2024年3月25日发(作者：宛辉)
近世代数的基础知识
初等代数、高等代数和线性代数都称为经典代数（Classical algebra），它的研究对象
主要是代数方程和线性方程组）。近世代数（modern algebra）又称为抽象代数（abstract
algebra），它的研究对象是代数系，所谓代数系，是由一个集合和定义在这个集合中的一
种或若干种运算所构成的一个系统。近世代数主要包括：群论、环论和域论等几个方面的
理论，其中群论是基础。下面，我们首先简要回顾一下集合、映射和整数等方面的基础知
识，然后介绍本文需要用到的近世代数的相关知识。
3．1 集合、映射、二元运算和整数
3．1．1 集合
集合是指一些对象的总体，这些对象称为集合的元或元素。“元素
a
是集合A的元”记
作“
xA
”，反之，“
aA
”表示“
x
不是集合
A
的元”。
设有两个集合A和B，若对A中的任意一个元素
a
（记作
aA
）均有
aB
，则称A
是B的子集，记作
AB
。若
AB
且
BA
，即A和B有完全相同的元素，则称它们相等，
记作
AB
。若
AB
，但
AB
，则称A 是B的真子集，或称B真包含A，记作
AB
。
不含任何元素的集合叫空集，空集是任何一个集合的子集。
集合的表示方法通常有两种：一种是直接列出所有的元素，另一种是规定元素所具有
的性质。例如：
$
A
a,b,c
；
S
xp(x)
，其中
p(x)
表示元素
x
具有的性质。
本文中常用的集合及记号有：
整数集合
Z
0,1,2,3,
；
Z
非零整数集合
Z
0
1,2,3,
；
Z
正整数（自然数）集合
1,2,3,
；
有理数集合Q，实数集合R，复数集合C等。
—
一个集合A的元素个数用
A
表示。当A中有有限个元素时，称为有限集，否则称为无
限集。用
A
表示A是无限集，
A
表示A是有限集。
3．1．2 映射
映射是函数概念的推广，它描述了两个集合的元素之间的关系。
定义1 设A，B为两个非空集合，若存在一个A到B的对应关系f，使得对A中的
每一个元素x，都有B中唯一确定的一个元素y与之对应，则称f是A到B的一个映射，
2024年3月25日发(作者：宛辉)
近世代数的基础知识
初等代数、高等代数和线性代数都称为经典代数（Classical algebra），它的研究对象
主要是代数方程和线性方程组）。近世代数（modern algebra）又称为抽象代数（abstract
algebra），它的研究对象是代数系，所谓代数系，是由一个集合和定义在这个集合中的一
种或若干种运算所构成的一个系统。近世代数主要包括：群论、环论和域论等几个方面的
理论，其中群论是基础。下面，我们首先简要回顾一下集合、映射和整数等方面的基础知
识，然后介绍本文需要用到的近世代数的相关知识。
3．1 集合、映射、二元运算和整数
3．1．1 集合
集合是指一些对象的总体，这些对象称为集合的元或元素。“元素
a
是集合A的元”记
作“
xA
”，反之，“
aA
”表示“
x
不是集合
A
的元”。
设有两个集合A和B，若对A中的任意一个元素
a
（记作
aA
）均有
aB
，则称A
是B的子集，记作
AB
。若
AB
且
BA
，即A和B有完全相同的元素，则称它们相等，
记作
AB
。若
AB
，但
AB
，则称A 是B的真子集，或称B真包含A，记作
AB
。
不含任何元素的集合叫空集，空集是任何一个集合的子集。
集合的表示方法通常有两种：一种是直接列出所有的元素，另一种是规定元素所具有
的性质。例如：
$
A
a,b,c
；
S
xp(x)
，其中
p(x)
表示元素
x
具有的性质。
本文中常用的集合及记号有：
整数集合
Z
0,1,2,3,
；
Z
非零整数集合
Z
0
1,2,3,
；
Z
正整数（自然数）集合
1,2,3,
；
有理数集合Q，实数集合R，复数集合C等。
—
一个集合A的元素个数用
A
表示。当A中有有限个元素时，称为有限集，否则称为无
限集。用
A
表示A是无限集，
A
表示A是有限集。
3．1．2 映射
映射是函数概念的推广，它描述了两个集合的元素之间的关系。
定义1 设A，B为两个非空集合，若存在一个A到B的对应关系f，使得对A中的
每一个元素x，都有B中唯一确定的一个元素y与之对应，则称f是A到B的一个映射，