2024年4月26日发(作者：公孙冰海)

正态分布的应用

1、用Z的公式将原始分数转换成标准分数

条件是原始分数的分布是正态的。

例如

：已知某班期末考试中语文的平均分为76，标准差为10，数学的平均分为83，标准差为15。某学生在这次期

末考试的语文成绩为79，数学成绩为87，问该生这两科成绩哪一个更好一些？

答：该考生的语文成绩更好一些。

2、确定录用分数线

在选拔兴或竞赛性的考试中，录取或授奖的人数（或比赛）往往是事先确定的。这就是用标准分数的作用发挥。假定为

正态分布，可将录取或授奖的人数比率作为正态分布中分线右侧，即上端的面积，由此找出相应标准分数Z值，然后根据Z

公式计算出原始分数X.

例如

：在某年的高考中某省的平均分为420，标准差为100，分数呈正态分布，某考生得了456分。设当年的该省的

录取率为40%，问该生的成绩是否上线？

解：根据Z分数的计算公式，得

当P=0.40时，0.5-0.40=0.10

然后查附表，找到对应的Z=0.25

因为0.36>0.25, 所以该考生上线了。

又如：

某年某市参加数学竞赛的学生有850人，考试的平均分为68，标准差为9。而这次计划只给最优秀的5%颁

奖，问授奖分数线为多少？某个考生在这次考试中得了76分，问这位考生是否获奖？

解：根据0.05的P值计算差表，得Z=1.65

因为82.85>76, 所以该考生不可能获奖。

例

.某区拟对参加数学竞赛的2000人中的前500人予以奖励，考试的平均分数为75分，标准差为9

分，问授奖的分数线是多少？（授奖分数线为81.03分。）

例：某考试2500人参加，成绩服从正态分布，μ＝80 σ2＝25，求分数在88分以上的人数。

解:

8880

Z1.6

5

n＝N·P＝2500×0.0548＝137（人）

例：某招生考试，选拔２０％，考生成绩服从正态分布，μ＝70 σ＝10，录取标准应划在哪里？

解

p(ZZ

0

)0.20

p(0ZZ

0

)0.3

Z＝0.84 X＝10×0.84+70＝78.4

分数线为78.4

例：

某地13岁女孩118人的身高(cm)资料，估计该地13岁正常女孩身高在135厘米以下及155

厘米以上者各占正常女孩总人数的百分比。

身高（X）～N(μ，σ

2

)，但μ和σ未知，只知来自该总体的样本的身高均数

x

=144.29(cm)和标准

差s=5.41(cm)，由于样本含量n=118很大，所以可以用

x

和s估计μ和σ来计算u值。

身高（X）小于135(cm)的概率为:

P



Xx

1

135



P



Uu

1



1

u

1



x

1

x

135144.29

1.72

s5.41

P



Xx

1

135



P



Uu

1



P



Uu

1

1.72







1.72



0.04272

身高（X）大于155(cm)的概率为：

P



Xx

2

155



P



Uu

2



u

2



x

2

x

155144.29

1.98

s5.41

P



Xx

2

155



P



Uu

2



P



Uu

2

1.98



1



1.98



10.976150.02385

该地13岁正常女孩身高在135厘米以下者占正常女孩总人数的4.272%，身高在155厘米以

上者占正常女孩总人数的2.385%。

3、确定等级评定的人数

因为人的许多属性为正态分布，因此在教育生活中，许多情况下，用正态分布来计算各等级的人数。

例如：

假定某年级有250人，我们要对这些人某种能力作一等级评定，假定这种能力为正态分布，且准备划分为

五个等级：甲乙丙丁戊，问各个等级各有多少人？

解：首先要把正态分布基线平均分一下。因为这里要分为5个等级，因此各等级所包含区间为6除

以5，等于1.2个标准差。然后确定每一等级的取值范围。通常我们从最高开始，最高等级为甲，应该从

Z=3开始往下，则3减去1.2等于1.8，甲等就分布在这个区间1.8~3；往下顺延，得乙所在区间为0.6~1.8；

丙再往下顺延1.2个标准差，得到丙的所在区间为-0.6~0.6；根据对称性，得丁的区间为-1.8~-0.6，戊的区

间为-3~-1.8。

再次，要查正态表。计算各个区间的面积，即人数比率。

要查两个定点之间的面积为多少。

（1）查Z=0到Z=1.8的面积，为0.46407，用0.5减去0.46407得到0.03593，即为甲的区间面积。

（2）查Z=0到Z=0.6的面积，为0.22575，这时用0.46407减去0.22575得0.22832，即为乙的区间面

积。

（3）0.22575乘以2得0.45150，即为丙的区间面积。

（4）根据对称性得到丁的区间面积为0.22832，戊的区间面积为0.03593。

最后，将各个等级的比率乘以总人数，即得到各个等级的人数。

计算得甲等为9人，乙等为60人，丙等为112人，丁等为60人，戊等为9人。

答：甲乙丙丁戊五个等级依次有9、60、112、60、9人。

4、品质评定数量化

一般在教育中可以综合各个老师对某一个学生的评定。

5、独立样本平均数差异的显著性检验 综合应用

例1

：某省在高考后，为了分析男、女考生对语文学习上的差异，随机抽取了各20名男、女考生的语文成绩，并且

计算得到男生平均成绩=54.6，标准差=16.9，女生的平均成绩=59.7，标准差=10.4，试分析男、女考生语文高考成绩是否有

显著差异？

解：先进行方差齐性检验：

1．提出假设

2．计算检验的统计量

3．统计决断查附表3，得F(19,19)0.05=2.16 F=2.64>F(19,19)0.05=2.16，p<0.05，即方差不齐性。

然后，进行平均数差异的显著性检验：

1．提出假设

2．计算检验的统计量

3．确定检验形式 双侧检验

4．统计决断 1.12<2.093，P>0.05

所以，要保留零假设，即男、女考生语文高考成绩无显著差异。

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2024年4月26日发(作者：公孙冰海)

正态分布的应用

1、用Z的公式将原始分数转换成标准分数

条件是原始分数的分布是正态的。

例如

：已知某班期末考试中语文的平均分为76，标准差为10，数学的平均分为83，标准差为15。某学生在这次期

末考试的语文成绩为79，数学成绩为87，问该生这两科成绩哪一个更好一些？

答：该考生的语文成绩更好一些。

2、确定录用分数线

在选拔兴或竞赛性的考试中，录取或授奖的人数（或比赛）往往是事先确定的。这就是用标准分数的作用发挥。假定为

正态分布，可将录取或授奖的人数比率作为正态分布中分线右侧，即上端的面积，由此找出相应标准分数Z值，然后根据Z

公式计算出原始分数X.

例如

：在某年的高考中某省的平均分为420，标准差为100，分数呈正态分布，某考生得了456分。设当年的该省的

录取率为40%，问该生的成绩是否上线？

解：根据Z分数的计算公式，得

当P=0.40时，0.5-0.40=0.10

然后查附表，找到对应的Z=0.25

因为0.36>0.25, 所以该考生上线了。

又如：

某年某市参加数学竞赛的学生有850人，考试的平均分为68，标准差为9。而这次计划只给最优秀的5%颁

奖，问授奖分数线为多少？某个考生在这次考试中得了76分，问这位考生是否获奖？

解：根据0.05的P值计算差表，得Z=1.65

因为82.85>76, 所以该考生不可能获奖。

例

.某区拟对参加数学竞赛的2000人中的前500人予以奖励，考试的平均分数为75分，标准差为9

分，问授奖的分数线是多少？（授奖分数线为81.03分。）

例：某考试2500人参加，成绩服从正态分布，μ＝80 σ2＝25，求分数在88分以上的人数。

解:

