2024年5月26日发(作者：盛秀妮)
《微分几何》教案节选
授 课 人：张量，宋卫东
教学时间：2005－2006学年度第一学期
教学内容：直纹面和极小曲面
教学目的：掌握直纹面、可展曲面、极小曲面的概念、性质和特征，熟悉常见的
例子，了解可展曲面（在局部上的）分类．通过本节的学习，一方面
进一步熟悉Gauss曲率、平均曲率等几何量的计算，另一方面为今后
极小曲面及其它相关理论的专题研究作初步准备．
教学重难点：直纹面、可展曲面、极小曲面的概念和特征；可展曲面的分类；等
温参数表示的概念和性质．
教学手段：讲授
§3 直纹面和极小曲面
1、直纹面
定义1.1 单参数直线族构成的曲面称为直纹面（ruled surface），它的参数表
示为
r(u, v)=
(u) + v
(u)
其中
(u)是一条空间曲线，称为直纹面的准线(directrix)，
(u)是沿
定义的一个
非零向量场，固定u时，
(u) + v
(u)是过点
(u)，沿方向
(u)的一条直线，称
为直纹面的直母线(ruling)．
注：上述定义的直纹面是参数曲面，且可能有奇点，即使得
r
u
r
v
0
的点．
例1.1 对于直纹面r(u, v)=
(u) + v
(u)，当
为常向量时，相应的直纹面称
为柱面(cylinder)；当所有直母线都经过一个定点时，所得直纹面称为锥面(cone)；
当
(u)正则，且
(u)=
'
(u)时，称相应的直纹面为
的切线面(tangent surface to
)．
1
例1.2 证明单叶双曲面S：
x
2
y
2
z
2
1
a
2
b
2
c
2
是直纹面，且有两族直母线．
证明：S的一个参数表示为
r(u, v)=(a(cosu-vsinu), b(sinu+vcosu), cv)
=(acosu, bsinu, 0)+v(
a
sinu, bcosu, c)，
所以单叶双曲面为直纹面，其准线为xy平面的椭圆
，
(u)=（acosu, bsinu, 0）
直母线的方向向量
(u)
=(
a
sinu, bcosu, c)=
'
(u)+ce
3
，
这里e
3
=(0, 0, 1)．如果取直母线方向向量为
(u)=
'
(u)+ce
3
=(asinu,
b
cosu, c)
则相应的直纹面
r(u,v)(u)v(u)
=(a(cosu+vsinu), b(sinu-vcosu), cv)，
x
2
y
2
z
2
易见
r(u,v)
也满足
2
2
2
1
，这就说明单叶双曲面上有两族直母线．证毕.
abc
例1.3 正螺面
r(u,v)=(vcosu, vsinu, au)=(0, 0, au)+v(cosu, sinu, 0)
是直纹面．
命题1.1 直纹面的Gauss曲率非正.
证明：对于直纹面r(u, v)=
(u)+v
(u)，易算得
r
u
=
'
(u)+v
'
(u)，r
v
=
(u)，
r
uu
=
''
(u)+v
''
(u)，r
uv
=r
vu
=
'
(u)，r
uv
=0，
则g=〈r
vv
，n〉=0，因此直纹面的Gauss曲率
eg
f
2
f
2
0
.
K
22
EG
FEG
F
证毕.
2
①
②
③
2024年5月26日发(作者：盛秀妮)
《微分几何》教案节选
授 课 人：张量，宋卫东
教学时间：2005－2006学年度第一学期
教学内容：直纹面和极小曲面
教学目的：掌握直纹面、可展曲面、极小曲面的概念、性质和特征，熟悉常见的
例子，了解可展曲面（在局部上的）分类．通过本节的学习，一方面
进一步熟悉Gauss曲率、平均曲率等几何量的计算，另一方面为今后
极小曲面及其它相关理论的专题研究作初步准备．
教学重难点：直纹面、可展曲面、极小曲面的概念和特征；可展曲面的分类；等
温参数表示的概念和性质．
教学手段：讲授
§3 直纹面和极小曲面
1、直纹面
定义1.1 单参数直线族构成的曲面称为直纹面（ruled surface），它的参数表
示为
r(u, v)=
(u) + v
(u)
其中
(u)是一条空间曲线，称为直纹面的准线(directrix)，
(u)是沿
定义的一个
非零向量场，固定u时，
(u) + v
(u)是过点
(u)，沿方向
(u)的一条直线，称
为直纹面的直母线(ruling)．
注：上述定义的直纹面是参数曲面，且可能有奇点，即使得
r
u
r
v
0
的点．
例1.1 对于直纹面r(u, v)=
(u) + v
(u)，当
为常向量时，相应的直纹面称
为柱面(cylinder)；当所有直母线都经过一个定点时，所得直纹面称为锥面(cone)；
当
(u)正则，且
(u)=
'
(u)时，称相应的直纹面为
的切线面(tangent surface to
)．
1
例1.2 证明单叶双曲面S：
x
2
y
2
z
2
1
a
2
b
2
c
2
是直纹面，且有两族直母线．
证明：S的一个参数表示为
r(u, v)=(a(cosu-vsinu), b(sinu+vcosu), cv)
=(acosu, bsinu, 0)+v(
a
sinu, bcosu, c)，
所以单叶双曲面为直纹面，其准线为xy平面的椭圆
，
(u)=（acosu, bsinu, 0）
直母线的方向向量
(u)
=(
a
sinu, bcosu, c)=
'
(u)+ce
3
，
这里e
3
=(0, 0, 1)．如果取直母线方向向量为
(u)=
'
(u)+ce
3
=(asinu,
b
cosu, c)
则相应的直纹面
r(u,v)(u)v(u)
=(a(cosu+vsinu), b(sinu-vcosu), cv)，
x
2
y
2
z
2
易见
r(u,v)
也满足
2
2
2
1
，这就说明单叶双曲面上有两族直母线．证毕.
abc
例1.3 正螺面
r(u,v)=(vcosu, vsinu, au)=(0, 0, au)+v(cosu, sinu, 0)
是直纹面．
命题1.1 直纹面的Gauss曲率非正.
证明：对于直纹面r(u, v)=
(u)+v
(u)，易算得
r
u
=
'
(u)+v
'
(u)，r
v
=
(u)，
r
uu
=
''
(u)+v
''
(u)，r
uv
=r
vu
=
'
(u)，r
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=0，
则g=〈r
vv
，n〉=0，因此直纹面的Gauss曲率
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f
2
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证毕.
2
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②
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