2024年4月23日发(作者：载天工)
火炮发射与控制学报
第２期
ＪＯＵＲＮＡＬ ＯＦ ＧＵＮ ＬＡＵＮＣＨ＆ＣＯＮＴＲＯＬ ・ １３ ・
某多管火箭炮发射动力学模型（Ｉ）
魏孝达。张瑞莎，王惠方
（西北机电工程研究所，陕西成阳 ７１２０９９）
摘要：多管火箭炮发射是一个复杂的动力学过程，把它简化为由车体、回转机、起落部分和火箭弹组
成的力学系统，采用多体动力学模型，在半约束期，系统简化为１１个自由度，在全约束期，系统简化为９个
自由度。运用速度矩阵法推导了火箭弹与火箭炮运动相耦合的动力学方程。提出了燃气射流冲击力在迎气面
上的积分算法，为分析计算火箭弹离轨时刻的空问姿态和发射架振动提供了理论模型。
关键词：基础力学；多管火箭炮；发射动力学；速度矩阵法
中图分类号：ＴＪ３９３ 文献标志码：Ａ 文章编号：１６７３—６５２４（２０１０）０２—００１３—０６
Ｌａｕｎｃｈ Ｄａｎａｍｉｃｓ Ｍｏｄｅｌ ｏｆ Ａ Ｍｕｌｔｉｐｌｅ Ｌａｕｎｃｈ Ｒｏｃｋｅｔ Ｓｙｓｔｅｍ（Ｉ）
ＷＥＩ Ｘｉａｏ—ｄａ，Ｚ Ｈ ＡＮＧ Ｒｕｉ—ｓｈａ，ＷＡＮＧ Ｈ ｕｉ—ｆａｎｇ
（Ｎｏｒｔｈｗｅｓｔ Ｉｎｓｔｉｔｕｔｅ ｏｆ Ｍｅｃｈａｎｉｃａｌ＆Ｅｌｅｃｔｒｉｃａｌ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，Ｘｉａｎｙａｎｇ ７１２０９９，Ｓｈａａｎｘｉ，Ｃｈｉｎａ）
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｅ ｌａｕｎｃｈ ｏｆ ｍｕｌｔｉｐｌｅ ｌａｕｎｃｈ ｒｏｃｋｅｔ ｓｙｓｔｅｍ（ＭＬＲＳ）ｉｓ ａ ｐｒｏｃｅｓｓ ｏｆ ｃｏｍｐｌｉｃａｔｅｄ ｄｙｎａｍｉｃｓ．Ｂｙ
ｍｅａｎｓ ｏｆ ａ ｒｉｇｉｄ ｍｕｌｔｉ—ｂｏｄｙ ｄｙｎａｍｉｃｓ ｍｏｄｅｌ，ｔｈｅ ｌａｕｎｃｈｉｎｇ ｐｒｏｃｅｓｓ ｗａｓ ｓｉｍｐｌｉｆｉｅｄ ｉｎｔｏ ａ ｍｅｃｈａｎｉｃａｌ ｓｙｓ—
ｔｅｒｎ ｃｏｍｐｏｓｅｄ ｏｆ ｃｈａｓｓｉｓ，ｒｏｔａｔｉｎｇ ｍｅｃｈａｎｉｓｍ，ｅｌｅｖａｔｉｎｇ ｐａｒｔ ａｎｄ ｒｏｃｋｅｔ ａｍｍｕｎｉｔｉｏｎ．Ｔｈｅ ｍｅｃｈａｎｉｃａｌ
ｓｙｓｔｅｍ ｗａｓ ｓｉｍｐｌｉｆｉｅｄ ｉｎｔｏ １ １ ｄｅｇｒｅｅｓ ｏｆ ｆｒｅｅｄｏｍ ｉｎ ｈａｌｆ ｃｏｎｓｔｒａｉｎｔ ｐｅｒｉｏｄ，ａｎｄ ｔｈｅ ｓｙｓｔｅｍ ｗａｓ ｓｉｍｐｌｉｆｉｅｄ
ｉｎｔｏ ９ ｄｅｇｒｅｅｓ ｏｆ ｆｒｅｅｄｏｍ ｉｎ ｆｕｌｌ ｃｏｎｓｔｒａｉｎｔ ｐｅｒｉｏｄ．Ｔｈｅ ｃｏｕｐｌｅｄ ｄｙｎａｍｉｃｓ ｅｑｕａｔｉｏｎ ｇｒｏｕｐ ｏｆ ｍｏｔｉｏｎｓ ｏｆ
ｒｏｃｋｅｔ ａｍｍｕｎｉｔｉｏｎ ａｎｄ ｌａｕｎｃｈｅｒ ｗｅｒｅ ｄｅｒｉｖｅｄ ｗｉｔｈ ｔｈｅ ａｉｄ ｏｆ ｖｅｌｏｃｉｔｙ ｍａｔｒｉｘ ｍｅｔｈｏｄ．Ｔｈｅ ｉｎｔｅｇｒａｌ ａｌｇｏ—
ｒｉｔｈｍ ｏｆ ｔｈｅ ｂｕｒｎｉｎｇ ｇａｓ ｆｏｒｃｅ ｔｏｗａｒｄｓ ｔｈｅ ｈｅａｄ ｆａｃｅ ｗａｓ ｐｕｔ ｆｏｒｗａｒｄ．Ｔｈｉｓ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ ｃａｎ ｐｒｏｖｉｄｅ ｔｈｅｏ—
ｒｅｔｉｃ ｍｏｄｅｌ ｆｏｒ ａｎａｌｙｓｉｓ ａｎｄ ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎ ｏｆ ｓｐａｔｉａｌ ａｔｔｉｔｕｄｅ ｏｆ ｒｏｃｋｅｔ ａｎｄ ｖｉｂｒａｔｉｏｎ ｏｆ ｒｏｃｋｅｔ ｌａｕｎｃｈｅｒ ａｔ ｔｈｅ
ｍｏｍｅｎｔ ｏｆ ｒｏｃｋｅｔ ｌｅａ—ｖｉｎｇ ｌａｕｎｃｈｅｒ．
Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｂａｓｉｃ ｍｅｃｈａｎｉｃｓ；ｍｕｌｔｉｐｌｅ ｌａｕｎｃｈ ｒｏｃｋｅｔ ｓｙｓｔｅｍ；ｌａｕｎｃｈｉｎｇ ｄｙｎａｍｉｃｓ；ｖｅｌｏｃｉｔｙ ｍａｔｒｉｘ ｍｅｔｈｏｄ
多管火箭炮发射与常规火炮有显著区别口 ］：
火箭弹质量大、体积大，它的运动对火箭炮有举足
轻重的影响，如某火箭弹质量是单根定向器质量的
３倍，是定向器集束的１／４左右，而通常火炮弹丸质
大小和作用点都不一样，并随火箭弹射序的不同而差
别很大，这是影响火箭炮振动重要而复杂的因素；火
箭炮起落部分为变质量系统，其质量、转动惯量随载
弹量多少而不同，并随火箭弹逐一发射而减少。
量不到炮身质量的１／５０，所以在研究多管火箭炮发
射振动时应该考虑火箭弹的影响，而在研究火炮时
往往可以忽略；火箭弹初速低、定心部之间距离远，
本力学模型将火箭弹和发射架含在同一个力
学系统中，导出了系统动力学方程，提出了火箭弹
燃气射流冲击力随压力分布和迎气面积变化的计
造成半约束期的时间长，与炮弹相比，火箭弹半约
束期的时间是炮弹的１００多倍，说明定向器对后定
心部的约束时间较长，使火箭弹离轨时的姿态受到影
响；多管火箭炮发射时每发火箭弹的燃气射流冲击力
算方法。模型可以方便地计算火箭弹离轨时刻的
空间姿态，分析有关参数（包括发射架结构参数与
力学参数、火箭弹推力偏心和质量偏心等特性参数
以及发射间隔、发射顺序、发射数量、射向射角等）
收稿日期：２００９一Ｏ３—３０；修回日期：２０１０一Ｏ９—１５
作者简介：魏孝达（１９４２一），男，研究员级高级工程师，主要从事火炮力学技术研究。Ｅ－ｍａｉｌ：ｗｘｄ４２０９０９＠１６３．ｃｏｒｎ
・
１４ ・ 火炮发射与控制学报 ２０１０年６月
对火箭弹运动和发射架振动的影响，为多管火箭炮
４）起落部分通过耳轴和高低机与回转机联接，
系统优化设计提供理论工具。
建模运用速度矩阵法口］。先对多管火箭炮进
行力学简化，给出力学系统基本假设，通过运动学
分析得出系统各刚体的速度、角速度表达式［４］，然
后建立速度矩阵，得到动力学方程组的系数矩阵，
通过高低机使起落部分绕耳轴０转动，视高低机为
