2024年4月26日发(作者：展宛畅)

一、二次函数 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

14

1

．如图：在平面直角坐标系中，直线

l

：

y=x

﹣与

x

轴交于点

A

，经过点

A

的抛物线

33

y=ax

2

﹣

3x+c

的对称轴是

x=

（

1

）求抛物线的解析式；

（

2

）平移直线

l

经过原点

O

，得到直线

m

，点

P

是直线

m

上任意一点，

PB⊥x

轴于点

B

，

PC⊥y

轴于点

C

，若点

E

在线段

OB

上，点

F

在线段

OC

的延长线上，连接

PE

，

PF

，且

PE=3PF

．求证：

PE⊥PF

；

（

3

）若（

2

）中的点

P

坐标为（

6

，

2

），点

E

是

x

轴上的点，点

F

是

y

轴上的点，当

PE⊥PF

时，抛物线上是否存在点

Q

，使四边形

PEQF

是矩形？如果存在，请求出点

Q

的坐

标，如果不存在，请说明理由．

3

．

2

【答案】（

1

）抛物线的解析式为

y=x

2

﹣

3x

﹣

4

；（

2

）证明见解析；（

3

）点

Q

的坐标为

（﹣

2

，

6

）或（

2

，﹣

6

）．

【解析】

【分析】

（

1

）先求得点

A

的坐标，然后依据抛物线过点

A

，对称轴是

x=

求解即可；

（

2

）设

P

（

3a

，

a

），则

PC=3a

，

PB=a

，然后再证明

∠FPC=∠EPB

，最后通过等量代换进行

证明即可；

（

3

）设

E

（

a

，

0

），然后用含

a

的式子表示

BE

的长，从而可得到

CF

的长，于是可得到点

F

的坐标，然后依据中点坐标公式可得到

3

列出关于

a

、

c

的方程组

2

Q

x

P

x

F

x

E

x

Q

y

P

y

F

y

E

y



，，从而



22

22

可求得点

Q

的坐标（用含

a

的式子表示），最后，将点

Q

的坐标代入抛物线的解析式求得

a

的值即可．

【详解】

（

1

）当

y=0

时，

143

x0

，解得

x=4

，即

A

（

4

，

0

），抛物线过点

A

，对称轴是

x=

，

332



16a12c0



得



33

，





2a2





a1

解得



，抛物线的解析式为

y=x

2

﹣

3x

﹣

4

；



c4

（

2

）

∵

平移直线

l

经过原点

O

，得到直线

m

，

1

x

．

3

∵

点

P

是直线

1

上任意一点，

∴

直线

m

的解析式为

y=

∴

设

P

（

3a

，

a

），则

PC=3a

，

PB=a

．

又

∵PE=3PF

，

∴

PCPB



．

PFPE

∴∠FPC=∠EPB

．

∵∠CPE+∠EPB=90°

，

∴∠FPC+∠CPE=90°

，

∴FP⊥PE

．

（

3

）如图所示，点

E

在点

B

的左侧时，设

E

（

a

，

0

），则

BE=6

﹣

a

．

∵CF=3BE=18

﹣

3a

，

∴OF=20

﹣

3a

．

∴F

（

0

，

20

﹣

3a

）．

∵PEQF

为矩形，

∴

Q

x

P

x

F

x

E

x

Q

y

P

y

F

y

E

y



，，



22

22

∴Q

x

+6=0+a

，

Q

y

+2=20

﹣

3a+0

，

∴Q

x

=a

﹣

6

，

Q

y

=18

﹣

3a

．

将点

Q

的坐标代入抛物线的解析式得：

18

﹣

3a=

（

a

﹣

6

）

2

﹣

3

（

a

﹣

6

）﹣

4

，解得：

a=4

或

a=8

（舍去）．

∴Q

（﹣

2

，

6

）．

如下图所示：当点

E

在点

B

的右侧时，设

E

（

a

，

0

），则

BE=a

﹣

6

．

∵CF=3BE=3a

﹣

18

，

∴OF=3a

﹣

20

．

∴F

（

0

，

20

﹣

3a

）．

∵PEQF

为矩形，

Q

x

P

x

F

x

E

x

Q

y

P

y

F

y

E

y



，，



22

22

∴Q

x

+6=0+a

，

Q

y

+2=20

﹣

3a+0

，

∴Q

x

=a

﹣

6

，

Q

y

=18

﹣

3a

．

∴

将点

Q

的坐标代入抛物线的解析式得：

18

﹣

3a=

（

a

﹣

6

）

2

﹣

3

（

a

﹣

6

）﹣

4

，解得：

a=8

或

a=4

（舍去）．

∴Q

（

2

，﹣

6

）．

综上所述，点

Q

的坐标为（﹣

2

，

6

）或（

2

，﹣

6

）．

【点睛】

本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了矩形的性质、待定系数法求

二次函数的解析式、中点坐标公式，用含

a

的式子表示点

Q

的坐标是解题的关键．

2

．（

2017

南宁，第

26

题，

10

分）如图，已知抛物线

yax

2

23ax9a

与坐标轴交于

A

，

B

，

C

三点，其中

C

（

0

，

3

），

∠BAC

