2024年3月27日发(作者：广承恩)
一
计算题
(
共
133
分
)
1. (
本题
5
分
)(0004)
一质点沿
x
轴运动，其加速度
a
与位置坐标
x
的关系为
2
a
＝
2
＋
6 x (SI)
如果质点在原点处的速度为零，试求其在任意位置处的速度．
2. (
本题
5
分
)(0258)
一质点从静止开始作直线运动，开始时加速度为a
0
，此后加速度随时间均
匀增加，经过时间
t
后，加速度为2a
0
，经过时间2
t
后，加速度为3 a
0
,…求经过
时间n
t
后，该质点的速度和走过的距离．
3. (
本题
5
分
)(0259)
一球从高
h
处落向水平面，经碰撞后又上升到
h
1
处，如果每次碰撞
后与碰撞前速度之比为常数，问球在
n
次碰撞后还能升多高？
4. (
本题
5
分
)(0265)
有一质点沿x轴作直线运动，t时刻的坐标为x = 4.5 t
2
– 2 t
3
(SI) ．试求：
(1) 第2秒内的平均速度；
(2) 第2秒末的瞬时速度；
(3) 第2秒内的路程．
5. (
本题
5
分
)(0505)
一物体悬挂在弹簧上作竖直振动，其加速度为
a=-
ky，式中k为常
量，y是以平衡位置为原点所测得的坐标. 假定振动的物体在坐标y
0
处的
速度为v
0
，试求速度v与坐标y的函数关系式．
6. (
本题
5
分
)(5626)
一质点沿x轴运动，其加速度为a = 4t (SI)，已知t = 0时，质点位于x
0
=10 m
处，初速度v
0
= 0．试求其位置和时间的关系式．
7. (
本题
5
分
)(0266)
(1) 对于在xy平面内，以原点O为圆心作匀速圆
v
w
周运动的质点，试用半径r、角速度和单位矢量i
v
、
j
表示其t时刻的位置矢量．已知在t = 0时，y = 0,
x = r, 角速度
w
如图所示；
v
v
(2) 由(1)导出速度
v
与加速度
a
的矢量表示
式；
(3) 试证加速度指向圆心．
8. (
本题
5
分
)(0268)
y
v
j
r
O
w
v
i
(x,y)
x
vv
由楼窗口以水平初速度
v
0
射出一发子弹，取枪口为原点，沿
v
0
方向为x轴，
竖直向下为y轴，并取发射时刻t为0，试求：
(1) 子弹在任一时刻t的位置坐标及轨迹方程；
(2) 子弹在t时刻的速度，切向加速度和法向加速度．
第
1
页
9. (
本题
5
分
)(0513)
质点M在水平面内的运动轨迹如图所示，
OA段为直线，AB、BC段分别为不同半径的
两个1/4圆周．设t =0时，M在O点，已知运
S
A
动学方程为
S =30t+5t
2
(SI)
求t =2 s时刻，质点M的切向加速度和法向加
速度．
10. (
本题
5
分
)(0600)
M
B
15 m
30 m
15 m
C
O
一人自原点出发，25 s内向东走30 m，又10 s内向南走10 m，再15 s内向
正西北走18 m．求在这50 s内，
(1) 平均速度的大小和方向;
(2) 平均速率的大小．
11. (
本题
5
分
)(5007)
一质点沿半径为
R
的圆周运动．质点所经过的弧长与时间的关系为
1
S=bt+ct
2
其中
b
、
c
是大于零的常量，求从
t=0
开始到切向加速度与法向
2
加速度大小相等时所经历的时间．
12. (
本题
5
分
)(5008)
如图所示，质点P在水平面内沿一半径为R=2 m
P
的圆轨道转动．转动的角速度
w
与时间t的函数关系
O
2
为
w
=kt
(k为常量)．已知
t=2s
时，质点P的速度
R
值为32 m/s．试求
t=1
s时，质点P的速度与加速度
的大小．
13. (
本题
5
分
)(5386)
质点在重力场中作斜上抛运动，初速度的大小为v
0
，与水平方向成
a
角．求
质点到达抛出点的同一高度时的切向加速度，法向加速度以及该时刻质点所在
处轨迹的曲率半径（忽略空气阻力）．已知法向加速度与轨迹曲率半径之间的
关系为a
n
= v
2
/
r