弹性支撑，其刚度系数可通过“拉力试验”得到，起
落部分相对回转机的转角用 表示。
５）假定火箭弹定心部与定向器之间无间隙，在
前、中两个定心部离轨前（全约束期），火箭弹相对
定向器作直线运动，其直线运动的位移量用ｚ 表 再求出广义主动力，将广义力与系数矩阵相结合，
加上辅助方程，即得动力学方程组。
示，同时在导向钮的约束下绕弹轴旋转，绕弹轴旋
转的转角用 表示，此转角和角速度取决于导向槽
１ 基本假设
的缠角ａ和定向器内半径Ｒ ， ＝：＝Ｘ ｔａｎ ａ／Ｒ。。
在中定心部离轨后火箭弹进入半约束期，此时
１）假定多管火箭炮由４个刚体组成，即车体、
的火箭弹除相对定向器作直线运动外，还绕后定心
回转机、起落部分（含摇架、定向器、未发射的火箭
部有３个方向的转动，由于绕弹轴的自转受定向钮
弹）和火箭弹（正在发射的１发），见图Ｉ。
的约束，故火箭弹只增加２个转动自由度，转角用
和 表示，因此在半约束期，系统简化为Ｉ１个自由
度动力学模型，用广义坐标 、Ｙ、ｚ、１、 、 、 、
、 、
和 描述系统的运动。在全约束期，系统
简化为９个自由度，用广义坐标Ｘ、Ｙ、 、 、 、 、
、
和ｚ 描述系统的运动。
、
６）Ｇｌ、Ｇ２、 、Ｈ 、Ｈ２、Ｔ１、Ｔ２分别为后、中、前
３对车轮和Ｉ对千斤顶的接地点，角标“１”表示右侧，
“２”表示左侧，地面反力为车体位移和速度的函数。
２ 坐标系
如图１所示，多管火箭炮各特征点定义如下：
０ 为地上固定点，选两后轮初始接地点连线的
中点；Ｑ为车体上固定点，在０ 点正上方的顶甲板
平面上；Ｄ为回转平面上回转中心点；０为耳轴中心
点；ｅ为火箭弹后定心部中心点；ｑ、ｎ、ｂ、ｃ分别为火
箭弹、起落部分、回转机和车体的质心；绝对坐标系
０ ｘｙｚ为固联于地，原点为ｏ ，０ 轴平行于地面，
指向正前方；０ Ｙ轴垂直于地面；０ 轴平行于地
图１多管火箭炮系统动力学模型
面，指向右方。此坐标架用单位矢量 、ｙ 、ｚ 表示。
Ｆｉｇ．１ ｄｙｎａｍｉｃｓ ｍｏｄｅｌ ｏｆｍｕｌｔｉｐｌｅ ｒｏｃｋｅｔ ｓｙｓｔｅｍ
设车体坐标系 为固联于车体，原点为
２）炮车作三维空间运动，假定以车体上一点Ｑ
两后轮初始接地点连线的中点正上方的Ｑ点， 、
为基点，该点相对地面运动的位移量分别用ｚ、Ｙ、
、
Ｑ｝ 轴初始时与０ 、０ Ｙ、０ 轴平行，以后随
表示，．２７为Ｑ点的前后水平位移，Ｙ为上下垂直位
车体运动，此坐标架用单位矢量毒 、’， 、 表示。
移， 为侧向水平位移；同时车体还绕３个车体坐标
回转机坐标系Ｄ 为固联于回转机，原点为回
系的轴转动，转角用卡尔丹角 、 和 表示。
转中心Ｄ，Ｄ】７轴为回转轴，Ｄ 、Ｄ孙Ｄ 轴初始时与
３）回转机绕回转中心Ｄ转动，视方向机为弹性
Ｑ 、Ｑ，７ 、Ｑ 同方向，以后随回转机运动，此坐标架
元件，其刚度系数可通过“拉力试验”得到，回转机
用单位矢量毒、ｔ，、 表示。
相对车体的转角用 表示。
起落部分坐标系 志为固联于起落部分，原点
１●●●●●Ｊ］●● ●ｊ
第２期 魏孝达，等：某多管火箭炮发射动力学模型（Ｉ）
一
３ ３●
一 ｌ ｌ
一
，
・ １５ ・
为两耳轴连线的中点０， 轴平行于定向器轴线，
方向指向管口，发射前为射角方向；ｏｊ轴垂直于定
一 一
０，
向器轴线，指向上方；Ｏｋ轴沿耳轴中心线，指向右
方。此坐标架用单位矢量ｉ、Ｊ、 表示。
Ｇ
ｆＣ —ＣＯＳ ｆＣ４一ｃｏｓ（ ＋ １）
弹体坐标系ｅ４ｊ ｋ 为固联于正在发射的火箭
弹，原点为后定心部中心点ｅ，ｅ／ 轴平行于弹轴，方
向指向弹尖，在全约束期，始终与 轴平行； 。轴
垂直于弹轴，指向上方；ｅｋ 轴垂直于弹轴指向右
１ Ｓ 一ｓｉｎ ｌ Ｓ４一ｓｉｎ（ ＋ １）
ｊ，Ｃ５一ｃｏｓ（ ＋仇） ｆｃＦ１一ｃｏｓ
ｌ Ｓ５一ｓｉｎ（ ＋ ） １ ＳＦ１一ｓｉｎ
ｆ Ｃｖ２一ＣＯＳ
方。此坐标架用单位矢量ｉ 、Ｊ 、 表示。
为书写简便，令：
ｌ ＳＦ２一ｓｉｎ
式中：ｉ一１，２，３，６，７，８；仇为火箭炮射击前赋
予的方位角；仇为火箭炮射击前赋予的高低角。
５个坐标系变换如下：
，。 ：：
『 ］，，．。：：『 ］，，。：：『三］，
ｊ ｊ Ｊ
暑ｃ ３ｓｃ－。１＋ 一Ｃ妻２ｓＳ３￣ｓ ２主ｃｓ：１ 一—Ｃ 季Ｃ ２Ｃ ２Ｓ １ｌ ］ｊＩ Ｉ １ ］Ｊｆ 三 Ｑ［ ｌｔ，１ ］＿ｌＪ ，［Ｉ ｒ１ ］ＪＩ 一—『ＬＩ －ｃ０Ｓ ４ 。０１ Ｃｓ０： 圄，４１ｊｌ ｌ ｔ，ＪＩ 兰 Ｄｌ ｔ，ｊＩ ，
慧－－Ｇ ￥８素僻ｅ
Ｃ ７Ｃ８
＇， 一Ｐｏ＋∞３×（ ｉ＋ＪＪ＋ｋｅｋ）＋ １ｉ （９）
３ 各个刚体速度和角速度表达式
１）车体的角速度∞ 为：
式中，（ ， ，忌 ）为后定心部中心点ｅ在Ｏｉｊｋ坐标系
中的坐标。
９）车体质心Ｃ的速度＇， 参照ｌ，。为：
∞１一ｃｃＪ 毒ｌ＋ｃ￡Ｊ ’，１＋ ｎ 一（ １Ｃ２Ｃ３＋ ２Ｓ３）考１＋
（一 ＣｚＳ。＋ ｚＣ。）ｔ， ＋（ Ｓｚ＋ ） （２）
＇，ｃ一＇，Ｑ＋∞１×（￡ｃ毒ｌ＋ｑｌｃｔ，１＋ ｃ １）（ｉ０）
式中，（ ， ， ）为Ｃ点在坐标系 中的坐标。
１０）回转机质心ｂ点的速度＇， 参照ｌ，０为：
２）回转机的角速度∞。为：
∞２一∞１＋ ｔＩ三（ｃｏ｝考＋０３ ’，＋ ｆ ）
３）起落部分的角速度
∞３一∞２＋
（３）
（４）
Ｐｂ一 ＋∞。×（ 喜＋ ｔ『＋ ）
式中，（ ， ， ）为炮塔质心ｂ点在Ｄ
的坐标。
（１１）
为：
坐标系中
三（ ｉ＋ －，＋ 七）
４）火箭弹的角速度ｆＯ 为：
１１）起落部分质心口点的速度ｖ 参照ｖ 为：
’，。一ＹＯ＋ ×（ｉｏｆ＋ 。 ＋ｋｏｋ） （１２）
在半约束期：
∞４一∞３＋国 兰ｃｏ‘ｉ ＋ Ｊ ＋ （５）
式中，（ 。，Ｊ。，志 ）为起落部分质心ａ点在Ｏｉｊｋ坐标
系中的坐标。
１２）火箭弹质心ｑ点的速度＇，。为：
＇， 一＇， ＋∞ ×（ ｉ ＋．『 ．『 ＋忌 ） （１３）
５）车体坐标原点Ｑ的速度＇，。为：
１，Ｑ—ｚｘ＋ＹＹ＋拢一［ Ｙ ］ Ｑ
Ｑ为坐标系０ ｘｙｚ变到坐标系Ｑ
即ｒｏ 一Ｑ・ Ｑ。
（６）
