2024年3月27日发(作者：梁嘉运)

习题87

1 求函数zx

2

+y

2

在点(1 2)处沿从点(1 2)到点

(2, 23)

的方向的方向导数

解 因为从点(1 2)到点

(2, 23)

的向量为

l(1, 3)

 故



s, co



s)



e

l



l

(

1

,

3

)(co

|l|22

又因为

2x

(1,2)

2



z

z

2y

(1,2)

4



x

(1,2)

y

(1,2)

故所求方向导数为

s

z

co



s2

1

4

3

123



z



z

co



lxy22

2 求函数zln(xy)在抛物线y

2

4x上点(1 2)处 沿这抛物线在该点处偏向

x轴正向的切线方向的方向导数

解 方程y

2

4x两边对x求导得2yy4 解得

y





2



y

在抛物线y

2

4x上点(1 2)处 切线的斜率为y(1)1 切向量为l(1 1) 单

位切向量为

e

l

(

1

,

1

)(cos



, cos



)



22

又因为

z



1



1



z



1



1



x

(1,2)

xy

(1,2)

3y

(1,2)

xy

(1,2)

3

故所求方向导数为

s

z

co



s

1



1



1



1



2



z



z

co



lxy3

2

3

2

3

2

2

y

2

y

2

ab

x

x

3 求函数

z1(

2



2

)

在点

(, )

处沿曲线

2



2

1

在这点的内法

ab

ab

22

线方向的方向导数

2

y

2

2y

x

解 令

F(x,y)

2



2

1

 则

F

x



2x

 

F

y

ab

a

2

b

2

从而点(x y)处的法向量为

2y

n(F

x

, F

y

)(

2x

, )



22

ab

在

(

a

,

b

)

处的内法向量为

22

2y

, )

n(

2x

a

2

b

2

(

a

,

b

)

(

22

2

,

2

)



ab

单位内法向量为

e

n

(

又因为

z

x

(

a

,

b

)



2

(

a

,

b

)



a

2222

ba

)(co



, s, cos



)



2222

abab

2x2



z

a

y

(

a

,

b

)

22



2y

b

2

(

a

,

b

)



22

2



b

所以

z



z

co



s

z

co



s

2



b



2



a



2

a

2

b

2



nxya

a

2

b

2

b

a

2

b

2

ab

4 求函数uxy

2

z

3

xyz在点(1 1 2)处沿方向角为























33

4

的方向的方向导数

解 因为方向向量为

l(cos



,cos



,cos



)(

1

,

2

,

1

)

 又因为

222

(y

2

yz)

(1,1,2)

1



u

x

(1,1,2)

u

(2xyxz)

(1,1,2)

0



y

(1,1,2)

(3z

2

xy)

(1,1,2)

11



u

z

(1,1,2)

所以

u



u

cos





u

cos





u

cos



(1)

1

0

2

11

1

5



lxyz222

5 求函数uxyz在点(512)处沿从点(5 1 2)到点(9 4 14)的方向的方向导

数

解 因为l(95 41 142)(4 3 12)

e

l



l

(

4

,

3

,

12

)

 并且

|l|131313

u

yz

(5,1,2)

2



u

xy

(5,1,2)

5



u

xz

(5,1,2)

10



(5,1,2)

(5,1,2)

x

z

y

(5,1,2)

所以

u



u

cos





u

cos





u

cos



2

4

10

3

5

12



98



lxyz13131313

6 求函数ux

2

y

2

z

2

在曲线xt yt

2

 zt

3

上点(1 1 1)处 沿曲线在该点的

切线正方向(对应于t增大的方向)的方向导

解 曲线xt yt

2

 zt

3

上点(1 1 1)对应的参数为t1 在点(1 1 1)的切线正

向为

l(1, 2t, 3t

2

)

t1

(1, 2, 3)



e

l



l

(

1

,

2

,

3

)



|l|

141414

u

2z

(1,1,1)

2



2x

(1,1,1)

2



u

又

u

2y

(1,1,1)

2



(1,1,1)

(1,1,1)

z

x

y

(1,1,1)



u

cos





u

cos





u

cos



2

1

2

2

2

3



12

 所以

u

l

(1,1,1)

xyz

14141414

7 求函数uxyz在球面x

2

y

2

z

2

1上点(x

0

 y

0

 z

0

)处 沿球面在该点的外

法线方向的方向导数

解 令F(x y z)x

2

y

2

z

2

1 则球面x

2

y

2

z

2

1在点(x

0

 y

0

 z

0

)处的外法向量

为

n(F

x

, F

y

, F

z

)

(x,y,z)

