2024年3月27日发(作者：董彦红)

时间

---------月---------日 课

星期----------------- 题

§11 5 对坐标的曲面积分

教学目的

教学重点

教学难点

课 型

教法选择

对坐标曲面积分的概念、性质、存在条件及其计算；两类曲面积分的关系。

对坐标曲面积分的概念、性质、存在条件及其计算。

对坐标曲面积分的计算。

新授课

讲练结合

教学媒体

教 学 过 程

一、对坐标的曲面积分的概念与性质

有向曲面 通常我们遇到的曲面都是双侧的 例如由方程

z



z

(

x



y

) 表示

的曲面分为上侧与下侧 设

n

(cos



 cos



 cos



)为曲面上的法向量 在曲面

的上侧cos



0 在曲面的下侧cos



0 闭曲面有内侧与外侧之分

类似地 如果曲面的方程为

y



y

(

z



x

)则曲面分为左侧与右侧 在曲面的

右侧cos



0 在曲面的左侧cos



0 如果曲面的方程为

x



x

(

y



z

) 则曲面分

为前侧与后侧 在曲面的前侧cos



0 在曲面的后侧cos



0

设是有向曲面 在上取一小块曲面

S

 把

S

投影到

xOy

面上得一投影

区域 这投影区域的面积记为(



)

xy

假定

S

上各点处的法向量与

z

轴的夹角



的余弦cos



有相同的符号(即cos



都是正的或都是负的) 我们规定

S

在

xOy

面上的投影(

S

)

xy

为

教法运用及

板书要点

cos



0



(



)

xy



(S)

xy





(



)

xy

cos



0





0 cos



0



其中cos



0也就是(



)

xy

0的情形 类似地可以定义

S

在

yOz

面及在

zOx

面

上的投影(

S

)

yz

及(

S

)

zx



流向曲面一侧的流量 设稳定流动的不可压缩流体的速度场由

v

(

x



y



z

)(

P

(

x



y



z

) 

Q

(

x



y



z

) 

R

(

x



y



z

))

给出 是速度场中的一片有向曲面 函数

P

(

x



y



z

)、

Q

(

x



y



z

)、

R

(

x



y



z

)

都在上连续 求在单位时间内流向指定侧的流体的质量 即流量

如果流体流过平面上面积为

A

的一个闭区域 且流体在这闭区域上各点处

的流速为(常向量)

v

 又设

n

为该平面的单位法向量 那么在单位时间内流过这

闭区域的流体组成一个底面积为

A

、斜高为|

v

|的斜柱体

当(

v



n

)







^



时 这斜柱体的体积为

A

|

v

|cos





A

v



n



2

1

当(

v



n

)



^



时 显然流体通过闭区域

A

的流向

n

所指一侧的流量为零

2

而

Av



n

0, 故

Av



n



当(

v



n

)



^



时

Av



n

0 这时我们仍把

Av



n

称为流体通过闭区域

A

流向

n

2

所指一侧的流量 它表示流体通过闭区域

A

实际上流向

n

所指一侧 且流向

n

所指一侧的流量为

Av



n

 因此 不论(

v



n

)为何值 流体通过闭区域

A

流向

n

所

指一侧的流量均为

Av



n



把曲面分成

n

小块 

S

1

 

S

2

    

S

n

(

S

i

同时也代表第

i

小块曲面的

面积) 在是光滑的和

v

是连续的前提下 只要

S

i

的直径很小 我们就可以

用

S

i

上任一点(



i

,



i

,



i

)处的流速

v

i



v

(



i

,



i

,



i

)

P

(



i

,



i

,



i

)

i



Q

(



i

,



i

,



i

)

j



R

(



i

,



i

,



i

)

k

代替

S

i

上其它各点处的流速 以该点(



i

,



i

,



i

)处曲面的单位法向量

n

i

cos



i

i

cos



i

j

 cos



i

k

代替

S

i

上其它各点处的单位法向量 从而得到通过

S

i

流向指定侧的流量的近

似值为

v

i



n

i



S

i

(

i

1, 2,    ,

n

)

于是 通过流向指定侧的流量







v

i

n

i

S

i

i1

n

^





[P(



i

,



i

,



i

)cos



i

Q(



i

,



i

,



i

)cos



i

R(



i

,



i

,



i

)cos



i

]S

i



i1

n

但 cos



i



S

i

(

S

i

)

yz

 cos



i



S

i

(

S

i

)

zx

 cos



i



S

i

(

S

i

)

xy



因此上式可以写成





[P(



i

,



i

,



i

)(S

i

)

yz

Q(



i

,



i

,



i

)(S

i

)

zx

R(



i

,



i

,



i

)(S

i

)

xy

]



i1

n

令



0取上述和的极限 就得到流量的精确值 这样的极限还会在其它

问题中遇到 抽去它们的具体意义 就得出下列对坐标的曲面积分的概念

定义 设为光滑的有向曲面 函数

R

(

x



y



z

)在上有界 把任意分

成

n

块小曲面

S

i

(

S

i

同时也代表第

i

小块曲面的面积) 在

xOy

面上的投影为

(

S

i

)

xy

 (



i

,



i

,



i

)是

S

i

上任意取定的一点 如果当各小块曲面的直径的最

大值



0时

lim



R(



i

,



i

,



i

)(S

i

)

xy

总存在 则称此极限为函数

R

(

x



y





0

i1

n

z

)在有向曲面上对坐标

x

、

y

的曲面积分: 记作



R(x,y,z)dxdy





2

2024年3月27日发(作者：董彦红)

