2024年4月2日发(作者：邶尔蓝)

第二讲 偏好、效用、消费者基本问题及其扩展

1、设直接效用函数u(x

1

,x

2

)=

x

1

x

2

，试推导间接效用函数v(p,y)，请计算政府

分别征收0.5元的所得税或0.5元的商品税对消费者的间接效用有什么影响。

解：设效用函数为u(x1,x2)=

Max

x

1

x

2

由拉格朗日乘数法．可以得到

x

1

x

2

s.t. p1x1+p2x2



y



L=

x

1

x

2

+



[ y- p1x1- p2x2]

L1

X

1

=

2

X1-1/2X21/2-P1



=0

L

1

X

2

=

2

X2-1/2X11/2-P2



=0

L





= y- p1x1- p2x2=0

得：x2*/x1*=p1/p2

即x2*= x1p1/p2

y

y

因此，x1*=

2p

1

x2*=

2p

2

代入u(x1,x2)=

y

y

得间接效用函数v(p1,p2,y)= (

2p

1

)0.5(

2p

2

)0.5

y

y

如果p1=0.25,p2=1,y=2时，v(p1,p2,y)= (

2p

1

)0.5(

2p

2

)0.5=2

x

1

x

2

如果征0.5的所得税，则消费者的间接效用等于1.5

y

y

如果p1=0.5,p2=1,y=2时，v(p1,p2,y)= (

2p

1

)0.5(

2p

2

)0.5=1.41

1

2、设需要满足的效用水平是

u

，效用函数u(x

1

,x

2

)=

解：构建一拉格朗日函数为：

L=p1x1+p2x2+



[

u

-x11/2x21/2]

L1

x

1

= p1-

2



x1-0.5 x20.5=0

1

L

x

2

= p2-

2



x2-0.5 x10.5=0

L





=

u

- x11/2x21/2=0

x

1

x

2

，试求支出函数。

p

1

x

1

*

有：

p

2

=

x

2

*



p1x1*= p2x2* 代入支出函数的表达式，有e= p1x1*+ p2x2*=2

p1x1*

e

e

从而，x1*=

2p

1

x2*=

2p

2

e

e

因此，可得

u

=（

2p

1

）0.5（

2p

2

）0.5



支出函数为：e(p1, p2,

u

)=2

u

p

1

p

2

3、已知一个消费者对牛奶的需求函数为

x

10

y

10

p

，这里x为一周内牛奶的

消费量，y=120元为收入，p=3元/桶，现在假定牛奶的价格从3元/桶降为p=2

元/桶。问：

（1）该价格变化对该消费者的需求总效应是多少？（即其牛奶消费会变化

多少？）

（2）请计算价格变化的斯勒茨基替代效应和收入效应。

120120

解： （1）p=3元/桶时，x(p,m)=10+

103

=14, p=2元/桶时，x(p,m)=10+

102

=16,

2

2024年4月2日发(作者：邶尔蓝)

第二讲 偏好、效用、消费者基本问题及其扩展

1、设直接效用函数u(x

1

,x

2

)=

x

1

x

2

，试推导间接效用函数v(p,y)，请计算政府

分别征收0.5元的所得税或0.5元的商品税对消费者的间接效用有什么影响。

解：设效用函数为u(x1,x2)=

Max

x

1

x

2

由拉格朗日乘数法．可以得到

x

1

x

2

s.t. p1x1+p2x2



y



L=

x

1

x

2

+



[ y- p1x1- p2x2]

L1

X

1

=

2

X1-1/2X21/2-P1



=0

L

1

X

2

=

2

X2-1/2X11/2-P2



=0

L





= y- p1x1- p2x2=0

得：x2*/x1*=p1/p2

即x2*= x1p1/p2

y

y

因此，x1*=

2p

1

x2*=

2p

2

代入u(x1,x2)=

y

y

得间接效用函数v(p1,p2,y)= (

2p

1

)0.5(

2p

2

)0.5

y

y

如果p1=0.25,p2=1,y=2时，v(p1,p2,y)= (

2p

1

)0.5(

2p

2

)0.5=2

x

1

x

2

如果征0.5的所得税，则消费者的间接效用等于1.5

y

y

如果p1=0.5,p2=1,y=2时，v(p1,p2,y)= (

2p

1

)0.5(

2p

2

)0.5=1.41

1

2、设需要满足的效用水平是

u

，效用函数u(x

1

,x

2

)=

解：构建一拉格朗日函数为：

L=p1x1+p2x2+



[

u

-x11/2x21/2]

L1

x

1

= p1-

2



x1-0.5 x20.5=0

1

L

x

2

= p2-

2



x2-0.5 x10.5=0

L





=

u

- x11/2x21/2=0

x

1

x

2

，试求支出函数。

p

1

x

1

*

有：

p

2

=

x

2

*



p1x1*= p2x2* 代入支出函数的表达式，有e= p1x1*+ p2x2*=2

p1x1*

e

e

从而，x1*=

2p

1

x2*=

2p

2

e

e

因此，可得

u

=（

2p

1

）0.5（

2p

2

）0.5



支出函数为：e(p1, p2,

u

)=2

u

p

1

p

2

3、已知一个消费者对牛奶的需求函数为

x

10

y

10

p

，这里x为一周内牛奶的

消费量，y=120元为收入，p=3元/桶，现在假定牛奶的价格从3元/桶降为p=2

元/桶。问：

（1）该价格变化对该消费者的需求总效应是多少？（即其牛奶消费会变化

多少？）

（2）请计算价格变化的斯勒茨基替代效应和收入效应。

120120

解： （1）p=3元/桶时，x(p,m)=10+

103

=14, p=2元/桶时，x(p,m)=10+

102

=16,

2