的平分线

AE

交

y

轴于点

D

，交

BC

于点

E

，过点

D

的直线

l

与射线

AC

，

AB

分别交于点

M

，

N

．

（

1

）直接写出

a

的值、点

A

的坐标及抛物线的对称轴；

（

2

）点

P

为抛物线的对称轴上一动点，若

△PAD

为等腰三角形，求出点

P

的坐标；

（

3

）证明：当直线

l

绕点

D

旋转时，

11



均为定值，并求出该定值．

AMAN

【答案】（

1

）

a=



，

A

（﹣

3

，

0

），抛物线的对称轴为

x=

3

；（

2

）点

P

的坐标为

（

3

，

0

）或（

3

，﹣

4

）；（

3

）

【解析】

试题分析：（

1

）由点

C

的坐标为（

0

，

3

），可知﹣

9a=3

，故此可求得

a

的值，然后令

y=0

得到关于

x

的方程，解关于

x

的方程可得到点

A

和点

B

的坐标，最后利用抛物线的对称性

可确定出抛物线的对称轴；

（

2

）利用特殊锐角三角函数值可求得

∠CAO=60°

，依据

AE

为

∠BAC

的角平分线可求得

∠DAO=30°

，然后利用特殊锐角三角函数值可求得

OD=1

，则可得到点

D

的坐标．设点

P

的

坐标为（

3

，

a

）．依据两点的距离公式可求得

AD

、

AP

、

DP

的长，然后分为

AD=PA

、

AD=DP

、

AP=DP

三种情况列方程求解即可；

（

3

）设直线

MN

的解析式为

y=kx+1

，接下来求得点

M

和点

N

的横坐标，于是可得到

AN

的长，然后利用特殊锐角三角函数值可求得

AM

的长，最后将

AM

和

AN

的长代入化简即

可．

试题解析：（

1

）

∵C

（

0

，

3

），

∴

﹣

9a=3

，解得：

a=



．

令

y=0

得：

ax

2

23ax9a0

，

∵a≠0

，

∴

x

2

23x90

，解得：

x=

﹣

3

或

x=

3

1

3

3

．

2

1

3

3

，

∴

点

A

的坐标为（﹣

3

，

0

），

B

（

33

，

0

），

∴

抛物线的对称轴为

x=

3

．

3

AO=1

，

∴

点

D

的坐标为（

0

，

1

）．

3

（

2

）

∵OA=

3

，

OC=3

，

∴tan∠CAO=

3

，

∴∠CAO=60°

．

∵AE

为

∠BAC

的平分线，

∴∠DAO=30°

，

∴DO=

设点

P

的坐标为（

3

，

a

）．

依据两点间的距离公式可知：

AD

2

=4

，

AP

2

=12+a

2

，

DP

2

=3+

（

a

﹣

1

）

2

．

当

AD=PA

时，

4=12+a

2

，方程无解．

当

AD=DP

时，

4=3+

（

a

﹣

1

）

2

，解得

a=0

或

a=2

（舍去），

∴

点

P

的坐标为（

3

，

0

）．

当

AP=DP

时，

12+a

2

=3+

（

a

﹣

1

）

2

，解得

a=

﹣

4

，

∴

点

P

的坐标为（

3

，﹣

4

）．

综上所述，点

P

的坐标为（

3

，

0

）或（

3

，﹣

4

）．

（

3

）设直线

AC

的解析式为

y=mx+3

，将点

A

的坐标代入得：

3m30

，解得：

m=

3

，

∴

直线

AC

的解析式为

y3x3

．

设直线

MN

的解析式为

y=kx+1

．

把

y=0

代入

y=kx+1

得：

kx+1=0

，解得：

x=



∴AN=



11

，

∴

点

N

的坐标为（



，

0

），

kk

1

3

=

3k1

．

k

k

2

k3

将

y3x3

与

y=kx+1

联立解得：

x=

，

∴

点

M

的横坐标为

2

k3

．

过点

M

作

MG⊥x

轴，垂足为

G

．则

AG=

2

3

．

k3

∵∠MAG=60°

，

∠AGM=90°

，

∴AM=2AG=

∴

4

23

=

23k2

，

k3

k3

11

3(3k1)

k3k3k3

3



= == =

．



AMAN

23k2

2

3k123k2

2(3k1)

点睛：本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求一次函

数、二次函数的解析式，分类讨论是解答问题（

2

）的关键，求得点

M

的坐标和点

N

的坐

标是解答问题（

3

）的关键．

3

．抛物线

yx

2

bxc

（

b

，

c

为常数）与

x

轴交于点



x

1

,0



和



x

2

,0



，与

y

轴交于点

A

，点

E

为抛物线顶点。

（

Ⅰ

）当

x

1

1,x

2

3

时，求点

A

，点

E

的坐标；

（

Ⅱ

）若顶点

E

在直线

yx

上，当点

A

位置最高时，求抛物线的解析式；

（

Ⅲ

）若

x

1

1,b0

，当

P(1,0)

满足

PAPE

值最小时，求

b

的值。

2

【答案】（

Ⅰ

）

A



0,3



，

E(1,4)

；（

Ⅱ

）

yxx

【解析】

【分析】

1

；（

Ⅲ

）

b317

.

