2024年3月30日发(作者：刀枫)
2.2.3 独立重复试验与二项分布
学习目标 1.理解n次独立重复试验的模型.2.理解二项分布.3.能利用独立重复试验的模型及
二项分布解决一些简单的实际问题.
知识点一 独立重复试验
思考1 要研究抛掷硬币的规律，需做大量的掷硬币试验.
答案 条件相同.
思考2 试验结果有哪些？
答案 正面向上或反面向上，即事件发生或者不发生.
思考3 各次试验的结果有无影响？
答案 无，即各次试验相互独立.
(1)定义：在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验.
(2)基本特征：
①每次试验是在同样条件下进行.
②每次试验都只有两种结果：发生与不发生.
③各次试验之间相互独立.
④每次试验，某事件发生的概率都是一样的.
知识点二 二项分布
在体育课上，某同学做投篮训练，他连续投篮3次，每次投篮的命中率都是0.8，用A
i
(i＝1,2,3)
表示第i次投篮命中这件事，用B
k
表示仅投中k次这件事.
思考1 用A
i
如何表示B
1
，并求P(B
1
)，
答案 B
1
＝(A
1
A
2
A
3
)∪(A
1
A
2
A
3
)∪(A
1
A
2
A
3
)，
因为P(A
1
)＝P(A
2
)＝P(A
3
)＝0.8，
且A
1
A
2
A
3
、A
1
A
2
A
3
、A
1
A
2
A
3
两两互斥，
故P(B
1
)＝0.8×0.2
2
＋0.8×0.2
2
＋0.8×0.2
2
＝3×0.8×0.2
2
＝0.096.
思考2 试求P(B
2
)和P(B
3
)
答案 P(B
2
)＝3×0.2×0.8
2
＝0.384，
P(B
3
)＝0.8
3
＝0.512.
思考3 由以上问题的结果你能得出什么结论？
k3k
答案 P(B
k
)＝C
k
(k＝0.1,2,3)
3
0.80.2
－
1
在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，
设每次试验中事件A发生的概率为p，
knk
则P(X＝k)＝C
k
，k＝0,1,2，…，n.
n
p(1－p)
－
此时称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)，并称p为成功概率.
类型一 独立重复试验的概率问题
例1 某气象站天气预报的准确率为80%，计算(结果保留到小数点后面第2位)：
(1)5次预报中恰有2次准确的概率；
(2)5次预报中至少有2次准确的概率；
(3)5次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率.
解 (1)记预报一次准确为事件A，
则P(A)＝0.8，
5次预报恰有2次准确的概率为
23
P＝C
2
5
0.8×0.2＝0.051 2≈0.05，
因此5次预报中恰有2次准确的概率约为0.05.
(2)“5次预报中至少有2次准确”的对立事件为“5次预报全部不准确或只有1次准确”.
514
其概率为P＝C
0
5
×(0.2)＋C
5
×0.8×(0.2)＝0.006 72≈0.01，
所以所求概率为1－p＝1－0.01＝0.99，
所以5次预报中至少有2次准确的概率约为0.99.
(3)说明第1,2,4,5次中恰有1次准确，
所以概率为P＝C
1
0.8×(0.2)
3
×0.8
4
·
＝0.020 48≈0.02，
所以恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率约为0.02.
反思与感悟 独立重复试验概率求法的三个步骤
(1)判断：依据n次独立重复试验的特征，判断所给试验是否为独立重复试验.
(2)分拆：判断所求事件是否需要分拆.
(3)计算：就每个事件依据n次独立重复试验的概率公式求解，最后利用互斥事件概率加法公
式计算.
1
跟踪训练1 9粒种子分别种在甲、乙、丙3个坑内，每坑3粒，每粒种子发芽的概率为.
2
若一个坑内至少有1粒种子发芽，则这个坑不需要补种，否则这个坑需要补种种子.
