2024年4月5日发(作者：时悦宜)

益阳市箴言中学2013年下期高二数学(理科)第三次月考试题

总分：150分 时量：120分钟 命题：罗毅夫

一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，满分40分。）

1．下列命题正确的是（ ）

A 若

a

>

b

，则

ac

>

bc

B 若

a

>

b

，则

a

2

b

2

cc

C 若

a

>

b

，则



D 若

a

>

b

，则

c

-

a

<

c

-

b

ab



x2y50



2．若实数x,y满足不等式组



2xy70

,则

3x4y

的最小值是( )



x0,y0



A. 13 B. 15 C. 20 D. 28

x

2

y

2

3．以双曲线

1

的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆标准方程为（ ）

412

x

2

y

2

x

2

y

2

x

2

y

2

x

2

y

2

A.

1

B.

1

C.

1

D.

1

416

4.如图，在平行六面体

ABCDA

1

B

1

C

1

D

1

中，底面是边长为1的正

方形，若

A

1

ABA

1

AD60

0

，且

A

1

A3

，则

A

1

C

的长为（ ）

A．

5

B．

22

5.给出如下四个命题：

①若“

pq

”为假命题，则

p,q

均为假命题；

②命题“若

a＞b

,则

2＞21

”的否命题为“若

a≤b

,则

2

ab

2

C．

14

D．

17

a

≤2

b

1

”；

③命题“任意

xR,x1

；

≥0

”的否定是“存在

x

0

R,x

0

2

1＜0

”

④在

ABC

中，“

A＞B

”是“

sinA＞sinB

”的充要条件.

其中不正确命题的个数是 ( )

．．．

A.4 B.3 C.2 D.1

6.已知等比数列

{a

n

}

满足

a

n

0,n1,2,

，且

a

5

a

2n5

2

2n

(n3)

，则当

n1

时

log

2

a

1

log

2

a

3

log

2

a

2n1



（ ）

22

A.

n(2n1)

B.

(n1)

C.

n

2

D.

(n1)

7. 在△

ABC

中，“

A30

”是“

sinA

1

”的（ ）

2

A 充分不必要条件 B 必要不充分条件

C 充要条件 D 既不充分也不必要条件

x

2

y

2

8.椭圆

1

的左、右焦点分别为

F

1

,F

2

，弦AB过

F

1

，若

ABF

2

的内切圆周长为

2516



，A,B两点的坐标分别为

(x

1

,y

1

)

和

(x

2

,y

2

)

，则

y

2

y

1

的值为（ ）

A .

5

105

10

B. C. D.

3

33

3

二、填空题：（本大题共7小题，每小题5分，共35分.）

15



9. 已知向量

a

＝(2，－3,5)与向量

b

＝



3，

λ

，



平行，则

λ

＝_______

2



10．

ABC

中，若

A60

0

，

AC4

，

S

ABC

33

，则

BC

_______

11. 设

F

1

，

F

2

分别是双曲线

x

－＝1的左、右焦点．点

P

在双曲线上，且

PF

1

·

PF

2

＝0，

9

2

y

2

则|

PF

1

＋

PF

2

|＝ _______

x

2

y

2

12. 椭圆

2

＋

2

＝1(

a

＞

b

＞0)的左、右顶点分别是

A

，

B

，左、右焦点分别是

F

1

，

F

2

.

ab

若|

AF

1

|,|

F

1

F

2

|，|

F

1

B

|成等比数列，则此椭圆的离心率为_______．

13. 正四棱锥

S

－

ABCD

的侧棱长为

2

，底边长为

S C

所成的角等于 _______.

14.已知

x0,y0

，且

3

，

E

是

SA

的中点，则异面直线

BE

和

21

1

，若

x2ym

2

2m

恒成立，则实数

m

的取值范围

xy

是

15.

数列

{a

n

}

的项是由1或2构成，且首项为1，在第

k

个1和第

k1

个1之间有

2k1

个2，即数列

{a

n

}

为：1，2，1，2，2，2，1，2，2，2，2，2，1，…，记数列

{a

n

}

的前

n

项和为

S

n

，则

S

20



；

S

2013



．

三、解答题：（本大题共6小题，满分75分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.）

16．

（12分）

在锐角△ABC中,内角A,B,C的对边分别为

a,b,c

,且

2asinB=

(Ⅰ)求角A的大小;

(Ⅱ) 若

a=6,b+c=8

,求△ABC的面积.

