2024年4月4日发(作者：仲旎旎)
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实验一：有限差分法研究静电场边值问题
实验报告人： 年级和班级： 学号：
1. 实验用软件工具： Matlab
2. 实验原理：电磁场课本P36-38
1) 差分方程
2) 差分方程组的解
简单迭代法
高斯-赛德尔迭代法
逐次超松弛法
3. 实验步骤：
1）简单迭代法
程序：
hx=41;hy=21;
v1=zeros(hy,hx);
v1(hy,:)=zeros(1,hx);
v1(1,:)=ones(1,hx)*100;
v1(:,1)=zeros(hy,1);
v1(:,hx)=zeros(hy,1);
v1
v2=v1;maxt=1;t=0;
k=0;
while(maxt>1e-5)
k=k+1;
maxt=0;
for i=2:hy-1
for j=2:hx-1
v2(i,j)=(v1(i,j+1)+v1(i+1,j)+v1(i-1,j)+v1(i,j-1))/4;
t=abs(v2(i,j)-v1(i,j));
if(t>maxt) maxt=t;end
end
end
v1=v2;
end
v2
k
clf
subplot(1,2,1),mesh(v2)
axis([0,41,0,21,0,100])
subplot(1,2,2),contour(v2,15)
hold on
.下载可编辑.
..
axis([-1,42,-1,25])
plot([1,1,hx,hx,1],[1,hy+1,hy+1,1,1],'r')
text(hx/2,0.3,'0V','fontsize',11);
text(hx/2-0.5,hy+0.5,'100V','fontsize',11);
text(-0.5,hy/2,'0V','fontsize',11);
text(hx+0.3,hy/2,'0V','fontsize',11);
hold off
当W=1e-5, 迭代次数：1401次
2）高斯-赛德尔迭代法
程序：
hx=41;hy=21;
v1=ones(hy,hx);
v1(hy,:)=zeros(1,hx);
v1(1,:)=ones(1,hx)*100;
v1(:,1)=zeros(hy,1);
v1(:,hx)=zeros(hy,1);
v2=v1;maxt=1;t=0;
k=0;
while(maxt>1e-5)
k=k+1;
maxt=0;
for i=2:hy-1
for j=2:hx-1
v2(i,j)=(v1(i,j+1)+v1(i+1,j)+v2(i-1,j)+v2(i,j-1))/4;
t=abs(v2(i,j)-v1(i,j));
if(t>maxt) maxt=t;end
end
end
v1=v2;
end
v2
k
clf
subplot(1,2,1),mesh(v2)
axis([0,41,0,21,0,100])
subplot(1,2,2),contour(v2,15)
hold on
axis([-1,42,-1,25])
plot([1,1,hx,hx,1],[1,hy+1,hy+1,1,1],'r')
text(hx/2,0.3,'0V','fontsize',11);
text(hx/2-0.5,hy+0.5,'100V','fontsize',11);
text(-0.5,hy/2,'0V','fontsize',11);
text(hx+0.3,hy/2,'0V','fontsize',11);
hold off
.下载可编辑.
..
当W=1e-5, 迭代次数：740次
3）逐次超松弛法
程序：
hx=41;hy=21;
v1=zeros(hy,hx);
v1(hy,:)=zeros(1,hx);
v1(1,:)=ones(1,hx)*100;
v1(:,1)=zeros(hy,1);
v1(:,hx)=zeros(hy,1);
v1
v2=v1;maxt=1;t=0;
alpha=input('please input the value of alpha(alpha>=1 && alpha<2):');
k=0;
while(maxt>1e-5)
k=k+1;
maxt=0;
for i=2:hy-1
for j=2:hx-1
v2(i,j)=v1(i,j)+(v1(i,j+1)+v1(i+1,j)+v2(i-1,j)+v2(i,j-1)-4*v1(i,j))*alpha/4;
t=abs(v2(i,j)-v1(i,j));
if(t>maxt) maxt=t;end
end
end
v1=v2;
end
v2
k
clf
subplot(1,2,1),mesh(v2)
axis([0,41,0,21,0,100])
subplot(1,2,2),contour(v2,15)
hold on
axis([-1,42,-1,25])
plot([1,1,hx,hx,1],[1,hy+1,hy+1,1,1],'r')
text(hx/2,0.3,'0V','fontsize',11);
text(hx/2-0.5,hy+0.5,'100V','fontsize',11);
text(-0.5,hy/2,'0V','fontsize',11);
text(hx+0.3,hy/2,'0V','fontsize',11);
hold off
当W=1e-5, alpha取不同值时迭代次数
.下载可编辑.