的变换矩阵，
式中，（ ，Ｊ ，志 ）为火箭弹质心ｑ点在ｅｉｄ ｋ 坐标
系中的坐标。
６）回转机坐标原点Ｄ（回转中心）的速度 为：
＝ ＋∞ ×（￡Ｄ考 ＋ 。ｔＩ ＋ 。 ） （７）
式中，（￡。， 。， ｏ）为Ｄ点在 坐标系中的坐标。
４ 速度矩阵
速度矩阵即各刚体的速度和角速度表达式中
每个广义速度前的系数项依次排成的矩阵，由于每
７）起落部分坐标原点Ｏ（耳轴中心）的速度 为：
ＹＯ＝ ＋∞ ×（ 毒＋仍ｔＩ＋ ） （８）
式中，（ ，７１ｏ， ）为耳轴０点在脚 坐标系中的坐标。
８）弹体坐标原点Ｐ（后定心部中心）的速度 为：
个刚体都有３个速度和３个角速度分量，每个速度
・ １６ ・ 火炮发射与控制学报 ２０１０年６月
分量将占矩阵中的一行，每个刚体将占３行，本模型
有４个刚体，故速度矩阵为１２行；由于每个速度和
角速度分量都是１１个广义速度的线性组合，它们的
系数项要占１１列，构成１２×１１的矩阵。对速度矩阵
求导和求偏导即得微分和偏微分矩阵（略）。
５ 动力学方程组
臣
Ａ 一∑∑Ｍｋａ 蜘＋∑∑Ｊ ｂ ｂ蜘一
∑［．，Ｍ（ ｂ蜘＋ｂｋｚｉｂ嘶）＋Ｊ （６ ｂ嘶＋
ｂｋ３ｉｂ ）＋ 硒（６ ｂⅢ＋ｂｋｌｉｂ吲）］
一
（‰ 蜘＋ ｎ蜘一 ｈ等）＋
ｋ １
Ｈ＝ ＼
１
．，ｈ（ ６ 蜘＋ ６柳～ｈ等）一 ０， 一
（ ｚ ¨６蜘一 ３ｂｋｌｊ）一
ｋ １
＝
Ｊ硒（
、
＋ 嘶一 ８ａ
一
ｂ
ｌ，
ｑｋｚｉ
厂
（ 。 一 ｓ等）
令成０，无需另行推导方程。
６ 广义ｉ动力
６．１ 系统作用力
６．１．１ 火箭弹推力
发动机推力可以是数组或函数形式，作用于火
箭弹，推力存在偏心，假定推力偏心有３种形式，第
１种：假定推力方向与弹轴平行，作用点ｐ（ｉ母， 睁，
ｋ印）偏离弹轴，设推力偏心距为Ｒ ，弹轴与推力作
用线构成的平面与．， 轴夹角为 ，则 印一Ｒ ＣＯＳ ，
ｋ睁一Ｒ ｓｉｎ ；第２种：假定推力作用线与弹轴交于
Ｐ点，夹角为 ，Ｐ点在弹轴的位置为（ ０，０），弹
轴与推力作用线构成的平面与Ｊ『 轴的夹角为 ；第
３种：假定推力作用线与弹轴既不相交也不平行，设
两空间直线的距离为Ｒ ，在过弹轴并与推力作用线
平行的平面上，作推力作用线的投影线，此投影线
与弹轴的交点位置为（ ０，Ｏ），夹角为 ，弹轴与投
影线构成的平面与．， 轴的夹角为 ，同样有－『咖一
Ｒ ＣＯＳ ，ｋ印一Ｒ ｓｉｎ 的表达式。可见推力的方向
和作用点可用４个参数 、 、Ｒ 、ｉ印来确定，不难看
出第１、２种形式是第３种形式的特例，若令 ＝：＝０，
即第１种形式、令Ｒ 一０，即第２种形式。
存在偏心的推力矢量表达式为：
Ｐ 一Ｐ （ｃｏｓ ｉ ＋ｓｉｎ ＣＯＳ ＋ｓｉｎ ｓｉｎ ｋ ）
（１５）
式中， 为发序，作用位置与射序有关；Ｐ 为推力。
在推力小于闭锁力之前，火箭弹相对定向器不
能启动，但系统仍有推力作用，即在除火箭弹外的所
有自由度对应的运动方程中，都出现推力生成的广义
力；在推力大于闭锁力、火箭弹重力以及摩擦力的合
力以后，火箭弹开始在定向器内运动，直到离轨。
若考虑推力偏心的随机性，只要在计算时将
、 、
Ｒ 视为随机变量输入即可。
６．１．２ 燃气射流冲击力
设第”发火箭弹的燃气射流压强是离喷口距离
ｉ 和离弹轴半径ｒ的函数 （ ，ｒ），ｉ 、ｒ均为ｔ的函数。
在每一个垂直于弹轴的截面（ ＝ ）上，燃气射流压
强按等压圈规律分布［７］，也可以用数组形式给出。
由于火箭弹燃气射流压强以等压圈分布，故需
要计算每个等压圈覆盖定向器端面形成的迎气面
积：现以第 发火箭弹为中心，画ｍ个压力圈，第ｋ
个压力圈外半径为ｒ破，定向器外半径为Ｒ。，第，ｚ发
第２期 魏孝达，等：某多管火箭炮发射动力学模型（Ｉ） ・ １７ ・
的压力圈中心与第ｉ个定向器中心的距离为Ｌ ，第
ｉ个定向器中心的坐标用二维数组Ｌ（ ，Ｊ）表示（ 一
１，２，…，Ｎ；Ｊ一１，２），ｉ为定向器序号，Ｎ为定向器
总数，Ｊ表示坐标方向， 一１代表 方向坐标，Ｊ一２
代表＿『方向坐标。ｒ 圆与第ｉ个定向器相交构成两
个弓形面积Ｓ 、Ｓ ，由几何关系（见图２）得＿８］：
１
Ｓ 一寺ｒ （ａ ，一ｓｉｎ口 ）
１
（１６）
Ｓ 一 １ Ｄ２（ 一ｓｉｎ ）
式中：ａ删为压力圈中心与两圆交点连线的夹角；
为迎气管中心与两圆交点连线的夹角（当ｒ ＜
√Ｌ ＋Ｒ 时， ２为锐角；当ｒ ＞、／／Ｌ ＋Ｒ乞时，
２为钝角）。
定向管
第ｎ发弹轴
图２等压圈与定向器相交的面积
Ｆｉｇ．２ Ｉｎｔｅｒｓｅｃｔｉｏｎ ａｒｅａ ｏｆｉｓｏｔｏｎｉｃ ｃｉｒｃｌｅ
ａｎｄ ｏｒｉｅｎｔａｔｉｏｎ ｄｅｖｉｃｅ
‰一ｒｃｃ。ｓ（ ）
当ｒ越≤￣／Ｌ ＋Ｒ 时
＝
２ａｒｃｃｏｓ（ ） ，
当ｒ ＞￣／Ｌ ＋Ｒ毛时
＝：＝
２７ｒ一２ａｒｃｃｏｓ（ Ｌ ＋Ｒ乞一ｒ— ２
除两圆相交的情形外，还有两种不相交的情
形：当 ≤Ｌ 一ＲＤ时，Ｓ ＝Ｓ 一０；当ｒ ≥
Ｌ ＋ＲＤ时，Ｓ 一０，Ｓ 一 Ｒ 。
第 发火箭弹的第ｋ个压力圈与第ｉ个定向器
相交的面积为Ｓ 一Ｓ‰＋Ｓ （是一１，２，…，ｍ；
ｉ一１，２，…，Ｎ一１），ｍ为设定的等压圈总数，第 发
Ｎ １
的第ｋ个等压圈交出的总面积为ｓ越＋Ｓ。一＞
＝
１
Ｓ ＋ｓ。，Ｓ。为一个定向器横截面积。第，ｚ发的第ｋ
个等压圈与第ｋ一１个压力圈之间的环形面交出的
面积为ＡＳ艟一Ｓ 一Ｓ破一 ，即得第ｋ个等压环的迎气
面积。将第ｋ个等压环的迎气面积ＡＳ 乘以压强
Ｐ （ ，ｒ ）并对ｋ求和，即得第 发火箭弹此刻对所
有定向器（实心）的燃气射流冲击力：
Ｐ 一∑△ｓ抽户 （ ，ｒ ）＋Ｐ （１８）
式中，Ｐ 为第 发火箭弹自身定向器所受燃气射流
冲击力。
由于等压圈半径ｒ 可以任意选取，所以等压环
的大小可以连续变化，燃气射流冲击力可写成积分
表达式，得到更精确的计算结果。
Ｐ 一
一 ｉｐｇ（ｉ￣， ＋Ｐ
Ｓ 一Ｓ ＋ｓ 一告ｒ：（口 一ｓｉｎ口 ）＋
１
２
ｎ
Ｄ
（ 一ｓｉｎ ） （１９）
以上得出的是对未发射的定向器（实心）的迎