4

（

Ⅰ

）将（

-1

，

0

），（

3

，

0

）代入抛物线的解析式求得

b

、

c

的值，确定解析式，从而求

出抛物线与

y

轴交于点

A

的坐标，运用配方求出顶点

E

的坐标即可；

（

Ⅱ

）先运用配方求出顶点

E

的坐标，再根据顶点

E

在直线

yx

上得出吧

b

与

c

的关

系，利用二次函数的性质得出当

b=1

时，点

A

位置最高，从而确定抛物线的解析式；

（

Ⅲ

）根据抛物线经过（

-1

，

0

）得出

c=b+1

，再根据（

Ⅱ

）中顶点

E

的坐标得出

E

点关于

x

轴的对称点

E



的坐标，然后根据

A

、

P

两点坐标求出直线

AP

的解析式，再根据点在直线

AP

上，此时

PAPE

值最小，从而求出

b

的值

.

【详解】

2

解：（

Ⅰ

）把点

(-1,0)

和

(3,0)

代入函数

yxbxc

，

有





1bc0

。解得

b2,c3

93bc0



yx

2

2x3(x1)

2

4

A(0,3),E(1,4)

2



b4cb

2



b4cb

2



2

（

Ⅱ

）由

yxbxc



x





，得

E



,



24

2



4





2

b4cb

∵

点

E

在直线

yx

上，



24

1111

cb

2

b(b1)

2



4244

11



A



0,(b1)

2





44



当

b1

时，点

A

是最高点此时，

yxx

2

1

4

（

Ⅲ

）：抛物线经过点

(1,0)

，有

1bc0

cb1



b4cb

2



E



,



,A(0,c)

24





b(b2)

2



E



,



,A(0,b1)

24



2



b(b2)

∴E

关于

x

轴的对称点

E



为



,



24



设过点

A

，

P

的直线为

ykxt

.

把

A(0,b1),P(1,0)

代入

ykxt

，得

y(b1)(x1)



b(b2)

2



把点

E



,



代入

y(b1)(x1)

.

24





(b2)

2



b



(b1)



1



，即

b

2

6b80

得

4



2



解得，

b317

。

b0,b317

舍去

.

b317

【点睛】

本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次的解析

式、最短距离，数形结合思想及待定系数法的应用是解题的关键，属于中考压轴题．

4

．课本中有一道作业题：

有一块三角形余料

ABC

，它的边

BC=120mm

，高

AD=80mm

．要把它加工成正方形零件，使

正方形的一边在

BC

上，其余两个顶点分别在

AB

，

AC

上．问加工成的正方形零件的边长是

多少

mm

？

小颖解得此题的答案为

48mm

，小颖善于反思，她又提出了如下的问题．

（

1

）如果原题中要加工的零件是一个矩形，且此矩形是由两个并排放置的正方形所组成，

如图

1

，此时，这个矩形零件的两条边长又分别为多少

mm

？请你计算．

（

2

）如果原题中所要加工的零件只是一个矩形，如图

2

，这样，此矩形零件的两条边长就

不能确定，但这个矩形面积有最大值，求达到这个最大值时矩形零件的两条边长．

【答案】（

1

）

【解析】

【分析】

240

480

mm

，

mm

；（

2

）

PN=60mm

，

PQ40

mm

．

7

7

(1)

、设

PQ=y

（

mm

），则

PN=2y

（

mm

），

AE=80-y

（

mm

），根据平行得出

△APN

和

△ABC

相似，根据线段的比值得出

y

的值，然后得出边长；

(2)

、根据第一题同样的方法得出

y

与

x

的函数关系式，然后求出

S

与

x

的函数关系式，根据二次函数的性质得出最大值

.

【详解】

(1)

、设

PQ=y

（

mm

），则

PN=2y

（

mm

），

AE=80-y

（

mm

）

∵PN∥BC,

∴

∴

∴

∴

∴2y=

=

=

=

=

，

△APN∽△ABC

解得

y=

mm

，

mm

∴

这个矩形零件的两条边长分别为

(2)

、设

PQ=x

（

mm

），

PN=y

（

mm

），矩形面积为

S

，则

AE=80-x

（

mm

）．

.