(2x

0

, 2y

0

, 2z

0

)



000

s,cos



,co



s)



e

n



n

(x

0

, y

0

, z

0

)(co



|n|

又

u



u



u

1



xyz

u



u

co



s

u

cos





u

co



s1x

0

1y

0

1z

0

x

0

y

0

z

0

 所以

nxyz

8 设f(x y z)x

2

2y

2

3z

2

xy3x2y6z 求grad f(0 0 0)及grad f(1 1 1)

f

ff

4yx2



2xy3



6z6



y

xz

因为

f

ff

2

 

36



y

(0,0,0)

x

(0,0,0)

z

(0,0,0)

f

ff

3

 

60



y

(0,1,1)

x

(0,1,1)

z

(0,1,1)

所以 grad f(0 0 0)3i2j6k

解

grad f(1 1 1)6i3j

9 设u v都是 x y z的函数 u v的各偏导数都存在且连续 证明

(1) grad(uv)grad u grad v

(uv)(uv)(uv)

ijk

解

grad(uv)

xyz

(

u



v

)i(

u



v

)j(

u



v

)k

xxyyzz

(

u

i

u

j

u

k)(

v

i

v

j

v

k)

xyzxyz

gravd

graud



(2) grad (uv)vgrad uugrad v

(uv)(uv)(uv)

ijk

解

grad(uv)

xyz

(v

u

u

v

)i(v

u

u

v

)j(v

u

u

v

)k

xxyyzz

uu

j

u

k)u(

v

i

v

j

v

k)

v(i

xyzxyz

vgrad u ugrad v

(3) grad (u

2

)2ugrad u

222

uuu

2

grad(u)ijk

2u

u

i2u

u

j2u

u

k

解

xyz

xyz

uu

j

u

k)2ugraud



2u(i

xyz

10 问函数uxy

2

z在点p(1 1 2)处沿什么方向的方向导数最大? 并求此方

向导数的最大值

解

grad u

u

i

u

j

u

ky

2

zi2xyzjxy

2

k



xyz

grad u(1, 1, 2)(y

2

zi2xyzjxy

2

k)

(1,1,2)

2i4jk



grad u(1 1 2)为方向导数最大的方向 最大方向导数为

|grad u(1, 1, 2)|2

2

(4)

2

1

2

21



2024年3月27日发(作者：梁嘉运)

习题87

1 求函数zx

2

+y

2

在点(1 2)处沿从点(1 2)到点

(2, 23)

的方向的方向导数

解 因为从点(1 2)到点

(2, 23)

的向量为

l(1, 3)

 故



s, co



s)



e

l



l

(

1

,

3

)(co

|l|22

又因为

2x

(1,2)

2



z

z

2y

(1,2)

4



x

(1,2)

y

(1,2)

故所求方向导数为

s

z

co



s2

1

4

3

123



z



z

co



lxy22

2 求函数zln(xy)在抛物线y

2

4x上点(1 2)处 沿这抛物线在该点处偏向

x轴正向的切线方向的方向导数

解 方程y

2

4x两边对x求导得2yy4 解得

y





2



y

在抛物线y

2

4x上点(1 2)处 切线的斜率为y(1)1 切向量为l(1 1) 单

位切向量为

e

l

(

1

,

1

)(cos



, cos



)



22

又因为

z



1



1



z



1



1



x

(1,2)

xy

(1,2)

3y

(1,2)

xy

(1,2)

3

故所求方向导数为

s

z

co



s

1



1



1



1



2



z



z

co



lxy3

2

3

2

3

2

2

y

2

y

2

ab

x

x

3 求函数

z1(

2



2

)

在点

(, )

处沿曲线

2



2

1

在这点的内法

ab

ab

22

线方向的方向导数

2

y

2

2y

x

解 令

F(x,y)

2



2

1

 则

F

x



2x

 

F

y

ab

a

2

b

2

从而点(x y)处的法向量为

2y

n(F

x

, F

y

)(

2x

, )



22

ab

在

(

a

,

b

)

处的内法向量为

22

2y

, )

n(

2x

a

2

b

2

(

a

,

b

)

(

22

2

,

2

)



ab

单位内法向量为

e

n

(

又因为

z

x

(

a

,

b

)



2

(

a

,

b

)



a

2222

ba

)(co



, s, cos



)



2222

abab

2x2



z

a

y

(

a

,

b

)

22



2y

b

2

(

a

,

b

)