气面积，对发射后的空管迎气面积只要减去管内部
扬
分，空管用同样方法计算，只需把定向器外半径Ｒ。
改为内半径Ｒ 即可，见图３。
ＲＤ
凡
彩南 匆
ｌ ｝
图３定向器迎气面积
Ｆｉｇ．３ Ｏｒｉｅｎｔａｔｉｏｎ ｌｏｃａｔｏｒ ｆａｃｉｎｇ ｇａｓ ａｒｅａ
整个定向器集束的迎气面积，还应考虑它的结
构特点，如定向器用隔板固定，则应计算前隔板的
迎气面积，算法可将整个隔板的长方形迎气面积减
去当前的空管面积来实现。设长方形前隔板面上第
，ｚ发定向器中心至４边的垂直距离依次为Ｌ ≤
Ｌ ≤Ｌ ≤Ｌ ，至４个顶点（编号为５，６，７，８）的
距离依次为Ｌ ≤Ｌ枷≤Ｌ ≤Ｌ ，为求整个长
方形面上的受力，先算第 发定向器中心为圆心以ｒ
为半径的圆与长方形交成的面积Ｓ （见图４）。
为分析计算简洁，将Ｌ （ｉ＝１，２，３，４）、
Ｌ州（
＝
．
５，６，７，８）合在一起再排队，得Ｌ 。 ≤
Ｌ ≤…≤Ｌ ≤Ｌ 这就把ｒ分成８个区间来描
述交成的面积Ｓ ，例如可能排成Ｌ删≤Ｌ ≤
Ｌ ≤Ｌ玳圮≤Ｌ ≤Ｌ ≤Ｌ ≤Ｌ ，其他所有排
列都遵循以下相同规则：
Ｓ 一 ｒ （０≤ｒ≤Ｌ删）
・ １８ ・ 火炮发射与控制学报 ２０１０年６月
工 ～
工ｎ０２
ｌ奎Ｉ４圆与长７）－彤趸成的面
Ｆｉｇ．４ Ｉｎｔｅｒｓｅｃｔｉｏｎ ａｒｅａ ｏｆｉｓｏｔｏｎｉｃ ｃｉｒｃｌｅ ａｎｄ ｓｑｕａｒｅ
Ｓ ：７【ｒ。一Ｓ。
１
（Ｌ ０１＜ｒ≤Ｌ ０２）
Ｓ ＝ 一Ｓ 一Ｓ （Ｌ 。２＜ｒ≤Ｌ．ｏｓ）
一７ｃ ～Ｓ
Ｊ
一
，
Ｓ。 ＋Ｓ５（Ｌ ＜ｒ≤Ｌ棚）（２０）
Ｓ ＝７ｃ ～ 一 ＋ｓｓ～ （ 。＜ｒ≤Ｌｍｓ）
＝ 一
ｓ ～ ＋Ｓ５一Ｓ ＋Ｓ６（ ｅ＜ｒ≤Ｌｎｏ４）
Ｓ一 一 一 ＋Ｓ一 ＋Ｓ一 ＜ｒ≤
Ｓ一舻一 一 ＋Ｓ一 ＋Ｓ一 ＋ｓ （ ＜ｒ≤ ）
式中：Ｓ 一寺 （ａ —ｓｉｎ ａ ），Ｓ 即半径为ｒ的圆
与长方形第ｉ边（距离为Ｌ 的边）相交割去的弓形
面积（ＢｃＤ），（ １，２．３，４） 一２ａｒｃｃｏｓ（Ｌ ｎｏｉ），
ａ Ｅｐ／ＢｎＤ 一丢ｒ。｛２ａｒｃｃｏｓ（ ） ｎ
［２ａｒｃｃｏｓ（ ）］｝；Ｓｊ一 一￣ｎＡＢ－－ＡｎＡＣ，
为长方形的Ｊ号外顶角与ＢＣ弧围成的面积（ ＝：＝５，
６，７），其中， ｒ 为扇形ｎＢＣ的面积，卢一７【～（ Ｂ＋
Ｃ＋ １＋ ２），Ｊ８为扇形顶角 ＢｎＣ， Ｂ：
ａｒｃｓｉｎ（ ）， ｃ—ａｒｃｓｉｎ（ ）， ｚ为 号
顶点相邻的长方形两边 口有 一ａｒｃｓｉｎ（等），
Ｚ２一ｒｃｓｉｎ（ ）。
有：
Ｌ ５１一Ｌ加１，Ｌ ５２＝Ｌ ｏ２
Ｌ ６１＝Ｌ ｏ２，Ｌ ６２＝Ｌ ０。
Ｌ＂７ｌ ：Ｌ ０４，Ｌ ７２：Ｌ加ｌ
ＡｎＡＢ＝号ＡＢ・Ｌ ｚ￣ｎＡＣ一号ＡＣ 。
其中：
ＡＢ— ，ＡＣ
Ｌ ｏ ・ｓｉｎ．／ＡｎＣ
一
Ｓ１
ｎ上ｊ
ＡｎＢ＝ １一 Ｂ ＡｎＣ一 ２一 Ｃ
Ｓｊ ａｒｃ （ ）～ｃｓｉｎ一（ ）一
ａｒｃｓｉｎ（％）一ａｒｃｓｍ／７－ －￣１一ｌｒＬ叫・
ｆｓｉｎ ａｒｃｓｉｎ（Ｌ＂￣］）－ａｒｃｓｉｎ（ ）］＋
ｓｉｎ［ａｒｃｓｉｎ（％）一ｃｓｉｎ／（了Ｚ，ｏｚ＼）］￣ ｝
再求微商得：
Ｑｒ
堕，
ｄｒ
，故长方形迎气面上的力用
积分表示为：
一
）ｄ５ ＝＝＝ ＇ｒ）警ｄｒ（２１）
式中：
ｄＳ．
：：＝
２７ｃｒ （Ｏ≤ｒ≤Ｌ加 ）
ｄｒ
孥一２ｎｒ一 （ ＜ｒ≤ ）
ｄＳ．一
ｒ一
套 ＋ ７ ＜ｒ≤ ，
隔板面上的燃气射流冲击力，即长方形迎气面
上的力减去空孔面上的力；作用在车体等其他地方
的燃气射流冲击力比较小，需要考虑的话可用其投
影面作为等效长方形迎气面进行估算。（待续）
参考文献（Ｒｅｆｅｒｅｎｃｅｓ）：
Ｅｌｉ朱怀亮，张福祥．刚柔耦合下火箭炮多体系统的动力建
模方法探讨ＥＪ］．火炮发射与控制学报，１９９５（２）：８—１３．
ＺＨＵ Ｈｕａｉ—ｌｉａｎｇ，ＺＨＡＮＧ Ｆｕ－ｘｉａｎｇ．Ｉｎｖｅｓｔｉｇａｔｉｏｎ ｏｎ
ｌａｕｎｃｈｅｒ ｍｕｌｔｉ－ｐａｒｔ ｓｙｓｔｅｍ ｄｙｎａｍｉｃ ｍｏｄｅｌｉｎｇ ｕｎｄｅｒ ｒｉｇ～
ｉｄ ａｎｄ ｆｌｅｘｉｂｌｅ ｃｏｕｐｌｉｎｇ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ ＥＪ］．Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｇｕｎ
Ｌａｕｎｃｈ＆Ｃｏｎｔｒｏｌ，１９９５（２）：８—１３．（ｉｎ Ｃｈｉｎｅｓｅ）
［２］芮筱亭，陆毓琪，王国平，等．多管火箭发射动力学仿真
与试验测试方法ＥＭ］．北京：国防工业出版社，２００３．
ＲＵＩ Ｘｉａｏ—ｔｉｎ，ＬＵ Ｙｕ－ｑｉ，ＷＡＮＧ Ｇｕｏ－ｐｉｎｇ，ｅｔ ａ１．
Ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ ａｎｄ ｔｅｓｔ ｍｅｔｈｏｄｓ ｏｆ ｌａｕｎｃｈ ｄｙｎａｍｉｃｓ ｏｆ ｍｕｌ～
ｔｉｐｌｅ ｌａｕｎｃｈ ｒｏｃｋｅｔ ｓｙｓｔｅｍ［Ｍ］．Ｂｅｉｊｉｎｇ：Ｎａｔｉｏｎａｌ Ｄｅ～
ｆｅｎｓｅ Ｉｎｄｕｓｔｒｙ Ｐｒｅｓｓ，２００３．（ｉｎ Ｃｈｉｎｅｓｅ）
［３］魏孝达，崔青春，张瑞莎．任意正交坐标系下的速度矩
阵法Ｉ－Ｊ］．火炮发射与控制学报，２００５（４）：４—９．
ＷＥＩ Ｘｉａｏ－ｄａ，ＣＵＩ Ｑｉｎｇ－ｃｈｕｎ．ＺＨＡＮＧ Ｒｕｉ－ｓｈａ．Ｖｅｌｏｃｉｔｙ
ｍａｔｒｉｘ ｍｅｔｈｏｄ ｏｆ ａｒｂｉｔｒａｒｉｌｙ ｃｏｏｒｄｉｎａｔｅ ｓｙｓｔｅｍｒＪ］．Ｊｏｕｒｎａｌ
ｏｆ Ｇｕｎ Ｌａｕｎｃｈ＆Ｃｏｎｔｒｏｌ，２Ｏ０５（４）：４—９．（ｉｎ Ｃｈｉｎｅｓｅ）
［４］洪善桃．高等动力学［Ｍ］．上海：同济大学出版社，１９９０．
ＨＯＮＧ Ｓｈａｎ－ｔａｏ．Ｈｉｇｈｅｒ Ｄｙｎａｍｉｃｓ［Ｍ］．Ｓｈａｎｇｈａｉ：
Ｔｏｎｇｊｉ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ Ｐｒｅｓｓ，１９９０．（ｉｎ Ｃｈｉｎｅｓｅ）
