2024年3月27日发(作者：公西曲文)
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浅议数学中的图形美
作者：郝秀銮
来源：《教师·下》2011年第03期
数学中的图形多种多样，可以说千姿百态，精彩纷呈。有的图形简单一些，有的图形复杂
一些，但无论是怎样的图形，它们都形象地表示着某种意义，并从外观形象上体现着各种美。
一、图形的组合美
点、线、面是基本的几何图形，由这些简单的基本几何图形可组成复杂而美观的几何图
形。如在直线L上选取一点O，则把这条直线分成了两条射线（如图1）。如在直线L上选取
两点A、B，则在L上出现一条线段和四条射线（如图2）。若在线段AB上取一点C，使
BCAC=ACAB（如图3），则C就称为黄金分割点，此时BCAC=ACAB=0.618。这些图形表面
上看去较为简单，但蕴含的定义却非同寻常，从这一点来说，图形的组合体现出一种内在的
美。
简单图形的组合可构成一些较为复杂的图形，如三角形、平行四边形、扇形、正方体等都
是由线段、弧线或面组成的。这些图形的组合不同，因此它们的性质也不同，也正因为如此，
较复杂的图形的组合充分体现了结构美。
二、一笔画图形的神奇美
有些平面图形可以一笔画出，有些则不能一笔画出。一笔画自有它的神奇之处，其判定规
则是这样的：
①图形必须是一个连续图；②图中所有点均为偶点（从一点出发的线段有偶数条），一定
可以一笔画出，任意的点可作为起点，但它同时一定是终点（如三角形就是一笔画）；③当图
中的奇点只有两个时，一定可以一笔画出，其中一个奇点作为起点，另一个作为终点，如图4
就是一笔画图形；④当图中奇点超过两个时，一定不可以一笔画出，如图5就不是一笔画图
形。
乍接触一笔画，一定会感觉它很神奇，有时似乎难以判断它到底是不是一笔画，但只要我
们掌握上述判定规则，则不难揭开它神秘的面纱。
三、图形的对称美
现实中的对称图形太多了，如图6中的等腰三角形ABC，沿底边BC上的高
AD对折，两旁的部分能够完全重合，这样的图形就是轴对称图形，AD就是它的对称
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轴。再如“铁扇公主”的芭蕉扇，它也是一个轴对称图形，其柄所在的直线就是它的对称轴（如
图7）。再如图8中的风车页片，当它绕O点旋转180度以后，能和原来的位置完全重
合，这样的图形叫中心对称图形，点O叫做它的对称中心。像长方形、正方形、圆既是轴
对称图形，又是中心对称图形。
现实生活中，我们可随时发现许多具有对称特征的图形，如飞机的外形、人民大会堂的外
形、蝴蝶的外形、宫灯的外形、火车的轮子，均体现了对称的特征。因此，只要你留心一下现
实生活中的一些图形，你对对称美的理解将会很深刻。
四、图形的运动美
“运动产生美”，许多美妙的几何图形都是由简单几何图形的运动而得到的。夜空中的流星
划过，给我们“点动成线”的具体形象；扇面的打开，微机文档中某文件删除，又给我们“线动
成面”的真切感受。平面上，一条射线绕着它的端点旋转，所生成的图形叫角；平面上，一点
绕着一定点旋转，并保持和定点的距离等于定长，所生成的图形叫圆。空间中，一点绕着一定
点旋转，并保持和定点的距离等于定长，所生成的图形是一个球面；一个直角三角形绕着它的
一条直角边旋转一周，所生成的图形是一个圆锥；一个半圆绕着它的直径旋转一周，所生成的
图形是个球体。由此可见，图形具有运动美，它美在运动中的变化，美在由此及彼，由旧及
新，由一种形式到另一种形式。
五、图形中的数量美
图形是“形”，其中蕴含着许多数量关系，由“形”可以求“数”，即从中考察出某些数量关
系；反之，也可由“数”助“形”，即由某些数量关系考察图形的某些特征。“数”“形”相互依存，
对立统一。因此，采用数形结合的思想方法，从“数”的方面研究某些图形，就会体察到几何图
形所蕴含的数量美。
如图9，阴影部分的面积是多少？
解：阴影分两部分，先求左下角的部分。过两半圆的交点向大圆的半径作垂线，显然，左
下角阴影部分面积=两个14小圆的面积－正方形的面积
=14π22×－22=2.28（cm2）
右上角阴影部分面积=大圆14的面积－两个12小圆面积+
=14π×42－2×12π×22+2.28
=4π－4π+2.28
S左下
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=2.28（cm2）
所以，整个阴影的面积S=2.28+2.28=4.56(cm2)
图9中仅告诉了大圆半径为4cm，其他数量关系全由图形语言给出，这种图形语言起到了
“此时无声胜有声”的作用，它以独特的方式告诉了我们其中的数量关系，这不能不引起我们的
惊叹：图形中蕴含的数量关系，美哉，妙哉！
（作者单位：广东省深圳市南山实验学校）
