2024年4月8日发(作者：杞饮香)

§7 微分方程

第七章 微分方程

函数是客观事物的内部联系在数量方面的反映，利用函数关系可以对客观事物的

规律进行研究。但在多数情况下，无法直接找到要研究的问题所需的函数关系，却

比较容易建立起该函数及其导数的关系式，即微分方程。再通过解这种方程，就可

得到该函数关系。微分方程是一门独立的数学学科，有完整的理论体系。目前已广

泛的应用于自然科学、工程技术、人口科学、经济学、医学等各个领域,已成为应用

数学知识解决实际问题的重要手段。

本章我们主要介绍微分方程的一些基本概念，几种常用的微分方程的解法。

第一节

微分方程的基本概念

一 引例

下面通过几个实例来说明微分方程的基本概念。

例1 一曲线yy(x)通过点(1 2) 且在该曲线上任一点M(x y)处的切线的斜率为

2x 求这曲线的方程

解 根据导数的几何意义知

且yy(x)满足下列条件

x1时 y2 (2)

把(1)式两端积分 得

y



2xdx

 即yx

2

C (3)

其中C是任意常数

把条件（2）代入(3)式 得

21

2

C

由此定出C1 把C1代入(3)式 得所求曲线方程

yx

2

1 （4）

1

dy

2x

 (1)

dx

§7 微分方程

例2 列车在水平直线路上以20m/s(相当于72km/h)的速度行驶 当制动时列车获

得加速度04m/s

2

 问开始制动后多少时间列车才能停住 以及列车在这段时间里行

驶了多少路程?

解 设列车在开始制动后t秒时行驶了s米 根据题意 反映制动阶段列车运动规

律的函数ss(t)应满足关系式

d

2

s

0.4

2

 (5)

dt

此外 未知函数ss(t)还应满足下列条件

t0时 s0

v

ds

20

 (6)

dt

把(5)式两端积分一次 得

v

ds

0.4tC

1

 (7)

dt

再积分一次 得

s02t

2

C

1

t C

2

 (8)

这里C

1

 C

2

都是任意常数

把条件t0，v20代入(7)得

20C

1



把条件t0，s0代入(8)得

0C

2



把C

1

 C

2

的值代入(7)及(8)式得

v04t 20 (9)

s02t

2

20t (10)

在(9)式中令v0 得到列车从开始制动到完全停住所需的时间

t

20

50

(s)

0.4

再把t50代入(10) 得到列车在制动阶段行驶的路程

s0250

2

2050500(m)

上面的两个例子，尽管实际意义不相同，但解决问题的方法，都是归结为首先

建立一个含有未知函数的导数的方程，然后通过所建立的方程，求出满足所给的附

加条件的未知函数．这就是所谓的微分方程及其解微分方程。下面我们来介绍有关

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2024年4月8日发(作者：杞饮香)

§7 微分方程

第七章 微分方程

函数是客观事物的内部联系在数量方面的反映，利用函数关系可以对客观事物的

规律进行研究。但在多数情况下，无法直接找到要研究的问题所需的函数关系，却

比较容易建立起该函数及其导数的关系式，即微分方程。再通过解这种方程，就可

得到该函数关系。微分方程是一门独立的数学学科，有完整的理论体系。目前已广

泛的应用于自然科学、工程技术、人口科学、经济学、医学等各个领域,已成为应用

数学知识解决实际问题的重要手段。

本章我们主要介绍微分方程的一些基本概念，几种常用的微分方程的解法。

第一节

微分方程的基本概念

一 引例

下面通过几个实例来说明微分方程的基本概念。

例1 一曲线yy(x)通过点(1 2) 且在该曲线上任一点M(x y)处的切线的斜率为

2x 求这曲线的方程

解 根据导数的几何意义知

且yy(x)满足下列条件

x1时 y2 (2)

把(1)式两端积分 得

y



2xdx

 即yx

2

C (3)

其中C是任意常数

把条件（2）代入(3)式 得

21

2

C

由此定出C1 把C1代入(3)式 得所求曲线方程

yx

2

1 （4）

1

dy

2x

 (1)

dx

§7 微分方程

例2 列车在水平直线路上以20m/s(相当于72km/h)的速度行驶 当制动时列车获

得加速度04m/s

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 问开始制动后多少时间列车才能停住 以及列车在这段时间里行

驶了多少路程?

解 设列车在开始制动后t秒时行驶了s米 根据题意 反映制动阶段列车运动规

律的函数ss(t)应满足关系式

d

2

s

0.4

2

 (5)

dt

此外 未知函数ss(t)还应满足下列条件

t0时 s0

v

ds

20

 (6)

dt

把(5)式两端积分一次 得

v

ds

0.4tC

1

 (7)

dt

再积分一次 得

s02t

2

C

1

t C

2

 (8)

这里C

1

 C

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都是任意常数

把条件t0，v20代入(7)得

20C

1



把条件t0，s0代入(8)得

0C

2



把C

1

 C

2

的值代入(7)及(8)式得

v04t 20 (9)

s02t

2

20t (10)

在(9)式中令v0 得到列车从开始制动到完全停住所需的时间

t

20

50

(s)

0.4

再把t50代入(10) 得到列车在制动阶段行驶的路程

s0250

2

2050500(m)

上面的两个例子，尽管实际意义不相同，但解决问题的方法，都是归结为首先

建立一个含有未知函数的导数的方程，然后通过所建立的方程，求出满足所给的附

加条件的未知函数．这就是所谓的微分方程及其解微分方程。下面我们来介绍有关

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