由（

1

）知

∴=

=

∴ y=

则

S=xy=

∵

==

∴ S

有最大值

∴

当

x=40

时，

S

最大

=2400

（

mm

2

）

此时，

y==60

．

∴

面积达到这个最大值时矩形零件的两边

PQ

、

PN

长分别是

40 mm

，

60 mm

．

考点：三角形相似的应用

5

．在平面直角坐标系中，抛物线

yax

2

bxc

过点

A(1,0)

，

B(3,0)

，与

y

轴交于点

C

，连接

AC

，

BC

，将

OBC

沿

BC

所在的直线翻折，得到

△DBC

，连接

OD

．

（

1

）用含

a

的代数式表示点

C

的坐标．

（

2

）如图

1

，若点

D

落在抛物线的对称轴上，且在

x

轴上方，求抛物线的解析式．

（

3

）设

OBD

的面积为

S

1

，

OAC

的面积为

S

2

，若

S

1

2



，求

a

的值．

S

2

3

【答案】（

1

）

C(0,3a)

；

(2)

抛物线的表达式为：

y

(3)

a22

或

a22

【解析】

【分析】

（

1

）根据待定系数法，得到抛物线的表达式为：

ya(x1)(x3)ax2x3

，

即可求解；

（

2

）根据相似三角形的判定证明

CPD∽DQB

，再根据相似三角形的性质得到

5

2

2535

；

xx

555



2



CPPDCD



，即可求解；

DQBQBD

（

3

）连接

OD

交

BC

于点

H

，过点

H

、

D

分别作

x

轴的垂线交于点

N

、

M

，由三角形的面积

公式得到

S

1

2

2m1m1



，

DMOC

，而，

HNDM

S

2

3

9299

2

8



m



HNONBN



，即可求解．

9



9



2

【详解】

（

1

）抛物线的表达式为：

ya(x1)(x3)ax2x3

，即

c3a

，则点



2



C(0,3a)

；

（

2

）过点

B

作

y

轴的平行线

BQ

，过点

D

作

x

轴的平行线交

y

轴于点

P

、交

BQ

于点

Q

，

∵

CDPPDC90



，

PDCQDB90



，

∴

QDBDCP

，

设：

D(1,n)

，点

C(0,3a)

，

CPDBQD90



，

∴

∴

CPD∽DQB

，

CPPDCD



，

DQBQBD

其中：

CPn3a

，

DQ312

，

PD1

，

BQn

，

CD3a

，

BD3

，

将以上数值代入比例式并解得：

a

∵

a0

，故

a

5

，

5

5

，

5

5

2

2535

；

xx

555

故抛物线的表达式为：

y

（

3

）如图

2

，当点

C

在

x

轴上方时，连接

OD

交

BC

于点

H

，则

DOBC

，

过点

H

、

D

分别作

x

轴的垂线交于点

N

、

M

，

设：

OCm3a

，

S

1

S

OBD



S

2

S

OAC

则

DM

13

OBDMDM

，

22

S

1

2

1

1m

，而



，

S

2

3

2

2m1m1

OC

，

，

HNDM

9299

1118

∴

BNBO

，则

ON3

，

9333

则

DOBC

，

HNOB

，

则

BHNHON

，则

tanBHNtanHON

，

2

8



m



则

HN

2

ONBN



，

9



9



解得：

m62

（舍去负值），

CO|3a|62

，

解得：

a22

（不合题意值已舍去），

故：

a22

．当点

C

在

x

轴下方时，同理可得：

a22

；故：

a22

或

a22

【点睛】

本题考查的是二次函数综合运用、一次函数、三角形相似、图形的面积计算，其中（

3

）用

2

8



m



几何方法得出：

HN

2

ONBN



，是本题解题的关键．

9



9



6

．（

12

分）如图所示是隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是

12 m

，宽是

4

m

．按照图中所示的直角坐标系，抛物线可以用

y=



OB

的水平距离为

3 m

，到地面

OA

的距离为

1

2

x+bx+c

表示，且抛物线上的点

C

到

6

17

m.

2

（

1

）求抛物线的函数关系式，并计算出拱顶

D

到地面

OA

的距离；

（

2

）一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为

6m

，宽为

4m

，如果隧道内设双向车道，那

么这辆货车能否安全通过？

（

3

）在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度

不超过

8m

，那么两排灯的水平距离最小是多少米？

【答案】（

1

）抛物线的函数关系式为

y=



(2)

两排灯的水平距离最小是

4

3

m

．

【解析】

【详解】

1

2

x+2x+4

，拱顶

D

到地面

OA

的距离为

10 m

；

6

试题分析：根据点

B

和点

C

在函数图象上，利用待定系数法求出

b

和

c

的值，从而得出函

数解析式，根据解析式求出顶点坐标，得出最大值；根据题意得出车最外侧与地面

OA

的

交点为（

2,0

）（或（

10,0

）），然后求出当

x=2

或

x=10

时

y

的值，与

6

进行比较大小，比

6

大就可以通过，比

6

小就不能通过；将

y=8

代入函数，得出

x

的值，然后进行做差得出

最小值．

试题解析：（

1

）由题知点

B(0,4),C



3,



17





在抛物线上

2





c4



b2

1

2



所以



17

，解得



，所以

yx2x4

1

93bc

6



c4



26



所以，当

x

答：

y

b

6

时，

y

≦t

10

2a

1

2

x2x4

，拱顶

D

到地面

OA

的距离为

10

米

6

22

6

，所以可以通过

3

（

2

）由题知车最外侧与地面

OA

的交点为（

2,0

）（或（

10,0

））

当

x=2

或

x=10

时，

y

（

3

）令

y8

，即



1

2

x2x48

，可得

x

2

12x240

，解得

6

x

1

623,x

2

623

x

1

x

2

43

答：两排灯的水平距离最小是

43

2024年4月26日发(作者：展宛畅)