．
14. (
本题
5
分
)(5628)
一物体以初速度
v
0
、仰角
a
由地面抛出，并落回到与抛出处同一水平面上．求
地面上方该抛体运动轨道的最大曲率半径与最小曲率半径．
15. (
本题
5
分
)(0021)
河水自西向东流动，速度为10 km/h．一轮船在水中航行，船相对于河水的
航向为北偏西30°，相对于河水的航速为20 km/h. 此时风向为正西，风速为10
km/h．试求在船上观察到的烟囱冒出的烟缕的飘向．(设烟离开烟囱后很快就获
得与风相同的速度)
第
2
页
16. (
本题
10
分
)(0040)
有一宽为l的大江，江水由北向南流去．设江中心流速为u
0
，靠两岸的流速
为零．江中任一点的流速与江中心流速之差是和江心至该点距离的平方成正比．今
v
有相对于水的速度为
v
0
的汽船由西岸出发,向东偏北45°方向航行，试求其航线
的轨迹方程以及到达东岸的地点．
7. (
本题
5
分
)(0272) 1
一男孩乘坐一铁路平板车，在平直铁路上匀加速行驶，其加速度为
a
，他
向车前进的斜上方抛出一球，设抛球过程对车的加速度
a
的影响可忽略，如果
他不必移动在车中的位置就能接住球，则抛出的方向与竖直方向的夹角
q
应为
多大？
18. (
本题
5
分
)(0273)
一质点以相对于斜面的速度
v=2gy
从其顶端沿斜面下滑，其中y为下滑
的高度．斜面倾角为
a
，它在地面上以水平速度u向质点滑下的前方运动，求质
点下滑高度为h (h小于斜面高度)时，对地速度的大小和方向．
19. (
本题
8
分
)(0274)
一飞机相对于空气以恒定速率
v
沿正方形轨道飞行，在无风天气其运动周
期为
T
．若有恒定小风沿平行于正方形的一对边吹来，风速为
V=kv(k<<1)
．求
飞机仍沿原正方形（对地）轨道飞行时周期要增加多少．
20. (
本题
5
分
)(0516)
一飞机驾驶员想往正北方向航行，而风以60 km/h的速度由东向西刮来，
如果飞机的航速（在静止空气中的速率）为 180 km/h，试问驾驶员应取什么
航向？飞机相对于地面的速率为多少？试用矢量图说明．
21. (
本题
5
分
)(0517)
当一列火车以
36 km/h
的速率水平向东行驶时，相对于地面匀速竖直下落的
雨滴，在列车的窗子上形成的雨迹与竖直方向成
30
°角．
(1)
雨滴相对于地面的水平分速有多大？相对于列车的水平分速有多大？
(2)
雨滴相对于地面的速率如何？相对于列车的速率如何？
22. (
本题
5
分
)(0692)
当火车静止时，乘客发现雨滴下落方向偏向车头，偏角为
30
°，当火车以
35
m/s
的速率沿水平直路行驶时，发现雨滴下落方向偏向车尾，偏角为
45
°，假设
雨滴相对于地的速度保持不变，试计算雨滴相对地的速度大小．
23. (
本题
5
分
)(0693)
一小船相对于河水以速率v划行．当它在流速为u的河水中逆流而上之时，
有一木桨落入水中顺流而下，船上人两秒钟后发觉，即返回追赶，问几秒钟后可
追上此桨？
第
3
页
24. (
本题
5
分
)(0694)
装在小车上的弹簧发射器射出一小球，根据小球在地上
水平射程和射高的测量数据，得知小球射出时相对地面的速
度为10 m/s．小车的反冲速度为2 m/s．求小球射出时相对
于小车的速率．已知小车位于水平面上，弹簧发射器仰角为
30°．
25. (
本题
5
分
)(0695)
30
°
一敞顶电梯以恒定速率v =10 m/s上升．当电梯离地面h =10 m时，一小孩
竖直向上抛出一球．球相对于电梯初速率
v
0
=20
m/s．试问：
(1) 从地面算起，球能达到的最大高度为多大？
(2) 抛出后经过多长时间再回到电梯上？
第
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页
2024年3月27日发(作者：广承恩)
一
计算题
(
共
133
分
)
1. (
本题
5
分
)(0004)
一质点沿
x
