2024年6月13日发(作者：首晗昱)

学习必备 欢迎下载

高中数学立体几何 空间距离

1.两条异面直线间的距离

和两条异面直线分别垂直相交的直线，叫做这两条异面直线的公垂线；两条异面直线的公垂线在这两条异面

直线间的线段的长度，叫做两条异面直线的距离.

2.点到平面的距离

从平面外一点引一个平面的垂线，这点和垂足之间的距离叫做这个点到这个平面的距离.

3.直线与平面的距离

如果一条直线和一个平面平行，那么直线上各点到这平面的距离相等，且这条直线上任意一点到平面的距离

叫做这条直线和平面的距离.

4.两平行平面间的距离

和两个平行平面同时垂直的直线，叫做这两平行平面的公垂线，它夹在两个平行平面间的公垂线段的长叫做

这两个平行平面的距离.

题型一：两条异面直线间的距离

【例1】 如图，在空间四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA=AC=BD=a，E、F分别是AB、CD的中点.

(1)求证：EF是AB和CD的公垂线；

(2)求AB和CD间的距离；

【规范解答】 (1)证明：连结AF，BF，由已知可得AF=BF.

又因为AE=BE，所以FE⊥AB交AB于E.

同理EF⊥DC交DC于点F.

所以EF是AB和CD的公垂线.

1

3

a

,BE=

a

,

2

2

1

2

所以EF

2

=BF

2

-BE

2

=

a

2

，即EF=

a

.

2

2

(2)在Rt△BEF中，BF=

例1题图

2

a

.

2

【例2】 如图,正四面体ABCD的棱长为1，求异面直线AB、CD之间的距离.

设AB中点为E，连CE、ED.

∵AC=BC,AE=EB.∴CD⊥AB.同理DE⊥AB.

∴AB⊥平面CED.设CD的中点为F,连EF，则AB⊥EF.

同理可证CD⊥EF.∴EF是异面直线AB、CD的距离.

由(1)知EF是AB、CD的公垂线段，所以AB和CD间的距离为

例2题图

1

3

∵CE=,∴CF=FD=,∠EFC=90°,EF=

2

2

∴AB、CD的距离是

2



3



1











2

.



2



2



2





2

2

.

2

【解后归纳】 求两条异面直线之间的距离的基本方法：

（1）利用图形性质找出两条异面直线的公垂线，求出公垂线段的长度.

（2）如果两条异面直线中的一条直线与过另一条直线的平面平行，可以转化为求直线与平面的距离.

学习必备 欢迎下载

（3）如果两条异面直线分别在两个互相平行的平面内，可以转化为求两平行平面的距离.

题型二：两条异面直线间的距离

【例3】 如图(1),正四面体ABCD的棱长为1，求：A到平面BCD的距离；

过A作AO⊥平面BCD于O，连BO并延长与CD相交于E，连AE.

∵AB=AC=AD,∴OB=OC=OD.∴O是△BCD的外心.又BD＝BC＝CD，

∴O是△BCD的中心，∴BO=

2

233

BE=



.



323

3

2

例3题图



3



6

6

22



又AB＝1，且∠AOB=90°,∴AO=

ABBO1

.∴A到平面BCD的距离是.





3



3

3



【例4】 在梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=



5

,AB=a,AD=3a且sin∠ADC=,又PA⊥平面ABCD,PA=a,

5

2

求：(1)二面角P—CD—A的大小; (2)点A到平面PBC的距离.

【规范解答】 (1)作AF⊥DC于F,连结PF,

∵AP⊥平面ABCD,AF⊥DC,∴PF⊥DC,

∴∠PFA就是二面角P—CD—A的平面角.

在△ADF中,∠AFD=90°,∠ADF=arcsin

3a

5

,AD=3a,∴AF=,

5

5

PAa555

,∴∠PFA=arc tan.



AF3a33

(2)∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥BC,又BC⊥AB,

∴BC⊥平面PAB,作AH⊥PB,则BC⊥AH,∴AH⊥平面PBC,∵PA⊥AB,PA=AB=a,

在Rt△PAF中tan∠PFA=

∴PB=

2

a,∴AH=

【例5】

2

a

.

2

如图，所示的多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEC

1

F所截面而得到的，其中AB=4，

BC=2，CC

1

=3，BE=1.（Ⅰ）求BF的长；（Ⅱ）求点C到平面AEC

1

F的距离.

解法1：（Ⅰ）过E作EH//BC交CC

1

于H，则CH=BE=1，EH//AD，且EH=AD.

∵AF∥EC

1

，∴∠FAD=∠C

1

EH. ∴Rt△ADF≌Rt△EHC

1

.

∴DF=C

1

H=2.

BFBDDF26.

（Ⅱ）延长C

1

E与CB交于G，连AG，

则平面AEC

1

F与平面ABCD相交于AG.

过C作CM⊥AG，垂足为M，连C

1

M，

由三垂线定理可知AG⊥C

1

M.由于AG⊥面C

1

MC，

且AG



面AEC

1

F，所以平面AEC

1

F⊥面C

1

MC.

在Rt△C

1

CM中，作CQ⊥MC

1

，垂足为Q，则CQ的长即为C到面AEC

1

F的距离.

22

由

EBBG

可得,BG1,从而AG

CC

1

CG

AB

2

BG

2

17.

4

17



12

,

17

由GABMCG知,CM3cosMCG3cosGAB3

3

2

12

17



433

.

11

CQ

CMCC

1



MC

1

12

2

3

17

解法2：（I）建立如图所示的空间直角坐标系，则D（0，0，0），B（2，4，0），

A（2，0，0），C（0，4，0），E（2，4，1），C

1

（0，4，3）.设F（0，0，z）.