17.

（12分）

已知直线

yxm

与抛物线

y

3b

.

1

2

x

相交于

A,B

（与原点

O

不重合）

2

两点， 若

OAOB

，求实数

m

的值。

18.

（12分）

如图,已知三棱锥

OABC

的侧棱

OA,OB,OC

两两垂直,且

OA1

,

OBOC2

,

E

是

OC

的中点.

(1)求

O

点到面

ABC

的距离;

(2)求二面角

EABC

的余弦值.

A

O

B

E

C

19.

（13分）

某单位为了职工的住房问题，计划征用一块土地盖一幢总建筑面积为

．．．

A（m）的宿舍楼. 已知土地的征用费为

2388

元/ m，且每层的建筑面积相同，土地的

22

征用面积为第一层的

2.5

倍. 经工程技术人员核算，第一、二层的建筑费用相同都为

445

元/ m

2

，以后每增高一层，其建筑费用就增加

30

元/ m

2

. 试设计这幢宿舍楼的楼

高层数，使总费用最少，并求出其最少费用.（总费用为建筑费用和征地费用之和）.

20.

（13分）

设

S

n

为数列{

a

n

}的前项和,已知

a

1

0

,

2

a

n

a

1

S

1

S

n

,

n

N



(Ⅰ)求数列{

a

n

}的通项公式;(Ⅱ)求数列{

na

n

}的前

n

项和

T

n .

x

2

y

2

21.

（13分）

已知椭圆

C:

2



2

1



ab0



的两个焦点

F

1

,F

2

和上下两个顶点

B

1

,B

2

ab

是一个边长为2且∠

F

1

B

1

F

2

为

60

的菱形的四个顶点.

(1)求椭圆

C

的方程;

(2)过右焦点

F

2

,斜率为

k

(

k0

)的直线

l

与椭圆

C

相交于

E,F

两点,

A

为椭圆的右顶

点,直线

AE

,

AF

分别交直线

x3

于点

M

,

N

,线段

MN

的中点为

P

,记直线

PF

2

的斜率为

k



.求证:

kk



为定值.

2024年4月5日发(作者：时悦宜)

益阳市箴言中学2013年下期高二数学(理科)第三次月考试题

总分：150分 时量：120分钟 命题：罗毅夫

一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，满分40分。）

1．下列命题正确的是（ ）

A 若

a

>

b

，则

ac

>

bc

B 若

a

>

b

，则

a

2

b

2

cc

C 若

a

>

b

，则



D 若

a

>

b

，则

c

-

a

<

c

-

b

ab



x2y50



2．若实数x,y满足不等式组



2xy70

,则

3x4y

的最小值是( )



x0,y0



A. 13 B. 15 C. 20 D. 28

x

2

y

2

3．以双曲线

1

的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆标准方程为（ ）

412

x

2

y

2

x

2

y

2

x

2

y

2

x

2

y

2

A.

1

B.

1

C.

1

D.

1

416

4.如图，在平行六面体

ABCDA

1

B

1

C

1

D

1

中，底面是边长为1的正

方形，若

A

1

ABA

1

AD60

0

，且

A

1

A3

，则

A

1

C

的长为（ ）

A．

5

B．

22

5.给出如下四个命题：

①若“

pq

”为假命题，则

p,q

均为假命题；

②命题“若

a＞b

,则

2＞21

”的否命题为“若

a≤b

,则

2

ab

2

C．

14

D．

17

a

≤2

b

1

”；

③命题“任意

xR,x1

；

≥0

”的否定是“存在

x

0

R,x

0

2

1＜0

”

④在

ABC

中，“

A＞B

”是“

sinA＞sinB

”的充要条件.

其中不正确命题的个数是 ( )

．．．

A.4 B.3 C.2 D.1

6.已知等比数列

{a

n

}

满足

a

n

0,n1,2,

，且

a

5

a

2n5

2

2n

(n3)

，则当

n1

时

log

2

a

1

log

2

a

3

log

2

a

2n1



（ ）

22

A.

n(2n1)

B.

(n1)

C.

n

2

D.