一、二次函数 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

14

1

．如图：在平面直角坐标系中，直线

l

：

y=x

﹣与

x

轴交于点

A

，经过点

A

的抛物线

33

y=ax

2

﹣

3x+c

的对称轴是

x=

（

1

）求抛物线的解析式；

（

2

）平移直线

l

经过原点

O

，得到直线

m

，点

P

是直线

m

上任意一点，

PB⊥x

轴于点

B

，

PC⊥y

轴于点

C

，若点

E

在线段

OB

上，点

F

在线段

OC

的延长线上，连接

PE

，

PF

，且

PE=3PF

．求证：

PE⊥PF

；

（

3

）若（

2

）中的点

P

坐标为（

6

，

2

），点

E

是

x

轴上的点，点

F

是

y

轴上的点，当

PE⊥PF

时，抛物线上是否存在点

Q

，使四边形

PEQF

是矩形？如果存在，请求出点

Q

的坐

标，如果不存在，请说明理由．

3

．

2

【答案】（

1

）抛物线的解析式为

y=x

2

﹣

3x

﹣

4

；（

2

）证明见解析；（

3

）点

Q

的坐标为

（﹣

2

，

6

）或（

2

，﹣

6

）．

【解析】

【分析】

（

1

）先求得点

A

的坐标，然后依据抛物线过点

A

，对称轴是

x=

求解即可；

（

2

）设

P

（

3a

，

a

），则

PC=3a

，

PB=a

，然后再证明

∠FPC=∠EPB

，最后通过等量代换进行

证明即可；

（

3

）设

E

（

a

，

0

），然后用含

a

的式子表示

BE

的长，从而可得到

CF

的长，于是可得到点

F

的坐标，然后依据中点坐标公式可得到

3

列出关于

a

、

c

的方程组

2

Q

x

P

x

F

x

E

x

Q

y

P

y

F

y

E

y



，，从而



22

22

可求得点

Q

的坐标（用含

a

的式子表示），最后，将点

Q

的坐标代入抛物线的解析式求得

a

的值即可．

【详解】

（

1

）当

y=0

时，

143

x0

，解得

x=4

，即

A

（

4

，

0

），抛物线过点

A

，对称轴是

x=

，

332



16a12c0



得



33

，





2a2





a1

解得



，抛物线的解析式为

y=x

2

﹣

3x

﹣

4

；



c4

（

2

）

∵

平移直线

l

经过原点

O

，得到直线

m

，

1

x

．

3

∵

点

P

是直线

1

上任意一点，

∴

直线

m

的解析式为

y=

∴

设

P

（

3a

，

a

），则

PC=3a

，

PB=a

．

又

∵PE=3PF

，

∴

PCPB



．

PFPE

∴∠FPC=∠EPB

．

∵∠CPE+∠EPB=90°

，

∴∠FPC+∠CPE=90°

，

∴FP⊥PE

．

（

3

）如图所示，点

E

在点

B

的左侧时，设

E

（

a

，

0

），则

BE=6

﹣

a

．

∵CF=3BE=18

﹣

3a

，

∴OF=20

﹣

3a

．

∴F

（

0

，

20

﹣

3a

）．

∵PEQF

为矩形，

∴

Q

x

P

x

F

x

E

x

Q

y

P

y

F

y

E

y



，，



22

22

∴Q

x

+6=0+a

，

Q

y

+2=20

﹣

3a+0

，

∴Q

x

=a

﹣

6

，

Q

y

=18

﹣

3a

．

将点

Q

的坐标代入抛物线的解析式得：

18

﹣

3a=

（

a

﹣

6

）

2

﹣

3

（

a

﹣

6

）﹣

4

，解得：

a=4

或

a=8

（舍去）．

∴Q

（﹣

2

，

6

）．

如下图所示：当点

E

在点

B

的右侧时，设

E

（

a

，

0

），则

BE=a

﹣

6

．

∵CF=3BE=3a

﹣

18

，

∴OF=3a

﹣

20

．

∴F

（

0

，

20

﹣

3a

）．

∵PEQF

为矩形，

Q

x

P

x

F

x

E

x

Q

y

P

y

F

y

E

y



，，



22

22

∴Q

x

+6=0+a

，

Q

y

+2=20

﹣

3a+0

，

∴Q

x

=a

﹣

6

，

Q

y

=18

﹣

3a

．

∴

将点

Q

的坐标代入抛物线的解析式得：

18

﹣

3a=

（

a

﹣

6

）

2

﹣

3

（

a

﹣

6

）﹣

4

，解得：

a=8

或

a=4

（舍去）．

∴Q

（

2

，﹣

6

）．

综上所述，点

Q

的坐标为（﹣

2

，

6

）或（

2

，﹣

6

）．

【点睛】

本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了矩形的性质、待定系数法求

二次函数的解析式、中点坐标公式，用含

a

的式子表示点

Q

的坐标是解题的关键．

2

．（

2017

南宁，第

26

题，

10

分）如图，已知抛物线

yax

2

23ax9a

与坐标轴交于

A

，

B

，

C

三点，其中

C

（

0

，

3

），

∠BAC

的平分线

AE