∵AEC

1

F为平行四边形，

2024年6月13日发(作者：首晗昱)

学习必备 欢迎下载

高中数学立体几何 空间距离

1.两条异面直线间的距离

和两条异面直线分别垂直相交的直线，叫做这两条异面直线的公垂线；两条异面直线的公垂线在这两条异面

直线间的线段的长度，叫做两条异面直线的距离.

2.点到平面的距离

从平面外一点引一个平面的垂线，这点和垂足之间的距离叫做这个点到这个平面的距离.

3.直线与平面的距离

如果一条直线和一个平面平行，那么直线上各点到这平面的距离相等，且这条直线上任意一点到平面的距离

叫做这条直线和平面的距离.

4.两平行平面间的距离

和两个平行平面同时垂直的直线，叫做这两平行平面的公垂线，它夹在两个平行平面间的公垂线段的长叫做

这两个平行平面的距离.

题型一：两条异面直线间的距离

【例1】 如图，在空间四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA=AC=BD=a，E、F分别是AB、CD的中点.

(1)求证：EF是AB和CD的公垂线；

(2)求AB和CD间的距离；

【规范解答】 (1)证明：连结AF，BF，由已知可得AF=BF.

又因为AE=BE，所以FE⊥AB交AB于E.

同理EF⊥DC交DC于点F.

所以EF是AB和CD的公垂线.

1

3

a

,BE=

a

,

2

2

1

2

所以EF

2

=BF

2

-BE

2

=

a

2

，即EF=

a

.

2

2

(2)在Rt△BEF中，BF=

例1题图

2

a

.

2

【例2】 如图,正四面体ABCD的棱长为1，求异面直线AB、CD之间的距离.

设AB中点为E，连CE、ED.

∵AC=BC,AE=EB.∴CD⊥AB.同理DE⊥AB.

∴AB⊥平面CED.设CD的中点为F,连EF，则AB⊥EF.

同理可证CD⊥EF.∴EF是异面直线AB、CD的距离.

由(1)知EF是AB、CD的公垂线段，所以AB和CD间的距离为

例2题图

1

3

∵CE=,∴CF=FD=,∠EFC=90°,EF=

2

2

∴AB、CD的距离是

2



3



1











2

.



2



2



2





2

2

.

2

【解后归纳】 求两条异面直线之间的距离的基本方法：

（1）利用图形性质找出两条异面直线的公垂线，求出公垂线段的长度.

（2）如果两条异面直线中的一条直线与过另一条直线的平面平行，可以转化为求直线与平面的距离.

学习必备 欢迎下载

（3）如果两条异面直线分别在两个互相平行的平面内，可以转化为求两平行平面的距离.

题型二：两条异面直线间的距离

【例3】 如图(1),正四面体ABCD的棱长为1，求：A到平面BCD的距离；

过A作AO⊥平面BCD于O，连BO并延长与CD相交于E，连AE.

∵AB=AC=AD,∴OB=OC=OD.∴O是△BCD的外心.又BD＝BC＝CD，

∴O是△BCD的中心，∴BO=

2

233

BE=



.



323

3

2

例3题图



3



6

6

22



又AB＝1，且∠AOB=90°,∴AO=

ABBO1

.∴A到平面BCD的距离是.





3



3

3



【例4】 在梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=



5

,AB=a,AD=3a且sin∠ADC=,又PA⊥平面ABCD,PA=a,

5

2

求：(1)二面角P—CD—A的大小; (2)点A到平面PBC的距离.

【规范解答】 (1)作AF⊥DC于F,连结PF,

∵AP⊥平面ABCD,AF⊥DC,∴PF⊥DC,

∴∠PFA就是二面角P—CD—A的平面角.

在△ADF中,∠AFD=90°,∠ADF=arcsin

3a

5

,AD=3a,∴AF=,

5

5

PAa555

,∴∠PFA=arc tan.



AF3a33

(2)∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥BC,又BC⊥AB,

∴BC⊥平面PAB,作AH⊥PB,则BC⊥AH,∴AH⊥平面PBC,∵PA⊥AB,PA=AB=a,

在Rt△PAF中tan∠PFA=

∴PB=

2

a,∴AH=

【例5】

2

a

.

2

如图，所示的多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEC

1

F所截面而得到的，其中AB=4，

BC=2，CC

1

=3，BE=1.（Ⅰ）求BF的长；（Ⅱ）求点C到平面AEC

1

F的距离.

解法1：（Ⅰ）过E作EH//BC交CC

1

于H，则CH=BE=1，EH//AD，且EH=AD.

∵AF∥EC

1

，∴∠FAD=∠C

1

EH. ∴Rt△ADF≌Rt△EHC

1

.

∴DF=C

1

H=2.

BFBDDF26.

（Ⅱ）延长C

1

E与CB交于G，连AG，

则平面AEC

1

F与平面ABCD相交于AG.

过C作CM⊥AG，垂足为M，连C

1

M，

由三垂线定理可知AG⊥C

1

M.由于AG⊥面C

1

MC，

且AG



面AEC

1

F，所以平面AEC

1

F⊥面C

1

MC.

在Rt△C

1

CM中，作CQ⊥MC

1

，垂足为Q，则CQ的长即为C到面AEC

1

F的距离.

22

由

EBBG

可得,BG1,从而AG

CC

1

CG

AB

2

BG

2

17.

4

17



12

,

17

由GABMCG知,CM3cosMCG3cosGAB3

3

2

12

17



433

.

11

CQ

CMCC

1



MC

1

12

2

3

17

解法2：（I）建立如图所示的空间直角坐标系，则D（0，0，0），B（2，4，0），

A（2，0，0），C（0，4，0），E（2，4，1），C

1

（0，4，3）.设F（0，0，z）.

∵AEC

1

F为平行四边形，