(1)求甲坑不需要补种的概率；
(2)记3个坑中恰好有1个坑不需要补种的概率为P
1
，另记有坑需要补种的概率为P
2
，求P
1
2
2024年3月30日发(作者：刀枫)
2.2.3 独立重复试验与二项分布
学习目标 1.理解n次独立重复试验的模型.2.理解二项分布.3.能利用独立重复试验的模型及
二项分布解决一些简单的实际问题.
知识点一 独立重复试验
思考1 要研究抛掷硬币的规律，需做大量的掷硬币试验.
答案 条件相同.
思考2 试验结果有哪些？
答案 正面向上或反面向上，即事件发生或者不发生.
思考3 各次试验的结果有无影响？
答案 无，即各次试验相互独立.
(1)定义：在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验.
(2)基本特征：
①每次试验是在同样条件下进行.
②每次试验都只有两种结果：发生与不发生.
③各次试验之间相互独立.
④每次试验，某事件发生的概率都是一样的.
知识点二 二项分布
在体育课上，某同学做投篮训练，他连续投篮3次，每次投篮的命中率都是0.8，用A
i
(i＝1,2,3)
表示第i次投篮命中这件事，用B
k
表示仅投中k次这件事.
思考1 用A
i
如何表示B
1
，并求P(B
1
)，
答案 B
1
＝(A
1
A
2
A
3
)∪(A
1
A
2
A
3
)∪(A
1
A
2
A
3
)，
因为P(A
1
)＝P(A
2
)＝P(A
3
)＝0.8，
且A
1
A
2
A
3
、A
1
A
2
A
3
、A
1
A
2
A
3
两两互斥，
故P(B
1
)＝0.8×0.2
2
＋0.8×0.2
2
＋0.8×0.2
2
＝3×0.8×0.2
2
＝0.096.
思考2 试求P(B
2
)和P(B
3
)
答案 P(B
2
)＝3×0.2×0.8
2
＝0.384，
P(B
3
)＝0.8
3
＝0.512.
思考3 由以上问题的结果你能得出什么结论？
k3k
答案 P(B
k
)＝C
k
(k＝0.1,2,3)
3
0.80.2
－
1
在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，
设每次试验中事件A发生的概率为p，
knk
则P(X＝k)＝C
k
，k＝0,1,2，…，n.
n
p(1－p)
－
此时称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)，并称p为成功概率.
类型一 独立重复试验的概率问题
例1 某气象站天气预报的准确率为80%，计算(结果保留到小数点后面第2位)：
(1)5次预报中恰有2次准确的概率；
(2)5次预报中至少有2次准确的概率；
(3)5次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率.
解 (1)记预报一次准确为事件A，
则P(A)＝0.8，
5次预报恰有2次准确的概率为
23
P＝C
2
5
0.8×0.2＝0.051 2≈0.05，
因此5次预报中恰有2次准确的概率约为0.05.
(2)“5次预报中至少有2次准确”的对立事件为“5次预报全部不准确或只有1次准确”.
514
其概率为P＝C
0
5
×(0.2)＋C
5
×0.8×(0.2)＝0.006 72≈0.01，
所以所求概率为1－p＝1－0.01＝0.99，
所以5次预报中至少有2次准确的概率约为0.99.
(3)说明第1,2,4,5次中恰有1次准确，
所以概率为P＝C
1
0.8×(0.2)
3
×0.8
4
·
＝0.020 48≈0.02，
所以恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率约为0.02.
反思与感悟 独立重复试验概率求法的三个步骤
(1)判断：依据n次独立重复试验的特征，判断所给试验是否为独立重复试验.
(2)分拆：判断所求事件是否需要分拆.
(3)计算：就每个事件依据n次独立重复试验的概率公式求解，最后利用互斥事件概率加法公
式计算.
1
跟踪训练1 9粒种子分别种在甲、乙、丙3个坑内，每坑3粒，每粒种子发芽的概率为.
2
若一个坑内至少有1粒种子发芽，则这个坑不需要补种，否则这个坑需要补种种子.
(1)求甲坑不需要补种的概率；
(2)记3个坑中恰好有1个坑不需要补种的概率为P
1
，另记有坑需要补种的概率为P
2
，求P
1
2