..
alpha 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9
迭代
次数
742
616
509
417
336
263
197
133
80
161
4）画三维曲面图和等位线图（逐次超松弛法最佳迭代次数时）
程序：
hx=41;hy=21;
v1=zeros(hy,hx);
v1(hy,:)=zeros(1,hx);
v1(1,:)=ones(1,hx)*100;
v1(:,1)=zeros(hy,1);
v1(:,hx)=zeros(hy,1);
v1
v2=v1;maxt=1;t=0;
alpha=1.8;
k=0;
while(maxt>1e-5)
k=k+1;
maxt=0;
for i=2:hy-1
for j=2:hx-1
v2(i,j)=v1(i,j)+(v1(i,j+1)+v1(i+1,j)+v2(i-1,j)+v2(i,j-1)-4*v1(i,j))*alpha/4;
t=abs(v2(i,j)-v1(i,j));
if(t>maxt) maxt=t;end
end
end
v1=v2;
end
v2
k
clf
subplot(1,2,1),mesh(v2)
axis([0,41,0,21,0,100])
subplot(1,2,2),contour(v2,15)
hold on
axis([-1,42,-1,25])
plot([1,1,hx,hx,1],[1,hy+1,hy+1,1,1],'r')
text(hx/2,0.3,'0V','fontsize',11);
text(hx/2-0.5,hy+0.5,'100V','fontsize',11);
text(-0.5,hy/2,'0V','fontsize',11);
text(hx+0.3,hy/2,'0V','fontsize',11);
hold off
.下载可编辑.
..
贴图：
4．实验结论
（1）matlab软件在使用有限差分法研究静电场边值问题中有着重要的作用，它能够快
捷有效并且准确的解决边值问题，是解决计算相对复杂问题的有效工具。
（2）从各个方法的迭代次数可以看出：在给定相同的最大允许误差W的条件下，简单
迭代法使用的次数最多，为1401次；高斯赛德尔迭代法可以明显减少迭代次数，其迭代次
数为740次；如果应用逐次超松弛法，则迭代次数与加速收敛因子有关，且在加速收敛因子
选取合适值时，可以使迭代次数相对于其它迭代方法更加显著减少。如在加速收敛因子为
1.8时，其迭代次数尽为80次。
（3）在以后应用迭代法解决边值问题时，应最好选用逐次超松弛法，且在使用时，应
注意选取合适的加速收敛因子的值。
.下载可编辑.
2024年4月4日发(作者：仲旎旎)
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实验一：有限差分法研究静电场边值问题
实验报告人： 年级和班级： 学号：
1. 实验用软件工具： Matlab
2. 实验原理：电磁场课本P36-38
1) 差分方程
2) 差分方程组的解
简单迭代法
高斯-赛德尔迭代法
逐次超松弛法
3. 实验步骤：
1）简单迭代法
程序：
hx=41;hy=21;
v1=zeros(hy,hx);
v1(hy,:)=zeros(1,hx);
v1(1,:)=ones(1,hx)*100;
v1(:,1)=zeros(hy,1);
v1(:,hx)=zeros(hy,1);
v1
v2=v1;maxt=1;t=0;
k=0;
while(maxt>1e-5)
k=k+1;
maxt=0;
for i=2:hy-1
for j=2:hx-1
v2(i,j)=(v1(i,j+1)+v1(i+1,j)+v1(i-1,j)+v1(i,j-1))/4;
t=abs(v2(i,j)-v1(i,j));
if(t>maxt) maxt=t;end
end
end
v1=v2;
end
v2
k
clf
subplot(1,2,1),mesh(v2)
axis([0,41,0,21,0,100])
subplot(1,2,2),contour(v2,15)
hold on
.下载可编辑.