轴运动，其加速度
a
与位置坐标
x
的关系为
2
a
＝
2
＋
6 x (SI)
如果质点在原点处的速度为零，试求其在任意位置处的速度．
2. (
本题
5
分
)(0258)
一质点从静止开始作直线运动，开始时加速度为a
0
，此后加速度随时间均
匀增加，经过时间
t
后，加速度为2a
0
，经过时间2
t
后，加速度为3 a
0
,…求经过
时间n
t
后，该质点的速度和走过的距离．
3. (
本题
5
分
)(0259)
一球从高
h
处落向水平面，经碰撞后又上升到
h
1
处，如果每次碰撞
后与碰撞前速度之比为常数，问球在
n
次碰撞后还能升多高？
4. (
本题
5
分
)(0265)
有一质点沿x轴作直线运动，t时刻的坐标为x = 4.5 t
2
– 2 t
3
(SI) ．试求：
(1) 第2秒内的平均速度；
(2) 第2秒末的瞬时速度；
(3) 第2秒内的路程．
5. (
本题
5
分
)(0505)
一物体悬挂在弹簧上作竖直振动，其加速度为
a=-
ky，式中k为常
量，y是以平衡位置为原点所测得的坐标. 假定振动的物体在坐标y
0
处的
速度为v
0
，试求速度v与坐标y的函数关系式．
6. (
本题
5
分
)(5626)
一质点沿x轴运动，其加速度为a = 4t (SI)，已知t = 0时，质点位于x
0
=10 m
处，初速度v
0
= 0．试求其位置和时间的关系式．
7. (
本题
5
分
)(0266)
(1) 对于在xy平面内，以原点O为圆心作匀速圆
v
w
周运动的质点，试用半径r、角速度和单位矢量i
v
、
j
表示其t时刻的位置矢量．已知在t = 0时，y = 0,
x = r, 角速度
w
如图所示；
v
v
(2) 由(1)导出速度
v
与加速度
a
的矢量表示
式；
(3) 试证加速度指向圆心．
8. (
本题
5
分
)(0268)
y
v
j
r
O
w
v
i
(x,y)
x
vv
由楼窗口以水平初速度
v
0
射出一发子弹，取枪口为原点，沿
v
0
方向为x轴，
竖直向下为y轴，并取发射时刻t为0，试求：
(1) 子弹在任一时刻t的位置坐标及轨迹方程；
(2) 子弹在t时刻的速度，切向加速度和法向加速度．
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9. (
本题
5
分
)(0513)
质点M在水平面内的运动轨迹如图所示，
OA段为直线，AB、BC段分别为不同半径的
两个1/4圆周．设t =0时，M在O点，已知运
S
A
动学方程为
S =30t+5t
2
(SI)
求t =2 s时刻，质点M的切向加速度和法向加
速度．
10. (
本题
5
分
)(0600)
M
B
15 m
30 m
15 m
C
O
一人自原点出发，25 s内向东走30 m，又10 s内向南走10 m，再15 s内向
正西北走18 m．求在这50 s内，
(1) 平均速度的大小和方向;
(2) 平均速率的大小．
11. (
本题
5
分
)(5007)
一质点沿半径为
R
的圆周运动．质点所经过的弧长与时间的关系为
1
S=bt+ct
2
其中
b
、
c
是大于零的常量，求从
t=0
开始到切向加速度与法向
2
加速度大小相等时所经历的时间．
12. (
本题
5
分
)(5008)
如图所示，质点P在水平面内沿一半径为R=2 m
P
的圆轨道转动．转动的角速度
w
与时间t的函数关系
O
2
为
w
=kt
(k为常量)．已知
t=2s
时，质点P的速度
R
值为32 m/s．试求
t=1
s时，质点P的速度与加速度
的大小．
13. (
本题
5
分
)(5386)
质点在重力场中作斜上抛运动，初速度的大小为v
0
，与水平方向成
a
角．求
质点到达抛出点的同一高度时的切向加速度，法向加速度以及该时刻质点所在
处轨迹的曲率半径（忽略空气阻力）．已知法向加速度与轨迹曲率半径之间的
关系为a
n
= v
2
/
r
．
14. (
本题
5
分
)(5628)