2024年4月23日发(作者：载天工)
火炮发射与控制学报
第２期
ＪＯＵＲＮＡＬ ＯＦ ＧＵＮ ＬＡＵＮＣＨ＆ＣＯＮＴＲＯＬ ・ １３ ・
某多管火箭炮发射动力学模型（Ｉ）
魏孝达。张瑞莎，王惠方
（西北机电工程研究所，陕西成阳 ７１２０９９）
摘要：多管火箭炮发射是一个复杂的动力学过程，把它简化为由车体、回转机、起落部分和火箭弹组
成的力学系统，采用多体动力学模型，在半约束期，系统简化为１１个自由度，在全约束期，系统简化为９个
自由度。运用速度矩阵法推导了火箭弹与火箭炮运动相耦合的动力学方程。提出了燃气射流冲击力在迎气面
上的积分算法，为分析计算火箭弹离轨时刻的空问姿态和发射架振动提供了理论模型。
关键词：基础力学；多管火箭炮；发射动力学；速度矩阵法
中图分类号：ＴＪ３９３ 文献标志码：Ａ 文章编号：１６７３—６５２４（２０１０）０２—００１３—０６
Ｌａｕｎｃｈ Ｄａｎａｍｉｃｓ Ｍｏｄｅｌ ｏｆ Ａ Ｍｕｌｔｉｐｌｅ Ｌａｕｎｃｈ Ｒｏｃｋｅｔ Ｓｙｓｔｅｍ（Ｉ）
ＷＥＩ Ｘｉａｏ—ｄａ，Ｚ Ｈ ＡＮＧ Ｒｕｉ—ｓｈａ，ＷＡＮＧ Ｈ ｕｉ—ｆａｎｇ
（Ｎｏｒｔｈｗｅｓｔ Ｉｎｓｔｉｔｕｔｅ ｏｆ Ｍｅｃｈａｎｉｃａｌ＆Ｅｌｅｃｔｒｉｃａｌ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，Ｘｉａｎｙａｎｇ ７１２０９９，Ｓｈａａｎｘｉ，Ｃｈｉｎａ）
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｅ ｌａｕｎｃｈ ｏｆ ｍｕｌｔｉｐｌｅ ｌａｕｎｃｈ ｒｏｃｋｅｔ ｓｙｓｔｅｍ（ＭＬＲＳ）ｉｓ ａ ｐｒｏｃｅｓｓ ｏｆ ｃｏｍｐｌｉｃａｔｅｄ ｄｙｎａｍｉｃｓ．Ｂｙ
ｍｅａｎｓ ｏｆ ａ ｒｉｇｉｄ ｍｕｌｔｉ—ｂｏｄｙ ｄｙｎａｍｉｃｓ ｍｏｄｅｌ，ｔｈｅ ｌａｕｎｃｈｉｎｇ ｐｒｏｃｅｓｓ ｗａｓ ｓｉｍｐｌｉｆｉｅｄ ｉｎｔｏ ａ ｍｅｃｈａｎｉｃａｌ ｓｙｓ—
ｔｅｒｎ ｃｏｍｐｏｓｅｄ ｏｆ ｃｈａｓｓｉｓ，ｒｏｔａｔｉｎｇ ｍｅｃｈａｎｉｓｍ，ｅｌｅｖａｔｉｎｇ ｐａｒｔ ａｎｄ ｒｏｃｋｅｔ ａｍｍｕｎｉｔｉｏｎ．Ｔｈｅ ｍｅｃｈａｎｉｃａｌ
ｓｙｓｔｅｍ ｗａｓ ｓｉｍｐｌｉｆｉｅｄ ｉｎｔｏ １ １ ｄｅｇｒｅｅｓ ｏｆ ｆｒｅｅｄｏｍ ｉｎ ｈａｌｆ ｃｏｎｓｔｒａｉｎｔ ｐｅｒｉｏｄ，ａｎｄ ｔｈｅ ｓｙｓｔｅｍ ｗａｓ ｓｉｍｐｌｉｆｉｅｄ
ｉｎｔｏ ９ ｄｅｇｒｅｅｓ ｏｆ ｆｒｅｅｄｏｍ ｉｎ ｆｕｌｌ ｃｏｎｓｔｒａｉｎｔ ｐｅｒｉｏｄ．Ｔｈｅ ｃｏｕｐｌｅｄ ｄｙｎａｍｉｃｓ ｅｑｕａｔｉｏｎ ｇｒｏｕｐ ｏｆ ｍｏｔｉｏｎｓ ｏｆ
ｒｏｃｋｅｔ ａｍｍｕｎｉｔｉｏｎ ａｎｄ ｌａｕｎｃｈｅｒ ｗｅｒｅ ｄｅｒｉｖｅｄ ｗｉｔｈ ｔｈｅ ａｉｄ ｏｆ ｖｅｌｏｃｉｔｙ ｍａｔｒｉｘ ｍｅｔｈｏｄ．Ｔｈｅ ｉｎｔｅｇｒａｌ ａｌｇｏ—
ｒｉｔｈｍ ｏｆ ｔｈｅ ｂｕｒｎｉｎｇ ｇａｓ ｆｏｒｃｅ ｔｏｗａｒｄｓ ｔｈｅ ｈｅａｄ ｆａｃｅ ｗａｓ ｐｕｔ ｆｏｒｗａｒｄ．Ｔｈｉｓ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ ｃａｎ ｐｒｏｖｉｄｅ ｔｈｅｏ—
ｒｅｔｉｃ ｍｏｄｅｌ ｆｏｒ ａｎａｌｙｓｉｓ ａｎｄ ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎ ｏｆ ｓｐａｔｉａｌ ａｔｔｉｔｕｄｅ ｏｆ ｒｏｃｋｅｔ ａｎｄ ｖｉｂｒａｔｉｏｎ ｏｆ ｒｏｃｋｅｔ ｌａｕｎｃｈｅｒ ａｔ ｔｈｅ
ｍｏｍｅｎｔ ｏｆ ｒｏｃｋｅｔ ｌｅａ—ｖｉｎｇ ｌａｕｎｃｈｅｒ．
Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｂａｓｉｃ ｍｅｃｈａｎｉｃｓ；ｍｕｌｔｉｐｌｅ ｌａｕｎｃｈ ｒｏｃｋｅｔ ｓｙｓｔｅｍ；ｌａｕｎｃｈｉｎｇ ｄｙｎａｍｉｃｓ；ｖｅｌｏｃｉｔｙ ｍａｔｒｉｘ ｍｅｔｈｏｄ
多管火箭炮发射与常规火炮有显著区别口 ］：
火箭弹质量大、体积大，它的运动对火箭炮有举足
轻重的影响，如某火箭弹质量是单根定向器质量的
３倍，是定向器集束的１／４左右，而通常火炮弹丸质
大小和作用点都不一样，并随火箭弹射序的不同而差
别很大，这是影响火箭炮振动重要而复杂的因素；火
箭炮起落部分为变质量系统，其质量、转动惯量随载
弹量多少而不同，并随火箭弹逐一发射而减少。
量不到炮身质量的１／５０，所以在研究多管火箭炮发
射振动时应该考虑火箭弹的影响，而在研究火炮时
往往可以忽略；火箭弹初速低、定心部之间距离远，
本力学模型将火箭弹和发射架含在同一个力
学系统中，导出了系统动力学方程，提出了火箭弹
燃气射流冲击力随压力分布和迎气面积变化的计
造成半约束期的时间长，与炮弹相比，火箭弹半约
束期的时间是炮弹的１００多倍，说明定向器对后定
心部的约束时间较长，使火箭弹离轨时的姿态受到影
响；多管火箭炮发射时每发火箭弹的燃气射流冲击力
算方法。模型可以方便地计算火箭弹离轨时刻的
空间姿态，分析有关参数（包括发射架结构参数与
力学参数、火箭弹推力偏心和质量偏心等特性参数
以及发射间隔、发射顺序、发射数量、射向射角等）
收稿日期：２００９一Ｏ３—３０；修回日期：２０１０一Ｏ９—１５
作者简介：魏孝达（１９４２一），男，研究员级高级工程师，主要从事火炮力学技术研究。Ｅ－ｍａｉｌ：ｗｘｄ４２０９０９＠１６３．ｃｏｒｎ
・
１４ ・ 火炮发射与控制学报 ２０１０年６月
对火箭弹运动和发射架振动的影响，为多管火箭炮
４）起落部分通过耳轴和高低机与回转机联接，
系统优化设计提供理论工具。
建模运用速度矩阵法口］。先对多管火箭炮进
行力学简化，给出力学系统基本假设，通过运动学
分析得出系统各刚体的速度、角速度表达式［４］，然
后建立速度矩阵，得到动力学方程组的系数矩阵，
通过高低机使起落部分绕耳轴０转动，视高低机为