交

y

轴于点

D

，交

BC

于点

E

，过点

D

的直线

l

与射线

AC

，

AB

分别交于点

M

，

N

．

（

1

）直接写出

a

的值、点

A

的坐标及抛物线的对称轴；

（

2

）点

P

为抛物线的对称轴上一动点，若

△PAD

为等腰三角形，求出点

P

的坐标；

（

3

）证明：当直线

l

绕点

D

旋转时，

11



均为定值，并求出该定值．

AMAN

【答案】（

1

）

a=



，

A

（﹣

3

，

0

），抛物线的对称轴为

x=

3

；（

2

）点

P

的坐标为

（

3

，

0

）或（

3

，﹣

4

）；（

3

）

【解析】

试题分析：（

1

）由点

C

的坐标为（

0

，

3

），可知﹣

9a=3

，故此可求得

a

的值，然后令

y=0

得到关于

x

的方程，解关于

x

的方程可得到点

A

和点

B

的坐标，最后利用抛物线的对称性

可确定出抛物线的对称轴；

（

2

）利用特殊锐角三角函数值可求得

∠CAO=60°

，依据

AE

为

∠BAC

的角平分线可求得

∠DAO=30°

，然后利用特殊锐角三角函数值可求得

OD=1

，则可得到点

D

的坐标．设点

P

的

坐标为（

3

，

a

）．依据两点的距离公式可求得

AD

、

AP

、

DP

的长，然后分为

AD=PA

、

AD=DP

、

AP=DP

三种情况列方程求解即可；

（

3

）设直线

MN

的解析式为

y=kx+1

，接下来求得点

M

和点

N

的横坐标，于是可得到

AN

的长，然后利用特殊锐角三角函数值可求得

AM

的长，最后将

AM

和

AN

的长代入化简即

可．

试题解析：（

1

）

∵C

（

0

，

3

），

∴

﹣

9a=3

，解得：

a=



．

令

y=0

得：

ax

2

23ax9a0

，

∵a≠0

，

∴

x

2

23x90

，解得：

x=

﹣

3

或

x=

3

1

3

3

．

2

1

3

3

，

∴

点

A

的坐标为（﹣

3

，

0

），

B

（

33

，

0

），

∴

抛物线的对称轴为

x=

3

．

3

AO=1

，

∴

点

D

的坐标为（

0

，

1

）．

3

（

2

）

∵OA=

3

，

OC=3

，

∴tan∠CAO=

3

，

∴∠CAO=60°

．

∵AE

为

∠BAC

的平分线，

∴∠DAO=30°

，

∴DO=

设点

P

的坐标为（

3

，

a

）．

依据两点间的距离公式可知：

AD

2

=4

，

AP

2

=12+a

2

，

DP

2

=3+

（

a

﹣

1

）

2

．

当

AD=PA

时，

4=12+a

2

，方程无解．

当

AD=DP

时，

4=3+

（

a

﹣

1

）

2

，解得

a=0

或

a=2

（舍去），

∴

点

P

的坐标为（

3

，

0

）．

当

AP=DP

时，

12+a

2

=3+

（

a

﹣

1

）

2

，解得

a=

﹣

4

，

∴

点

P

的坐标为（

3

，﹣

4

）．

综上所述，点

P

的坐标为（

3

，

0

）或（

3

，﹣

4

）．

（

3

）设直线

AC

的解析式为

y=mx+3

，将点

A

的坐标代入得：

3m30

，解得：

m=

3

，

∴

直线

AC

的解析式为

y3x3

．

设直线

MN

的解析式为

y=kx+1

．

把

y=0

代入

y=kx+1

得：

kx+1=0

，解得：

x=



∴AN=



11

，

∴

点

N

的坐标为（



，

0

），

kk

1

3

=

3k1

．

k

k

2

k3

将

y3x3

与

y=kx+1

联立解得：

x=

，

∴

点

M

的横坐标为

2

k3

．

过点

M

作

MG⊥x

轴，垂足为

G

．则

AG=

2

3

．

k3

∵∠MAG=60°

，

∠AGM=90°

，

∴AM=2AG=

∴

4

23

=

23k2

，

k3

k3

11

3(3k1)

k3k3k3

3



= == =

．



AMAN

23k2

2

3k123k2

2(3k1)

点睛：本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求一次函

数、二次函数的解析式，分类讨论是解答问题（

2

）的关键，求得点

M

的坐标和点

N

的坐

标是解答问题（

3

）的关键．

3

．抛物线

yx

2

bxc

（

b

，

c

为常数）与

x

轴交于点



x

1

,0



和



x

2

,0



，与

y

轴交于点

A

，点

E

为抛物线顶点。

（

Ⅰ

）当

x

1

1,x

2

3

时，求点

A

，点

E

的坐标；

（

Ⅱ

）若顶点

E

在直线

yx

上，当点

A

位置最高时，求抛物线的解析式；

（

Ⅲ

）若

x

1

1,b0

，当

P(1,0)

满足

PAPE

值最小时，求

b

的值。

2

【答案】（

Ⅰ

）

A



0,3



，

E(1,4)

；（

Ⅱ

）

yxx

【解析】

【分析】

1

；（

Ⅲ

）

b317

.

