2024年4月1日发(作者：酆影)
样本方差的期望
（1）样本（背景知识）：由学过的概率论的知识可以知道，若在总体个数有限的情况
下，抽取出一些个体，总体的分布可能会发生变化，所以个体的分布可能反映不了总体的
分布。后一句不太好理解，所以举个经典例子：若N个产品中有M个废品，在抽样调查
其废品率时，正常抽取样本（随机抽不放回），则样品的废品率服从超几何分布；而产品中
的废品率服从二项分布。这样由样品得到的估计，统计性质就与总体不同。而且当产品数
量不是很大时，这种分布差异无法忽视。然而只有在总体中包含的个体极多或包含无限多
个个体时，不放回的抽取才对总体的分布影响极少或者毫无影响，这种例子才不成立，此
时可以用样本估计总体。这种情形在应用中最为常见，数理统计学在理论上对其研究得也
最深入。此时称抽出的若干数据独立同分布，称这组数据为从某总体抽出的独立随机样本，
简称为从某总体中抽出的样本。【1】
（2）样本均值/方差：顾名思义，样本均值就是样本的均值，样本方差就是样本数据
的方差。
（3）总体均值/方差：同上。。
（4）样本均值/方差的期望：样本数据均为我们抽取得来（是已知量）我们利用它算
出样本参数（例如样本均值），假装它是总体的参数（例如总体均值，是未知量），这就是
用样本估计总体的过程；由样本的定义，用样本估计得到的总体的参数不是完美的，有时
和真正的总体的参数之间可能有一个偏移。那么接下来一个很自然的想法就是，由于我们
对样本参数计算式已知，除去不可控的抽样随机性，从计算方法的角度上来说，我们可以
知道这个偏移量是多少吗？更进一步地，我们可以在计算方法上对这个偏移加以修正吗？
自然地，类似前述在定义样本时举过的例子，我们还可以假设对总体的数据和参数已知，
这样就可以用总体的数据和参数模拟抽样，反算出样本参数，并与真实的总体参数加以对
比，达到修正偏移的目的了！而这样反算出的样本参数，就叫做样本参数（例如样本均值、
样本方差）的期望。
从正面的/科学的（也是教材上的）角度来说，我们是用总体反过来估计了样本，得到
的当然就是样本参数的期望值啦。
若样本参数经修偏后，在某种算法下与真实的总体参数达到一致，该样本参数为总体
参数的一个无偏估计量。一个参数往往有不止一个无偏估计，我们需要在一个对估计的整
体的优良性准则下视情况讨论。
2024年4月1日发(作者：酆影)
样本方差的期望
（1）样本（背景知识）：由学过的概率论的知识可以知道，若在总体个数有限的情况
下，抽取出一些个体，总体的分布可能会发生变化，所以个体的分布可能反映不了总体的
分布。后一句不太好理解，所以举个经典例子：若N个产品中有M个废品，在抽样调查
其废品率时，正常抽取样本（随机抽不放回），则样品的废品率服从超几何分布；而产品中
的废品率服从二项分布。这样由样品得到的估计，统计性质就与总体不同。而且当产品数
量不是很大时，这种分布差异无法忽视。然而只有在总体中包含的个体极多或包含无限多
个个体时，不放回的抽取才对总体的分布影响极少或者毫无影响，这种例子才不成立，此
时可以用样本估计总体。这种情形在应用中最为常见，数理统计学在理论上对其研究得也
最深入。此时称抽出的若干数据独立同分布，称这组数据为从某总体抽出的独立随机样本，
简称为从某总体中抽出的样本。【1】
（2）样本均值/方差：顾名思义，样本均值就是样本的均值，样本方差就是样本数据
的方差。
（3）总体均值/方差：同上。。
（4）样本均值/方差的期望：样本数据均为我们抽取得来（是已知量）我们利用它算
出样本参数（例如样本均值），假装它是总体的参数（例如总体均值，是未知量），这就是
用样本估计总体的过程；由样本的定义，用样本估计得到的总体的参数不是完美的，有时
和真正的总体的参数之间可能有一个偏移。那么接下来一个很自然的想法就是，由于我们
对样本参数计算式已知，除去不可控的抽样随机性，从计算方法的角度上来说，我们可以
知道这个偏移量是多少吗？更进一步地，我们可以在计算方法上对这个偏移加以修正吗？
自然地，类似前述在定义样本时举过的例子，我们还可以假设对总体的数据和参数已知，
这样就可以用总体的数据和参数模拟抽样，反算出样本参数，并与真实的总体参数加以对
比，达到修正偏移的目的了！而这样反算出的样本参数，就叫做样本参数（例如样本均值、
样本方差）的期望。
从正面的/科学的（也是教材上的）角度来说，我们是用总体反过来估计了样本，得到
的当然就是样本参数的期望值啦。
若样本参数经修偏后，在某种算法下与真实的总体参数达到一致，该样本参数为总体
参数的一个无偏估计量。一个参数往往有不止一个无偏估计，我们需要在一个对估计的整
体的优良性准则下视情况讨论。