弹性支撑，其刚度系数可通过“拉力试验”得到，起
落部分相对回转机的转角用 表示。
５）假定火箭弹定心部与定向器之间无间隙，在
前、中两个定心部离轨前（全约束期），火箭弹相对
定向器作直线运动，其直线运动的位移量用ｚ 表 再求出广义主动力，将广义力与系数矩阵相结合，
加上辅助方程，即得动力学方程组。
示，同时在导向钮的约束下绕弹轴旋转，绕弹轴旋
转的转角用 表示，此转角和角速度取决于导向槽
１ 基本假设
的缠角ａ和定向器内半径Ｒ ， ＝：＝Ｘ ｔａｎ ａ／Ｒ。。
在中定心部离轨后火箭弹进入半约束期，此时
１）假定多管火箭炮由４个刚体组成，即车体、
的火箭弹除相对定向器作直线运动外，还绕后定心
回转机、起落部分（含摇架、定向器、未发射的火箭
部有３个方向的转动，由于绕弹轴的自转受定向钮
弹）和火箭弹（正在发射的１发），见图Ｉ。
的约束，故火箭弹只增加２个转动自由度，转角用
和 表示，因此在半约束期，系统简化为Ｉ１个自由
度动力学模型，用广义坐标 、Ｙ、ｚ、１、 、 、 、
、 、
和 描述系统的运动。在全约束期，系统
简化为９个自由度，用广义坐标Ｘ、Ｙ、 、 、 、 、
、
和ｚ 描述系统的运动。
、
６）Ｇｌ、Ｇ２、 、Ｈ 、Ｈ２、Ｔ１、Ｔ２分别为后、中、前
３对车轮和Ｉ对千斤顶的接地点，角标“１”表示右侧，
“２”表示左侧，地面反力为车体位移和速度的函数。
２ 坐标系
如图１所示，多管火箭炮各特征点定义如下：
０ 为地上固定点，选两后轮初始接地点连线的
中点；Ｑ为车体上固定点，在０ 点正上方的顶甲板
平面上；Ｄ为回转平面上回转中心点；０为耳轴中心
点；ｅ为火箭弹后定心部中心点；ｑ、ｎ、ｂ、ｃ分别为火
箭弹、起落部分、回转机和车体的质心；绝对坐标系
０ ｘｙｚ为固联于地，原点为ｏ ，０ 轴平行于地面，
指向正前方；０ Ｙ轴垂直于地面；０ 轴平行于地
图１多管火箭炮系统动力学模型
面，指向右方。此坐标架用单位矢量 、ｙ 、ｚ 表示。
Ｆｉｇ．１ ｄｙｎａｍｉｃｓ ｍｏｄｅｌ ｏｆｍｕｌｔｉｐｌｅ ｒｏｃｋｅｔ ｓｙｓｔｅｍ
设车体坐标系 为固联于车体，原点为
２）炮车作三维空间运动，假定以车体上一点Ｑ
两后轮初始接地点连线的中点正上方的Ｑ点， 、
为基点，该点相对地面运动的位移量分别用ｚ、Ｙ、
、
Ｑ｝ 轴初始时与０ 、０ Ｙ、０ 轴平行，以后随
表示，．２７为Ｑ点的前后水平位移，Ｙ为上下垂直位
车体运动，此坐标架用单位矢量毒 、’， 、 表示。
移， 为侧向水平位移；同时车体还绕３个车体坐标
回转机坐标系Ｄ 为固联于回转机，原点为回
系的轴转动，转角用卡尔丹角 、 和 表示。
转中心Ｄ，Ｄ】７轴为回转轴，Ｄ 、Ｄ孙Ｄ 轴初始时与
３）回转机绕回转中心Ｄ转动，视方向机为弹性
Ｑ 、Ｑ，７ 、Ｑ 同方向，以后随回转机运动，此坐标架
元件，其刚度系数可通过“拉力试验”得到，回转机
用单位矢量毒、ｔ，、 表示。
相对车体的转角用 表示。
起落部分坐标系 志为固联于起落部分，原点
１●●●●●Ｊ］●● ●ｊ
第２期 魏孝达，等：某多管火箭炮发射动力学模型（Ｉ）
一
３ ３●
一 ｌ ｌ
一
，
・ １５ ・
为两耳轴连线的中点０， 轴平行于定向器轴线，
方向指向管口，发射前为射角方向；ｏｊ轴垂直于定
一 一
０，
向器轴线，指向上方；Ｏｋ轴沿耳轴中心线，指向右
方。此坐标架用单位矢量ｉ、Ｊ、 表示。
Ｇ
ｆＣ —ＣＯＳ ｆＣ４一ｃｏｓ（ ＋ １）
弹体坐标系ｅ４ｊ ｋ 为固联于正在发射的火箭
弹，原点为后定心部中心点ｅ，ｅ／ 轴平行于弹轴，方
向指向弹尖，在全约束期，始终与 轴平行； 。轴
垂直于弹轴，指向上方；ｅｋ 轴垂直于弹轴指向右
１ Ｓ 一ｓｉｎ ｌ Ｓ４一ｓｉｎ（ ＋ １）
ｊ，Ｃ５一ｃｏｓ（ ＋仇） ｆｃＦ１一ｃｏｓ
ｌ Ｓ５一ｓｉｎ（ ＋ ） １ ＳＦ１一ｓｉｎ
ｆ Ｃｖ２一ＣＯＳ
方。此坐标架用单位矢量ｉ 、Ｊ 、 表示。
为书写简便，令：
ｌ ＳＦ２一ｓｉｎ
式中：ｉ一１，２，３，６，７，８；仇为火箭炮射击前赋
予的方位角；仇为火箭炮射击前赋予的高低角。
５个坐标系变换如下：
，。 ：：
『 ］，，．。：：『 ］，，。：：『三］，
ｊ ｊ Ｊ
暑ｃ ３ｓｃ－。１＋ 一Ｃ妻２ｓＳ３￣ｓ ２主ｃｓ：１ 一—Ｃ 季Ｃ ２Ｃ ２Ｓ １ｌ ］ｊＩ Ｉ １ ］Ｊｆ 三 Ｑ［ ｌｔ，１ ］＿ｌＪ ，［Ｉ ｒ１ ］ＪＩ 一—『ＬＩ －ｃ０Ｓ ４ 。０１ Ｃｓ０： 圄，４１ｊｌ ｌ ｔ，ＪＩ 兰 Ｄｌ ｔ，ｊＩ ，
慧－－Ｇ ￥８素僻ｅ
Ｃ ７Ｃ８
＇， 一Ｐｏ＋∞３×（ ｉ＋ＪＪ＋ｋｅｋ）＋ １ｉ （９）
３ 各个刚体速度和角速度表达式
１）车体的角速度∞ 为：
式中，（ ， ，忌 ）为后定心部中心点ｅ在Ｏｉｊｋ坐标系
中的坐标。
９）车体质心Ｃ的速度＇， 参照ｌ，。为：
∞１一ｃｃＪ 毒ｌ＋ｃ￡Ｊ ’，１＋ ｎ 一（ １Ｃ２Ｃ３＋ ２Ｓ３）考１＋
（一 ＣｚＳ。＋ ｚＣ。）ｔ， ＋（ Ｓｚ＋ ） （２）
＇，ｃ一＇，Ｑ＋∞１×（￡ｃ毒ｌ＋ｑｌｃｔ，１＋ ｃ １）（ｉ０）
式中，（ ， ， ）为Ｃ点在坐标系 中的坐标。
１０）回转机质心ｂ点的速度＇， 参照ｌ，０为：
２）回转机的角速度∞。为：
∞２一∞１＋ ｔＩ三（ｃｏ｝考＋０３ ’，＋ ｆ ）
３）起落部分的角速度
∞３一∞２＋
（３）
（４）
Ｐｂ一 ＋∞。×（ 喜＋ ｔ『＋ ）
式中，（ ， ， ）为炮塔质心ｂ点在Ｄ
的坐标。
（１１）
为：
坐标系中
三（ ｉ＋ －，＋ 七）
４）火箭弹的角速度ｆＯ 为：
１１）起落部分质心口点的速度ｖ 参照ｖ 为：
’，。一ＹＯ＋ ×（ｉｏｆ＋ 。 ＋ｋｏｋ） （１２）
在半约束期：
∞４一∞３＋国 兰ｃｏ‘ｉ ＋ Ｊ ＋ （５）
式中，（ 。，Ｊ。，志 ）为起落部分质心ａ点在Ｏｉｊｋ坐标
系中的坐标。
１２）火箭弹质心ｑ点的速度＇，。为：
＇， 一＇， ＋∞ ×（ ｉ ＋．『 ．『 ＋忌 ） （１３）
５）车体坐标原点Ｑ的速度＇，。为：
１，Ｑ—ｚｘ＋ＹＹ＋拢一［ Ｙ ］ Ｑ
Ｑ为坐标系０ ｘｙｚ变到坐标系Ｑ
即ｒｏ 一Ｑ・ Ｑ。
（６）