一物体以初速度
v
0
、仰角
a
由地面抛出，并落回到与抛出处同一水平面上．求
地面上方该抛体运动轨道的最大曲率半径与最小曲率半径．
15. (
本题
5
分
)(0021)
河水自西向东流动，速度为10 km/h．一轮船在水中航行，船相对于河水的
航向为北偏西30°，相对于河水的航速为20 km/h. 此时风向为正西，风速为10
km/h．试求在船上观察到的烟囱冒出的烟缕的飘向．(设烟离开烟囱后很快就获
得与风相同的速度)
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16. (
本题
10
分
)(0040)
有一宽为l的大江，江水由北向南流去．设江中心流速为u
0
，靠两岸的流速
为零．江中任一点的流速与江中心流速之差是和江心至该点距离的平方成正比．今
v
有相对于水的速度为
v
0
的汽船由西岸出发,向东偏北45°方向航行，试求其航线
的轨迹方程以及到达东岸的地点．
7. (
本题
5
分
)(0272) 1
一男孩乘坐一铁路平板车，在平直铁路上匀加速行驶，其加速度为
a
，他
向车前进的斜上方抛出一球，设抛球过程对车的加速度
a
的影响可忽略，如果
他不必移动在车中的位置就能接住球，则抛出的方向与竖直方向的夹角
q
应为
多大？
18. (
本题
5
分
)(0273)
一质点以相对于斜面的速度
v=2gy
从其顶端沿斜面下滑，其中y为下滑
的高度．斜面倾角为
a
，它在地面上以水平速度u向质点滑下的前方运动，求质
点下滑高度为h (h小于斜面高度)时，对地速度的大小和方向．
19. (
本题
8
分
)(0274)
一飞机相对于空气以恒定速率
v
沿正方形轨道飞行，在无风天气其运动周
期为
T
．若有恒定小风沿平行于正方形的一对边吹来，风速为
V=kv(k<<1)
．求
飞机仍沿原正方形（对地）轨道飞行时周期要增加多少．
20. (
本题
5
分
)(0516)
一飞机驾驶员想往正北方向航行，而风以60 km/h的速度由东向西刮来，
如果飞机的航速（在静止空气中的速率）为 180 km/h，试问驾驶员应取什么
航向？飞机相对于地面的速率为多少？试用矢量图说明．
21. (
本题
5
分
)(0517)
当一列火车以
36 km/h
的速率水平向东行驶时，相对于地面匀速竖直下落的
雨滴，在列车的窗子上形成的雨迹与竖直方向成
30
°角．
(1)
雨滴相对于地面的水平分速有多大？相对于列车的水平分速有多大？
(2)
雨滴相对于地面的速率如何？相对于列车的速率如何？
22. (
本题
5
分
)(0692)
当火车静止时，乘客发现雨滴下落方向偏向车头，偏角为
30
°，当火车以
35
m/s
的速率沿水平直路行驶时，发现雨滴下落方向偏向车尾，偏角为
45
°，假设
雨滴相对于地的速度保持不变，试计算雨滴相对地的速度大小．
23. (
本题
5
分
)(0693)
一小船相对于河水以速率v划行．当它在流速为u的河水中逆流而上之时，
有一木桨落入水中顺流而下，船上人两秒钟后发觉，即返回追赶，问几秒钟后可
追上此桨？
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24. (
本题
5
分
)(0694)
装在小车上的弹簧发射器射出一小球，根据小球在地上
水平射程和射高的测量数据，得知小球射出时相对地面的速
度为10 m/s．小车的反冲速度为2 m/s．求小球射出时相对
于小车的速率．已知小车位于水平面上，弹簧发射器仰角为
30°．
25. (
本题
5
分
)(0695)
30
°
一敞顶电梯以恒定速率v =10 m/s上升．当电梯离地面h =10 m时，一小孩
竖直向上抛出一球．球相对于电梯初速率
v
0
=20
m/s．试问：
(1) 从地面算起，球能达到的最大高度为多大？
(2) 抛出后经过多长时间再回到电梯上？
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