4

（

Ⅰ

）将（

-1

，

0

），（

3

，

0

）代入抛物线的解析式求得

b

、

c

的值，确定解析式，从而求

出抛物线与

y

轴交于点

A

的坐标，运用配方求出顶点

E

的坐标即可；

（

Ⅱ

）先运用配方求出顶点

E

的坐标，再根据顶点

E

在直线

yx

上得出吧

b

与

c

的关

系，利用二次函数的性质得出当

b=1

时，点

A

位置最高，从而确定抛物线的解析式；

（

Ⅲ

）根据抛物线经过（

-1

，

0

）得出

c=b+1

，再根据（

Ⅱ

）中顶点

E

的坐标得出

E

点关于

x

轴的对称点

E



的坐标，然后根据

A

、

P

两点坐标求出直线

AP

的解析式，再根据点在直线

AP

上，此时

PAPE

值最小，从而求出

b

的值

.

【详解】

2

解：（

Ⅰ

）把点

(-1,0)

和

(3,0)

代入函数

yxbxc

，

有





1bc0

。解得

b2,c3

93bc0



yx

2

2x3(x1)

2

4

A(0,3),E(1,4)

2



b4cb

2



b4cb

2



2

（

Ⅱ

）由

yxbxc



x





，得

E



,



24

2



4





2

b4cb

∵

点

E

在直线

yx

上，



24

1111

cb

2

b(b1)

2



4244

11



A



0,(b1)

2





44



当

b1

时，点

A

是最高点此时，

yxx

2

1

4

（

Ⅲ

）：抛物线经过点

(1,0)

，有

1bc0

cb1



b4cb

2



E



,



,A(0,c)

24





b(b2)

2



E



,



,A(0,b1)

24



2



b(b2)

∴E

关于

x

轴的对称点

E



为



,



24



设过点

A

，

P

的直线为

ykxt

.

把

A(0,b1),P(1,0)

代入

ykxt

，得

y(b1)(x1)



b(b2)

2



把点

E



,



代入

y(b1)(x1)

.

24





(b2)

2



b



(b1)



1



，即

b

2

6b80

得

4



2



解得，

b317

。

b0,b317

舍去

.

b317

【点睛】

本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次的解析

式、最短距离，数形结合思想及待定系数法的应用是解题的关键，属于中考压轴题．

4

．课本中有一道作业题：

有一块三角形余料

ABC

，它的边

BC=120mm

，高

AD=80mm

．要把它加工成正方形零件，使

正方形的一边在

BC

上，其余两个顶点分别在

AB

，

AC

上．问加工成的正方形零件的边长是

多少

mm

？

小颖解得此题的答案为

48mm

，小颖善于反思，她又提出了如下的问题．

（

1

）如果原题中要加工的零件是一个矩形，且此矩形是由两个并排放置的正方形所组成，

如图

1

，此时，这个矩形零件的两条边长又分别为多少

mm

？请你计算．

（

2

）如果原题中所要加工的零件只是一个矩形，如图

2

，这样，此矩形零件的两条边长就

不能确定，但这个矩形面积有最大值，求达到这个最大值时矩形零件的两条边长．

【答案】（

1

）

【解析】

【分析】

240

480

mm

，

mm

；（

2

）

PN=60mm

，

PQ40

mm

．

7

7

(1)

、设

PQ=y

（

mm

），则

PN=2y

（

mm

），

AE=80-y

（

mm

），根据平行得出

△APN

和

△ABC

相似，根据线段的比值得出

y

的值，然后得出边长；

(2)

、根据第一题同样的方法得出

y

与

x

的函数关系式，然后求出

S

与

x

的函数关系式，根据二次函数的性质得出最大值

.

【详解】

(1)

、设

PQ=y

（

mm

），则

PN=2y

（

mm

），

AE=80-y

（

mm

）

∵PN∥BC,

∴

∴

∴

∴

∴2y=

=

=

=

=

，

△APN∽△ABC

解得

y=

mm

，

mm

∴

这个矩形零件的两条边长分别为

(2)

、设

PQ=x

（

mm

），

PN=y

（

mm

），矩形面积为

S

，则

AE=80-x

（

mm

）．

.