的变换矩阵，
式中，（ ，Ｊ ，志 ）为火箭弹质心ｑ点在ｅｉｄ ｋ 坐标
系中的坐标。
６）回转机坐标原点Ｄ（回转中心）的速度 为：
＝ ＋∞ ×（￡Ｄ考 ＋ 。ｔＩ ＋ 。 ） （７）
式中，（￡。， 。， ｏ）为Ｄ点在 坐标系中的坐标。
４ 速度矩阵
速度矩阵即各刚体的速度和角速度表达式中
每个广义速度前的系数项依次排成的矩阵，由于每
７）起落部分坐标原点Ｏ（耳轴中心）的速度 为：
ＹＯ＝ ＋∞ ×（ 毒＋仍ｔＩ＋ ） （８）
式中，（ ，７１ｏ， ）为耳轴０点在脚 坐标系中的坐标。
８）弹体坐标原点Ｐ（后定心部中心）的速度 为：
个刚体都有３个速度和３个角速度分量，每个速度
・ １６ ・ 火炮发射与控制学报 ２０１０年６月
分量将占矩阵中的一行，每个刚体将占３行，本模型
有４个刚体，故速度矩阵为１２行；由于每个速度和
角速度分量都是１１个广义速度的线性组合，它们的
系数项要占１１列，构成１２×１１的矩阵。对速度矩阵
求导和求偏导即得微分和偏微分矩阵（略）。
５ 动力学方程组
臣
Ａ 一∑∑Ｍｋａ 蜘＋∑∑Ｊ ｂ ｂ蜘一
∑［．，Ｍ（ ｂ蜘＋ｂｋｚｉｂ嘶）＋Ｊ （６ ｂ嘶＋
ｂｋ３ｉｂ ）＋ 硒（６ ｂⅢ＋ｂｋｌｉｂ吲）］
一
（‰ 蜘＋ ｎ蜘一 ｈ等）＋
ｋ １
Ｈ＝ ＼
１
．，ｈ（ ６ 蜘＋ ６柳～ｈ等）一 ０， 一
（ ｚ ¨６蜘一 ３ｂｋｌｊ）一
ｋ １
＝
Ｊ硒（
、
＋ 嘶一 ８ａ
一
ｂ
ｌ，
ｑｋｚｉ
厂
（ 。 一 ｓ等）
令成０，无需另行推导方程。
６ 广义ｉ动力
６．１ 系统作用力
６．１．１ 火箭弹推力
发动机推力可以是数组或函数形式，作用于火
箭弹，推力存在偏心，假定推力偏心有３种形式，第
１种：假定推力方向与弹轴平行，作用点ｐ（ｉ母， 睁，
ｋ印）偏离弹轴，设推力偏心距为Ｒ ，弹轴与推力作
用线构成的平面与．， 轴夹角为 ，则 印一Ｒ ＣＯＳ ，
ｋ睁一Ｒ ｓｉｎ ；第２种：假定推力作用线与弹轴交于
Ｐ点，夹角为 ，Ｐ点在弹轴的位置为（ ０，０），弹
轴与推力作用线构成的平面与Ｊ『 轴的夹角为 ；第
３种：假定推力作用线与弹轴既不相交也不平行，设
两空间直线的距离为Ｒ ，在过弹轴并与推力作用线
平行的平面上，作推力作用线的投影线，此投影线
与弹轴的交点位置为（ ０，Ｏ），夹角为 ，弹轴与投
影线构成的平面与．， 轴的夹角为 ，同样有－『咖一
Ｒ ＣＯＳ ，ｋ印一Ｒ ｓｉｎ 的表达式。可见推力的方向
和作用点可用４个参数 、 、Ｒ 、ｉ印来确定，不难看
出第１、２种形式是第３种形式的特例，若令 ＝：＝０，
即第１种形式、令Ｒ 一０，即第２种形式。
存在偏心的推力矢量表达式为：
Ｐ 一Ｐ （ｃｏｓ ｉ ＋ｓｉｎ ＣＯＳ ＋ｓｉｎ ｓｉｎ ｋ ）
（１５）
式中， 为发序，作用位置与射序有关；Ｐ 为推力。
在推力小于闭锁力之前，火箭弹相对定向器不
能启动，但系统仍有推力作用，即在除火箭弹外的所
有自由度对应的运动方程中，都出现推力生成的广义
力；在推力大于闭锁力、火箭弹重力以及摩擦力的合
力以后，火箭弹开始在定向器内运动，直到离轨。
若考虑推力偏心的随机性，只要在计算时将
、 、
Ｒ 视为随机变量输入即可。
６．１．２ 燃气射流冲击力
设第”发火箭弹的燃气射流压强是离喷口距离
ｉ 和离弹轴半径ｒ的函数 （ ，ｒ），ｉ 、ｒ均为ｔ的函数。
在每一个垂直于弹轴的截面（ ＝ ）上，燃气射流压
强按等压圈规律分布［７］，也可以用数组形式给出。
由于火箭弹燃气射流压强以等压圈分布，故需
要计算每个等压圈覆盖定向器端面形成的迎气面
积：现以第 发火箭弹为中心，画ｍ个压力圈，第ｋ
个压力圈外半径为ｒ破，定向器外半径为Ｒ。，第，ｚ发
第２期 魏孝达，等：某多管火箭炮发射动力学模型（Ｉ） ・ １７ ・
的压力圈中心与第ｉ个定向器中心的距离为Ｌ ，第
ｉ个定向器中心的坐标用二维数组Ｌ（ ，Ｊ）表示（ 一
１，２，…，Ｎ；Ｊ一１，２），ｉ为定向器序号，Ｎ为定向器
总数，Ｊ表示坐标方向， 一１代表 方向坐标，Ｊ一２
代表＿『方向坐标。ｒ 圆与第ｉ个定向器相交构成两
个弓形面积Ｓ 、Ｓ ，由几何关系（见图２）得＿８］：
１
Ｓ 一寺ｒ （ａ ，一ｓｉｎ口 ）
１
（１６）
Ｓ 一 １ Ｄ２（ 一ｓｉｎ ）
式中：ａ删为压力圈中心与两圆交点连线的夹角；
为迎气管中心与两圆交点连线的夹角（当ｒ ＜
√Ｌ ＋Ｒ 时， ２为锐角；当ｒ ＞、／／Ｌ ＋Ｒ乞时，
２为钝角）。
定向管
第ｎ发弹轴
图２等压圈与定向器相交的面积
Ｆｉｇ．２ Ｉｎｔｅｒｓｅｃｔｉｏｎ ａｒｅａ ｏｆｉｓｏｔｏｎｉｃ ｃｉｒｃｌｅ
ａｎｄ ｏｒｉｅｎｔａｔｉｏｎ ｄｅｖｉｃｅ
‰一ｒｃｃ。ｓ（ ）
当ｒ越≤￣／Ｌ ＋Ｒ 时
＝
２ａｒｃｃｏｓ（ ） ，
当ｒ ＞￣／Ｌ ＋Ｒ毛时
＝：＝
２７ｒ一２ａｒｃｃｏｓ（ Ｌ ＋Ｒ乞一ｒ— ２
除两圆相交的情形外，还有两种不相交的情
形：当 ≤Ｌ 一ＲＤ时，Ｓ ＝Ｓ 一０；当ｒ ≥
Ｌ ＋ＲＤ时，Ｓ 一０，Ｓ 一 Ｒ 。
第 发火箭弹的第ｋ个压力圈与第ｉ个定向器
相交的面积为Ｓ 一Ｓ‰＋Ｓ （是一１，２，…，ｍ；
ｉ一１，２，…，Ｎ一１），ｍ为设定的等压圈总数，第 发
Ｎ １
的第ｋ个等压圈交出的总面积为ｓ越＋Ｓ。一＞
＝
１
Ｓ ＋ｓ。，Ｓ。为一个定向器横截面积。第，ｚ发的第ｋ
个等压圈与第ｋ一１个压力圈之间的环形面交出的
面积为ＡＳ艟一Ｓ 一Ｓ破一 ，即得第ｋ个等压环的迎气
面积。将第ｋ个等压环的迎气面积ＡＳ 乘以压强
Ｐ （ ，ｒ ）并对ｋ求和，即得第 发火箭弹此刻对所
有定向器（实心）的燃气射流冲击力：
Ｐ 一∑△ｓ抽户 （ ，ｒ ）＋Ｐ （１８）
式中，Ｐ 为第 发火箭弹自身定向器所受燃气射流
冲击力。
由于等压圈半径ｒ 可以任意选取，所以等压环
的大小可以连续变化，燃气射流冲击力可写成积分
表达式，得到更精确的计算结果。
Ｐ 一
一 ｉｐｇ（ｉ￣， ＋Ｐ
Ｓ 一Ｓ ＋ｓ 一告ｒ：（口 一ｓｉｎ口 ）＋
１
２
ｎ
Ｄ
（ 一ｓｉｎ ） （１９）
以上得出的是对未发射的定向器（实心）的迎
