
（Ⅱ）求侧面SBC与底面ABC所成二面角的大小；
（Ⅲ）求三棱锥的体积V
S
－
ABC
.
14.（2002全国理，18）如图9—26，正方形ABCD、ABEF的边长都是1，而且平面ABCD、ABEF互
相垂直.点M在AC上移动，点N在BF上移动，若CM=BN=a（0＜a＜
2
）.
（Ⅰ）求MN的长；
（Ⅱ）当a为何值时，MN的长最小；
（Ⅲ）当MN长最小时，求面MNA与面MNB所成的二面角α的大小.