22

2



b

所以

z



z

co



s

z

co



s

2



b



2



a



2

a

2

b

2



nxya

a

2

b

2

b

a

2

b

2

ab

4 求函数uxy

2

z

3

xyz在点(1 1 2)处沿方向角为























33

4

的方向的方向导数

解 因为方向向量为

l(cos



,cos



,cos



)(

1

,

2

,

1

)

 又因为

222

(y

2

yz)

(1,1,2)

1



u

x

(1,1,2)

u

(2xyxz)

(1,1,2)

0



y

(1,1,2)

(3z

2

xy)

(1,1,2)

11



u

z

(1,1,2)

所以

u



u

cos





u

cos





u

cos



(1)

1

0

2

11

1

5



lxyz222

5 求函数uxyz在点(512)处沿从点(5 1 2)到点(9 4 14)的方向的方向导

数

解 因为l(95 41 142)(4 3 12)

e

l



l

(

4

,

3

,

12

)

 并且

|l|131313

u

yz

(5,1,2)

2



u

xy

(5,1,2)

5



u

xz

(5,1,2)

10



(5,1,2)

(5,1,2)

x

z

y

(5,1,2)

所以

u



u

cos





u

cos





u

cos



2

4

10

3

5

12



98



lxyz13131313

6 求函数ux

2

y

2

z

2

在曲线xt yt

2

 zt

3

上点(1 1 1)处 沿曲线在该点的

切线正方向(对应于t增大的方向)的方向导

解 曲线xt yt

2

 zt

3

上点(1 1 1)对应的参数为t1 在点(1 1 1)的切线正

向为

l(1, 2t, 3t

2

)

t1

(1, 2, 3)



e

l



l

(

1

,

2

,

3

)



|l|

141414

u

2z

(1,1,1)

2



2x

(1,1,1)

2



u

又

u

2y

(1,1,1)

2



(1,1,1)

(1,1,1)

z

x

y

(1,1,1)



u

cos





u

cos





u

cos



2

1

2

2

2

3



12

 所以

u

l

(1,1,1)

xyz

14141414

7 求函数uxyz在球面x

2

y

2

z

2

1上点(x

0

 y

0

 z

0

)处 沿球面在该点的外

法线方向的方向导数

解 令F(x y z)x

2

y

2

z

2

1 则球面x

2

y

2

z

2

1在点(x

0

 y

0

 z

0

)处的外法向量

为

n(F

x

, F

y

, F

z

)

(x,y,z)

(2x

0

, 2y

0

, 2z

0

)



000

s,cos



,co



s)



e

n



n

(x

0

, y

0

, z

0

)(co



|n|

又

u



u



u

1



xyz

u



u

co



s

u

cos





u

co



s1x

0

1y

0

1z

0

x

0

y

0

z

0

 所以

nxyz

8 设f(x y z)x

2

2y

2

3z

2

xy3x2y6z 求grad f(0 0 0)及grad f(1 1 1)

f

ff

4yx2



2xy3



6z6



y

xz

因为

f

ff

2

 

36



y

(0,0,0)

x

(0,0,0)

z

(0,0,0)

f

ff

3

 

60



y

(0,1,1)

x

(0,1,1)

z

(0,1,1)

所以 grad f(0 0 0)3i2j6k

解

grad f(1 1 1)6i3j

9 设u v都是 x y z的函数 u v的各偏导数都存在且连续 证明

(1) grad(uv)grad u grad v

(uv)(uv)(uv)

ijk

解

grad(uv)

xyz

(

u



v

)i(

u



v

)j(

u



v

)k

xxyyzz

(

u

i

u

j

u

k)(

v

i

v

j

v

k)

xyzxyz

gravd

graud



(2) grad (uv)vgrad uugrad v

(uv)(uv)(uv)

ijk

解

grad(uv)

xyz

(v

u

u

v

)i(v

u

u

v

)j(v

u

u

v

)k

xxyyzz

uu

j

u

k)u(

v

i

v

j

v

k)

v(i

xyzxyz

vgrad u ugrad v

(3) grad (u

2

)2ugrad u

222

uuu

2

grad(u)ijk

2u

u

i2u

u

j2u

u

k

解

xyz

xyz

uu

j

u

k)2ugraud



2u(i

xyz

10 问函数uxy

2

z在点p(1 1 2)处沿什么方向的方向导数最大? 并求此方

向导数的最大值

解

grad u

u

i

u

j

u

ky

2

zi2xyzjxy

2

k



xyz

grad u(1, 1, 2)(y

2

zi2xyzjxy

2

k)

(1,1,2)

2i4jk



grad u(1 1 2)为方向导数最大的方向 最大方向导数为

|grad u(1, 1, 2)|2

2

(4)

2

1

2

21