时间

---------月---------日 课

星期----------------- 题

§11 5 对坐标的曲面积分

教学目的

教学重点

教学难点

课 型

教法选择

对坐标曲面积分的概念、性质、存在条件及其计算；两类曲面积分的关系。

对坐标曲面积分的概念、性质、存在条件及其计算。

对坐标曲面积分的计算。

新授课

讲练结合

教学媒体

教 学 过 程

一、对坐标的曲面积分的概念与性质

有向曲面 通常我们遇到的曲面都是双侧的 例如由方程

z



z

(

x



y

) 表示

的曲面分为上侧与下侧 设

n

(cos



 cos



 cos



)为曲面上的法向量 在曲面

的上侧cos



0 在曲面的下侧cos



0 闭曲面有内侧与外侧之分

类似地 如果曲面的方程为

y



y

(

z



x

)则曲面分为左侧与右侧 在曲面的

右侧cos



0 在曲面的左侧cos



0 如果曲面的方程为

x



x

(

y



z

) 则曲面分

为前侧与后侧 在曲面的前侧cos



0 在曲面的后侧cos



0

设是有向曲面 在上取一小块曲面

S

 把

S

投影到

xOy

面上得一投影

区域 这投影区域的面积记为(



)

xy

假定

S

上各点处的法向量与

z

轴的夹角



的余弦cos



有相同的符号(即cos



都是正的或都是负的) 我们规定

S

在

xOy

面上的投影(

S

)

xy

为

教法运用及

板书要点

cos



0



(



)

xy



(S)

xy





(



)

xy

cos



0





0 cos



0



其中cos



0也就是(



)

xy

0的情形 类似地可以定义

S

在

yOz

面及在

zOx

面

上的投影(

S

)

yz

及(

S

)

zx



流向曲面一侧的流量 设稳定流动的不可压缩流体的速度场由

v

(

x



y



z

)(

P

(

x



y



z

) 

Q

(

x



y



z

) 

R

(

x



y



z

))

给出 是速度场中的一片有向曲面 函数

P

(

x



y



z

)、

Q

(

x



y



z

)、

R

(

x



y



z

)

都在上连续 求在单位时间内流向指定侧的流体的质量 即流量

如果流体流过平面上面积为

A

的一个闭区域 且流体在这闭区域上各点处

的流速为(常向量)

v

 又设

n

为该平面的单位法向量 那么在单位时间内流过这

闭区域的流体组成一个底面积为

A

、斜高为|

v

|的斜柱体

当(

v



n

)







^



时 这斜柱体的体积为

A

|

v

|cos





A

v



n



2

1

当(

v



n

)



^



时 显然流体通过闭区域

A

的流向

n

所指一侧的流量为零

2

而

Av



n

0, 故

Av



n



当(

v



n

)



^



时

Av



n

0 这时我们仍把

Av



n

称为流体通过闭区域

A

流向

n

2

所指一侧的流量 它表示流体通过闭区域

A

实际上流向

n

所指一侧 且流向

n

所指一侧的流量为

Av



n

 因此 不论(

v



n

)为何值 流体通过闭区域

A

流向

n

所

指一侧的流量均为

Av



n



把曲面分成

n

小块 

S

1

 

S

2

    

S

n

(

S

i

同时也代表第

i

小块曲面的

面积) 在是光滑的和

v

是连续的前提下 只要

S

i

的直径很小 我们就可以

用

S

i

上任一点(



i

,



i

,



i

)处的流速

v

i



v

(



i

,



i

,



i

)

P

(



i

,



i

,



i

)

i



Q

(



i

,



i

,



i

)

j



R

(



i

,



i

,



i

)

k

代替

S

i

上其它各点处的流速 以该点(



i

,



i

,



i

)处曲面的单位法向量

n

i

cos



i

i

cos



i

j

 cos



i

k

代替

S

i

上其它各点处的单位法向量 从而得到通过

S

i

流向指定侧的流量的近

似值为

v

i



n

i



S

i

(

i

1, 2,    ,

n

)

于是 通过流向指定侧的流量







v

i

n

i

S

i

i1

n

^





[P(



i

,



i

,



i

)cos



i

Q(



i

,



i

,



i

)cos



i

R(



i

,



i

,



i

)cos



i

]S

i



i1

n

但 cos



i



S

i

(

S

i

)

yz

 cos



i



S

i

(

S

i

)

zx

 cos



i



S

i

(

S

i

)

xy



因此上式可以写成





[P(



i

,



i

,



i

)(S

i

)

yz

Q(



i

,



i

,



i

)(S

i

)

zx

R(



i

,



i

,



i

)(S

i

)

xy

]



i1

n

令



0取上述和的极限 就得到流量的精确值 这样的极限还会在其它

问题中遇到 抽去它们的具体意义 就得出下列对坐标的曲面积分的概念

定义 设为光滑的有向曲面 函数

R

(

x



y



z

)在上有界 把任意分

成

n

块小曲面

S

i

(

S

i

同时也代表第

i

小块曲面的面积) 在

xOy

面上的投影为

(

S

i

)

xy

 (



i

,



i

,



i

)是

S

i

上任意取定的一点 如果当各小块曲面的直径的最

大值



0时

lim



R(



i

,



i

,



i

)(S

i

)

xy

总存在 则称此极限为函数

R

(

x



y





0

i1

n

z

)在有向曲面上对坐标

x

、

y

的曲面积分: 记作



R(x,y,z)dxdy





2