2024年4月1日发(作者：海隽美)

三角形内心的性质及其应用

一．基础知识

三角形的内切圆的圆心简称为三角形的内心，内心有下列优美的性质：

性质1：设I为ΔABC的内心，则I到ΔABC三边的距离相等；反之亦然。

性质2：设I为ΔABC的内心，则∠BIC = 90 °+∠A/2,类似地还有两式。

性质3：设I为ΔABC的内心，BC = a, AC = b, AB = c, I在BC、AC、AB上射影分

别为D、E、F；内切圆半径为r,令p = (a+b+c) /2 , 则⑴S

ΔABC

= p r ; ⑵

r

2S

ABC

abc

；

⑶AE = AF = p-a ,BD = BF = p-b , CE = CD = p-c ; ⑷ abcr = p·AI·BI·CI .

性质4：三角形一内角平分线与其外接圆的交点到另两顶点的距离与到内心的距离相

等；反之，若I为ΔABC的∠A平分线AD（D在ΔABC的外接圆上）上的点，且DI = DB，

则I为ΔABC的内心。

性质5：设I为ΔABC的内心，BC = a, AC = b, AB = c, ∠A的平分线交BC于K ，

AIADDIbc



a

交ΔABC的外接圆于D，则

KIDIDK

性质6：过ΔABC内心I任作一直线，分别交AB、AC于P及Q两点，则

ABAC

ACABABACBC

APAQ

ABAC

sinBsinCsinAsinBsinC

AQ

或

AP

性质7：设ΔABC的内心为I，ΔABC内一点P在BC、CA、AB上的射影分别为D、

BCCAAB



PDPEPF

的值最小。 E、F，当P与I重合时，和式

2024年4月1日发(作者：海隽美)

三角形内心的性质及其应用

一．基础知识

三角形的内切圆的圆心简称为三角形的内心，内心有下列优美的性质：

性质1：设I为ΔABC的内心，则I到ΔABC三边的距离相等；反之亦然。

性质2：设I为ΔABC的内心，则∠BIC = 90 °+∠A/2,类似地还有两式。

性质3：设I为ΔABC的内心，BC = a, AC = b, AB = c, I在BC、AC、AB上射影分

别为D、E、F；内切圆半径为r,令p = (a+b+c) /2 , 则⑴S

ΔABC

= p r ; ⑵

r

2S

ABC

abc

；

⑶AE = AF = p-a ,BD = BF = p-b , CE = CD = p-c ; ⑷ abcr = p·AI·BI·CI .

性质4：三角形一内角平分线与其外接圆的交点到另两顶点的距离与到内心的距离相

等；反之，若I为ΔABC的∠A平分线AD（D在ΔABC的外接圆上）上的点，且DI = DB，

则I为ΔABC的内心。

性质5：设I为ΔABC的内心，BC = a, AC = b, AB = c, ∠A的平分线交BC于K ，

AIADDIbc



a

交ΔABC的外接圆于D，则

KIDIDK

性质6：过ΔABC内心I任作一直线，分别交AB、AC于P及Q两点，则

ABAC

ACABABACBC

APAQ

ABAC

sinBsinCsinAsinBsinC

AQ

或

AP

性质7：设ΔABC的内心为I，ΔABC内一点P在BC、CA、AB上的射影分别为D、

BCCAAB



PDPEPF

的值最小。 E、F，当P与I重合时，和式