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axis([-1,42,-1,25])
plot([1,1,hx,hx,1],[1,hy+1,hy+1,1,1],'r')
text(hx/2,0.3,'0V','fontsize',11);
text(hx/2-0.5,hy+0.5,'100V','fontsize',11);
text(-0.5,hy/2,'0V','fontsize',11);
text(hx+0.3,hy/2,'0V','fontsize',11);
hold off
当W=1e-5, 迭代次数：1401次
2）高斯-赛德尔迭代法
程序：
hx=41;hy=21;
v1=ones(hy,hx);
v1(hy,:)=zeros(1,hx);
v1(1,:)=ones(1,hx)*100;
v1(:,1)=zeros(hy,1);
v1(:,hx)=zeros(hy,1);
v2=v1;maxt=1;t=0;
k=0;
while(maxt>1e-5)
k=k+1;
maxt=0;
for i=2:hy-1
for j=2:hx-1
v2(i,j)=(v1(i,j+1)+v1(i+1,j)+v2(i-1,j)+v2(i,j-1))/4;
t=abs(v2(i,j)-v1(i,j));
if(t>maxt) maxt=t;end
end
end
v1=v2;
end
v2
k
clf
subplot(1,2,1),mesh(v2)
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subplot(1,2,2),contour(v2,15)
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text(hx/2-0.5,hy+0.5,'100V','fontsize',11);
text(-0.5,hy/2,'0V','fontsize',11);
text(hx+0.3,hy/2,'0V','fontsize',11);
hold off
.下载可编辑.
..
当W=1e-5, 迭代次数：740次
3）逐次超松弛法
程序：
hx=41;hy=21;
v1=zeros(hy,hx);
v1(hy,:)=zeros(1,hx);
v1(1,:)=ones(1,hx)*100;
v1(:,1)=zeros(hy,1);
v1(:,hx)=zeros(hy,1);
v1
v2=v1;maxt=1;t=0;
alpha=input('please input the value of alpha(alpha>=1 && alpha<2):');
k=0;
while(maxt>1e-5)
k=k+1;
maxt=0;
for i=2:hy-1
for j=2:hx-1
v2(i,j)=v1(i,j)+(v1(i,j+1)+v1(i+1,j)+v2(i-1,j)+v2(i,j-1)-4*v1(i,j))*alpha/4;
t=abs(v2(i,j)-v1(i,j));
if(t>maxt) maxt=t;end
end
end
v1=v2;
end
v2
k
clf
subplot(1,2,1),mesh(v2)
axis([0,41,0,21,0,100])
subplot(1,2,2),contour(v2,15)
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text(-0.5,hy/2,'0V','fontsize',11);
text(hx+0.3,hy/2,'0V','fontsize',11);
hold off
当W=1e-5, alpha取不同值时迭代次数
.下载可编辑.
..
alpha 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9
迭代
次数
742
616
509
417
336
263
197
133
80
161
4）画三维曲面图和等位线图（逐次超松弛法最佳迭代次数时）
程序：
hx=41;hy=21;
v1=zeros(hy,hx);
v1(hy,:)=zeros(1,hx);
v1(1,:)=ones(1,hx)*100;
v1(:,1)=zeros(hy,1);
v1(:,hx)=zeros(hy,1);
v1
v2=v1;maxt=1;t=0;
alpha=1.8;
k=0;
while(maxt>1e-5)
k=k+1;
maxt=0;
for i=2:hy-1
for j=2:hx-1
v2(i,j)=v1(i,j)+(v1(i,j+1)+v1(i+1,j)+v2(i-1,j)+v2(i,j-1)-4*v1(i,j))*alpha/4;
t=abs(v2(i,j)-v1(i,j));
if(t>maxt) maxt=t;end
end
end
v1=v2;
end
v2
k
clf
subplot(1,2,1),mesh(v2)
axis([0,41,0,21,0,100])
subplot(1,2,2),contour(v2,15)
hold on
axis([-1,42,-1,25])
plot([1,1,hx,hx,1],[1,hy+1,hy+1,1,1],'r')
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text(hx/2-0.5,hy+0.5,'100V','fontsize',11);
text(-0.5,hy/2,'0V','fontsize',11);
text(hx+0.3,hy/2,'0V','fontsize',11);
hold off
.下载可编辑.
..
贴图：
4．实验结论
（1）matlab软件在使用有限差分法研究静电场边值问题中有着重要的作用，它能够快
捷有效并且准确的解决边值问题，是解决计算相对复杂问题的有效工具。
（2）从各个方法的迭代次数可以看出：在给定相同的最大允许误差W的条件下，简单
迭代法使用的次数最多，为1401次；高斯赛德尔迭代法可以明显减少迭代次数，其迭代次
数为740次；如果应用逐次超松弛法，则迭代次数与加速收敛因子有关，且在加速收敛因子
选取合适值时，可以使迭代次数相对于其它迭代方法更加显著减少。如在加速收敛因子为
1.8时，其迭代次数尽为80次。
（3）在以后应用迭代法解决边值问题时，应最好选用逐次超松弛法，且在使用时，应
注意选取合适的加速收敛因子的值。
.下载可编辑.