气面积，对发射后的空管迎气面积只要减去管内部
扬
分，空管用同样方法计算，只需把定向器外半径Ｒ。
改为内半径Ｒ 即可，见图３。
ＲＤ
凡
彩南 匆
ｌ ｝
图３定向器迎气面积
Ｆｉｇ．３ Ｏｒｉｅｎｔａｔｉｏｎ ｌｏｃａｔｏｒ ｆａｃｉｎｇ ｇａｓ ａｒｅａ
整个定向器集束的迎气面积，还应考虑它的结
构特点，如定向器用隔板固定，则应计算前隔板的
迎气面积，算法可将整个隔板的长方形迎气面积减
去当前的空管面积来实现。设长方形前隔板面上第
，ｚ发定向器中心至４边的垂直距离依次为Ｌ ≤
Ｌ ≤Ｌ ≤Ｌ ，至４个顶点（编号为５，６，７，８）的
距离依次为Ｌ ≤Ｌ枷≤Ｌ ≤Ｌ ，为求整个长
方形面上的受力，先算第 发定向器中心为圆心以ｒ
为半径的圆与长方形交成的面积Ｓ （见图４）。
为分析计算简洁，将Ｌ （ｉ＝１，２，３，４）、
Ｌ州（
＝
．
５，６，７，８）合在一起再排队，得Ｌ 。 ≤
Ｌ ≤…≤Ｌ ≤Ｌ 这就把ｒ分成８个区间来描
述交成的面积Ｓ ，例如可能排成Ｌ删≤Ｌ ≤
Ｌ ≤Ｌ玳圮≤Ｌ ≤Ｌ ≤Ｌ ≤Ｌ ，其他所有排
列都遵循以下相同规则：
Ｓ 一 ｒ （０≤ｒ≤Ｌ删）
・ １８ ・ 火炮发射与控制学报 ２０１０年６月
工 ～
工ｎ０２
ｌ奎Ｉ４圆与长７）－彤趸成的面
Ｆｉｇ．４ Ｉｎｔｅｒｓｅｃｔｉｏｎ ａｒｅａ ｏｆｉｓｏｔｏｎｉｃ ｃｉｒｃｌｅ ａｎｄ ｓｑｕａｒｅ
Ｓ ：７【ｒ。一Ｓ。
１
（Ｌ ０１＜ｒ≤Ｌ ０２）
Ｓ ＝ 一Ｓ 一Ｓ （Ｌ 。２＜ｒ≤Ｌ．ｏｓ）
一７ｃ ～Ｓ
Ｊ
一
，
Ｓ。 ＋Ｓ５（Ｌ ＜ｒ≤Ｌ棚）（２０）
Ｓ ＝７ｃ ～ 一 ＋ｓｓ～ （ 。＜ｒ≤Ｌｍｓ）
＝ 一
ｓ ～ ＋Ｓ５一Ｓ ＋Ｓ６（ ｅ＜ｒ≤Ｌｎｏ４）
Ｓ一 一 一 ＋Ｓ一 ＋Ｓ一 ＜ｒ≤
Ｓ一舻一 一 ＋Ｓ一 ＋Ｓ一 ＋ｓ （ ＜ｒ≤ ）
式中：Ｓ 一寺 （ａ —ｓｉｎ ａ ），Ｓ 即半径为ｒ的圆
与长方形第ｉ边（距离为Ｌ 的边）相交割去的弓形
面积（ＢｃＤ），（ １，２．３，４） 一２ａｒｃｃｏｓ（Ｌ ｎｏｉ），
ａ Ｅｐ／ＢｎＤ 一丢ｒ。｛２ａｒｃｃｏｓ（ ） ｎ
［２ａｒｃｃｏｓ（ ）］｝；Ｓｊ一 一￣ｎＡＢ－－ＡｎＡＣ，
为长方形的Ｊ号外顶角与ＢＣ弧围成的面积（ ＝：＝５，
６，７），其中， ｒ 为扇形ｎＢＣ的面积，卢一７【～（ Ｂ＋
Ｃ＋ １＋ ２），Ｊ８为扇形顶角 ＢｎＣ， Ｂ：
ａｒｃｓｉｎ（ ）， ｃ—ａｒｃｓｉｎ（ ）， ｚ为 号
顶点相邻的长方形两边 口有 一ａｒｃｓｉｎ（等），
Ｚ２一ｒｃｓｉｎ（ ）。
有：
Ｌ ５１一Ｌ加１，Ｌ ５２＝Ｌ ｏ２
Ｌ ６１＝Ｌ ｏ２，Ｌ ６２＝Ｌ ０。
Ｌ＂７ｌ ：Ｌ ０４，Ｌ ７２：Ｌ加ｌ
ＡｎＡＢ＝号ＡＢ・Ｌ ｚ￣ｎＡＣ一号ＡＣ 。
其中：
ＡＢ— ，ＡＣ
Ｌ ｏ ・ｓｉｎ．／ＡｎＣ
一
Ｓ１
ｎ上ｊ
ＡｎＢ＝ １一 Ｂ ＡｎＣ一 ２一 Ｃ
Ｓｊ ａｒｃ （ ）～ｃｓｉｎ一（ ）一
ａｒｃｓｉｎ（％）一ａｒｃｓｍ／７－ －￣１一ｌｒＬ叫・
ｆｓｉｎ ａｒｃｓｉｎ（Ｌ＂￣］）－ａｒｃｓｉｎ（ ）］＋
ｓｉｎ［ａｒｃｓｉｎ（％）一ｃｓｉｎ／（了Ｚ，ｏｚ＼）］￣ ｝
再求微商得：
Ｑｒ
堕，
ｄｒ
，故长方形迎气面上的力用
积分表示为：
一
）ｄ５ ＝＝＝ ＇ｒ）警ｄｒ（２１）
式中：
ｄＳ．
：：＝
２７ｃｒ （Ｏ≤ｒ≤Ｌ加 ）
ｄｒ
孥一２ｎｒ一 （ ＜ｒ≤ ）
ｄＳ．一
ｒ一
套 ＋ ７ ＜ｒ≤ ，
隔板面上的燃气射流冲击力，即长方形迎气面
上的力减去空孔面上的力；作用在车体等其他地方
的燃气射流冲击力比较小，需要考虑的话可用其投
影面作为等效长方形迎气面进行估算。（待续）
参考文献（Ｒｅｆｅｒｅｎｃｅｓ）：
Ｅｌｉ朱怀亮，张福祥．刚柔耦合下火箭炮多体系统的动力建
模方法探讨ＥＪ］．火炮发射与控制学报，１９９５（２）：８—１３．
ＺＨＵ Ｈｕａｉ—ｌｉａｎｇ，ＺＨＡＮＧ Ｆｕ－ｘｉａｎｇ．Ｉｎｖｅｓｔｉｇａｔｉｏｎ ｏｎ
ｌａｕｎｃｈｅｒ ｍｕｌｔｉ－ｐａｒｔ ｓｙｓｔｅｍ ｄｙｎａｍｉｃ ｍｏｄｅｌｉｎｇ ｕｎｄｅｒ ｒｉｇ～
ｉｄ ａｎｄ ｆｌｅｘｉｂｌｅ ｃｏｕｐｌｉｎｇ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ ＥＪ］．Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｇｕｎ
Ｌａｕｎｃｈ＆Ｃｏｎｔｒｏｌ，１９９５（２）：８—１３．（ｉｎ Ｃｈｉｎｅｓｅ）
［２］芮筱亭，陆毓琪，王国平，等．多管火箭发射动力学仿真
与试验测试方法ＥＭ］．北京：国防工业出版社，２００３．
ＲＵＩ Ｘｉａｏ—ｔｉｎ，ＬＵ Ｙｕ－ｑｉ，ＷＡＮＧ Ｇｕｏ－ｐｉｎｇ，ｅｔ ａ１．
Ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ ａｎｄ ｔｅｓｔ ｍｅｔｈｏｄｓ ｏｆ ｌａｕｎｃｈ ｄｙｎａｍｉｃｓ ｏｆ ｍｕｌ～
ｔｉｐｌｅ ｌａｕｎｃｈ ｒｏｃｋｅｔ ｓｙｓｔｅｍ［Ｍ］．Ｂｅｉｊｉｎｇ：Ｎａｔｉｏｎａｌ Ｄｅ～
ｆｅｎｓｅ Ｉｎｄｕｓｔｒｙ Ｐｒｅｓｓ，２００３．（ｉｎ Ｃｈｉｎｅｓｅ）
［３］魏孝达，崔青春，张瑞莎．任意正交坐标系下的速度矩
阵法Ｉ－Ｊ］．火炮发射与控制学报，２００５（４）：４—９．
ＷＥＩ Ｘｉａｏ－ｄａ，ＣＵＩ Ｑｉｎｇ－ｃｈｕｎ．ＺＨＡＮＧ Ｒｕｉ－ｓｈａ．Ｖｅｌｏｃｉｔｙ
ｍａｔｒｉｘ ｍｅｔｈｏｄ ｏｆ ａｒｂｉｔｒａｒｉｌｙ ｃｏｏｒｄｉｎａｔｅ ｓｙｓｔｅｍｒＪ］．Ｊｏｕｒｎａｌ
ｏｆ Ｇｕｎ Ｌａｕｎｃｈ＆Ｃｏｎｔｒｏｌ，２Ｏ０５（４）：４—９．（ｉｎ Ｃｈｉｎｅｓｅ）
［４］洪善桃．高等动力学［Ｍ］．上海：同济大学出版社，１９９０．
ＨＯＮＧ Ｓｈａｎ－ｔａｏ．Ｈｉｇｈｅｒ Ｄｙｎａｍｉｃｓ［Ｍ］．Ｓｈａｎｇｈａｉ：
Ｔｏｎｇｊｉ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ Ｐｒｅｓｓ，１９９０．（ｉｎ Ｃｈｉｎｅｓｅ）