由（

1

）知

∴=

=

∴ y=

则

S=xy=

∵

==

∴ S

有最大值

∴

当

x=40

时，

S

最大

=2400

（

mm

2

）

此时，

y==60

．

∴

面积达到这个最大值时矩形零件的两边

PQ

、

PN

长分别是

40 mm

，

60 mm

．

考点：三角形相似的应用

5

．在平面直角坐标系中，抛物线

yax

2

bxc

过点

A(1,0)

，

B(3,0)

，与

y

轴交于点

C

，连接

AC

，

BC

，将

OBC

沿

BC

所在的直线翻折，得到

△DBC

，连接

OD

．

（

1

）用含

a

的代数式表示点

C

的坐标．

（

2

）如图

1

，若点

D

落在抛物线的对称轴上，且在

x

轴上方，求抛物线的解析式．

（

3

）设

OBD

的面积为

S

1

，

OAC

的面积为

S

2

，若

S

1

2



，求

a

的值．

S

2

3

【答案】（

1

）

C(0,3a)

；

(2)

抛物线的表达式为：

y

(3)

a22

或

a22

【解析】

【分析】

（

1

）根据待定系数法，得到抛物线的表达式为：

ya(x1)(x3)ax2x3

，

即可求解；

（

2

）根据相似三角形的判定证明

CPD∽DQB

，再根据相似三角形的性质得到

5

2

2535

；

xx

555



2



CPPDCD



，即可求解；

DQBQBD

（

3

）连接

OD

交

BC

于点

H

，过点

H

、

D

分别作

x

轴的垂线交于点

N

、

M

，由三角形的面积

公式得到

S

1

2

2m1m1



，

DMOC

，而，

HNDM

S

2

3

9299

2

8



m



HNONBN



，即可求解．

9



9



2

【详解】

（

1

）抛物线的表达式为：

ya(x1)(x3)ax2x3

，即

c3a

，则点



2



C(0,3a)

；

（

2

）过点

B

作

y

轴的平行线

BQ

，过点

D

作

x

轴的平行线交

y

轴于点

P

、交

BQ

于点

Q

，

∵

CDPPDC90



，

PDCQDB90



，

∴

QDBDCP

，

设：

D(1,n)

，点

C(0,3a)

，

CPDBQD90



，

∴

∴

CPD∽DQB

，

CPPDCD



，

DQBQBD

其中：

CPn3a

，

DQ312

，

PD1

，

BQn

，

CD3a

，

BD3

，

将以上数值代入比例式并解得：

a

∵

a0

，故

a

5

，

5

5

，

5

5

2

2535

；

xx

555

故抛物线的表达式为：

y

（

3

）如图

2

，当点

C

在

x

轴上方时，连接

OD

交

BC

于点

H

，则

DOBC

，

过点

H

、

D

分别作

x

轴的垂线交于点

N

、

M

，

设：

OCm3a

，

S

1

S

OBD



S

2

S

OAC

则

DM

13

OBDMDM

，

22

S

1

2

1

1m

，而



，

S

2

3

2

2m1m1

OC

，

，

HNDM

9299

1118

∴

BNBO

，则

ON3

，

9333

则

DOBC

，

HNOB

，

则

BHNHON

，则

tanBHNtanHON

，

2

8



m



则

HN

2

ONBN



，

9



9



解得：

m62

（舍去负值），

CO|3a|62

，

解得：

a22

（不合题意值已舍去），

故：

a22

．当点

C

在

x

轴下方时，同理可得：

a22

；故：

a22

或

a22

【点睛】

本题考查的是二次函数综合运用、一次函数、三角形相似、图形的面积计算，其中（

3

）用

2

8



m



几何方法得出：

HN

2

ONBN



，是本题解题的关键．

9



9



6

．（

12

分）如图所示是隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是

12 m

，宽是

4

m

．按照图中所示的直角坐标系，抛物线可以用

y=



OB

的水平距离为

3 m

，到地面

OA

的距离为

1

2

x+bx+c

表示，且抛物线上的点

C

到

6

17

m.

2

（

1

）求抛物线的函数关系式，并计算出拱顶

D

到地面

OA

的距离；

（

2

）一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为

6m

，宽为

4m

，如果隧道内设双向车道，那

么这辆货车能否安全通过？

（

3

）在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度

不超过

8m

，那么两排灯的水平距离最小是多少米？

【答案】（

1

）抛物线的函数关系式为

y=



(2)

两排灯的水平距离最小是

4

3

m

．

【解析】

【详解】

1

2

x+2x+4

，拱顶

D

到地面

OA

的距离为

10 m

；

6

试题分析：根据点

B

和点

C

在函数图象上，利用待定系数法求出

b

和

c

的值，从而得出函

数解析式，根据解析式求出顶点坐标，得出最大值；根据题意得出车最外侧与地面

OA

的

交点为（

2,0

）（或（

10,0

）），然后求出当

x=2

或

x=10

时

y

的值，与

6

进行比较大小，比

6

大就可以通过，比

6

小就不能通过；将

y=8

代入函数，得出

x

的值，然后进行做差得出

最小值．

试题解析：（

1

）由题知点

B(0,4),C



3,



17





在抛物线上

2





c4



b2

1

2



所以



17

，解得



，所以

yx2x4

1

93bc

6



c4



26



所以，当

x

答：

y

b

6

时，

y

≦t

10

2a

1

2

x2x4

，拱顶

D

到地面

OA

的距离为

10

米

6

22

6

，所以可以通过

3

（

2

）由题知车最外侧与地面

OA

的交点为（

2,0

）（或（

10,0

））

当

x=2

或

x=10

时，

y

（

3

）令

y8

，即



1

2

x2x48

，可得

x

2

12x240

，解得

6

x

1

623,x

2

623

x

1

x

2

43

答：两排灯的水平距离最小是

43