2024年3月27日发(作者：公西曲文)
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浅议数学中的图形美
作者：郝秀銮
来源：《教师·下》2011年第03期
数学中的图形多种多样，可以说千姿百态，精彩纷呈。有的图形简单一些，有的图形复杂
一些，但无论是怎样的图形，它们都形象地表示着某种意义，并从外观形象上体现着各种美。
一、图形的组合美
点、线、面是基本的几何图形，由这些简单的基本几何图形可组成复杂而美观的几何图
形。如在直线L上选取一点O，则把这条直线分成了两条射线（如图1）。如在直线L上选取
两点A、B，则在L上出现一条线段和四条射线（如图2）。若在线段AB上取一点C，使
BCAC=ACAB（如图3），则C就称为黄金分割点，此时BCAC=ACAB=0.618。这些图形表面
上看去较为简单，但蕴含的定义却非同寻常，从这一点来说，图形的组合体现出一种内在的
美。
简单图形的组合可构成一些较为复杂的图形，如三角形、平行四边形、扇形、正方体等都
是由线段、弧线或面组成的。这些图形的组合不同，因此它们的性质也不同，也正因为如此，
较复杂的图形的组合充分体现了结构美。
二、一笔画图形的神奇美
有些平面图形可以一笔画出，有些则不能一笔画出。一笔画自有它的神奇之处，其判定规
则是这样的：
①图形必须是一个连续图；②图中所有点均为偶点（从一点出发的线段有偶数条），一定
可以一笔画出，任意的点可作为起点，但它同时一定是终点（如三角形就是一笔画）；③当图
中的奇点只有两个时，一定可以一笔画出，其中一个奇点作为起点，另一个作为终点，如图4
就是一笔画图形；④当图中奇点超过两个时，一定不可以一笔画出，如图5就不是一笔画图
形。
乍接触一笔画，一定会感觉它很神奇，有时似乎难以判断它到底是不是一笔画，但只要我
们掌握上述判定规则，则不难揭开它神秘的面纱。
三、图形的对称美
现实中的对称图形太多了，如图6中的等腰三角形ABC，沿底边BC上的高
AD对折，两旁的部分能够完全重合，这样的图形就是轴对称图形，AD就是它的对称
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轴。再如“铁扇公主”的芭蕉扇，它也是一个轴对称图形，其柄所在的直线就是它的对称轴（如
图7）。再如图8中的风车页片，当它绕O点旋转180度以后，能和原来的位置完全重
合，这样的图形叫中心对称图形，点O叫做它的对称中心。像长方形、正方形、圆既是轴
对称图形，又是中心对称图形。
现实生活中，我们可随时发现许多具有对称特征的图形，如飞机的外形、人民大会堂的外
形、蝴蝶的外形、宫灯的外形、火车的轮子，均体现了对称的特征。因此，只要你留心一下现
实生活中的一些图形，你对对称美的理解将会很深刻。
四、图形的运动美
“运动产生美”，许多美妙的几何图形都是由简单几何图形的运动而得到的。夜空中的流星
划过，给我们“点动成线”的具体形象；扇面的打开，微机文档中某文件删除，又给我们“线动
成面”的真切感受。平面上，一条射线绕着它的端点旋转，所生成的图形叫角；平面上，一点
绕着一定点旋转，并保持和定点的距离等于定长，所生成的图形叫圆。空间中，一点绕着一定
点旋转，并保持和定点的距离等于定长，所生成的图形是一个球面；一个直角三角形绕着它的
一条直角边旋转一周，所生成的图形是一个圆锥；一个半圆绕着它的直径旋转一周，所生成的
图形是个球体。由此可见，图形具有运动美，它美在运动中的变化，美在由此及彼，由旧及
新，由一种形式到另一种形式。
五、图形中的数量美
图形是“形”，其中蕴含着许多数量关系，由“形”可以求“数”，即从中考察出某些数量关
系；反之，也可由“数”助“形”，即由某些数量关系考察图形的某些特征。“数”“形”相互依存，
对立统一。因此，采用数形结合的思想方法，从“数”的方面研究某些图形，就会体察到几何图
形所蕴含的数量美。
如图9，阴影部分的面积是多少？
解：阴影分两部分，先求左下角的部分。过两半圆的交点向大圆的半径作垂线，显然，左
下角阴影部分面积=两个14小圆的面积－正方形的面积
=14π22×－22=2.28（cm2）
右上角阴影部分面积=大圆14的面积－两个12小圆面积+
=14π×42－2×12π×22+2.28
=4π－4π+2.28
S左下
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=2.28（cm2）
所以，整个阴影的面积S=2.28+2.28=4.56(cm2)
图9中仅告诉了大圆半径为4cm，其他数量关系全由图形语言给出，这种图形语言起到了
“此时无声胜有声”的作用，它以独特的方式告诉了我们其中的数量关系，这不能不引起我们的
惊叹：图形中蕴含的数量关系，美哉，妙哉！
（作者单位：广东省深圳市南山实验学校）