8880

Z1.6

5

n＝N·P＝2500×0.0548＝137（人）

例：某招生考试，选拔２０％，考生成绩服从正态分布，μ＝70 σ＝10，录取标准应划在哪里？

解

p(ZZ

0

)0.20

p(0ZZ

0

)0.3

Z＝0.84 X＝10×0.84+70＝78.4

分数线为78.4

例：

某地13岁女孩118人的身高(cm)资料，估计该地13岁正常女孩身高在135厘米以下及155

厘米以上者各占正常女孩总人数的百分比。

身高（X）～N(μ，σ

2

)，但μ和σ未知，只知来自该总体的样本的身高均数

x

=144.29(cm)和标准

差s=5.41(cm)，由于样本含量n=118很大，所以可以用

x

和s估计μ和σ来计算u值。

身高（X）小于135(cm)的概率为:

P



Xx

1

135



P



Uu

1



1

u

1



x

1

x

135144.29

1.72

s5.41

P



Xx

1

135



P



Uu

1



P



Uu

1

1.72







1.72



0.04272

身高（X）大于155(cm)的概率为：

P



Xx

2

155



P



Uu

2



u

2



x

2

x

155144.29

1.98

s5.41

P



Xx

2

155



P



Uu

2



P



Uu

2

1.98



1



1.98



10.976150.02385

该地13岁正常女孩身高在135厘米以下者占正常女孩总人数的4.272%，身高在155厘米以

上者占正常女孩总人数的2.385%。

3、确定等级评定的人数

因为人的许多属性为正态分布，因此在教育生活中，许多情况下，用正态分布来计算各等级的人数。

例如：

假定某年级有250人，我们要对这些人某种能力作一等级评定，假定这种能力为正态分布，且准备划分为

五个等级：甲乙丙丁戊，问各个等级各有多少人？

解：首先要把正态分布基线平均分一下。因为这里要分为5个等级，因此各等级所包含区间为6除

以5，等于1.2个标准差。然后确定每一等级的取值范围。通常我们从最高开始，最高等级为甲，应该从

Z=3开始往下，则3减去1.2等于1.8，甲等就分布在这个区间1.8~3；往下顺延，得乙所在区间为0.6~1.8；

丙再往下顺延1.2个标准差，得到丙的所在区间为-0.6~0.6；根据对称性，得丁的区间为-1.8~-0.6，戊的区

间为-3~-1.8。

再次，要查正态表。计算各个区间的面积，即人数比率。

要查两个定点之间的面积为多少。

（1）查Z=0到Z=1.8的面积，为0.46407，用0.5减去0.46407得到0.03593，即为甲的区间面积。

（2）查Z=0到Z=0.6的面积，为0.22575，这时用0.46407减去0.22575得0.22832，即为乙的区间面

积。

（3）0.22575乘以2得0.45150，即为丙的区间面积。

（4）根据对称性得到丁的区间面积为0.22832，戊的区间面积为0.03593。

最后，将各个等级的比率乘以总人数，即得到各个等级的人数。

计算得甲等为9人，乙等为60人，丙等为112人，丁等为60人，戊等为9人。

答：甲乙丙丁戊五个等级依次有9、60、112、60、9人。

4、品质评定数量化

一般在教育中可以综合各个老师对某一个学生的评定。

5、独立样本平均数差异的显著性检验 综合应用

例1

：某省在高考后，为了分析男、女考生对语文学习上的差异，随机抽取了各20名男、女考生的语文成绩，并且

计算得到男生平均成绩=54.6，标准差=16.9，女生的平均成绩=59.7，标准差=10.4，试分析男、女考生语文高考成绩是否有

显著差异？

解：先进行方差齐性检验：

1．提出假设

2．计算检验的统计量

3．统计决断查附表3，得F(19,19)0.05=2.16 F=2.64>F(19,19)0.05=2.16，p<0.05，即方差不齐性。

然后，进行平均数差异的显著性检验：

1．提出假设

2．计算检验的统计量

3．确定检验形式 双侧检验

4．统计决断 1.12<2.093，P>0.05

所以，要保留零假设，即男、女考生语文高考成绩无显著差异。

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