(n1)

7. 在△

ABC

中，“

A30

”是“

sinA

1

”的（ ）

2

A 充分不必要条件 B 必要不充分条件

C 充要条件 D 既不充分也不必要条件

x

2

y

2

8.椭圆

1

的左、右焦点分别为

F

1

,F

2

，弦AB过

F

1

，若

ABF

2

的内切圆周长为

2516



，A,B两点的坐标分别为

(x

1

,y

1

)

和

(x

2

,y

2

)

，则

y

2

y

1

的值为（ ）

A .

5

105

10

B. C. D.

3

33

3

二、填空题：（本大题共7小题，每小题5分，共35分.）

15



9. 已知向量

a

＝(2，－3,5)与向量

b

＝



3，

λ

，



平行，则

λ

＝_______

2



10．

ABC

中，若

A60

0

，

AC4

，

S

ABC

33

，则

BC

_______

11. 设

F

1

，

F

2

分别是双曲线

x

－＝1的左、右焦点．点

P

在双曲线上，且

PF

1

·

PF

2

＝0，

9

2

y

2

则|

PF

1

＋

PF

2

|＝ _______

x

2

y

2

12. 椭圆

2

＋

2

＝1(

a

＞

b

＞0)的左、右顶点分别是

A

，

B

，左、右焦点分别是

F

1

，

F

2

.

ab

若|

AF

1

|,|

F

1

F

2

|，|

F

1

B

|成等比数列，则此椭圆的离心率为_______．

13. 正四棱锥

S

－

ABCD

的侧棱长为

2

，底边长为

S C

所成的角等于 _______.

14.已知

x0,y0

，且

3

，

E

是

SA

的中点，则异面直线

BE

和

21

1

，若

x2ym

2

2m

恒成立，则实数

m

的取值范围

xy

是

15.

数列

{a

n

}

的项是由1或2构成，且首项为1，在第

k

个1和第

k1

个1之间有

2k1

个2，即数列

{a

n

}

为：1，2，1，2，2，2，1，2，2，2，2，2，1，…，记数列

{a

n

}

的前

n

项和为

S

n

，则

S

20



；

S

2013



．

三、解答题：（本大题共6小题，满分75分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.）

16．

（12分）

在锐角△ABC中,内角A,B,C的对边分别为

a,b,c

,且

2asinB=

(Ⅰ)求角A的大小;

(Ⅱ) 若

a=6,b+c=8

,求△ABC的面积.

17.

（12分）

已知直线

yxm

与抛物线

y

3b

.

1

2

x

相交于

A,B

（与原点

O

不重合）

2

两点， 若

OAOB

，求实数

m

的值。

18.

（12分）

如图,已知三棱锥

OABC

的侧棱

OA,OB,OC

两两垂直,且

OA1

,

OBOC2

,

E

是

OC

的中点.

(1)求

O

点到面

ABC

的距离;

(2)求二面角

EABC

的余弦值.

A

O

B

E

C

19.

（13分）

某单位为了职工的住房问题，计划征用一块土地盖一幢总建筑面积为

．．．

A（m）的宿舍楼. 已知土地的征用费为

2388

元/ m，且每层的建筑面积相同，土地的

22

征用面积为第一层的

2.5

倍. 经工程技术人员核算，第一、二层的建筑费用相同都为

445

元/ m

2

，以后每增高一层，其建筑费用就增加

30

元/ m

2

. 试设计这幢宿舍楼的楼

高层数，使总费用最少，并求出其最少费用.（总费用为建筑费用和征地费用之和）.

20.

（13分）

设

S

n

为数列{

a

n

}的前项和,已知

a

1

0

,

2

a

n

a

1

S

1

S

n

,

n

N



(Ⅰ)求数列{

a

n

}的通项公式;(Ⅱ)求数列{

na

n

}的前

n

项和

T

n .

x

2

y

2

21.

（13分）

已知椭圆

C:

2



2

1



ab0



的两个焦点

F

1

,F

2

和上下两个顶点

B

1

,B

2

ab

是一个边长为2且∠

F

1

B

1

F

2

为

60

的菱形的四个顶点.

(1)求椭圆

C

的方程;

(2)过右焦点

F

2

,斜率为

k

(

k0

)的直线

l

与椭圆

C

相交于

E,F

两点,

A

为椭圆的右顶

点,直线

AE

,

AF

分别交直线

x3

于点

M

,

N

,线段

MN

的中点为

P

,记直线

PF

2

的斜率为

k



.求证:

kk



为定值.